专题10 解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c −和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−； ②12F PF △面积最大值为212c ；③022c c y −≤≤；④PO ．其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c =， 即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++−=，整理可得()()22222200002x y c x y +=−，所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−，故①正确； 对于②，1212121sin 2F PF SPF PF F PF ∠=221211sin 22c F PF c ∠=≤，故②正确；对于③，因为12212001122F PF SF F y c y c =⨯=≤，所以022c cy −≤≤，故③正确； 对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+. 又因为122PO PF PF =+，所以()()22122POPF PF =+uu u ruuu r uuu r 2212122PF PF PF PF =++⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠uuu r uuu r uuu r uuu r.所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++−⋅⋅∠()22122PF PF =+，即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确.故选：D.2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 22221(1)x y a b a b +=>>中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆221259x y +=中所有 “好弦” 的长度之和为（ ）A ．162B ．166C ．312D ．364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得 5,3a b ==， 所以4c =，即椭圆221259x y +=的右焦点坐标为()4,0，对于过右焦点的弦AB ，则有：当弦AB 与x 轴重合时，则弦长210AB a ==，当弦AB 不与x 轴重合时，设()()1122:4,,,,AB x my A x y B x y =+，联立方程2241259x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2292572810m y my ++−=，则()()()()2221212227281Δ72492581810010,,925925m m m m x x x x m m =−+⨯−=+>+=−=−++，故()22290116101925925m AB m m +⎛⎫==− ⎪++⎝⎭， ∵20m ≥，则221192525,092525m m +≥<≤+，可得21616025925m −≤−<+，即29161125925m ≤−<+， ∴18,105AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上所述：18,105AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10，由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ()445678910166⨯++++++=． 故选 ：B ．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点()()1122,,,A x y B x y ，定义两点间“距离”为()1212,d A B x x y y =−+−，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“距离”之和等于定值（大于()12,d F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分横坐标在1F 、2F 之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可. 【详解】解：根据题意，横坐标在1F 、2F 之外的区域，不能出现与x 轴垂直的线段， 否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值；横坐标在1F 、2F 之内的区域，则必须与x 轴平行，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值. 故选：A.4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率5c e a ==，所以a =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 3c =. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==.因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当MP MQ ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，a =，故椭圆C 的长轴长为 故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22:154x y C +=的两条切线2x y =的交点在圆上，所以3R ==， 故选：A6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ） A ．22184x y +=B ．22135x y +=C ．22162x y +=D ．22169x y +=【答案】A. 【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b 与半焦距c 相等的椭圆是“对偶椭圆”， 对于A ，22844c b =−==，即b c =，A 是“对偶椭圆”； 对于B ，22532c b =−=≠，即b c ≠，B 不是“对偶椭圆”； 对于C ，22624c b =−=≠，即b c ≠，C 不是“对偶椭圆”； 对于D ，22963c b =−=≠，即b c ≠，D 不是“对偶椭圆”. 故选：A7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线0(),f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）A ．210x y +−=B ．10x =C ．2210x y x x +−−−=D ．2310x xy −+=【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A ：因为210x y +−=，即21y x =−是抛物线，没有自公切线，故A 错误；B ：因为10x =，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B 错误；C ：因为2210x y x x +−−−=，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C 正确；D ：因为2310x xy −+=，即13y x x=+是双勾函数，没有自公切线，故D 错误； 故选：C.8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义x y +称为点(,)P x y 的“δ和”，其中O 为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点(,)P x y 的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P 是直线240x y −−=上任意一点，则点(,)P x y 的“δ和”的最小值为2；（3）设P 是直线0ax y b −+=上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是1a =；（4）设P 是椭圆2212y x +=上任意一点，则“δ和”的最其中正确的结论序号为（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）（4） C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【解析】根据新定义“δ和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当1x y +=时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）P 是直线240x y −−=上的一点，24y x ∴=−，24x y x x ∴+=+−43,0,4,02,34,2,x x x x x x −≤⎧⎪=−<<⎨⎪−≥⎩可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=，正确；（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为,,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩cos x y θθ∴+=，. 故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“δ和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1，且存在12PF F △，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）A ．2213632x y +=B ．2211615x y +=C ．22154x y −=D ．22115y x −=【答案】C【分析】求出满足条件1221PF PF =时的1PF 和2PF ，再求出12F F ，验证1PF ，2PF ，12F F能否是三角形的三边长，即可得． 【详解】1221PF PF =，则122PF PF =，若是椭圆，则12232PF PF PF a +==，223a PF =，143a PF =， 若是双曲线，则1222PF PF PF a −==，14PF a =，A 中椭圆，6,2a c ==，24PF =，18PF =，124F F =，不存在12PF F △；B 中椭圆，4,1a c ==，183PF =，1163PF =，122F F =，不存在12PF F △C中双曲线，3a c ==，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是233ac a −=<，2PF =1PF =126F F =，构成12PF F △，存在“Ω点”，D 中双曲线，1a =，4c =，22PF =，14PF =，128F F =，不存在12PF F △ 故选：C ．【点睛】本题考查新定义“Ω点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的P 点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=的焦点为1F 、2F ，若点P 在椭圆上，且满足212PO PF PF =⋅（其中O 为坐标原点），则称点P 为“★”点.下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上的所有点都是“★”点 B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★”点 C ．椭圆C 上的所有点都不是“★”点D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点 【答案】B【分析】设点(),P x y ，由212PO PF PF =⋅得出关于x 、y 的等式，由2214xy =−，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，则2214x y =−，()1F、)2F ，122PF x ===+，21442222PF PF ⎛⎫=−=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭，由212PO PF PF =⋅，得222222x y ⎛⎫⎛⎫+=+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22331444x x +=−，解得x =2y =±， 所以，椭圆C 上有且只有4个点是“★”点. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点()1,0M −，()1,0N ，若直线上存在点P ，使||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，其中是“A 型直线”的是（ ） ①1y x =+；②2y =；③3y x =−+；④23y x =−+ A ．①③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】D【分析】易得点P 在以M 、N 为焦点的椭圆22143x y +=上，“A 型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【详解】两定点()1,0M −，()1,0N ，||||4PM PN +=， P ∴在以M 、N 为焦点的椭圆上，且22,1,3a c b ===，故椭圆的方程为22143x y +=，满足题意的“A 型直线”和椭圆有公共点，联立1y x =+和22143x y+=，消y 整理可得27880x x −−=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”，联立2y =和22143x y+=，显然无交点，故不是“A 型直线”，联立3y x =−+和22143x y +=，消y 整理可得2724240x x −+=，故Δ0<，故不是“A 型直线”，联立23y x =−+和22143x y +=消y 整理可得21948240x x −+=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”， 故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是( ) ①1y x =+;②2y =;③43y x =;④21y x =+. A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于①，点M 到直线y =x +1的距离14d ==，故不存在点P 使|PM |≤4，故①不是；对于②，点M 到直线y =2的距离d 2=2＜4，故存在点P 使|PM |≤4，故②是； 对于③，直线方程为4x -3y =0，点M 到直线4x -3y =0的距离3543045d ⨯−⨯== ，故存在点P 使|PM |≤4，故③是；对于④，点M 到直线y =2x +1的距离44d =，故不存在点P 使|PM |≤4，故④不是. 综上可知符合条件的有②③.故A ，B ，D 错误. 故选：C.二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo .设计师的灵感来源于曲线C ：||1n nx y +=.其中星形线E ：22331x y =+常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ） A ．E 关于y 轴对称B ．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C ．E 上的点到原点距离的最小值为14D ．曲线E 所围成图形的面积小于2 【答案】ABD【分析】A 由(,)x y 、(,)x y −均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式2233x y ≥+即可判断；C 由22223333()()x y x y +=+，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据2233x y +与||||x y +图形的位置关系判断.【详解】若(,)x y 在星形线E 上，则(,)x y −也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由12233312||x y xy =≥=+，则1||8xy ≤当且仅当||||x y =时等号成立，B 正确；由222222222233233333333()1()())3()31([(])4x y x y x y x y xy xy +=+=+=−+−≥，当且仅当||||x y =时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(1,0)±，(0,1)±，由2233||||1x y x y ++≥=，则2233x y +在||||x y +所围成的区域内部，而||||1x y +=所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有2233x y ≥+由22223333()()x y x y +=+及立方和公式求两点距离，利用2233x y +与||||x y +图形的位置判断面积大小.14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{}(,)|() 0,T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（ ）A ．22143x y +=B ．221x y −=C ．22y x =D ．1y x =+ 【答案】AC【分析】问题转化为11(,)P x y T ∈，存在22(,)Q x y T ∈，使得OP OQ ⊥，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A ：22143x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点11(,)P x y T ∈，存在着点Q （x 2，y 2）使得OP OQ ⊥，所以满足；B ：221x y −=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P ，Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当P ，Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒，所以90,POQ OP OQ ∠≠︒⊥不满足；C ：22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，设P 为抛物线上一点，过O 点作OP 的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90,POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥D ：取P （0，1），若OP OQ ⊥，则有20y =显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立， 故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C 上存在点P ，使点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，则称曲线C 为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（ ）A ．5x y +=B ．229x y +=C ．221259x y +=D ．216x y =【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可. 【详解】解：设点P 的坐标为(),x y ，因为点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，由椭圆的定义可得点P 的轨迹方程为：2212516x y +=，对A ，由22512516x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2412502250x x −+=2Δ250441225256000=−⨯⨯=>因此曲线5x y +=上存在点P 满足条件，所以5x y +=是“有用曲线”，故A 正确；对B ，因为曲线229x y +=在曲线2212516x y +=的内部，无交点，所以229x y +=不是“有用曲线”，故B 错误；对C ，曲线221259x y +=与2212516x y +=有交点()5,0与()5,0−，所以221259x y +=是“有用曲线”，故C 正确；对D ，曲线216x y =与2212516x y +=也有交点，所以216x y =是“有用曲线"，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点P 满足的方程，所给选项中的曲线只要与点P 满足的方程有交点即符合题意.16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C =为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣ C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1−，则PAB 面积的最大值为2【答案】ABC【分析】将点()0,0代入曲线C 方程可知A 正确；1y ≥−1y ≥+可求得211y −≤，进而求得y 的范围，知B 正确；设曲线C 上的点(),x y 关于x 轴的对称点(),x y −代入曲线C 方程可知C 正确； 由1sin 2PABSPA PB θ=⋅知当PA PB ⊥时，PAB 面积最大，验证可知曲线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，可知()max 12PAB S=，D 错误. 【详解】对于A ，将()0,0代入曲线C 方程，知方程成立，∴曲线C 过点()0,0，A 正确； 对于B ，(21x y y +≥=−（当且仅当0x =时取等号），1y =+（当且仅当0x =时取等号）， 2111y y y ≥−⋅+=−（当且仅当0x=时取等号），即211y −≤，2111y ∴−≤−≤，解得：y ≤即曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣，B 正确；对于C ，设曲线C 上任一点为(),x y ，则其关于x 轴对称的点为(),x y −， 1==，即点(),x y −也在曲线C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，C 正确； 对于D ，设APB θ∠=，则1sin 2PABSPA PB θ=⋅， P 为曲线C 上的点，1PA PB ∴⋅=，1sin 2PABSθ∴=， 则当sin 1θ=，即PA PB ⊥时，()max 12PABS=， 当PA PB ⊥时，设()00,P x y ，则220011x y ⎧+==，解得：0012x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即曲线C 上存在点P ，使得PA PB ⊥，()max 12PAB S ∴=，D 错误. 故选：ABC.17．（2021秋·江苏南通·具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率e =的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ） A ．椭圆2212x =是“黄金椭圆” B ．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，且满足2b ac =，则该椭圆为“黄金椭圆”C ．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，若90ABF ∠=︒，则该椭圆为“黄金椭圆”D ．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21211=⋅F F AF F B ，则该椭圆为“黄金椭圆” 【答案】ABC【分析】定义离心率12e =的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及c e a =、222a b c =+列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A ：由题意得21a =，22b =，故e ==2212x =是“黄金椭圆”，故A 正确； 对于B ：2b ac =，即22a c ac −=，故210e e +−=，解得e =e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B 正确；对于C ：由90ABF ∠=︒得22222()+=+++a c a b b c ，化简可知210e e +−=，解得12e =或e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C 正确；对于D ：由21211=⋅F F AF F B ，得2(2)()()=−+c a c a c ，则e =（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D 错误． 故选：ABC三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：()221224x y x x +=>−+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆C 关于x 轴对称②卵圆上不存在两点关于直线12x =对称 ③线段PO 长度的取值范围是[1,2] ④OAP △的面积最大值为1 【答案】①③④【分析】利用点(),x y 和(),x y −均满足方程，即可判断①；设()00,x y 和()001,x y −都在卵圆C 上，再解()22000200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩即可判断②；利用两点间的距离公式表示2OP ，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出OAP S △，然后利用导数研究其最值，即可判断④. 【详解】对于①，设(),x y 是卵圆C 上的任意一个点，因为()222212424y x x y x x −+=+=++，所以点(),x y −也在卵圆C 上，又点(),x y 和点(),x y −关于x 轴对称， 所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设()00,x y 在卵圆C 上，()00,x y 关于直线12x =对称的点()001,x y −也在卵圆C 上， 则()2200200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩，解得0010x y =−⎧⎨=⎩或0020x y =⎧⎨=⎩， 所以卵圆上存在()()1,0,2,0−两点关于直线12x =对称，故②错误； 对于③，由22124x y x +=+，得22124x y x =−+， 所以212x x ≤+，又2x >−，所以12x −≤≤，设点()[],,1,2P x y x ∈−，则2322222241422x x x OP x y x x x ⎛⎫−=+=+−=+ ⎪++⎝⎭， 令()[]()3224,1,22x x f x x x −=+∈−+，则()()()[]()2224,1,22x x x f x x x +−'=∈−+，令()0f x '=，则0x =或1−±，当10x −<<或12x −+<<时，()0f x ¢>，当01x <<−()0f x '<，所以函数()f x 在()()1,0,1−−上递增，在(0,1−上递减，又()()(()11,04,12624f f f f −==−=−=，且261−>，所以()()min max 1,4f x f x ==，即[]21,4OP ∈，所以[]1,2OP ∈，故③正确； 对于④，点()[],,1,2P x y x ∈−，1122OAPSOA y =⋅=⨯= 令()2,122x g x x x =−≤≤+，则()()()24,122x x g x x x +'=−≤≤+， 当10x −<<时，()0g x '<，当02x <<时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,0−上递减，在()0,2上递增， 所以()()min 00g x g ==，此时OAP △的面积取得最大值1，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，()1,0A −，()10B ,，若在曲线C 上存在一点P ，使得∠APB 为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①24x y =；②22132x y +=；③221x y −=；④()()22224x y −+−=；⑤344x y +=．【答案】①④⑤【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点P 的坐标为(),x y ， 若∠APB 为钝角，则1cos 0APB −<∠<， 所以0PA PB ⋅<，且,,A P B 不共线， 所以()()()()110x x y y −−−+−−<，且0y ≠， 化简可得221,0x y y +<≠，反之若221,0x y y +<≠，则∠APB 为钝角， 对于曲线24x y =，取曲线上的点11,216E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为221111,021616⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AEB ∠为钝角，故曲线24x y =为有“钝点”的曲线；对于曲线22132x y +=，若曲线上的点()11,F x y 为“钝点”，则2211132x y +=，221111,0x y y +<≠，所以21113x <−，矛盾所以曲线22132x y +=不是有“钝点”的曲线；对于曲线221x y −=，若曲线上点()22,G x y 为“钝点”，则22221x y −=，222221,0x y y +<≠，所以220y <，矛盾 所以曲线221x y −=不是有“钝点”的曲线；对于曲线()()22224x y −+−=，取曲线上的点(2M ，因为((2222121,20+=−<≠，所以AMB ∠为钝角，故曲线()()22224x y −+−=为有“钝点”的曲线； 对于曲线344x y +=，取曲线上的点()21,32N， 因为222111,0322⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ANB ∠为钝角，故曲线344x y +=为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 故答案为：①④⑤.20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日(),17461818Monge −发现：双曲线()2222:10x y a b a bΓ=>>−的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=−，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程为223x y +=，则=a ___________.【答案】2【分析】根据题意写出双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程，可得出关于a 的等式，即可求得正数a 的值.【详解】由双曲线()22210x y a a−=>的方程可得21b =，由蒙日圆的定义可得双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程223x y +=，所以223a b −=，即213a −=，可得2a =. 故答案为：2.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号) （1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； （2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3 （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面. 【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y −+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________. 【答案】34【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断PM 最小时cos θ最小，再设2,4a P a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得PM 最小值，即得结果.【详解】解：如图，2cos cos cos 212sin APB APM APM θ∠∠∠===−，要使cos θ最小，则1sin AM APM PMPM∠==最大，即需PM 最小.设2,4a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PM =∴当24a =，即2a =±时，min ||PM =1sin APM PM ∠==， 此时(1,2)P 或(1,2)−，22min 3(cos )12sin 124APM θ∠=−=−⨯=.故答案为：34.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将cos θ的最小值问题转化为线段PM 最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与原点О重合，称射线OM 与224x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”，曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【答案】83π 【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线2213x y −=的渐近线方程为：y = ，设渐近线与圆224x y +=的交点分别为,,,A C B D ,如下图则曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧,AB CD由题意6AOx π∠=，所以23AOB π∠=所以24233AB ππ=⨯=,则83AB CD π+= 故答案为：83π24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆C 的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆C '的长轴､短轴，使椭圆C 变换成椭圆C '，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆(0,1,2,)i C i =Λ“压缩”成椭圆1i C +，得到一系列椭圆123,,C C C ，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆0C 经过(3)n n ≥次“压缩”后能终止，则椭圆2n C −的离心率可能是①2，②5中的______.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②【解析】分类讨论，确定压缩数为2n −时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论. 【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−a ，半焦距为c ；压缩数为2n −a ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率==同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−c ，半焦距为a ；压缩数为2n −c ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率== 故答案为：①②.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点(2,0),(2,0)M N −,若直线上存在点P ,使得||||6PM PN +=,则该直线为“T 型直线”.给出下列直线,其中是“T 型直线”的是___________. ①2y x =+ ②3y = ③3y x =−+ ④132y x =+ 【答案】①③【分析】根据椭圆的定义将“T 型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其方程为22195x y +=，对于①中，直线2y x =+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2143690x x +−=，则236414(9)0∆=−⨯⨯−>，所以2y x =+是“T 型直线”；对于②中，把3y =代入22195x y +=，则29195x +=，此时无解，所以3y =不是“T 型直线”；对于③中，把直线3y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得21454360x x −+=，则254414360∆=−⨯⨯>，所以3y x =−+是“T 型直线”；对于④中，把直线132y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2291081440x x −+=，可得Δ0<，所以132y x =−+不是“T 型直线”，故答案为：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，(1,0)A −，(1,0)B ，若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x −=；④2231x y +=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号） 【答案】①③④【分析】设点(,)P x y ，曲线C 为“合作曲线”⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．解出即可判断出结论． 【详解】解：设点(,)P x y ，曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，∴合作曲线⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．①由2212x y +=，则满足存在点(,)x y 使得221x y +<，曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故1为合作曲线； ②令2(,1)P x x +，则222(1)1x x ++<，化为4230x x +<，此时无解，即不满足221x y +<，故2不为合作曲线；③由2221y x −=，可得a =，1b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故3为合作曲线；④由2231x y +=，可得：1a =，b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故4为合作曲线； ⑤因为直线圆心到直线24x y +=的距离1d =>，故曲线C 上不存在一点P 满足221x y +<，故5不为合作曲线；综上可得：“合作曲线”是①③④．故答案为：①③④27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.【答案】2210x y xy ++−=【分析】过点P 作 ,PA x PB y ⊥⊥， 设(,)P x y 在直角坐标下的坐标为 ()11,P x y ， 因为30,BON ON y ∠==，所以 1,2OB y BN y ==，即111,2y y x x y ==+， 因为()11,P x y 在单位圆上，所以22111x y +=，即221122y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2210x y xy ++−=.考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b −=>>为黄金双曲线.如图是双曲线22221(0,0,x y a b c a b −=>>=的图象，给出以下几个说法：①双曲线221=x 是黄金双曲线； ②若2b ac =，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0,b )，B 2(0,-b )且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON =90°，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为____________【答案】①②③④【分析】根据双曲线方程求离心率，或由已知条件及双曲线参数关系构造齐次方程求离心率，结合黄金双曲线的定义判断正确命题.【详解】①：双曲线的标准方程为221x =，则2221,a b c ===，故c e a ===，满足； ②：由2222010b ac c ac a e e =⇒−−=⇒−−=，可得e =e =（舍），故满足； ③：由11290F B A ∠=︒，则222112112B F A B F A +=，所以()()222222()c b a b a c b ac +++=+⇒=，由②可得。
