因子分析

因子分析一．因子分析原理因子分析是根据相关性大小把原始变量进行分组，使得同组内的变量之间相关性高，而不同组的变量之间的相关性低。

每组变量代表一个基本结构（即公共因子），并用一个不可观测的综合变量来表示。

对于所研究的某一具体问题，原始变量分解为两部分之和。

一部分是少数几个不可观测的公共因子的线性函数，另一部分是与公共因子无关的特殊因子。

从全部计算过程来看作R 型因子分析与作Q 型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R 型从相关系数矩阵出发，Q 型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定用哪一类型的因子分析因子模型的性质：模型不受变量量纲的影响；因子载荷不是唯一的。

二．因子分析的数学模型设有p 个指标，则因子分析数学模型为：11111221221122221122p p p pp p p pp p X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y X r Y r Y r Y=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 其中，12,,,p X X X 是已标准化的可观测的评价指标。

12,,,k F F F 出现在每个指标i X 的表达式中，称为公共因子，公共因子是不可观测的，其含义要根据具体问题来解释。

i ε是各个对应指标i X 所特有的因子，故称为特殊因子，它与公共因子之间彼此独立。

ij r 是指标i X 在公共因子j F 上的系数，称为因子载荷，因子载荷ij r 的统计含义是指标i X 在公共因子j F 上的相关系数，表示i X 与j F 线性相关程度。

用矩阵形式表示为：X AF ε=+其中12(,,,)p X X X X '=，12(,,,)k F F F F '=，12(,,,)p εεεε'=，111212122212m m p p pm r r r r r r A rr r ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 称为因子载荷矩阵。

其统计含义是：A 中的第i 行元素12,,,i i im r r r 说明了指标i X 依赖于各个公共因子的程度。

因子分析因子分析是指研究从变量群中提取共性因子的统计技术。

最早由英国心理学家C.E.斯皮尔曼提出。

他发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科成绩好的学生，往往其他各科成绩也比较好，从而推想是否存在某些潜在的共性因子，或称某些一般智力条件影响着学生的学习成绩。

因子分析可在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子。

将相同本质的变量归入一个因子，可减少变量的数目，还可检验变量间关系的假设。

1、探索性因子分析的方法约有10多种，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿尔发抽因法、拉奥典型抽因法等等。

这些方法本质上大都属近似方法，是以相关系数矩阵为基础的，所不同的是相关系数矩阵对角线上的值，采用不同的共同性□2估值。

在社会学研究中，因子分析常采用以主成分分析为基础的反覆法。

主成分分析为基础的反覆法主成分分析的目的与因子分析不同，它不是抽取变量群中的共性因子，而是将变量□1，□2，…,□□进行线性组合,成为互为正交的新变量□1，□2，…,□□，以确保新变量具有最大的方差：在求解中,正如因子分析一样,要用到相关系数矩阵或协方差矩阵。

其特征值□1，□2，…,□□,正是□1，□2,…，□□的方差，对应的标准化特征向量，正是方程中的系数□，□，…,□。

如果□1>□2,…,□□，则对应的□1，□2，…，□□分别称作第一主成分,第二主成分,……,直至第□主成分。

如果信息无需保留100%,则可依次保留一部分主成分□1，□2，…，□□(□<□)。

当根据主成分分析，决定保留□个主成分之后，接着求□个特征向量的行平方和，作为共同性□：□并将此值代替相关数矩阵对角线之值，形成约相关矩阵。

根据约相关系数矩阵，可进一步通过反复求特征值和特征向量方法确定因子数目和因子的系数。

因子旋转为了确定因子的实际内容,还须进一步旋转因子，使每一个变量尽量只负荷于一个因子之上。

这就是简单的结构准则。

常用的旋转有直角旋转法和斜角旋转法。

p ) 是可观测的随机向量，其均值为 ，协方差矩阵为 (ij ) T ，若X能表示为 X AF ，其中 F (F1, , Fm ) 称为X的公共因子（向量） (1, p )T 称为X的特殊因子（向量），它们满足 ，
应用举例
利用SPSS软件进行因子分析
从表3可以看出，第一个主因子在 X1、X8、X9上有较大载荷，因 此可以命名为盈利和现金获取能力 ；第二个因子主要由X6、X7、 X2、X5决定，可命名为成长因子 ；第三个因子主要由X3、X4决定 ，命名为偿债因子。 为了考查上市公司的竞争力状况， 并对其进行分析和综合评价，采用 回归方法求出因子得分矩阵，得到 3个主因子的得分F1,F2,F3，以 贡献率为权数，构建综合评价函数 综合得分 =(0.36064xF1+0.23066x F2+0.22132x F3)/0.81262 ，经计算得到样本17家上市公司 的综合因子总得分。（见表4）
谢
谢
因子模型的参数估计
因子载荷矩阵 A (aij ) pm 与特殊因子方差 i2 （i=1,...,p）的估计， 常采用的估计方法有以下三种：主成分法、主因子解和最大似然法。 主成分法： A ( l , , l ), 1 1 m m m 2 2 i 1, , p. i sii aij , j 1
Fj b j 0 b j1 X1 b jp X p , j 1, , m
^
F A' R 1 X
其中R是X的相关系数矩阵。 最后以每个公共因子的贡献率来求出各因子权重，求得综合得分。
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因子分析与主成分分析的异同比较
相同点：主成分分析法和因子分析法都是从变量的方差-协 方差结构入手，在尽可能多的保留原始信息的基础上，用 少数新变量来解释原始变量的多元统计分析方法。 区别：因子分析是把变量表示成各公因子的线性组合；而 主成分分析中则是把主成分表示成各变量的线性组合。主 成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分； 因子个数需要分析者指定，指定的因子数量不同而结果也 不同。主成分分析重点在于解释个变量的总方差；因子分 析则把重点放在解释各变量之间的协方差。主成分分析法 是求出少数几个主成分，使它们尽可能多的保留原始变量 的信息；因子分析法是对原始变量进行分解，用最少个数 的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描 述原来观测的每一分量。

因子分析法因子分析法，又称因子分析，是在描述、预测和理解给定的研究结果时一种常用的统计分析方法。

它可用于探索数据中潜在的因素结构，以及找出影响解释变量的最重要的驱动因子。

因子分析涉及多个变量，可以将数据中的噪声减少到最小，并对变量之间的关系进行建模以实现最佳假设。

因子分析的主要目的是通过分析变量之间的关系，将多个变量组合起来，形成一个有意义的因子结构，有助于来源于同一个因素的变量聚为一类。

因子分析还可以用于验证现有的统计模型，检测数据中是否存在偏差，以及主成分分析中用于减少变量数量。

因子分析通常需要经历四个步骤：实验设计、数据处理、因子分析以及结果分析和解释。

实验设计阶段，研究者需要收集所需要的数据，如变量的定义、变量的数量、测量方式等；数据处理阶段，一般包括数据属性的编码、检查缺失值以及数据的标准化；在因子分析阶段，研究者需要指定假设的因子个数，并根据特定的方法进行变量的讯析；最后，研究者可以检查因子提取结果，并通过模态图和层次图等绘图方法对因子分析结果进行可视化，以更好地理解研究的解释变量。

因子分析的优点在于，它是一种基于模型的统计分析方法，它可以通过分析变量之间的关系来减少数据中的噪声，以提高分析的准确性。

另外，因子分析可以从复杂的数据中提取出重要的因素，以便进行有用的模型建构。

然而，因子分析也存在一些缺点。

由于因子分析假设只有有限数量的因子导致了变量，因此不能解释所有变量之间的关系。

此外，因子分析受到偏差和方差的影响，某些变量可能被忽略了，而有些因素可能被过分重视。

总而言之，因子分析方法是一种有效的研究工具，可用于简化复杂的数据，探索数据中潜在的因素结构，以及验证和解释研究结果。

因此，有效的因子分析有助于研究者更好地理解数据，并得出合理的结论。