不等关系与不等式PPT课件

a a－ b a (2)当 a＝b 时， ＝1，a－b＝0，∴ ＝1， b b
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
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自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
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【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
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【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．

第29讲 │ 要点探究
(1)＞ (2)＞ [解答] (1)解法一： (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 解法二：∵x<y<0， ∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0，xy>0. ∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， (x2＋y2)(x－y) x2＋y2 ∴0< 2 2 ＝ 2 2 <1， (x －y )(x＋y) x ＋y ＋2xy ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
2 x3 x ＋ － [解析] 设 4 ＝(xy2)m( y )n＝xm 2ny2m n，由此得 m＋2n＝3, y
第29讲 │ 不等关系与不等式
第29讲
不等关系与不等式
第29讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a、b∈R，则 a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔________. a－b＜0 a a (2)商值比较原理： 设 a、 b∈R＋， 则b＞1⇔a＞b， b＝1⇔ a a＝b，b＜1⇔______. a＜b
第29讲 │ 要点探究
1 设 a∈R，且 a≠0，试比较 a 与a的大小． 1 (a－1)(a＋1) [解答] 由 a－a＝ . a 1 当 a＝± 1 时，a＝a； 1 当－1<a<0 或 a>1 时，a>a； 1 当 a<－1 或 0<a<1 时，a<a.

x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)

i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )