2020年安徽合肥理科数学二模试卷(含答案)

数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案。

【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题。

2．若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出集合，然后与集合取交集即可。

【详解】由题意，，，则，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题。

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C4．在中，，则（）A．B．C．D．【答案】B5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比净利润占比则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B6．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．函数的周期是C．函数在上单调递增D．函数在上最大值是1【答案】C7．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（）A．B．C．D．【答案】D8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务；任务、任务不能相邻.则不同的执行方案共有（）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B9．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A10．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。

2020年安徽省合肥市包河区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1.下列四个数中，最小的是（）A. -2B. ∣-4∣C. -（-1）D. 0【答案】A【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0，②负数都小于0，③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小，据此即可求解．【详解】解：根据有理数大小比较的法法，可得：-2＜0＜-（-1）＜∣-4∣∴最小的是-2．故选：A．【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的法则．2.下列运算正确的是（）A. a3•a4=a12B. （a-b）2=a2-b2C. a10÷a5=a2D. （-2ab2）3=-8a3b6【答案】D【解析】【分析】分别按照同底数幂的乘法、完全平方公式、同底数幂的除法、和积的乘方的运算进行计算分析即可．【详解】解：A、a3•a4=a7，故A不正确；B、（a-b）2=a2-2ab+b2，故B不正确；C、a10÷a5=a5，故C不正确；D、（-2ab2）3=（-2）3a3（b2）3=-8a3b6，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、完全平方公式和积的乘方等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3.今年以来，“新型冠状肺炎”流行，这种病毒的直径大约为150纳米，1纳米＝0．000000001米＝10-9米，把150纳米用科学记数法表示正确的是（）A. 1.5×10-2米B. 1.5×10-7米C. 1.5×10-9米D. 1.5×10-11米【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：150纳米=150×0.000000001米=1.5×10-7米．故选：B.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.如图，由6个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（）A. 主视图和左视图面积相等B. 主视图和俯视图面积相等C. 俯视图和左视图面积相等D. 俯视图面积最大【答案】B【解析】【分析】画出三视图，通过比较三个视图的面积即可得出答案．【详解】解：这个几何体的三视图如图所示：因此，主视图与俯视图的面积相等，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于常考题型，熟练掌握三视图的定义和画法是解题的关键．5.如图，AB∥CD，DF是∠BDC的平分线，若∠ABD=118°，则∠1的度数为（）A. 40°B. 35°C. 31°D. 29°【答案】C【解析】【分析】由AB∥CD，其性质得∠ABD+∠BDC=180°，∠1=∠FDC；DF是∠BDC的平分线得∠FDC=12∠BDC，计算得∠1=31°．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，又∵∠ABD=118°，∴∠BDC=62°，又∵DF是∠BDC的平分线，∴∠FDC=12∠BDC=31°，又∵AB∥CD，∴∠1=∠FDC=31°，故选：C．【点睛】本题综合考查平行线的性质，角平线的性质，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的性质6.不等式组2632154x xx x-<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】 【分析】解得将不等式组的解集为-613x <≤，再根据用数轴表示解集即可解得本题. 【详解】∵263x x -<，解得：6x >-； ∵21054x x +-⎧-≥⎨⎩，解得：13x ≤；∴不等式组的解集是：-613x <≤ 故选B.【点睛】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示解集，解本题的关键是不等式解集中是否可取等于在数轴上的不同表示.7.下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. ()2211x x -=- B. ()32222a a a aa -+=-C. ()22422y y y y -+=-+D. ()2221m n mn n n m -+=-【答案】D 【解析】 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可． 【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()23221a a a a a -+=-，故此选项错误； C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确． 故选D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．8.方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是：5只麻雀和6只燕子一共重16两，每只麻雀比每只燕子重，如果将麻雀和燕子互换1只．则它们的重量相等，求每只麻雀和每只燕子各多少两？如果设每只麻雀重x 两，每只燕子重y 两，以下方程组正确的是（ ）A.561665x yx y+=⎧⎨=⎩B.561645x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C.561665x yy x+=⎧⎨=⎩D.561656x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩【答案】B【解析】【分析】设每只麻雀重x两，每只燕子重y两，根据5只麻雀和6只燕子一共重16两，每只麻雀比每只燕子重，如果将麻雀和燕子互换1只，则它们的重量相等，列方程组即可．【详解】解：设每只麻雀重x两，每只燕子重y两，由题意得：5616 45x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩故选：B【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，找到合适的等量关系．9.甲、乙、丙进入了“中国主持人大赛”的东南区预选赛的决赛，他们三人擅长主持的节目分别是A、B、C．现将标有A、B、C的三个标签的球放入不透明的盒子中，让三位选手随机摸取一球，以确定比赛时的节目．则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是（）A. 13B.12C.16D.19【答案】C【解析】【分析】据题意列出图表得出所有等情况数，找出三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的有2种，则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是21 126=；故选：C．【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（）A. 2B. 325 D.95【答案】A【解析】【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得DE DMDF CD=，进而得出DE DFDF CD=，再根据比例的性质解答即可．【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴DF DG CH GH=，∵DM∥BH，∴△DMG∽△HBG，∴DM DG BH GH=，∵CH=BH，∴DF=DM，又∵矩形,ABCD90, CDF EDM∴∠=∠=︒90,BGC ∠=︒ 90,CGE ∴∠=︒ ,CEG MED ∠=∠ ,FCD M ∴∠=∠ ∴ △MDE ∽△CDF ，∴,DE DMDF CD = ∴,DE DFDF CD= ∴2144,DF DE CD =•=⨯= ∴DF ＝42=． 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共4小题）11.35________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据被开方数的取值范围求出二次根式的取值范围即可判断． 【详解】解：∵25＜35＜36 253536∴535 6 ∵36比25更接近35， 356．故答案为：6．【点睛】此题考查的估算无理数的大小，利用夹逼法求出二次根式的取值范围是解决此题的关键． 12.一次函数y 1=mx ＋n (m ≠0)的图象与双曲线2(0)ky k x=≠相交于A (-1，2)和B (2，b )两点，则不等式kmx n x≥+的解集是________ 【答案】10x -≤<或2x ≥ 【解析】 【分析】把点A 、B 的坐标分别代入反比例函数解析式求得k 、b 的值，然后分别画出一次函数与反比例函数的图象，找出直线没有落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵A (-1，2)和B (2，b )在双曲线2(0)ky k x=≠上， ∴122k b =-⨯=， 解得b =-1． ∴B (2，-1)．由图可知，当10x -≤<或2x ≥时，直线没有落在双曲线上方，即不等式kmx n x≥+的解集是10x -≤<或2x ≥． 故答案为：10x -≤<或2x ≥．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想． 13.如图，AB 是⊙O 切线，切点为A ，OB 与⊙O 交于E ，C 、D 是圆上的两点，且CA 平分∠DCE ，若AB ＝3B ＝30°，则DE 的长是_____．【答案】23【解析】【分析】连接OA，交DE于点F，如图，根据切线的性质和解直角三角形的知识可求出圆的半径，根据角平分线的定义和垂径定理的推论可得OA⊥DE，进而可得DE∥AB，DE＝2EF，然后解直角△OEF即可求出EF的长，从而可得答案．【详解】解：连接OA，交DE于点F，如图，∵AB是⊙O切线，∴∠BAO＝90°，∵∠B＝30°，AB＝23，∴AO＝OE＝33AB＝33×23＝2，∵CA平分∠DCE，∴∠DCA＝∠ECA，∴AD AE=，∴OA⊥DE，∴DE∥AB，DE＝2EF，∴∠OEF＝∠B＝30°，∴EF＝33 2=∴DE＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B'处．以下结论正确的有________①当AB'⊥AC时，AB'的长为2；②当点P位于AB中点时，四边形ACPB'为菱形；③当∠B'PA=30°时，12 APPB=；④当CP⊥AB时，AP：AB'：BP=1：2：3．【答案】①②④【解析】【分析】由折叠性质及直角三角形的性质对结论一一判断即可．【详解】解：①AC=1，∠B=30°可知3，由翻折可知：3因为AB'⊥AC，由勾股定理可知：22'CB AC-2，正确．②当点P位于AB中点时，CP=PB=PA=AC=PB′，∠B'PA=PAC=60°，PB'∥AC，所以四边形ACPB'是平行四边形，又PC=AC，所以四边形ACPB'是菱形，正确．③当∠B'PA=30°时，可知四边形BCB′P 是菱形，；，12AP PB =成立，故不正确． ④当CP ⊥AB 时，∠B'=∠B'CA=30°，AC=AB'，∠ACP=∠B=30°，设AP=a ，则AB'=AC=2a ；AB=4a ，PB=3a ；所以：AP ：AB'：BP=a ：2a ：3a=1：2：3，正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．三．解答题（共9小题）15.先化简：221(1)x x x x x-+--，再请从1、0、2、-1四个数中选择一个你认为合适的数代入来求值． 【答案】原式21x x =-，1x =-时，原式12=；2x =时，原式12= 【解析】【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后从1、0、2、-1四个数中选择一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式2(1)1(1)x x x x x-+=-- 11x x x x+=-- ()221(1)x x x x --=-21x x =- 因为1x ≠和0所以当选1x =-时，原式211(1)(1)2==---； 选2x =时，原式211222==- 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16.某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．【答案】5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是32%．【解析】【分析】根据增长后的游客人数=增长前的游客人数×（1+增长率），设5月、6月游客人数的平均增长率是x ，根据今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，据此即可列方程解出即可．【详解】解：设5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是x ，根据题意得2(144%)(121%)(1)x ++=+，解得10.3232%x ==，1 2.32x =-（舍去）．答：5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是32%．【点睛】考查了一元二次方程的应用．若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）=a （1±x ）2．增长用“+”，下降用“-”．17.观察以下等式：第1个等式：23-22=13＋2×1＋1； 第2个等式：33-32=23＋3×2＋22； 第3个等式：43-42=33＋4×3＋32； ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；（2）先归纳总结出一般规律，得出第n 个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证．【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为3232554544-=+⨯+故答案为：3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明如下：等式的左边[]3222(1)(1)(1)(1)1(1)n n n n n n =+-+=++-=+ 等式的右边()32222(1)(1)21(1)n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++=+++=++=+⎣⎦则等式的左边=等式的右边所以等式成立．【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD （顶点为网格线的交点）．（1）画出四边形ABCD 关于x 轴成轴对称的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）以O 为位似中心，在第三象限画出四边形ABCD 的位似四边形A 2B 2C 2D 2，且位似比为1；（3）在第一象限内找出格点P ，使∠DCP=∠CDP ，并写出点P 的坐标（写出一个即可）．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）点P （5，3）或（2，2）【解析】【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 、D 关于x 轴对称点，顺次连接即可；（2）利用位似图形的性质，延长AO 到A2，使AO=OA2，同理分别作出B 、C 、D 的对应点，顺次连接即可；（3）由∠DCP=∠CDP 得PC=PD ，即点P 在线段CD 的垂直平分线上，即可找到符合条件的点P ．【详解】（1）如图所示，四边形A 1B 1C 1D 1就是所求作的图形；（2）如图所示，四边形A 2B 2C 2D 2就是所求作的图形；（3）由图可知，点(5,3)P或(2,2).【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、作图-位似变换、网格中符合条件点的坐标，熟练掌握符合要求的作图方法是解答的关键．19.如图，某水产养殖户开发一个三角形状的养殖区域，A、B、C三点的位置如图所示．已知∠CAB=105°，∠B=45°，AB=1002米．（参考数据：2≈1．41，3≈1．73，sin20°≈0．34，cos20°≈0．94，tan20°≈0．36，结果保留整数）（1）求养殖区域△ABC面积；（2）养殖户计划在边BC上选一点D，修建垂钓栈道AD，测得∠CAD=40°，求垂钓栈道AD的长．【答案】（1）养殖区域ABC∆的面积约为13650平方米；（2）垂钓栈道AD的长约为106米．【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据含30度角、45度角的直角三角形的性质即可求出答案．（2）由（1）可知：AH=100，因为∠CAD=40°，所以∠DAH=20°，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过A作AH BC⊥于H．（1）在Rt ABH ∆中，∵45B ∠=︒,∴45BAH ∠=︒.∵105BAC ∠=︒,∴60CAH ∠=︒.∴100AH =（米）,∴100BH =（米）.在Rt ACH ∆中，1801054530C ∠=︒-︒-︒=︒, ∵tan AH C CH ∠=.∴10033CH ==. ∴1100100(31)136502⨯⨯+≈（平方米）. （2）∵40CAD ∠=︒,∴604020DAH ∠=︒-︒=︒, 在Rt ADH ∆中,∵cos AH DAH AD ∠=, ∴100106cos 200.94AH AD ==≈︒（米）. 答：养殖区域ABC ∆的面积约为13650平方米，垂钓栈道AD 的长约为106米．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 20.已知，如图，点P 是平行四边形ABCD 外一点，PE ∥AB 交BC 于点E ．PA 、PD 分别交BC 于点M 、N ，点M 是BE 的中点．（1）求证：CN=EN ；（2）若平行四边形ABCD 的面积为12，求△PMN 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）3PMN S ∆=【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM=∠EPM ，根据线段中点的定义得到BM=EM ，根据全等三角形的性质得到AB=PE ，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；（2）过P 作PH ⊥AD 于H ，交BC 于G ，根据全等三角形的性质得到AM=PM ，根据平行线等分线段定理得到AG=HG=12PH ，根据平行四边形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）连接DE,PC.∵PE ∥AB ，∴∠BAM=∠EPM ，∵∠AMB=∠PME ，∵点M 是BE 的中点，∴BM=EM ，∴△ABM ≌△PEM （AAS ），∴AB=PE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴PE ∥CD ，PE=CD ，∴四边形PEDC 是平行四边形，∴EN=CN ；（2）过P 作PH ⊥AD 于H ，交BC 于G ，由（1）知，△ABM ≌△PEM ，∴AM=PM ，∵AD ∥BC ，∴AG=HG=12PH ， ∵BM=EM ，EN=CN ，∴MN=12BC=12AD ， ∵平行四边形ABCD 的面积为12，∴AD•PH=24，∴△PMN的面积=12MN•PG=12×12AD×12PH=18AD•PH=18×24=3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．21.王老师从本校九年级质量检测的成绩中随机地抽取一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表1，又按分数段绘制成绩分布表，如表2．表1表2分数段为90≤x≤100n个人中，其成绩的中位数是95分．根据以上信息回答下面问题：（1）王老师抽查了多少人？m、n的值分别是多少；（2）小明在此考试中得了95分，他说自己在这些考试中数学成绩是A等级，他说对吗？为什么？（3）若此次测试数学学科普高的预测线是70分，该校九年级有900名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？【答案】（1）50人，12,11m n ==；（2）正确，理由见解析；（3）630人【解析】【分析】（1）根据小于60的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以小于80的人数所占的百分比求出小于80的人数，再减去小于70的人数，求出m ，再用总人数减去小于90 的人数，求出n 即可；（2）先求出A 等级的人数，再根据在分数段为90≤x ≤100的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对；（3）用总人数乘以数学学科普高的预测线的人数所占的百分比即可．【详解】解：（1）王老师抽查的人数是：5÷10%＝50（人），小于80的人数有：50×（44%+10%）＝27（人），m ＝27﹣5﹣10＝12（人），n ＝50﹣5﹣10﹣12﹣12＝11（人），（2）A 等级的人数有：50×12%＝6（人），∵在11人中，成绩的中位数是95分，A 等级有6人，∴小明的数学成绩是A 等级，他说的正确；（3）根据题意得： 900×12121150++＝630（人）， 答：数学学科达到普高预测线的学生约有630人．【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22.已知OA 是⊙O 的半径，OA=1，点P 是OA 上一动点，过P 作弦BC ⊥OA ，连接AB 、AC ．（1）如图1，若P 为OA 中点，则AC=______，∠ACB=_______°；（2）如图2，若移动点P ，使AB 、CO 的延长线交于点D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．△AOD的面积为S 3，且满足1223S S S S =，求OP AP 的值．【答案】（1）1，30；（2）55OP AP =． 【解析】【分析】（1）证得△AOC 为等边三角形，得出AC ＝1，∠ACO ＝60°，可求出答案；（2）若DC 与圆O 相交于点E ，连接BE ，证明△ABO ≌△ACO （SSS ），得出S △ABO ＝S △ACO ＝S 1，由题意得出(12S S )2＋12S S −1＝0，解得：12S S ＝-15±，求出AD BD ，证明△AOD ∽△BED ，得出AO AD BE BD ==1+5，得出OP ＝12BE ，则可求出答案． 【详解】解：（1）∵BC ⊥OA ，OB=OC ，∴BP=CP ，∵P 是OA 的中点，∴OP=AP ，∴OA 垂直平分BC ，且BC 垂直平分OA ，∴四边形ABOC 是菱形，∴AC=OC=OA=1，BC 平分∠ACO ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO=60°，∴∠ACB=12∠ACO=30°， 故答案为：1，30；（2）连接BE ，∵BC OA ⊥∴PB PC =，∴AB AC =，∵OB OC =，AO=AO ，∴ABO ACO ∆∆≌，∴1ABO ACO S S S ∆∆==，∴123S S S +=， ∵1223S S S S =， ∴12212S S S S S =+， ∴2211220S S S S +-=， ∴2112210S S S S ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12S S =，12S S =，∴AB BD =，即AD BD =， ∵CE 为直径，∴90CBE ∠=︒，∴//AO BE ，∴AOD BED ∆∆∽∴12AO AD BE BD ==， ∵OE OC = ∴12OP BE =，∴122AO OP =，∴11AO OP =，∴AP OP =∴55OP AP =． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握方程思想是解题的关键．23.已知：二次函数y=x 2-2mx-m 2＋4m-2的对称轴为l ，抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）判断抛物线与x 轴的交点情况；（2）如图1，当m=1时，点P 为第一象限内抛物线上一点，且△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，直线14y mx =和抛物线交于点A 、B 两点，与l 交于点M ，且MO=MB ，点Q （x 0，y 0）在抛物线上，当m ＞1时，200126h my my +≤--时，求h 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）点P 的坐标为(21)，或3535++⎝⎭，或353522⎛-- ⎝⎭，；（3）h 最大值为4．【解析】【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，求出△=8（m-1）2，即可得出结论；（2）先求出点C ，D 坐标，再分两种情况，判断出点P 是CD 的中垂线或CP 的中垂线，即可得出结论； （3）利用点M 在抛物线对称轴上，和MO=BM 表示出点B 坐标，代入抛物线解析式中，求出m ，进而得出抛物线解析式，再得出()2220000061221212236my my y y y ---=---=-++，即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于二次函数y=x 2-2mx-m 2+4m-2，令y=0，则x 2-2mx-m 2+4m-2=0，∴()222(2)4428(1)m m m m ∆=---+-=-不论m 取何值，28(1)0m -≥∴抛物线与x 轴至少有一个交点（或一定有交点）．（2）当1m =时，2221(1)y x x x =-+=-∴点(0,1)C 、点(1,0)D当DP DC =时，可知点P 与点C 关于l 对称，∴点P 坐标为(2,1)当PD PC =时，点P 在CD 的垂直平分线上∵1OC OD ==∴点P 在直线y x =上∴2(1)x x =-解得32x ±=∴点P 坐标为3322⎛ ⎝⎭和33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．综上，点P 的坐标为(2,1)或⎝⎭或⎝⎭． （3）当1m 时，∵OM MB = ∴点B 的横坐标为2m ，则纵坐标2242m m y m =⋅= 点22,2m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把点22,2m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线得：222244422m m m m m --+-= 解得12m =，223m =（舍去）当2m =时，2(2)2y x =-- 因为点()00,Q x y 在抛物线上，∴02y ≥-由题意知()2220000061221212236h my my y y y ≤---=---=-++ ∵20-<∴当03y >-时，h 随0y 的增大而减小，∴当02y =-时，代数式()20236y -++有最大值4，∴h 最大值为4．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点个数的判断，等腰三角形的性质，中垂线，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。

合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2230A x x x =--≤，{}22x B x =≥，则A B =A.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.13 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.[]2 3， 2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =2323.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是 A.-5 B.-4 C.7 D.164.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数)，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是A.y ex e =-+B.y ex e =+C.y ex e =-D.1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭5.若cos803tan101m +=，则m =A.4B.2C.-2D.-46.已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点( 06π，)成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C.函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到D.函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等得abd a b=+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b+≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a b a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，扶贫项目 A B C 选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁择，则不同的选法种数有A.24种B.16种C.10种D.8种9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3，0)的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=，则FA FB ⋅=A.-9B.-11C.-12D.2311.若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A.(]2ln 3 2ln 2--，B.() 2ln 2-∞-，C.(] 2ln 3-∞-，D.() 2ln 3-∞-， 12.在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，345AB AC BC =∶∶∶∶，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ= A.14B.2C.3D.4第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.若向量a 和b 满足22a a b =-=，1a b -=，则a b ⋅= .14.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于 . 15.已知双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为 .16.已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：(1)C = ；(2)tan tan AB= .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；⑵若数列{}n c 满足()cos n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18.(本小题满分12分)在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，BC CE EF FD ===，如图(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图(2).⑴试判断图(2)中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由； ⑵求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，点P (1，32)在直线l 的左上方．⑴若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；⑵求证：PAB ∆内切圆的圆心在定直线1x =上.20.(本小题满分12分)某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造.由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.市场销售状态畅销 平销 滞销 市场销售状态概率(01p <<) 2p13p -p预期平均年利润 (单位：万元)方案A 700 400 -400 方案B600300-100⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为x (万件)，通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y (万元)为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y (万元)为32213201003y x x x =-++.已知0.2p =，20x ≤，若按(1)的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t (元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当x 取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.21.(本小题满分12分)已知函数()sin x f x e x =.(e 是自然对数的底数) (1)求()f x 的单调递减区间；(2)记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0，π)上的零点个数.(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2，0)，求MP MQ +的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为(32n ，). (1)求n 的值；(2)若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π，51-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩.解得112a =，12d =，所以2n n a =. ∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.∴2n n b =. ………………………………5分(2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n n n n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212n nnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅()()()141444145nn +---+-==-+. ………………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)//CD AB .理由如下： 连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥. 由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直. 以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBCADABDACD∴FD =(1，0，1)，FE AP ==(-1，1，0). 设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩.令1x =，则11y z ==-，，∴m =(1，1，-1).由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =(0，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则3cos cos m n m n m nθ⋅=<>==⋅，， ∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………12分19.(本小题满分12分) 解:(1)设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<. 若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113mm m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤.()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤. ∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分(2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--，∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-. ………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0，10)上单调递增，在(]10 20，上单调递减， ∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值， 此时()()max 10423.3f x f =≈(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x x f x e x x e x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈). ∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈). ………………………………5分(2)由已知()sin xg x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图，∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=，∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，ξ160x y -13604x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()160x x y --p0.4 0.40.2∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()0x π，上单调递减. ∵()00g =，∴()00g x >.又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=，且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增.∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 230ρθρθ+-=，∴直线l 3230x y +-=. ………………………………5分(2)设直线l 的参数方程为1223x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()21212123630243649MP MQ t t t t t t +=-+-=+………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =. 由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………5分 (2)由(1)知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c +++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c +++++≥成立. ………………………………10分。

2020年二模理科试题年二模理科试题第1页 共9页 合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科理科) )(考试时间：考试时间：120120分钟 满分：满分：150150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.若集合若集合{}2230A x x x =--≤，{}22x B x =≥，则A B =IA.1 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.13 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.[]2 3， 2.2.欧拉公式欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π+⋅=，则z =A.1B.22C.32D.23.3.若实数若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，，，则2z x y =-的最小值是的最小值是A.-5B.-4C.7D.164.4.已知已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数是自然对数的底数))，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是处的切线方程是A.y ex e =-+B.y ex e =+C.y ex e =-D.1122y e x e e e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭5.5.若若cos803tan101m +=o o，则m =A.4B.2C.-2D.-46.6.已知函数已知函数()()tan f x x ωϕ=+(0 02πωϕ><<，)的图象关于点的图象关于点(( 06π，)成中心对称，且与直线y a =的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是，则下列叙述正确的是A.A.函数函数()f x 的最小正周期为πB.B.函数函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈C.C.函数函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6π得到得到D.D.函数函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k Z ∈7.7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图11，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青朱、青).).).将三种颜色的图形进行重组，得到如图将三种颜色的图形进行重组，得到如图将三种颜色的图形进行重组，得到如图22所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.3.设设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是，则下列推理正确的是①由图1和图2面积相等得abd a b=+；②由AE AF ≥可得22+22a b a b +≥； ③由AD AE ≥可得22+2112a ba b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.A.①②③④①②③④①②③④B. B.①②④①②④C. C.②③④②③④D. D.①③①③8.8.为了实施为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A B C ，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶丁四个贫困户进行产业帮扶..经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A B C ，，三个扶贫项目的意向如下表：三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目扶贫项目 A B C 选择意向贫困户选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁甲、乙、丙甲、乙、丙丙、丁丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有择，则不同的选法种数有A.24种B.16种C.10种D.8种9.9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于A.24πB.()1833π+C.21πD.()1842π+ 10.10.已知抛物线已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点D (3(3，，0)0)的直线的直线l 交抛物线C 于点A B ，，若13FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅=u u u r u u u rA.-9B.-11C.-12D.2311.11.若关于若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是的取值范围是A.(]2ln 3 2ln 2--，B.() 2ln 2-∞-，C.(] 2ln 3-∞-，D.() 2ln 3-∞-， 12.12.在三棱锥在三棱锥P ABC -中，二面角P AB C --、P AC B --和P BC A --的大小均等于3π，345AB AC BC =∶∶∶∶，设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，直线PO 与平面ABC 交于点Q ，则POOQ= A.14B.2C.3第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.13.13.若向量若向量a r 和b r 满足22a a b =-=r r r ，1a b -=r r ，则a b ⋅=r r . 14.14.三人制足球三人制足球(也称为笼式足球也称为笼式足球))以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者..在某次三人制足球传球训练中，A 队有甲、乙、丙三名队员参加丙三名队员参加..甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人一个人..若由甲开始发球(记为第一次传球记为第一次传球))，则第4次传球后．，球仍回到甲的概率等于，球仍回到甲的概率等于 . . 15.15.已知双曲线已知双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若BPF ∆周长的最小值等于实轴长的周长的最小值等于实轴长的44倍，则双曲线C 的渐近线方程为的渐近线方程为 . .16.16.已知已知ABC ∆三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，()sin B A -，sin A ，sin C 成等差数列，则：成等差数列，则：(1)(1)C = ；(2)tan tanA B = .三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(17.(本小题满分本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21a =，714S =，数列{}n b 满足221232n n n b b b b +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的通项公式；⑵若数列{}n c 满足()cos n n n c b a π=，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18.(18.(本小题满分本小题满分12分) 在矩形ABCD 中，E F ，在边CD 上，BC CE EF FD ===，如图如图(1).(1).沿BE AF ，将CBE ∆和DAF ∆折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，如图垂直，如图(2). (2).⑴试判断图⑴试判断图(2)(2)(2)中直线中直线CD 与AB 的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；⑵求平面ADF 和平面DEF 所成锐角二面角的余弦值所成锐角二面角的余弦值. .19.(19.(本小题满分本小题满分12分) 已知椭圆C 的方程为22143x y +=，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，点P (1(1，，32)在直线l 的左上方．的左上方．⑴若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，求此时直线l 的方程；的方程； ⑵求证：PAB ∆内切圆的圆心在定直线1x =上.20.(20.(本小题满分本小题满分12分) 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A 是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B 是对原有生产线进行技术改造是对原有生产线进行技术改造..由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化发生变化..该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表:市场销售状态市场销售状态畅销畅销 平销平销 滞销滞销 市场销售状态概率市场销售状态概率((01p <<) 2p13p -p预期平均年利润预期平均年利润(单位：万元单位：万元) )方案A700 400 -400方案B 600 300 -100 ⑴以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为x (万件万件))，通过核算，实行方案A 时新产品的年度总成本1y (万元万元))为32128101603y x x x =-++，实行方案B 时新产品的年度总成本2y (万元万元))为32213201003y x x x =-++已知0.2p =，20x ≤，若按若按(1)(1)(1)的标准选择方案，的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t (元)分别为60，3604x -，60x -，且生产的新产品当年都能卖出去且生产的新产品当年都能卖出去..试问：当x取何值时，新产品年利润ξ的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.21.(21.(本小题满分本小题满分12分) 已知函数()sin x f x ex =.(e 是自然对数的底数是自然对数的底数))(1)(1)求求()f x 的单调递减区间；的单调递减区间；(2)(2)记记()()g x f x ax =-，若03a <<，试讨论()g x 在(0(0，，π)上的零点个数上的零点个数..(参考数据：2 4.8e π≈)请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(22.(本小题满分本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩(ϕ为参数为参数)).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)(1)写出曲线写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；的直角坐标方程； (2)(2)若直线若直线l 与曲线C 交于P Q ，两点，M (2(2，，0)0)，求，求MP MQ +的值的值. .23.(23.(本小题满分本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知不等式|1||35|x x m -+-<的解集为的解集为((32n ，). (1)(1)求求n 的值；的值；(2)(2)若三个正实数若三个正实数a b c ，，满足a b c m ++=.证明：2222222b c c a a b a b c+++++≥.合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题届高三第二次教学质量检测数学试题((理科理科) )参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.3815.2y x =± 16.2π，512-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(17.(本小题满分本小题满分12分) 解：解：(1)(1)(1)设设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩. 解得112a =，12d =，所以2n n a =.∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)， 两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式适合上式. .∴2nn b =. ………………………………………………………………55分(2)(2)∵∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n nn n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 22212nnnn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅L()()()141444145n n +---+-==-+. ………………………………………………………………1212分18.(18.(本小题满分本小题满分12分) 解：解：(1)(1)//CD AB .理由如下：理由如下： 连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图由图(1)(1)(1)可得，可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图，如图. .∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . 又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点，的中点， ∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………………………………………55分 (2)(2)在在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图由图(1)(1)(1)可得，可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点，∴MP MA ⊥. 由(1)(1)知，知，MD ⊥平面ABEF ，∴M A M P M D ，，两两垂直两两垂直. . 以M 点为坐标原点，直线M A M P M D ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图，如图. . 设2AF =，则D (0(0，，0，1)1)，，A (1(1，，0，0)0)，，P (0(0，，1，0)0)，，F (-1(-1，，0，0)0)，，题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 ABBCADABDACD∴FD =u u u r (1(1，，0，1)1)，，FE AP ==u u u r u u u r(-1(-1，，1，0). 设平面DFE 的一个法向量为()m x y z =u r ，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩. 令1x =，则11y z ==-，，∴m =u r(1(1，，1，-1). 由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =r(0(0，，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则，则3cos cos 3m n m n m n θ⋅=<>==⋅r r u r r r r ，， ∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………………………………………1212分19.(19.(本小题满分本小题满分12分) 解:(1):(1)设直线设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，).由2214312x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (31 2，)在直线l 的左上方，∴21m -<<.若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=u u u u r u u u u r，即()()1122110x y x y --⋅--=，，， 化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍).∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………………………………………55分(2)(2)∵∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113m m m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上. ……………………………………………………1212分20.(20.(本小题满分本小题满分12分) 解:(1):(1)∵∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤. ()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+， ()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E AE B p <⇒<≤.∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . …………………………………………………………55分 (2)(2)因为因为=0.2p ，根据，根据(1)(1)(1)的结果，应选择方案的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++.设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--， ∴ξ的分布列为的分布列为()()11130.4600.4600.2604E xy x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-.………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0(0，，10)10)上单调递增，在上单调递增，在(]10 20，上单调递减，上单调递减，∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值，取得最大值，此时()()max10423.3f x f =≈(万元万元). ).由(1)(1)知，预期平均年利润的期望知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元万元). ).因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.…………………………………………………………1212分21.(21.(本小题满分本小题满分12分)解：解：(1)(1)()sinx f x e x =，定义域为R . ()()sin cos 2sin 4x xf x e x x e xπ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭. 由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈).∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈).………………………………………………………………55分 (2)(2)由已知由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-.令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减上单调递减. . ∵()01g a '=-，202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()0g e a ππ'=--<. ①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥， ∴()g x '在()0π，上的图象大致如右图，上的图象大致如右图，∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得()00g x '=， ∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，ξ160x y -13604x x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()160x x y --p0.40.40.2∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()x π，上单调递减上单调递减. .∵()00g =，∴()00g x >. 又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点上仅有一个零点.. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，上单调递减， 而202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，从而()g x '在()0 π，上图象大致如右图上图象大致如右图.. ∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增上单调递增. . ∵()00g =，∴()10g x <. ∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >. 又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点上有两个零点.. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点上有两个零点. . ………………………………12分22.(22.(本小题满分本小题满分10分) (1)(1)曲线曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=. ∵sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3cos sin 230ρθρθ+-=， ∴直线l 的直角坐标方程为3230x y +-=. ………………………………………………………………55分(2)(2)设直线设直线l 的参数方程为12232xt y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数为参数))， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-，.∴()212121236302436497MP MQ t t t t t t +=-=+-=+=. ………………………………10分23.(23.(本小题满分本小题满分10分) (1)(1)由题意知，由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =.由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………………………………………55分 (2)(2)由由(1)(1)知知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦，()()222122222abcab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c +++++≥成立成立.. ………………………………………………………………1010分。

2020年安徽省合肥市包河区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1.下列四个数中，最小的是（）A. -2B. ∣-4∣C. -（-1）D. 0【答案】A【解析】【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0，②负数都小于0，③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小，据此即可求解．【详解】解：根据有理数大小比较的法法，可得：-2＜0＜-（-1）＜∣-4∣∴最小的是-2．故选：A．【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的法则．2.下列运算正确的是（）A. a3•a4=a12B. （a-b）2=a2-b2C. a10÷a5=a2D. （-2ab2）3=-8a3b6【答案】D【解析】【分析】分别按照同底数幂的乘法、完全平方公式、同底数幂的除法、和积的乘方的运算进行计算分析即可．【详解】解：A、a3•a4=a7，故A不正确；B、（a-b）2=a2-2ab+b2，故B不正确；C、a10÷a5=a5，故C不正确；D、（-2ab2）3=（-2）3a3（b2）3=-8a3b6，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、完全平方公式和积的乘方等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3.今年以来，“新型冠状肺炎”流行，这种病毒的直径大约为150纳米，1纳米＝0．000000001米＝10-9米，把150纳米用科学记数法表示正确的是（）A. 1.5×10-2米B. 1.5×10-7米C. 1.5×10-9米D. 1.5×10-11米【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：150纳米=150×0.000000001米=1.5×10-7米．故选：B.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.如图，由6个棱长为1的相同小立方体组成的几何体，关于其视图以下说法正确的是（）A. 主视图和左视图面积相等B. 主视图和俯视图面积相等C. 俯视图和左视图面积相等D. 俯视图面积最大【答案】B【解析】【分析】画出三视图，通过比较三个视图的面积即可得出答案．【详解】解：这个几何体的三视图如图所示：因此，主视图与俯视图的面积相等，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于常考题型，熟练掌握三视图的定义和画法是解题的关键．5.如图，AB∥CD，DF是∠BDC的平分线，若∠ABD=118°，则∠1的度数为（）A. 40°B. 35°C. 31°D. 29°【答案】C【解析】【分析】由AB∥CD，其性质得∠ABD+∠BDC=180°，∠1=∠FDC；DF是∠BDC的平分线得∠FDC=12∠BDC，计算得∠1=31°．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，又∵∠ABD=118°，∴∠BDC=62°，又∵DF是∠BDC的平分线，∴∠FDC=12∠BDC=31°，又∵AB∥CD，∴∠1=∠FDC=31°，故选：C．【点睛】本题综合考查平行线的性质，角平线的性质，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的性质6.不等式组2632154x xx x-<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】 【分析】解得将不等式组的解集为-613x <≤，再根据用数轴表示解集即可解得本题. 【详解】∵263x x -<，解得：6x >-； ∵21054x x +-⎧-≥⎨⎩，解得：13x ≤；∴不等式组的解集是：-613x <≤ 故选B.【点睛】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示解集，解本题的关键是不等式解集中是否可取等于在数轴上的不同表示.7.下列各选项中因式分解正确的是（ ） A. ()2211x x -=- B. ()32222a a a aa -+=-C. ()22422y y y y -+=-+D. ()2221m n mn n n m -+=-【答案】D 【解析】 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可． 【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()23221a a a a a -+=-，故此选项错误； C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确． 故选D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．8.方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”大意是：5只麻雀和6只燕子一共重16两，每只麻雀比每只燕子重，如果将麻雀和燕子互换1只．则它们的重量相等，求每只麻雀和每只燕子各多少两？如果设每只麻雀重x 两，每只燕子重y 两，以下方程组正确的是（ ）A.561665x yx y+=⎧⎨=⎩B.561645x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C.561665x yy x+=⎧⎨=⎩D.561656x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩【答案】B【解析】【分析】设每只麻雀重x两，每只燕子重y两，根据5只麻雀和6只燕子一共重16两，每只麻雀比每只燕子重，如果将麻雀和燕子互换1只，则它们的重量相等，列方程组即可．【详解】解：设每只麻雀重x两，每只燕子重y两，由题意得：5616 45x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩故选：B【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，找到合适的等量关系．9.甲、乙、丙进入了“中国主持人大赛”的东南区预选赛的决赛，他们三人擅长主持的节目分别是A、B、C．现将标有A、B、C的三个标签的球放入不透明的盒子中，让三位选手随机摸取一球，以确定比赛时的节目．则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是（）A. 13B.12C.16D.19【答案】C【解析】【分析】据题意列出图表得出所有等情况数，找出三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的有2种，则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是21 126=；故选：C．【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（）A. 2B. 325 D.95【答案】A【解析】【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得DE DMDF CD=，进而得出DE DFDF CD=，再根据比例的性质解答即可．【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴DF DG CH GH=，∵DM∥BH，∴△DMG∽△HBG，∴DM DG BH GH=，∵CH=BH，∴DF=DM，又∵矩形,ABCD90, CDF EDM∴∠=∠=︒90,BGC ∠=︒ 90,CGE ∴∠=︒ ,CEG MED ∠=∠ ,FCD M ∴∠=∠ ∴ △MDE ∽△CDF ，∴,DE DMDF CD = ∴,DE DFDF CD= ∴2144,DF DE CD =•=⨯= ∴DF ＝42=． 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共4小题）11.35________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据被开方数的取值范围求出二次根式的取值范围即可判断． 【详解】解：∵25＜35＜36 253536∴535 6 ∵36比25更接近35， 356．故答案为：6．【点睛】此题考查的估算无理数的大小，利用夹逼法求出二次根式的取值范围是解决此题的关键． 12.一次函数y 1=mx ＋n (m ≠0)的图象与双曲线2(0)ky k x=≠相交于A (-1，2)和B (2，b )两点，则不等式kmx n x≥+的解集是________ 【答案】10x -≤<或2x ≥ 【解析】 【分析】把点A 、B 的坐标分别代入反比例函数解析式求得k 、b 的值，然后分别画出一次函数与反比例函数的图象，找出直线没有落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵A (-1，2)和B (2，b )在双曲线2(0)ky k x=≠上， ∴122k b =-⨯=， 解得b =-1． ∴B (2，-1)．由图可知，当10x -≤<或2x ≥时，直线没有落在双曲线上方，即不等式kmx n x≥+的解集是10x -≤<或2x ≥． 故答案为：10x -≤<或2x ≥．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想． 13.如图，AB 是⊙O 切线，切点为A ，OB 与⊙O 交于E ，C 、D 是圆上的两点，且CA 平分∠DCE ，若AB ＝3B ＝30°，则DE 的长是_____．【答案】23【解析】【分析】连接OA，交DE于点F，如图，根据切线的性质和解直角三角形的知识可求出圆的半径，根据角平分线的定义和垂径定理的推论可得OA⊥DE，进而可得DE∥AB，DE＝2EF，然后解直角△OEF即可求出EF的长，从而可得答案．【详解】解：连接OA，交DE于点F，如图，∵AB是⊙O切线，∴∠BAO＝90°，∵∠B＝30°，AB＝23，∴AO＝OE＝33AB＝33×23＝2，∵CA平分∠DCE，∴∠DCA＝∠ECA，∴AD AE=，∴OA⊥DE，∴DE∥AB，DE＝2EF，∴∠OEF＝∠B＝30°，∴EF＝33 2=∴DE＝23，故答案为：23．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B'处．以下结论正确的有________①当AB'⊥AC时，AB'的长为2；②当点P位于AB中点时，四边形ACPB'为菱形；③当∠B'PA=30°时，12 APPB=；④当CP⊥AB时，AP：AB'：BP=1：2：3．【答案】①②④【解析】【分析】由折叠性质及直角三角形的性质对结论一一判断即可．【详解】解：①AC=1，∠B=30°可知3，由翻折可知：3因为AB'⊥AC，由勾股定理可知：22'CB AC-2，正确．②当点P位于AB中点时，CP=PB=PA=AC=PB′，∠B'PA=PAC=60°，PB'∥AC，所以四边形ACPB'是平行四边形，又PC=AC，所以四边形ACPB'是菱形，正确．③当∠B'PA=30°时，可知四边形BCB′P 是菱形，；，12AP PB =成立，故不正确． ④当CP ⊥AB 时，∠B'=∠B'CA=30°，AC=AB'，∠ACP=∠B=30°，设AP=a ，则AB'=AC=2a ；AB=4a ，PB=3a ；所以：AP ：AB'：BP=a ：2a ：3a=1：2：3，正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．三．解答题（共9小题）15.先化简：221(1)x x x x x-+--，再请从1、0、2、-1四个数中选择一个你认为合适的数代入来求值． 【答案】原式21x x =-，1x =-时，原式12=；2x =时，原式12= 【解析】【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后从1、0、2、-1四个数中选择一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式2(1)1(1)x x x x x-+=-- 11x x x x+=-- ()221(1)x x x x --=-21x x =- 因为1x ≠和0所以当选1x =-时，原式211(1)(1)2==---； 选2x =时，原式211222==- 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16.某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．【答案】5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是32%．【解析】【分析】根据增长后的游客人数=增长前的游客人数×（1+增长率），设5月、6月游客人数的平均增长率是x ，根据今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，据此即可列方程解出即可．【详解】解：设5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是x ，根据题意得2(144%)(121%)(1)x ++=+，解得10.3232%x ==，1 2.32x =-（舍去）．答：5月、6月这两个月游客人数的平均增长率是32%．【点睛】考查了一元二次方程的应用．若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）=a （1±x ）2．增长用“+”，下降用“-”．17.观察以下等式：第1个等式：23-22=13＋2×1＋1； 第2个等式：33-32=23＋3×2＋22； 第3个等式：43-42=33＋4×3＋32； ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；（2）先归纳总结出一般规律，得出第n 个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证．【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为3232554544-=+⨯+故答案为：3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明如下：等式的左边[]3222(1)(1)(1)(1)1(1)n n n n n n =+-+=++-=+ 等式的右边()32222(1)(1)21(1)n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++=+++=++=+⎣⎦则等式的左边=等式的右边所以等式成立．【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD （顶点为网格线的交点）．（1）画出四边形ABCD 关于x 轴成轴对称的四边形A 1B 1C 1D 1；（2）以O 为位似中心，在第三象限画出四边形ABCD 的位似四边形A 2B 2C 2D 2，且位似比为1；（3）在第一象限内找出格点P ，使∠DCP=∠CDP ，并写出点P 的坐标（写出一个即可）．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）点P （5，3）或（2，2）【解析】【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 、D 关于x 轴对称点，顺次连接即可；（2）利用位似图形的性质，延长AO 到A2，使AO=OA2，同理分别作出B 、C 、D 的对应点，顺次连接即可；（3）由∠DCP=∠CDP 得PC=PD ，即点P 在线段CD 的垂直平分线上，即可找到符合条件的点P ．【详解】（1）如图所示，四边形A 1B 1C 1D 1就是所求作的图形；（2）如图所示，四边形A 2B 2C 2D 2就是所求作的图形；（3）由图可知，点(5,3)P或(2,2).【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、作图-位似变换、网格中符合条件点的坐标，熟练掌握符合要求的作图方法是解答的关键．19.如图，某水产养殖户开发一个三角形状的养殖区域，A、B、C三点的位置如图所示．已知∠CAB=105°，∠B=45°，AB=1002米．（参考数据：2≈1．41，3≈1．73，sin20°≈0．34，cos20°≈0．94，tan20°≈0．36，结果保留整数）（1）求养殖区域△ABC面积；（2）养殖户计划在边BC上选一点D，修建垂钓栈道AD，测得∠CAD=40°，求垂钓栈道AD的长．【答案】（1）养殖区域ABC∆的面积约为13650平方米；（2）垂钓栈道AD的长约为106米．【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据含30度角、45度角的直角三角形的性质即可求出答案．（2）由（1）可知：AH=100，因为∠CAD=40°，所以∠DAH=20°，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过A作AH BC⊥于H．（1）在Rt ABH ∆中，∵45B ∠=︒,∴45BAH ∠=︒.∵105BAC ∠=︒,∴60CAH ∠=︒.∴100AH =（米）,∴100BH =（米）.在Rt ACH ∆中，1801054530C ∠=︒-︒-︒=︒, ∵tan AH C CH ∠=.∴10033CH ==. ∴1100100(31)136502⨯⨯+≈（平方米）. （2）∵40CAD ∠=︒,∴604020DAH ∠=︒-︒=︒, 在Rt ADH ∆中,∵cos AH DAH AD ∠=, ∴100106cos 200.94AH AD ==≈︒（米）. 答：养殖区域ABC ∆的面积约为13650平方米，垂钓栈道AD 的长约为106米．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 20.已知，如图，点P 是平行四边形ABCD 外一点，PE ∥AB 交BC 于点E ．PA 、PD 分别交BC 于点M 、N ，点M 是BE 的中点．（1）求证：CN=EN ；（2）若平行四边形ABCD 的面积为12，求△PMN 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）3PMN S ∆=【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAM=∠EPM ，根据线段中点的定义得到BM=EM ，根据全等三角形的性质得到AB=PE ，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论；（2）过P 作PH ⊥AD 于H ，交BC 于G ，根据全等三角形的性质得到AM=PM ，根据平行线等分线段定理得到AG=HG=12PH ，根据平行四边形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）连接DE,PC.∵PE ∥AB ，∴∠BAM=∠EPM ，∵∠AMB=∠PME ，∵点M 是BE 的中点，∴BM=EM ，∴△ABM ≌△PEM （AAS ），∴AB=PE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴PE ∥CD ，PE=CD ，∴四边形PEDC 是平行四边形，∴EN=CN ；（2）过P 作PH ⊥AD 于H ，交BC 于G ，由（1）知，△ABM ≌△PEM ，∴AM=PM ，∵AD ∥BC ，∴AG=HG=12PH ， ∵BM=EM ，EN=CN ，∴MN=12BC=12AD ， ∵平行四边形ABCD 的面积为12，∴AD•PH=24，∴△PMN的面积=12MN•PG=12×12AD×12PH=18AD•PH=18×24=3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．21.王老师从本校九年级质量检测的成绩中随机地抽取一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表1，又按分数段绘制成绩分布表，如表2．表1表2分数段为90≤x≤100n个人中，其成绩的中位数是95分．根据以上信息回答下面问题：（1）王老师抽查了多少人？m、n的值分别是多少；（2）小明在此考试中得了95分，他说自己在这些考试中数学成绩是A等级，他说对吗？为什么？（3）若此次测试数学学科普高的预测线是70分，该校九年级有900名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？【答案】（1）50人，12,11m n ==；（2）正确，理由见解析；（3）630人【解析】【分析】（1）根据小于60的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以小于80的人数所占的百分比求出小于80的人数，再减去小于70的人数，求出m ，再用总人数减去小于90 的人数，求出n 即可；（2）先求出A 等级的人数，再根据在分数段为90≤x ≤100的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对；（3）用总人数乘以数学学科普高的预测线的人数所占的百分比即可．【详解】解：（1）王老师抽查的人数是：5÷10%＝50（人），小于80的人数有：50×（44%+10%）＝27（人），m ＝27﹣5﹣10＝12（人），n ＝50﹣5﹣10﹣12﹣12＝11（人），（2）A 等级的人数有：50×12%＝6（人），∵在11人中，成绩的中位数是95分，A 等级有6人，∴小明的数学成绩是A 等级，他说的正确；（3）根据题意得： 900×12121150++＝630（人）， 答：数学学科达到普高预测线的学生约有630人．【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22.已知OA 是⊙O 的半径，OA=1，点P 是OA 上一动点，过P 作弦BC ⊥OA ，连接AB 、AC ．（1）如图1，若P 为OA 中点，则AC=______，∠ACB=_______°；（2）如图2，若移动点P ，使AB 、CO 的延长线交于点D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．△AOD的面积为S 3，且满足1223S S S S =，求OP AP 的值．【答案】（1）1，30；（2）55OP AP =． 【解析】【分析】（1）证得△AOC 为等边三角形，得出AC ＝1，∠ACO ＝60°，可求出答案；（2）若DC 与圆O 相交于点E ，连接BE ，证明△ABO ≌△ACO （SSS ），得出S △ABO ＝S △ACO ＝S 1，由题意得出(12S S )2＋12S S −1＝0，解得：12S S ＝-15±，求出AD BD ，证明△AOD ∽△BED ，得出AO AD BE BD ==1+5，得出OP ＝12BE ，则可求出答案． 【详解】解：（1）∵BC ⊥OA ，OB=OC ，∴BP=CP ，∵P 是OA 的中点，∴OP=AP ，∴OA 垂直平分BC ，且BC 垂直平分OA ，∴四边形ABOC 是菱形，∴AC=OC=OA=1，BC 平分∠ACO ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO=60°，∴∠ACB=12∠ACO=30°， 故答案为：1，30；（2）连接BE ，∵BC OA ⊥∴PB PC =，∴AB AC =，∵OB OC =，AO=AO ，∴ABO ACO ∆∆≌，∴1ABO ACO S S S ∆∆==，∴123S S S +=， ∵1223S S S S =， ∴12212S S S S S =+， ∴2211220S S S S +-=， ∴2112210S S S S ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12S S =，12S S =，∴AB BD =，即AD BD =， ∵CE 为直径，∴90CBE ∠=︒，∴//AO BE ，∴AOD BED ∆∆∽∴12AO AD BE BD ==， ∵OE OC = ∴12OP BE =，∴122AO OP =，∴11AO OP =，∴AP OP =∴55OP AP =． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握方程思想是解题的关键．23.已知：二次函数y=x 2-2mx-m 2＋4m-2的对称轴为l ，抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）判断抛物线与x 轴的交点情况；（2）如图1，当m=1时，点P 为第一象限内抛物线上一点，且△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，直线14y mx =和抛物线交于点A 、B 两点，与l 交于点M ，且MO=MB ，点Q （x 0，y 0）在抛物线上，当m ＞1时，200126h my my +≤--时，求h 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）点P 的坐标为(21)，或3535++⎝⎭，或353522⎛-- ⎝⎭，；（3）h 最大值为4．【解析】【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，求出△=8（m-1）2，即可得出结论；（2）先求出点C ，D 坐标，再分两种情况，判断出点P 是CD 的中垂线或CP 的中垂线，即可得出结论； （3）利用点M 在抛物线对称轴上，和MO=BM 表示出点B 坐标，代入抛物线解析式中，求出m ，进而得出抛物线解析式，再得出()2220000061221212236my my y y y ---=---=-++，即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于二次函数y=x 2-2mx-m 2+4m-2，令y=0，则x 2-2mx-m 2+4m-2=0，∴()222(2)4428(1)m m m m ∆=---+-=-不论m 取何值，28(1)0m -≥∴抛物线与x 轴至少有一个交点（或一定有交点）．（2）当1m =时，2221(1)y x x x =-+=-∴点(0,1)C 、点(1,0)D当DP DC =时，可知点P 与点C 关于l 对称，∴点P 坐标为(2,1)当PD PC =时，点P 在CD 的垂直平分线上∵1OC OD ==∴点P 在直线y x =上∴2(1)x x =-解得32x ±=∴点P 坐标为3322⎛ ⎝⎭和33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．综上，点P 的坐标为(2,1)或⎝⎭或⎝⎭． （3）当1m 时，∵OM MB = ∴点B 的横坐标为2m ，则纵坐标2242m m y m =⋅= 点22,2m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把点22,2m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线得：222244422m m m m m --+-= 解得12m =，223m =（舍去）当2m =时，2(2)2y x =-- 因为点()00,Q x y 在抛物线上，∴02y ≥-由题意知()2220000061221212236h my my y y y ≤---=---=-++ ∵20-<∴当03y >-时，h 随0y 的增大而减小，∴当02y =-时，代数式()20236y -++有最大值4，∴h 最大值为4．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点个数的判断，等腰三角形的性质，中垂线，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。

中考数学二模试卷题号 一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1.的平方根是（）A.B. -C. ±D. ±2. 下列四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3. 下列因式分解正确的是（）B.A.3ax 2-6ax=3 （ax 2-2ax ）x 2+y 2= （）（ ）-x+y -x-yC. a 2+2ab-4b 2=（ a+2b ） 2D. -ax 2 +2ax-a=-a （ x-1） 24. 一种病毒的直径约为 0.0000001m ，将 0.0000001m 用科学记数法表示为（）A. 1×107B. 1×10-6C. 1×10-7D. 10 ×10-85. 若关于 x 的不等式组恰有两个整数解，求实数a 的取值范围是（ ）A. -4＜ a ＜ -3B. -4≤a ＜ -3C. -4＜ a ≤-3D. -4＜ a ＜ -36. 下列图形中，主视图为图①的是（）A. B. C. D.7. 某机械厂七月份生产零件50 万个，第三季度生产零件 196 万个．设该厂八、九月 份平均每月的增长率为 x ，那么 x 满足的方程是（）A. 50（ 1+x 2） =196（ 1+x ）2=196B. 50+50 （ 1+x 2）=196C. 50+50（ 1+ x ）+50D. 50+50 （ 1+x ） +50 （ 1+2x ） =1968. 在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数 y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r ，扇形的圆心角等于 120°，则围成的圆锥模型的高为（）A. rB. 2rC.rD. 3r10.如图，在矩形 ABCD 中， AD = AB，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，DH ⊥AE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD于点 F ，连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论：① ∠AED =∠CED；② OE=OD ；③ BH=HF ；④BC-CF=2HE ；⑤ AB=HF ，其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）11.一组数据 15，20， 25，30， 20，这组数据的中位数为 ______ ．12.分解因式： 9x-x3=______．13. 如图，Rt AOB AOB＝90 ° A B分别在反比例函数y x 0）与y △中，∠，顶点，＝（＞＝（ x＜ 0）的图象上，则tan∠BAO 的值为 ____．14.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O 在坐标原点，边OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA'B'C'的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B'的坐标是 ______．三、解答题（本大题共9 小题，共72.0 分）15.计算：16.先化简，再求值：，其中，a=-1．17.如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图 2、图 3 添画（工具只能用直尺）射线OA，使 tan∠AOB 的值分别为1、 2、 3．18.已知点 P（x0， y0）和直线 y=kx+b，则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可用公式d=计算．例如：求点P（ -1， 2）到直线y=3x+7 的距离．解：因为直线y=3 x+7，其中 k=3， b=7 ．所以点 P（-1， 2）到直线y=3 x+7 的距离为： d=== =．根据以上材料，解答下列问题：（ 1）求点 P（ 1， -1）到直线y=x-1 的距离；（ 2）已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为（ 0，5），半径r 为 2，判断⊙ Q 与直线 y=x+9 的位置关系并说明理由；（ 3）已知直线y=-2 x+4 与 y=-2 x-6 平行，求这两条直线之间的距离．19.如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站， AB=2 km，从 A 测得船 C 在北偏东45°的方向，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5 °的方向．（1）求∠ACB 的度数；（2）船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD 的长）为多少？（不取近似值）20.如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90 °，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的⊙O 经过点 D．（ 1）求证：① BC 是⊙ O 的切线；②CD2=CE?CA；（ 2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且CE=3，试求阴影部分的面积．21. 为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．整理情况频数频率非常好0.21较好70 0.35一般m不好36请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了 ______名学生；（2） m=______；（3）该校有 1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（ 4）某学习小组 4 名学生的错题集中，有 2 本“非常好”（记为A1、 A2）， 1 本“较好”（记为B）， 1 本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的 3 本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．22.浩然文具店新到一种计算器，进价为 25 元，营销时发现：当销售单价定为 30 元时，每天的销售量为150 件，若销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就会减少10 件．（ 1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（ 2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？（ 3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B 两种营销方案：方案 A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案 B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120 件．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．ABC中，AC=，tanA=3 ABC=45°BD从与射线BA重合的位23. 如图，在△，∠，射线置开始，绕点 B 按顺时针方向旋转，与射线BC 重合时就停止旋转，射线BD 与线段 AC 相交于点 D，点 M 是线段 BD 的中点．（ 1）求线段 BC 的长；（ 2）①当点 D 与点 A、点 C 不重合时，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF ⊥BC 于点 F ，连接 ME ， MF ，在射线 BD 旋转的过程中，∠EMF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF 的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接 EF ，直接写出△EFM 面积的最小值 ______．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是0；负数没有平方根．先根据算术平方根的定义求出= ，再根据平方根的定义即可求解．【解答】解：= ，的平方根是±．故选： D．2.【答案】B【解析】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选： B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．【解答】解： A.3ax2 -6ax=3ax（ x-2），故此选项错误；B.x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；C.a2+2 ab-4b2，无法分解因式，故此选项错误；D.-ax2+2 ax-a==-a（x2 -2x+1 ）=-a（ x-1）2，正确．故选 D．4.【答案】C【解析】解： 0.0000001=1×10-7，故选： C．绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10- n，其中 1≤|a＜ 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．5.【答案】B【解析】解：解不等式1+5x＞ 3（ x-1），得： x＞ -2，解不等式≤8- +2a，得：x≤4+a，则不等式组的解集为-2＜ x≤4+a，∵不等式组恰有两个整数解，∴不等式组的整数解为-1、 0，则 0≤4+a＜ 1，解得 -4≤a＜ -3，故选： B．先解不等式组求得-2＜ x≤4+a，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为-1、0，据此得0≤ 4+a＜ 1，解之即可．本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解： A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项正确；C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D、主视图是三角形，故此选项错误；故选： B．主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．7.【答案】C【解析】解：依题意得八、九月份的产量为50（ 1+x）、 50（ 1+x）2，∴50+50 （ 1+x） +50 （ 1+x）2=196 ．故选： C．主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x 分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为 a（ 1+x）2=b，a为起始时间的有关数量， b 为终止时间的有关数量．8.【答案】C【解析】解： x=0 时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B、 D 选项错误；由 A、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以， a＞ 0，所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，所以， A 选项错误， C 选项正确．故选： C．令 x=0 ，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞ 0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．【解答】解：∵圆的半径为r ，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．设圆锥的母线长为R，则=2πr，解得： R=3 r．根据勾股定理得圆锥的高为2r ，故选： B．10.【答案】C【解析】解：∵在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE =45 °，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB ，∵AD= AB，∴AE=AD ，在△ABE 和△AHD 中，，∴△ABE≌△AHD （ AAS），∴BE=DH ，∴AB=BE=AH =HD ，∴∠ADE=∠AED = （ 180 °-45 °） =67.5 ，°∴∠CED=180 °-45 °-67.5 =67°.5 ，°∴∠AED=∠CED ，故①正确；∵AB=AH ，∵∠AHB= （ 180 °-45 °） =67.5 ，°∠OHE=∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE=67.5 =°∠AED ，∴OE=OH ，∵∠DHO =90 °-67.5 =22°.5 ，°∠ODH =67.5 -°45 °=22.5 ，°∴∠DHO =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE=OD =OH，故②正确；∵∠EBH=90 °-67.5 =22°.5 ，°∴∠EBH=∠OHD ，在△BEH 和△HDF 中，，∴△BEH≌△HDF （ ASA），∴BH =HF ， HE=DF ，故③正确；∵HE =AE -AH =BC-CD ，∴BC -CF=BC-（ CD -DF ） =BC-（ CD -HE ） =（BC-CD）+HE=HE +HE =2HE ．故④正确；∵AB=AH ，∠BAE=45 °，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB≠BH ，∴即 AB≠HF ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共 4 个．故选： C．①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE =45°，然后利用求出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE= AB，从而得到 AE=AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5 °，根据平角等于 180°求出∠CED=67.5 °，从而判断出①正确；AHB =67.5 ° DHO = ODH =22.5 °OE=OD=OH，判②求出∠，∠∠，然后根据等角对等边可得断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5 °，∠AEB=∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据 HE =AE-AH =BC-CD ，BC-CF =BC-（CD-DF ） =2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即 AB≠HF ，得到⑤错误．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】20【解析】解：将数据重新排列为 15、20、 20、 25、 30，所以这组数据的中位数为 20，故答案为： 20．根据中位数的定义求解可得．本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12.【答案】x（3+x）（3-x）【解析】解：原式 =x（ 9-x2）=x（ 3-x）（ 3+x）．故答案为： x（ 3-x）（ 3+x）．首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．13.【答案】【解析】【分析】过 A 作 AC ⊥x 轴于 C，过 B 作 BD ⊥x 轴于 D ，于是得到∠BDO =∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到 S△BDO △AOC= ，根据相似三角形的性质得到=（2= =5，= ，S ）求得=，根据三角函数的定义即可得到结论．此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．【解答】解：过 A 作 AC⊥x 轴于 C，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，则∠BDO =∠ACO=90°，∵顶点 A， B 分别在反比例函数y= （ x＞ 0）与 y=（x＜0）的图象上，∴S△BDO = ， S△AOC = ，∵∠AOB=90 °，∴∠BOD+∠DBO =∠BOD +∠AOC=90 °，∴∠DBO=∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴=（）2= =5，∴= ，∴tan∠BAO= =，故答案为：．14.【答案】（-2，3）或（2，-3）【解析】解：∵矩形 OA 'B'C'与矩形 OABC 关于点 O 位似，∴矩形 OA'B'C'∽矩形 OABC ，∵矩形 OA'B'C'的面积等于矩形OABC 面积的，∴矩形 OA'B'C'与矩形 OABC 的相似比为，∵点 B 的坐标为（ -4， 6），∴点 B'的坐标为（ -4 ×， 6×）或（ 4×， -6 ×），即（ -2， 3）或（ 2， -3），故答案为：（-2， 3）或（ 2， -3）．根据位似图形的概念得到矩形 OA'B'C'∽矩形 OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键．15.【答案】解：=1+ -2+ （ -1） - ×3=-2【解析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．16. 【答案】解：原式 = ，当时，原式 = ．【解析】先化简分式，然后将a=-1 代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．17.【答案】解：如图 1所示： tan∠AOB= = =1，如图 2 所示： tan∠AOB= = =2，如图 3 所示： tan∠AOB= = =3，故 tan∠AOB 的值分别为1、 2、 3．．【解析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．18.【答案】解：（1）因为直线y=x-1，其中 k=1 ，b=-1 ，所以点 P（ 1， -1）到直线y=x-1 的距离为： d=== =；（ 2）⊙Q 与直线 y= x+9 的位置关系为相切．理由如下：圆心 Q（ 0， 5）到直线y= x+9 的距离为： d== =2，而⊙ O 的半径 r 为 2，即 d=r，所以⊙Q 与直线 y= x+9 相切；（3）当 x=0 时， y=-2 x+4=4，即点（ 0， 4）在直线 y=-2 x+4 ，因为点（ 0， 4）到直线y=-2x-6 的距离为： d== =2，因为直线y=-2x+4 与 y=-2 x-6 平行，所以这两条直线之间的距离为2．【解析】（ 1）根据点P 到直线 y=kx+b 的距离公式直接计算即可；（ 2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q 到直线 y= x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙ Q 与直线 y= x+9 相切；（ 3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2 x+4 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y=-2 x-6 的距离即可．本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义；提高阅读理解能力．19【. 答案】解：（1）由题意得，∠CBD=90°-22.5 =67°.5°，∠CAD=45 °，∴∠ACB=∠CBD -∠CAD=22.5 ；°（ 2）作 BE∥AC 交 CD 于 E，则∠EBD=∠CAD =45°，∴DB =DE ，∵DA =DC ，∴CE=AB =2，∵∠ACD=45 °，∠ACB=22.5 ，°∴∠BCD=22.5 ，°∴∠CBE=∠BED -∠BCD=22.5 ，°∴∠CBE=∠BCE ，∴BE=CE=2，∴DE = BE=，∴CD +DE +CE=2+，答：船 C 离海岸线l 的距离为（ 2+）km．【解析】（ 1）根据三角形的外角的性质计算；（ 2）作 BE∥AC 交 CD 于 E，求出 CE=AB =2，根据正弦的定义求出DE，计算即可．-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注本题考查的是解直角三角形的应用方向角是解题的关键．20.【答案】解：（1）①连接OD，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAO，∵OD =OA，∴∠DAO =∠ODA ，∴∠DAB=∠ODA ，∴DO ∥AB，而∠B=90 °，∴∠ODB=90 °，∴BC 是⊙ O 的切线；②连接 DE ，∵BC 是⊙ O 的切线，∴∠CDE =∠DAC，∴，∴CD 2=CE?CA ；（ 2）连接 DF 、 OF ，设圆的半径为 R ， ∵点 F 是劣弧 AD 的中点， ∴OF 是 DA 中垂线， ∴DF =AF ，∴∠FDA =∠FAD ， ∵DO ∥AB ， ∴∠ODA =∠DAF ， ∴∠ADO=∠DAO =∠FDA =∠FAD ， ∴DF ∥OA ，∴四边形 AODF 是平行四边形， 又 OA=OD ， ∴AF=DF =OA=OD ，∴△OFD 、 △OFA 是等边三角形， ∴S △OFD =S △OFA, ∠DOC =60 °， ∴∠C=30 °，∴OD = OC=OE+EC ，而 OE=OD ，∴CE=OE=R=3，阴影扇形 DFO=2S =S ×π×3= ．【解析】 此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、 含 30 度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需 要我们熟练各部分的内容， 对学生的综合能力要求较高， 一定要注意将所学知识贯穿起 来．（ 1）①证明 DO ∥AB ，即可求解；②证明 CDE ∽△CAD ，即可求解；（ 2）证明 △OFD 、 △OFA 是等边三角形， S 阴影 =S 扇形 DFO ，即可求解．21.【答案】 （ 1）200 ；（ 2）52 ；（ 3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有：1500×（ 0.21+0.35 ） =840 （人）；（ 4）根据题意画图如下：∵所有可能出现的结果共 12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有 2 种，∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是= ．【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注 意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求出 m 的值；（3）利用总人数乘以对应的频率即可；（4）利用树形图方法，利用概率公式即可求解．【解答】解：（ 1）本次抽样共调查的人数是：70÷0.35=200（人）；（2）非常好的频数是： 200×0.21=42 （人），一般的频数是： m=200-42-70-36=52 （人），（3）见答案；（4）见答案 .22.【答案】解：（1）由题意得，销售量=150-10 （ x-30） =-10x+450，则 w=（x-25）（ -10x+450）=-10 x2+700 x-11250 ；（2） w=-10x2+700x-11250=-10 （ x-35）2+1000 ，∵-10＜ 0，∴函数图象开口向下，w 有最大值，当 x=35 时， w 最大 =1000 元，故当单价为35 元时，该计算器每天的利润最大；（ 3） B 方案利润高．理由如下：A 方案中：∵25×24%=6 ，此时 w A=6×（ 150-10） =840 元，B 方案中：每天的销售量为120 件，单价为33 元，∴最大利润是120 ×（ 33-25 ） =960 元，此时 w B=960 元，∵w B＞ w A，∴B 方案利润更高．【解析】（ 1）根据利润 =（单价 -进价）×销售量，列出函数关系式即可；（ 2）根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（ 3）分别求出方案 A、B 中 x 的取值，然后分别求出 A、B 方案的最大利润，然后进行比较．本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-时取得．23.【答案】【解析】解：（ 1）如图 1 中，作 CH ⊥AB 于 H．在 Rt△ACH 中，∵∠AHC =90°， AC=，tanA==3，∴AH =1， CH =3，∵∠CBH=45 °，∠CHB =90 °，∴∠HCB=∠CBH =45 °，∴CH =BH =3，∴BC= CH =3．（ 2）①结论：∠EMF =90°不变．理由：如图 2 中，∵DE ⊥AB， DF ⊥BC，∴∠DEB=∠DFB =90 °，∵DM =MB，∴ME= BD，MF = BD，∴ME =MF =BM，∴∠MBE=∠MEB ，∠MBF =∠MFB ，∵∠DME =∠MEB+∠MBE ，∠DMF =∠MFB +∠MBF ，∴∠EMF =∠DME +∠DMF =2（∠MBE+∠MBF ） =90 °，②如图 2 中，作 CH⊥AB 于 H ，由①可知△MEF 是等腰直角三角形，∴当 ME 的值最小时，△MEF的面积最小，∵ME = BD，∴当 BD ⊥AC 时， ME 的值最小，此时BD===，∴△MEF 的面积的最小值= ××= ．故答案为．（ 1）如图 1 中，作 CH ⊥AB 于 H．解直角三角形求出 CH ，证明△CHB 是等腰直角三角形即可解决问题．（ 2）①利用直角三角形斜边中线定理，证明△MEF是等腰直角三角形即可解决问题．②如图 2 中，由①可知△MEF 是等腰直角三角形，当ME 的值最小时，△MEF 的面积最小，因为ME = BD ，推出当 BD ⊥AC 时， ME 的值最小，此时BD=．本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)2. 欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：e ix =cosx +isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数z =3i +√2e π4i 的模为( )A. √3B. √5C. 2√2D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 曲线y =xe x 在x =1处的切线方程为( )A. ex −y =0B. (1−e)x +y −1=0C. 2ex −y −e =0D. (1+e)x −y −1=05. (1−tan 215°)cos 215°的值等于( )A. 1−√32B. 1C. √32D. 126. 函数y =3tan x2的图象向左平移π3个单位得到的函数的一个对称中心是( )A. (π6,0)B. (2π3,0)C. (−2π3,0) D. (0,0)7. 已知log 2(a +4b)=2log 2(2√ab)，则a +b 的最小值是( )A. 2B. √2+1C. 94D. 528. 甲、乙、丙、丁4人排成一排，要求甲与乙相邻，甲与丙不相邻，则不同的排法种数为( )A. 6B. 8C. 10D. 129. 图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. (83+2√2)π B. (83+4√2)πC. (4+2√2)πD. (8+4√2)π10. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AF|−|BF|= ( )A. 2B. 3C. 4D. 511. 若曲线C 1：y =x 2与曲线C 2：y =ae x (a >0)至少存在两个交点，则a 的取值范围为( )A. [8e 2,+∞)B. (0,8e 2]C. [4e 2,+∞)D. (0,4e 2]12. 三棱锥A −BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉=π3，则二面角A −BD −C 的大小为( )A. π3B. 2π3C. π3或2π3D. π6或π3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 15. 已知F 是双曲线C ：x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，点P 的纵坐标为______ ．16. 在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =√3，则sinA+sinB+sinCa+b+c=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 1=3，a 4+a 5+a 6=45．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥C 1D ；(2)求平面ADC 1与平面ABB 1A 1所成二面角的正弦值．19. 作斜率为13的直线l 与椭圆C ：x 236+y 24=1交于A ，B 两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l 的左上方．(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB =60°，求△PAB 的面积．20.为了适应市场的变化，某企业准备投产一批特殊型号的新产品，已知该种产品的成本C与产量−3q2+20q+10(q>0)，该种产品的市场前景通过调研分析有如下结q的函数关系式为C=q33果：设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L1，L2，L3关于产量q的函数；(2)当产量q确定时，求期望Eξq；(3)试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．21.已知函数f(x)=e x−ex(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|2x +4|，f(x)≤M +3的解集为{x|−4≤x ≤2}。