三年级数学奥赛起跑线第23讲--最短路线

小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。

甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

三年级数学奥赛起跑线第23讲最短路线1、如图，在一条河的两边有A、B两个小区。

为了便于两个小区的居民往来，准备在河上建一座桥，请问：这座桥建在何处，才能使两个小区的懵懂来往路程最短？A·河·B2、古希腊有一位著名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其问题：从甲地出发到河边饮马（如图），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。

小朋友，你来回答这位将军提出的问题好吗？·乙甲·小河3、右图是一个街区街道的平面图，邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件。

请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度。

（单位：千米）3邮局4、如图是一个街道平面图，王宏要从A处到B处。

在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用在交叉点上标数的方法计算一下。

B 5、从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通（如图）。

李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东或向南行进），最多有多少条不同的行走路线？北少年宫6、如图，从P到Q共有多少条不同的最短路线？7、如图所示是某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），共有多少种不同的走法？8、如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？9、右图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道不能通国。

那么从A到B处最短路线共有多少条？10、某城市的街道非常整齐，如右图所示。

从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？。

第1讲抽屉原理（一）1.数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书？2.某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁，至少需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？3.在100米的路段上植树，那么至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？4.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？5.从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。

这是为什么？6.从1，2，3，4，…，10这10个数中，任取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？7.从1，2，3，4，…，12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？8.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同（每抓一次后又放回，再抓另一次）？9.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每名同学从中任意借两本。

那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同？10.将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。

如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，最少要把这些苹果和梨分成多少堆？第2讲抽屉原理（二）1.参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？2. 一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有13张，从这52张中任意抽牌，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有4张牌是同一花色？3. 六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的是13岁。

最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？4. 有红、黄、蓝、白4色小球各10个，混合放在一个暗盒里。

一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的？5. 数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？6. 5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人投进了多少球？7. 李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。

小学数学奥数基础教程（三年级）本教程共30讲第23讲竖式数字谜（三）在第4讲的基础上，再讲一些乘数、除数是两位数的竖式数字谜问题。

例1在下列乘法竖式的口中填入合适的数字：⑴□ 4 口X □ 61 □ □ 0口口 58 □ □ □⑵□□X 9 □~6 □□6 □ □ □ □ □ 8分析与解：（1）为方便叙述, 将部分口用字母表示如左下式。

A 4B XC 61 □ □ 0 □ □ 58 □ □□12 4 □X ③61 S1 0 0 S贸5 8 0 El E第1步：由A4BX6的个位数为0知，B=0或5；再由A4BXC=nQ5, 推知B=5。

第2步：由A45X6 = 1 口口0矢口，A只可能为2或3。

但A为3时，345 X6 = 2070,不可能等于1口口0,不合题意，故A=2。

第3步：由245XC二口口5知，乘数C是小于5的奇数，即C只可能为1或3。

当C取1时，245X16<8Qna,不合题意，所以C不能取1。

故C =3。

至此，可得填法如上页右下式。

从上面的详细解法中可看出：除了用已知条件按一定次序（即儿步）来求解外，在分析中常应用“分枝”（或“分类”）讨论法，如第2步中A 分“两枝” 2和3,讨论“3”不合适（即排除了“3"）,从而得到A=2；A B X 9 C -6 口 D 6 □ 4 □ □□ 8HE X 9叵］6回囹6回4叵|□ 7 6 X □□ ~1 8 □□ □ 口口口 3 1 □□ 0A 7 6X B C ~1 8 □ 口口口 3 1 □□ 0第3步中，C分“两枝”1和3,讨论“1”不合适(即排除了“1”)，从而得到C = 3。

分枝讨论法、排除法是解较难的数字问题的常用方法之一。

下面我们再应用这个方法来解第(2)题。

(2)为方便叙述，将部分□用字母表示如下式。

第1步：在ABX9 = 6^4中，因为积的个位是4,所以B=6o第2步：在A6X9 = 6^4中，因为积的首位是6,所以A = 7。

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题最短路线（一）本讲中，我们将解决一个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、例证：小冬和小悦到少年宫参加志愿者培训。

如果他们从学校出发，最多有多少种不同的行走路线？分析：要求从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走。

我们可以先看A点：从学校到A点最短路线只有1种走法，我们在A点标上1。

B、E、F、G点同理。

再看J点：最短路线可以是A－J、E－J共2条，我们在J点标上2。

我们发现2＝1＋1正好是对角线A点和E点上的数字和。

是不是所有的最短路线都符合这个规律呢？再看I、C、H、D点，我们发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这样，我们可以通过计算来确定从学校到少年宫共有10种走法。

二、总结：每个格左下角与右上角所标的数字和即为这格右下角应标的数字，我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。

例1利用标号法确定从A点到B点所有最短路线有多少条。

分析与解：从Ａ到Ｂ的最短路线，只能向上或向右走，先标最短路线只有一种走法的几个点（C、D、H、G），利用标号法得到一共有6条最短路线。

本题中每格右上角的数是右下角和左上角的两个数之和。

例2 小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一张千年藏宝图，于是它们决定去寻宝。

请你帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？分析与解：先标出最短路线只有1种走法的几个点，用对角线法标出其他点上的数，共有20条最短路线。

例3亲爱的同学们，你们觉得小明从学校到家一共有几条最短路线呢？分析与解：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，例如D点，从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点的最短路线与从学校到C点的最短路线走法相同，有2 种走法，同理可以知道E点的最短路线也有2种走法，从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。

2、仔细观察下面的图形，并按其变化规律在“？”处画上合适的图形。

3、根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半。

4、从所给的6个图形中，选出一个适当的图形，将它的编号填在“？”处。

三年级数学奥赛起跑线4 3 2 1三年级数学奥赛起跑线第4讲加法的巧算1、计算下列各题，写出巧算的必要步骤：（1）256+503 （2）327+798 （3）2497+1832、巧算下列各题。

（1）36+87+64 （2）1361+972+639+283、巧算。

（1）376+（174+24） （2）864+（673+136）+227 （3）65+75+364、巧算下列各题（1）32+81+23+19+68 （2）（24+37+15）+（16+45+13）5、计算下列各题（1）99999+9999+999+99+9 （2）7523+（653-1523）6、有简便方法计算下列各题（1）576+（224-16） （2）3993+2996+7994+1357、有简便方法计算下列各题（1）76+79+79+80+81+83+84 （2）54+47+50+57+48+458、用简便方法求和（1）536+（541+464）+459 （2）588+264+148 （3）8996+3458+75469、计算：83+82+78+79+80+81+78+79+77+84+8310、计算：103+99+103+96+105+102+98+98+101+102+97+102三年级数学奥赛起跑线第5讲减法的巧算1、直接写出计算结果：（1）1000-547＝ （2）100000-85426＝ 2、计算下列各题：（1）379-297 （2）467-1033、用简便方法求差：（1）12675-12625 （2）3412798-3412736 4、用简便方法计算下列各题（1）1324-875-125 （2）497+334-297 （3）4250-294+945、用简便方法计算下列各题（1）9375-（2103+3375） （2）874-（457-126）6、巧算下列各题（1）464-545+99+345 （2）478-128+122-727、巧算下列各题（1）8632-（1800+1632） （2）657-（269+257）+1698、计算：4000-5-10-15-……-95-1009、计算：1000-81-19-82-18-83-17-84-16-85-15-84-16-83-17-82-18-81-1910、计算：901+902+905+898-907+908-895、下图中的各个图形，最少需要几笔画出？能想出好办法吗？ AB、一张纸上画有如图所示的图形，你能否用剪刀一次剪下图中的三个正方形和ED多能走多少米？10、上图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任何两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口。

小学三年级奥数最短路线问题(下学期教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN小学三年级奥数最短最短路线问题(下学期教案)在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线?分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长?从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD;在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A 到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上2数字“2”.2=1+1.第一个“1”是从A→C的一种走法;第二个“1”是从A→E的一种走法。

从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：（1）两点之间线段最短．（2）尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力。

准确运用“标数法”解决题目。

一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？BA阿呆和阿瓜到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？少年宫学校下图是一个街道平面图，从甲地到乙地最近的道路有几条？“十一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？黄山北京大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！养老院市中心学校如图，从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条？AC DE F B下图是一个街道平面图，每段长度都是300米。

现在有一辆汽车要从甲地到乙地，要走最近的路，但不能通过十字路口A 、B 、C （正在修路），问共有多少条最短的路线？从甲地到乙地最少要行多少米？乙CBA甲某城市的街道非常整齐，如下图所示，并且每段长度都是400米，现在有一个人要从西南角A 处骑自行车到东北角B 处，要走最近的路，并且不能通过十字路口C 、D 、E （正在修路）。

问：共有多少条最短路线？从A 地到B 地最少要行多少米？EDCBA【标数法发散】一只密蜂从A 处出发，A 回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？BA864297531在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A下图是一个街道平面图，纵横各有5条和4条路，某人要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？AB下面是一个街道的平面图，从街道的A地出发到B地，问有多少条最短路线？下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？BCA下图是一个街道平面图，C处正在挖下水道，不能通车，一辆汽车从A地到B地的最短路线共有多少条？如果横的每段200米，竖的每段150米，那么从A地到B地至少要行多少米？BCA。