高中数学全套讲义 选修1-1 椭圆初步基础学生版

§2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(×)2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(×)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(√)类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x225＋y29＝1有共同的焦点．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b2＝1，⎝⎛⎭⎫122a2＋(3)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝4，这与a>b相矛盾，故应舍去．当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为a 2b 2∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1， 综上可知，椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 方法二 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得25＋λ9＋λ解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式； (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (7,10)解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k ＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆， 得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝_______________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4， 解得m ＝4.②当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4， 解得m ＝8. ∴m ＝4或8.类型二 椭圆定义的应用例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 2解析 由椭圆定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 A解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________． 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.5．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析 由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于()A．6 B．3 C．2 D．4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 C解析∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.2．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为() A．1 B．－1C. 5 D ．－ 5 考点 椭圆的标准方程 题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 A 解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1， 由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2B ．8C ．4D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 C解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上．对于曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1，∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.7．方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件是() A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 B解析 方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，即m ∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得， 所求m 的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·h ，h ＝223＝33. 9．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.二、填空题10．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 3或5解析 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3，∴m ＝3或5.11．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 x 216＋y 212＝1 解析 方法一 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 方法二 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题13．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1，则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1，则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1.四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35.。