上海交通大学版大学物理学习题答案之8机械波习题思考题

习题8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距m 0.2的两质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后6π，已知振动周期为s 0.2,求波长和波速。

解:根据题意,对于Ａ、B 两点，m x 2612=∆=-=∆，πϕϕϕ而相位和波长之间又满足这样的关系:πλπλϕϕϕ221212x x x ∆-=--=-=∆代入数据,可得:波长λ=24m 。

又已知 T ＝2s ，所以波速u=λ/Ｔ＝１2m/s8-2． 已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为)cos(ϕω+=t A y ,波速为u ，求:(1)平面波的波动式；(2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何?解：(1)根据题意,距坐标原点O 为1x 处P 点是坐标原点的振动状态传过来的,其O 点振动状态传到p 点需用ux t 1=∆,也就是说t 时刻p 处质点的振动状态重复uxt -时刻Ｏ处质点的振动状态。

换而言之,O 处质点的振动状态相当于ux t 1+时刻ｐ处质点的振动状态，则O 点的振动方程为：]cos[1ϕω++=）（ux t A y波动方程为：11cos[]cos[()]x x x x y A t A t u u uωϕωϕ-=+-+=-+（）(2)若波沿x 轴负向传播， O 处质点的振动状态相当于ux t 1-时刻p 处质点的振动状态,则O 点的振动方程为:]cos[1ϕω+-=）（ux t A y 波动方程为：11cos[]cos[()]x x x x y A t A t u u uωϕωϕ+=--+=-+（） ８-3. 一平面简谐波在空间传播,如图所示,已知A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ,试写出:（1）该平面简谐波的表达式;（２）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d处）。

解：(1）仿照上题的思路,根据题意,A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ,它的振动是O 点传过来的，所以O 点的振动方程为：]2cos[ϕπν++=）（ult A y 那么该平面简谐波的表达式为：]2cos[ϕπν+++=）（ux u l t A y （2)B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程:]2cos[]2cos[ϕπνϕπν++=+-++=）（）（ud t A u l d u l t A y 也可以根据B 点的振动经过ud时间传给A 点的思路来做。

8-4． 已知一沿x 正方向传播的平面余弦波,s 31=t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2.(１）写出O 点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式; （３)写出A 点的振动表达式; (4)写出A 点离O 点的距离。

解：由图可知Ａ＝0.1ｍ，λ=0.４m,由题知T= 2s ，ω＝2π/Ｔ＝π,而u ＝λ/T ＝0．2m/s 。

波动方程为：y=0.1ｃo ｓ[π(t-x ／0.２)+Ф０］m 关键在于确定O 点的初始相位。

（1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0由图形可知：s 31=t 时y ０＝－A/２,v ０＜０，∴此时的φ=2π/3, 将此条件代入,所以：03132ϕππ+= 所以30πϕ=O 点的振动表达式y=0.１co ｓ［πt+π/3]m（2）波动方程为:y=０.1co ｓ［π(ｔ-x/０.2)+π/3］m (３）A 点的振动表达式确定方法与Ｏ点相似由上式可知:A 点的相位也可写成：φ＝πt+ФA0由图形可知:s 31=t 时y 0=０，v ０>0，∴此时的φ＝-π／２, 将此条件代入，所以：0312A ϕππ+=- 所以650πϕ-=AＡ点的振动表达式ｙ=0.１ｃｏｓ[πt-5π/6]m(４）将A 点的坐标代入波动方程，可得到Ａ的振动方程,与（3)结果相同,所以： y=０．1ｃos[π(t －ｘ／０.2）＋π/3]＝ 0.1ｃos[πt-5π/6]可得到：m x A 233.0307== ８-5. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。

已知原点的振动曲线如图所示。

试写出：(１)原点的振动表达式; (２)波动表达式;(３）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。

解:由图可知A ＝0.5cm ，原点处的振动方程为：y=Ac ｏs （ωｔ＋φ) t=０ｓ时 y ＝A ／2 v>0 可知其相位为φ1=3π- t=1ｓ时 y=０ v<0 可知其相位为φ２=2π代入振动方程,φ=3π-ω+φ＝2π 可得：ω=65πT ＝2π/ω=1２/５ 则 ｙ＝0.５cos(65πt-3π）ｃｍ(2）沿x 轴负方向传播,波动表达式：555y=0.5cos[(t+)-]=0.5cos[(t+)-]a 63643x x u ππππcm(３）根据已知的T ＝12/5，m/s 8.0=u ，可知：m 2548=λ那么同一时刻相距m 1的两点之间的位相差: 3.27rad 24252==∆=∆πλπϕx8-6. 一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进,波的平均强度为m )J/(s 100.93⋅⨯-，频率为Hz 300，波速为m/s 300。

问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少?每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵I=w u∴uI w =＝9.0×１0-3／300=３×10-5J ·m -3w max =2w ＝0．6×10-4Ｊ·ｍ-3(2)W=νπλπωud w d w V 224141===３×１0－5×1π／4×(0.１４）2×３00／３00=４．６2×10-7J 8－７. 一弹性波在媒质中传播的速度m/s 103=u ,振幅m 100.14-⨯=A ，频率Hz 103=ν。

若该媒质的密度为3kg/m 800，求：(1)该波的平均能流密度；(2）1分钟内垂直通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量。

解:ω＝2πγ=2π310⨯（1)）（）（）（s m J A u I •⨯=⨯⨯⨯⨯==-252324322/1058.110210*********πωρ (2)1分钟内垂直通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量 Ｗ＝ISt J 3451079.3601041058.1⨯=⨯⨯⨯⨯=-8-8. 1S 与2S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5λ=d ,2S 质点的振动比1S 超前2π． 设1S 的振动方程为t TA y π2cos10=，且媒质无吸收, (1）写出1S 与2S 之间的合成波动方程；（２）分别写出1S 与2S 左、右侧的合成波动方程。

解：（1）)2cos(1101r t A y λπϕω-+=)2cos(2202r t A y λπϕω-+=由题意：φ２0-φ10＝2π设它们之间的这一点坐标为x ，则 )2cos(101x t A y λπϕω-+=）（）（x t A x t A y λπϕωλλππϕω2cos ]4522cos[10102++=--++=相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。

合成波为：t Tx A y y y πλπ2cos2cos221=+= （2） 在S １左侧的点距离S 1为x ： )2cos(101x t A y λπϕω++=）（）（x t A x t A y λπϕωλλππϕω2cos ]4522cos[10102++=++++= 合成波为：）（λπxT t A y y y +=+=2cos 221在S ２右侧的点距离S 1为ｘ: )2cos(101x t A y λπϕω-+= ）（）（x t A x t A y λπϕωλλππϕω2cos ]4522cos[10102-+=--++= 两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为０。

8-９． 设1S 与2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2π。

若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何?又在2S 外侧各点的强度如何?解：由题意：φ1-φ２=2π， r 1 在S １左侧的点: AS １=r １, AS 2=r ２， Ａ Ｓ1 S ２∆φ=πλλππλπϕϕ-=--=---4/12221212r rr 2所以A ＝A 1－Ａ２=0,I=０; Ｓ1 S 2 A在S 2左侧的点： ＡS １=r 1， AS 2＝r ２, ｒ1 ∆φ=04/12221212=---=---λλππλπϕϕr r所以Ａ=A 1+A 2＝2A,I=4I ０;8－1０. 测定气体中声速的孔脱(K ｕｎｄｔ）法如下:一细棒的中部夹住,一端有盘D 伸入玻璃管，如图所示。

管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P ,使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。

若已知棒中纵波的频率ν，量度相邻波节间的平均距离d ，可求得管内气体中的声速u 。

试证：d u ν2=。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节（腹)间距:2λ=∆x ,再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d ，所以:2λ=d 那么:d 2=λ所以波速d u νλν2==8-１1. 图中所示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉。

S 为声源,D 为声音探测器,如耳或话筒。

路径SB D 的长度可以变化，但路径SAD 是固定的。

干涉仪内有空气,且知声音强度在B 的第一位置时为极小值100单位,而渐增至B 距第一位置为cm 65.1的第二位置时，有极大值900单位。

求：(1）声源发出的声波频率;(2)抵达探测器的两波的振幅之比。

解:根据驻波的定义,相邻两波节（腹）间距:2λ=∆x相邻波节与波腹的间距:4λ=∆x 可得:cm x 6.64=∆=λ声音的速度在空气中约为340m/ｓ，所以：）。

（hz u5151106.63402=⨯==-λν根据强度是振幅的平方的关系:声音强度在B 的第一位置时为极小值1０0单位, 在第二位置有极大值900单位,所以振幅的相对大小为1０与３0单位。

极小值的原因是两个振幅相减(A 1-A ２＝10 ) ,极大值的原因是两个振幅相加（Ａ１+A 2=３0 )。

那么Ａ１:A 2=2:１ 。

8-12． 绳索上的波以波速m/s 25=v 传播，若绳的两端固定，相距m 2,在绳上形成驻波,且除端点外其间有3个波节。

设驻波振幅为m 1.0,0=t 时绳上各点均经过平衡位置。

试写出:（1）驻波的表示式；（２）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。

解:根据驻波的定义,相邻两波节（腹)间距：2λ=∆x,如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离,224=⨯=∆λx ，所以波长m 1=λ，m/s 25=v ,所以）。