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2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1.(2006北京文)如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-91.解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B2.（2006北京理）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +-2.解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D3.(2006福建文、理)在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于( )A.40B.42C.43D.453．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.4.(2006广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A.5B.4C. 3D.2 4、解：3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C.5. (2006湖南理)数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12 B.23 C.32D.2 5．解：数列}{n a 满足: 311=a , 且对任意正整数n m ,都有n m n m a a a ⋅=+2111119a a a a +==⋅=，1113n n n a a a a +=⋅=，∴数列}{n a 是首项为31，公比为31的等比数列。
2006年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且a ∥b ，则x ＝A ．9B ．6C ．5D ．32．已知集合{}|3M x x =<，{}2|log 1N x x =>，则MN ＝A ．∅B ．{}|03x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|23x x <<3．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π 4．如果函数()y f x =的图像与函数()32g x x =-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为A ．23y x =-B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =--5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 上，则△ABC 周长是A．B ．6C．D ．126．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则前10项的和10S ＝A ．100B ．210C ．380D ．4007．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若12AB =，则A B ''＝A ．4B ．6C ．8D ．98．函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为A ．1()x y e x R +=∈ B ．1()x y e x R -=∈C ．1(1)x y ex +=>D ．1(1)x y ex -=>9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A ．53B ．43C ．54D ．3210．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x ＝A ．3cos2x -B ．3sin 2x -C ．3cos2x +D ．3sin 2x +11．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=12．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 A ．150种 B ．180种C ．200种D ．280种α βABA ′B ′第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．在4101()x x+的展开式中常数项是 ．（用数字作答）14．圆1O 是以R 为半径的球O 的小圆，若圆1O 的面积1S 与球O 的表面积S 的比为1:2:9S S =，则圆心1O 与球心O 的距离与球的半径比1:OO R ＝ ．15．过点的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k ＝ ．16．一个社会调查机构就某地居民的月收调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 人．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，45B ∠=，AC =cos C =，求 （1）BC 的值；（2）若点D 是AB 的中点，求中线CD 的长度．18．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，41S =，817S =，求通项公式n a ． 19．（本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该 批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设1AA AC =，求二面角11A AD C --的大小．21．（本小题满分12分）设a R ∈，函数2()22f x ax x a =--，若()0f x >的解集为A ，{}|13B x x =<<，A B ≠∅，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明：FM AB ⋅为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．22．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1,2,3,n =．（1）求1a ，2a ； AB CD E A 1B 1C 1（2）求{}n a 的通项公式．2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华）本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷上的答案无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A ·B ) = P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 234R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()( 本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）已知集合|1log |||,3||2>=<=x x N x x M ，则=N M（A ）φ （B ）|30||<<x x （C ）|31||<<x x （D ）|32||<<x x（2）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是（A ）2π（B ）4π （C ）4π （D ）2π （3）=-2)1(3i（A ）i 23 （B ）i 23- （C ）i （D ）－i（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A ）163 （B ）169 （C ）83 （D ）329 （5）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x ，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是（A ）32 （B ）6 （C ）34 （D ）12（6）函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为（A ）)(1R x e y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)1(1>=+x e y x （D ）)1(1>=-x e y x（7）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β 所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂 线，垂足为‘、B A '，则AB ：‘B A '=（A ）2：1 （B ）3：1 （C ）3：2 （D ）4：3 （8）函数)(x f y =的图像与函数)0(log )(2>=x x x g 的图像关于原点对称，则)(x f 的表达式为（A ）)0(log 1)(2>=x x x f （B ）)0()(log 1)(2<-=x x x f （C ）)0(log )(2>-=x x x f （D ）)0)((log )(2<--=x x x f（9）已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为 （A ）35 （B ）34 （C ）45 （D ）23 （10）若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则（A ）x 2cos 3- （B ）3x 2sin - （C ）x 2cos 3+（D ）x 2sin 3+（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ，则=126S S （A ）103 （B ）31 （C ）81 （D ）91 （12）函数∑→-=191)(n n x x f 的最小值为（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。
2006高考理科数学试题全国II 卷理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。
第Ｉ卷１至２页。
第ＩＩ卷３至４页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么(.)().()P A B P A P B =如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn nP k C P P -=- 一．选择题（1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（A ）∅ （B ）{}|03x x <<（C ）{}|13x x << （D ）{}|23x x <<（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D ）2π球的表面积公式24S R π=其中Ｒ表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中Ｒ表示球的半径（3）23(1)i =- （A ）32i （B ）32i - （C ）i （D ）i - （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A ）316 （B ）916 （C ）38 （D ）932（5）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A） （B ）6 （C） （D ）12（6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为 （A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y ex +=> （D ）1(1)x y e x -=>（7）如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π。
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A 1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣2S n+1=0．①代入上式得S n﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π（8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57（C ）58（D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。
高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角函数的图象和性质A 基础巩固训练1. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ） A ．s i n (2)3π=-y x B ．s i n (2)6π=-y xC ．s i n (2)6π=+y xD ．s i n ()23π=+x y【答案】B2. 设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最 小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点1(0)2,B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意可知，2ω=，根据题中所给的ϕ角的范围，结合图像关于直线23x π=对称,可知6πϕ=，故可以得到()sin(2)6f x A x π=+，而A 的值不确定，所以(0)f 的值不确定，所以A 项不正确，当2[,]123x ππ∈时，32[,]632x πππ+∈，函数不是单调的，所以B 项不对，而()06f A π=≠，所以,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数的对称中心，故D 不对，而又5()012f π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故选C ． 3. 已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，则()f x 的图象的一个对称中心是A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B4. 函数21cos -=x y 的定义域为（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33-ππ，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,3ππππk k ，k ∈ZC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k ，k ∈ZD ．R【答案】C【解析】定义域是021cos ≥-x ，即21cos ≥x ，根据x y cos =的图像，所以解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k ，k ∈Z 5. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3y a b x π=+-的最小正周期是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．2π 【答案】AB 能力提升训练 1.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除,C D 两项，在(0,)π上，函数值是正值，所以B 不对，故只能选A ． 2. 若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈D ．5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈【答案】D3. 已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（） A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【答案】B4. 函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A5.已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调减区间为（ ）A.7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ B.7[,],1212k k k Z ππππ++∈C.2[,],63k k k Z ππππ++∈D.2[2,2],63k k k Z ππππ++∈【答案】B【解析】()11()sin cos 1sin 21sin 21223f x x x x g x x π⎛⎫=+=+∴=++ ⎪⎝⎭，求单调减区间时令3722,2,3221212x k k x k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤+∈++∴∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C 思维扩展训练（满分30分）1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）)550(，（B ）)155(，（C ）)133(， （D ）)330(， 【答案】A此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得50a <<． 2. 已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时,1yx +的取值范围是（ ）A ．4[0,]3B ．3[0,]4C ．14[,]43D ．13[,]44【答案】D【解析】因为()sin (),()1cos 0f x x x f x f x x '-=--=-=+≥，所以函数()f x 为奇函数且为增函数，所以由22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤得222222(23)(41),(23)(41),2341,f y y f x x f y y f x x y y x x -+≤--+-+≤-+--+≤-+-22(2)(1)1,x y -+-≤当1y ≥时,1yx +表示半圆上的点P 与定点(10)A -，连线的斜率,其取值范围为13[,][,]44PB l k k =，其中(3,1),B l 为切线3. 若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m =，(,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为（ ）A ．2,A T π==B ．2,4A T π==C ．1,2A T π== D ．1,42A T π== 【答案】D【解析】由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+=，从而求得1()sin()226x f x π=-， 1,4.2A T π∴==.4. 函数23()3sincos 3sin 4442x x x f x m =+-+，若对于任意的33x π2π-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．32m ≥B ．32m ≥-C ．32m ≥-D ．32m ≥ 【答案】D5. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数； ②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π得到； ④若[0,]2x π∈，则()f x 的值域为[0,2]．则所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①② 【答案】D。
