“铺地锦”--格子乘法

数学铺地锦的计算方法数学上的“铺地锦”问题是一个经典的组合数学问题。

给定一个m × n 的方格矩阵，每个格子只能放置一个整数，要求满足以下条件：每个格子里的整数是不同的；每行和每列的数字和都相等。

人们希望找到所有可能的铺地锦方案。

下面我们就来介绍一种计算数学铺地锦的方法。

1. 规定m和n的关系为了简化问题，我们规定m≤n。

如果m>n，我们可以交换m 和n的值，然后将问题转换为m≤n的情况。

2. 构建矩阵我们首先构建一个m × n 的矩阵，其中每个格子的初始值都为0。

3. 枚举所有可能的排列采用回溯法的思路，通过递归的方式枚举所有可能的排列。

具体步骤如下：a. 遍历矩阵每个格子，从左上角开始，控制遍历的顺序为从左到右，从上到下。

b. 对于当前格子，如果它的值为0，则依次尝试将1到m*n 中的数填入其中。

注意，在填入前需要判断该数是否已经在当前行或当前列中出现过。

c. 填入一个数后，递归去处理下一个格子，递归的终止条件为填满整个矩阵。

d. 如果递归返回时，矩阵中的每行和每列的数字和相等，那么就找到了一个合法的铺地锦方案，将其输出。

4. 输出结果将步骤3中找到的合法方案输出即可。

对于每个方案，可以采用以下形式输出：将矩阵表示成m行n列的形式，每个格子中的值以空格隔开。

这样，我们就可以通过上述的计算方法来求解数学铺地锦问题了。

下面是一个示例：假设给定一个 2 × 3 的矩阵，我们首先构建一个 2 × 3 的初始矩阵：0 0 00 0 0然后我们开始递归枚举排列，首先尝试填入1，填入后的矩阵如下：1 0 00 0 0然后继续递归填入2，填入后的矩阵如下：1 2 00 0 0接下来依次填入3、4、5、6，最后找到一个合法方案：1 2 36 5 4使用递归的方法枚举所有可能的排列，并通过剪枝条件避免重复计算，可以高效地求解数学铺地锦问题。

希望以上内容对你有所帮助。

格子法计算讲解
一、格子乘法的前世今生
“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法，格子算法介于画线和算式之间。

相传,这种方法是最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区,后来通过阿拉伯人传入欧洲，并很快在欧洲流行。

这种方法后来传入我国,我国明朝数学家程大位在《算法统宗》一书中把它称为“铺地锦”。

这两种方法有相似的地方。

不过画线算法更直观、简便，格子算法介于画线和算式之间。

二、运算方法
1.画格子：格子由每一个因数的位数决定，m位数乘n位数，就画一个m×n的格子，比如三位数乘两位数，就画一个3×2的格子。

2.写因数：将因数对应写在格子的上方和右侧，注意因数必须统一按顺时针或逆时针顺序排列。

（因数按顺时针排列）
（因数按逆时针排列）
3.画对角线：画每一个小格子的对角线，这里需要注意，因数如果顺时针排列，连接左下到右上的对角线；因数如果按逆时针排列，连接左上到右下的对角线。

这样的目的是保证最后一步计算出结果的数字有书写的位置。

（因数按顺时针排列，连接左下到右上的对角线）
（因数按逆时针排列，连接左上到右下的对角线）
4.记录乘积：在被对角线分成的小格子里，记录对应的两个数字相乘的积，当积是一位数时，十位用“0”补足。

格子乘法的任性精髓，全部体现下面的文字里。

你可以不管数位是否对齐，不管先从哪一位算起，你可以逮着哪个格子就算哪个格子，想先算哪个格子就先算哪个格子。

绝对任性，绝对自由！。

人教版四年级上册第四单元《格子乘法》教学设计教学内容：人教版小学数学四年级（上）第四单元P48，“你知道吗？”学情分析：本课是人教版小学数学四年级（上）第四单元《三位数成两位数》的“你知道吗”文化衍生素材。

这是学生接触了表内除法，多位数乘一位数、两位数乘两位数基础上知识的深化与延伸。

学生是在学会三位数乘两位数的笔算方法，分析与观察、合作交流能力都有了一定的发展基础上，才认识格子乘法、理解和掌握格子乘法的计算方法的。

在经历探索格子乘法的过程中，唤醒和培养学生观察、分析和总结的学习能力，并能链接和拓展到数学文化，使其不仅能学到数学知识、掌握计算方法，又能享受数学文化的熏陶。

教学目标：知识与技能：认识格子乘法，理解、掌握格子乘法的计算方法，并能利用格子乘法的算法来解决问题。

过程与方法：学生在经历探究格子乘法的过程，进一步提高学生的学习能力、实践能力和创新能力。

情感态度与价值观：让学生在自主参与探究新知的活动过程中，激发学生的学习兴趣，并使其感受数学文化的熏陶。

教学重点：掌握格子乘法的计算方法。

教学难点：能利用格子乘法的算法来解决问题，并体验格子乘法--“铺地锦”的数学文化。

教具准备：多媒体课件等。

学具准备：水彩笔、学习单。

文化链接：数学史料·格子乘法——“铺地锦”数学史料格子乘法——“铺地锦”格子乘法最早记载于印度数学家婆什伽罗1150年著述的《丽罗娃提》中。

12世纪以后广泛流行于阿拉伯地区，后来又通过阿拉伯人传入欧洲，并在欧洲很快流行起来。

15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》中也介绍过格子乘法。

元明时期，格子乘法传入中国。

我国明朝数学家程大位在《算法统宗》一书中把它称为“铺地锦”。

一直到今天，还是有一些国家和地区在使用格子乘法。

教学过程：一、创设情境，激趣引入。

引出“格子乘法”。

同学们，看看这些是什么图形？这些格子又和乘法有什么样的关系呢？我们接着看一看。

学习单中有3组不同的格子，格子周围和格子中还有一些数，像这样用格子来计算乘法的方法叫做“格子乘法”。

三年级：美妙数学之“铺地锦”（1028三）
01
每个女孩，心中都有一双水晶鞋
什么是铺地锦
天天
爷爷，什么是铺地锦？
“铺地锦”最早是阿拉伯人用来计算乘法的一种古代算法，后来传入我国，我们智慧的劳动人民就给他取了个很好听的名字叫——
“铺地锦”。

爷爷
美美
如何使用铺地锦来计算乘法呢？
1.先画一个矩形，把它分成m×n个方格，在方格上边、右边分别写下两个乘数。

2.再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应的乘积。

3.然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一。

4.最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）
如：
爷爷
美美
太有趣了，我迫不及待地想来试一试。

我也是，我们一起用铺地锦来计算乘法吧。

天天
01
如何用铺地锦计算乘法
天天、美美，你们学会了吗？
爷爷
美美
我学会了用铺地锦计算两位数×一位数的乘法。

我学会了用铺地锦计算两位数×两位数的乘法。

嗯，你们太聪明了！其实不管是几位数的乘法，方法是一样的，只是数位越多，计算过程复杂一些，所以为了计算的简便，后来人们
又发明了现在的竖式计算。

爷爷
小朋友们，你们学会了吗？如果你对计算的过程还不是很明白，可以看看下面的视频。

美妙数学天天见，每天进步一点点，今天的话题我们就讲到这里，我们明天见。

制作：谢琰翡审核：邢佳立。

铺地锦解析意大利格子乘法算理解析500多年前，意大利的一本算术书中讲述了一种“格子乘法”，后来传入中国，在明朝的《算法统宗》中称为“铺地锦”。

你能仿照下面的例子算出“357×46”的积吗？46×75＝3450357×46＝分析与解：初看这道题，对“铺地锦”的计算方法不容易理解。

如果我们用乘法竖式的算法同它比较一下，就可以发现它们之间的联系，从而找到“铺地锦”的计算方法。

具体过程可以分成以下两步进行：一. 写出竖式二. 比较对照1. 比较因数和积的书写位置。

一个因数46分别写在格子的上方，另一个因数75写在格子的右面。

积3450，从低位起，依次写在格子的左边和下边。

2. 比较部分积的写法。

先看46乘以个位上的5，其中6与5的积30写在格子右下角的小格内，“0”写在斜线的下边，“3”写在斜线的上边；4与5的积20写在格子左下角的小格内，“0”写在斜线的下边，“2”写在斜线的上边。

接着看46乘以十位上的7，其中6与7的积42、4与7的积28，分别写在格子的右上角和左上角。

3. 比较部分积相加的方法。

笔算乘法的结果，是由各个部分积相加得到的。

那么“铺地锦”中的积3450是怎么得出的呢？从图中可以看出：3、4、5、0是由各条斜线格上的数相加得到的。

从右下角开始，第一条斜线格上单独一个0；第二条斜线格上“2＋3＋0＝5”；第三条斜线格上“4＋8＋2＝14”，格子外写4，1进到下一斜线格中，与第4条斜线格上的2相加得3。

4. 比较算理。

四条斜线格相当于竖式中的个位、十位、百位、千位。

每条斜线格上的数相加，相当于相同数位相加。

例如，右下角第二条斜线格上“2＋3＋0”，即表示2个十加3个十，再加0个十，得5个十（50）。

以上说明，“铺地锦”和笔算乘法的计算方法不同，但算理相同，结果相同。

现在用的笔算乘法比“铺地锦”简便得多了。

你能用“铺地锦”计算“357×46”吗？分析与解：初看这道题，对“铺地锦”的计算方法不容易理解。

“铺地锦（格子乘法）”数学史料峨眉二小杨林军【教学内容】人教版小学四年级上册第三单元《三位数乘两位数》的笔算乘法，教材第51、57页。

【教学建议】在教学完“三位数乘两位数”的笔算方法之后的练习拓展中介绍“铺地锦(格子乘法)”。

【价值界定】1、了解古代的乘法计算方法——“铺地锦”，会用这种方法计算三位数乘两位数。

2、通过古今乘法计算方法的比较，加深对三位数乘两位数相关知识的理解。

3、培养学生自主探索用“铺地锦”的方法计算两位数乘两位数、三位数乘两位数等的能力，激发对数学学习的兴趣。

【案例改编】一、出示错例：51页第7题。

请学生找出错因：乘的过程中漏写或没加进位。

二、过渡：曾经犯过这样错误的同学举手，其中还有些同学一而再再而三的犯这样的错误，真让人头疼。

可是你们知道吗，古时候的人们在计算乘法的时候就不怎么会犯这种错误，知道为什么吗三、其实，这跟古人的计算方法有很大的关系。

在中国明朝时期，那时候还没有出现乘法竖式这种计算方法，古人都是用《算法统宗》这本书中记录的一种“铺地锦”的方法来计算乘法的。

关于“铺地锦”，你都想了解些什么呢下面就请同学们一起看书57页.你知道怎样用“铺地锦”的方法来计算乘法了吗学生质疑，请看懂的学生解答。

提问：现在你能猜出为什么这种计算方法叫“铺地锦”了吗总结：“铺地锦”原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入我国，因为计算完了以后，形如我国古代织出的铺在地上的锦缎。

因此我国的劳动人民给这种计算格式起了一个很形象的名字——“铺地锦”。

你能用铺地锦的方法算出467×34的积吗所以467×34=15878提问：现在你知道为什么古人在计算乘法时不会出现刚才的错误了吗总结：在乘的过程中，一位数乘一位数如果出现两位数，可以都写在格子里，不需要在乘的过程中加，只要最后一步相加就可以了。

这样就避免出现了乘的过程中忘加进位的情况。

【参考资料】1、程大位在《算法统宗》中谈到了“写算”，也就是“铺地锦”。

数学小论文三年级下册铺地锦
铺地锦原来是古代阿拉伯人计算乘法时用的一种方法，后来传入我国，这种算法被起了一个很好听的名字：铺地锦。

你看前面米兰芬画的那个乘法图式，象不象用瓷砖铺起的地面。

我们如何用铺地锦来计算乘法呢？
比如要计算342×27，被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。

就可以画一个三列二行（竖的叫列，横的叫行）的方格，并画出一系列的对角线。

在方格上方写上被乘数342，每个方格上写一个数字，右方从上列下写出乘数27，然后就开始相乘：先用2分别乘以3、4、2，得到6、8、4，把这三个数字分别填在与被乘数、乘数的对应数字对齐的方格中，均填在下半格。

再用7分别乘3、4、2，得出21、28、14，把这三个数依次填在相应的格子中。

各个积的个位数字填在右下的半格中，十位数字填在左上的半格中，填完后，按斜线，把每两条斜线间夹的数字分别相加，和写在格子外的相应位置。

如和超过10，则格子外只记和的个位数字，而和的十位数字则在上一斜线间补记上。

（如图中加圈的两个数字）在上一斜线间数字求和时，这些补记的数字也要加进去。

全部加完后，从左上到右下沿格子外读数，即是所求积，即342×27＝9234。