核心考点解读——不等式二元一次不等式（组）表示的平面区域（II ）简单的线性规划问题（II ）利用基本不等式求最大（小）值问题（II ） 利用基本不等式求恒成立问题（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现， 一般考查二元一次不等式（组）表示的平面区域问题以及简单的线性规划问题，利用基本不等式求解最小（大）值问题，以及基本不等式的实际应用等.2.从考查内容来看，线性规划重点考查不等式（组）表示的可行域的确定，目标函数的最大（小）值的计算等，重点体现数形结合的特点.基本不等式则根据其模型计算最值问题，注意取到最值时的条件是否成立.3.从考查热点来看，求最值是高考命题的热点，通过线性规划求最值体现了数形结合思想以及特殊位置求最值的思想；通过基本不等式求最值，则在于模型化求最值方法的应用.1.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取(0,0)，若不等式相应的直线过(0,0)，则可在坐标轴上取(0,1)或(1,0).(2)能够确定不等式组表示的平面区域，并计算相应平面区域的面积.计算时要注意利用平面区域所呈现的多边形形状，利用面积公式求解. 2.简单的线性规划(1)解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：z ax by c =++型的线性目标函数；ay bz cx d-=-型的斜率型目标函数；22()()z x a y b =-+-型的两点间距离型目标函数等.(2)使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线. (3)解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.3.利用基本不等式求最值问题(1)利用基本不等式求最值的主要方法：和定积最大，积定和最小.(2)注意基本不等式应用的环境及最值取到的条件：一正二定三相等.(3)常用的不等式模型：①基本不等式链：若0,0a b>>，则2221122a b a baba b++≤≤≤+，当且仅当a b=时等号成立.②若0ab>，则2b aa b+≥，当且仅当a b=时等号成立.(4)利用基本不等式求最值的注意点：i)要能够通过恒等变形及配凑，使其“和”或“积”为定值；ii)要注意在正数范围内应用基本不等式，同时等号成立的条件要验证.4.利用基本不等式解恒成立问题(1)根据条件进行参变分离，然后利用基本不等式得到最值，利用参数与最值的大小关系比较得到范围.(2)根据参数的可能变化及给定的范围，分类讨论，逐步确定参数的取值范围.1．（2017高考新课标Ⅱ，理15）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是A．15-B．9-C．1D．92．（2017年高考新课标I，理14）设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y=-的最小值为.3.(2016高考新课标I，理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.4.(2016高考新课标III ，理13)若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则z=x +y 的最大值为_____________. 5．(2015高考新课标I，理15)若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为. 6．(2015高考新课标II，理14) 若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为____________．1．在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,A．B ．C ．D ．2．已知均为正实数,且,则的最小值为A．B．C ．D．3．已知点O为坐标原点,A(-1,1),若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围为A．B．C．D．4．某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润7万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得的最大利润是A．18万元B．万元C．33万元D．35万元5．记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，；，；，；，.其中的真命题是A．， B ．， C ．，D ．，6．已知实数满足,则目标函数的最大值为 ．1．若实数,,0a b c >，且()()625a c a b +⋅+=-，则2a b c ++的最小值为 A ．51- B ．51+ C ．252+D ．252-2．已知,x y 满足不等式组10040x x y x y -≥-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是A ．4B ．6C ．8D ．10真题回顾：1.A 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点(6,3)B --处取得最小值，min 2()3)56(1z --=⨯+=-，故选A ．2.5-【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C---，由32z x y=-得322zy x=-在y轴上的截距越大，z就越小，所以，当直线32z x y=-过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3(1)215⨯--⨯=-.3.216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件1.50.5150,0.390,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩目标函数2100900z x y=+.约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.x yx yx yxy+⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩①作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将2100900z x y=+变形，得73900zy x=-+，作直线：73y x=-并平移，当直线73900zy x=-+经过点M时，z取得最大值.解方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，得M的坐标为(60,100).所以当60x=，100y=时，max210060900100216000z=⨯+⨯=.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.4.32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y=+经过点A时，z取得最大值.由22020x yx y+-=⎧⎨-=⎩得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2A，则max13122z =+=．5.3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.6.32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z=-+，当z取到最大时，直线y x z=-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则z x y=+的最大值为32．名校预测1．【答案】A【解析】因为为正项等比数列,,所以.由基本不等式得(当且仅当时等号成立),由,解得142q=,所以.选A．2．【答案】C【解析】因为均为正实数,所以=(当且仅当时等号成立)，即的最小值为.选C．3．【答案】C【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.易知,.由题意得,,所以=.当过点时,取得最小值，为;当过点时,取得最大值，为.故,即的取值范围为.选C．4．【答案】C【解析】设甲、乙两种产品分别生产x件、y件,则,利润, 作出可行域,如图中阴影部分所示,根据目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知,当直线过点B(3,4)时,目标函数取得最大值，为33万元,故选C．5．【答案】A【解析】根据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示：由图可得，，，故正确，则错误；令，即，由图可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小，则，故正确，错误.6．【答案】5【解析】画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，联立．化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线y =2x ﹣z 过点A 时，直线在y轴上的截距最小，此时z 取得最大值，为5．专家押题1．【答案】D【解析】由基本不等式得22()()2()()26252(51)a b c a b a c a b a c ++=+++≥++=-=-()251=-，当且仅当51a b a c +=+=-时，等号成立，故选择D ．2．【答案】B 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线3y x =-，可知当直线经过点()1,3A 时，目标函数3z x y =+取得最小值，为6.故选B ．。
