弧_弦_圆心角PPT教学课件

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人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品

圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
二圆心角、弧、弦之间的关系合作探究观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
重合，
圆是中心对称图形
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
在同圆或等圆中
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OCA
辨一辨判断正误： (1) 等弦所对的弧相等.
（× ）
B
O·
D
C
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那
么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF. 理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE 1 AB，CF 1 CD.
2
2
∵ AB = CD，∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
A
E
B
Байду номын сангаасO·
D
F C
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，

数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角(共14张PPT)

四、课堂练习
1.如图：AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果⌒AB＝⌒CD，那么＿A＿B =＿CD ，∠A＿OB＿＝＿∠CO。D （2）如果AB =CD ，那么＿＿⌒ AB ＿=C⌒D，∠＿AO＿B＝＿∠C。OD （3）如果∠AOB＝∠COD, 那么＿⌒A＿B =＿C⌒D，AB＿=C＿D ＿。
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可以
把条件“在同圆或等圆中”去掉吗？你能举例
说明吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
B
不可以去掉，如图。
D
A OC
如图：在⊙o中，A⌒B =AC⌒;∠ACB＝60°。求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=⌒AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
在等圆中，画出两个相等的圆心角， ∠AOB和∠A′O′B′，并画出它所对的弦和弧。猜想：弦AB和弦A′B′，弧AB和弧A′B′有什么数量关系？
A B
O·
A1
B1 ·
O1
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等。
实验
在同圆中，相等的圆心角所对的弧也相等吗？所对的弦也相等吗？
A′
B′
O
又 ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
B
C
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
新知运用
例2、如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，
求∠AOE 的度数．
ED C
A
· O
B
解：∵ BC=CD=DE， BOC COD DOE=35 ，
AOE 180 335 75 .

弧弦圆心角课件

应用三：求解多边形内角和
弧弦圆心角定理
多边形内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
弧弦圆心角在多边形中的应用
通过弧弦圆心角定理，可以求解多边形内角和，进而解决与多边形内角相关的问题。同时，也可以利用多边形内角和的求解方法，推导其他几何图形的内角和公式。
05
弧弦圆心角在三角函数中应用
心角之差。
弧弦圆心角在波动中的应用
02
利用弧弦圆心角可以直观地表示波动的相位，从而方便地描述
两个波之间的相位差以及波的干涉、衍射等现象。
应用实例
03
利用弧弦圆心角分析两个同频率波的干涉现象，可以方便地得
出干涉加强或减弱的条件。
应用三：描述圆周运动中角速度与线速度关系
角速度与线速度关系
在圆周运动中，角速度与线速度之间的关系可以通过弧弦圆心角来描述。具体地，角速度等于单位时间内转过的弧弦圆心角所对应的弧度数，而线速度则等于角速度与半径的乘积。
要点二
利用弧弦圆心角关系判断三角函数方程的解的存在性
在解三角函数方程时，有时需要判断方程是否有解。此时，可以利用弧弦圆心角关系来判断方程是否有解。例如，当方程中的三角函数值超出其定义域时，可以判断该方程无解。
06
弧弦圆心角在物理中应用
应用一：描述简谐振动中相位差
相位差定义
两个同频率简谐振动的相位之差，等于它们所对应的弧弦圆心角之差。
。
性质定理二
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
性质定理三
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
判定方法二：利用三角函数判定

《圆心角、弧、弦之间的关系》课件

得∠AOB=∠A′OB′,=''.
相等.
探究点一
圆心角、弧、弦之间的关系
[例 1]如图所示,在☉O 中,=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠AOC=∠BOC.
[导学探究]
1.由=,可得 AB=AC
,即△ABC 是等腰三角形.
2.由∠ACB=60°,可得△ABC 是等边三角形,易得∠AOB=∠AOC=∠BOC.
2.圆的对称性
第1课时
圆心角、弧、弦之间的关系
一、圆的对称性
1.圆是旋转对称图形,无论绕
是圆心 .
圆心
旋转多少度,都能与自身重合,对称中心
2.圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等.
.
证明:如图所示,连结 OC,
因为 C 为的中点,
所以=.
所以∠MOC=∠NOC.
又因为 M,N 分别是 OA,OB 的中点,

所以 OM= OA,ON= OB.
因为 OA=OB,所以 OM=ON.
= ,
在△OMC 和△ONC 中, ∠ = ∠,
= ,
所以△OMC≌△ONC.所以 MC=NC.
圆心角、弧、弦三者之间的关系可以理解为:在同圆或等圆中,(1)圆心角相等;
(2)两条劣弧(或优弧)相等;(3)两条弦相等,三项“知一推二”,即一项相等,
其余两项皆相等.
证明:因为=,所以 AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.
又∠ACB=60°,
所以△ABC 是等边三角形.
所以 AB=BC=CA.

圆心角弧弦之间的关系课件

圆心角弧弦之间的关系 ppt课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角圆心角弦角弦弧中点角
弧长/圆半径弧对应的弧度数圆心角的一半圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的关系可用于计算建筑物的弧线结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角和弦的关系可用于确定转弯半径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关系可用于计算星体之间的距离和角度。

《弧线圆心角》人教版数学九年级上册PPT课件

圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
探究
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意角度呢？你发现了什么？
旋转60°
旋转90°
旋转120°
结论：一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形重合。
圆心角概念
顶点在圆心的角叫做圆心角。
（注意：判断是否圆心角时需观察顶点是否在圆心）
⌒⌒
∠AOB = ∠COD
（2）如果 AB=CD，那么____________，_____________．
AB=CD
෽ =
෽

AB=CD
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
A
E
B
·
O
D
F
随堂测试
(4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
෽ +
෽ =෾
෽
∴
+
෽．
෽ =
∴
∴AB＝CD．
随堂测试
3．如图，⊙中，弦与相交于点, = ,连接、.
෽ ；⑵ = .
෽ =
求证：⑴
证明（1）∵AB=CD，
෽ =
෽ ，即
෽ +
෽ =
෽ +
෽，
∴
B
∴点A与A1重合，B与B1重合
B1
∴射线OB与OB1重合，射线OA与OA1重合
·
O
∴∠AOB＝∠A1OB1
A
而同圆的半径相等OA=OA1，OB=OB1
∴AB=A1B1 (SAS)
在同圆或等圆中，
相等的弧所对的圆心角相等，
所对的弦相等

弧、弦、圆心角课件(1课时28张)

为E，F，OE与OF 相等吗？为什么？
练习
2．如图，AB 是圆O 的直径， ∠AOE 的度数.
，∠COD=35°. 求
练习——易错点
下面的说法正确吗?为什么? 如图，因为∠AOB =∠A’OB ’, 所以
不正确，在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对弧相等.
练习——计算如图，在圆O 中，答案：70° .
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
∠AOB =∠A’OB ’
练习
如图，在圆O 中，
, ∠ACB =60° . 求证：
∠AOB =∠BOC =∠AOC .
证明： ∴ AB =AC，△ABC 是等腰三角形又 ∠ACB =60° ∴ △ABC 是等边三角形，AB =BC =CA ∴ ∠AOB =∠BOC =∠AOC
圆心角
如图，BC 是圆O 的直径，则图中所有的圆心角分别是∠A_O__C__，__∠_A__O__B___.（填小于180°的角）
探究
下面我们一起来研究在同一圆中，圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图，在圆O 中，当圆心角∠AOB =∠A’OB ’时，
它们所对的弧
相等吗相等
？它们所对的弦AB 和A’B ’相等相等
弧的度数
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，同时整个圆也被分成了 360 份.则每一份这样的弧叫做 1°的弧.
1°的圆心角对着 1°的弧，1°的弧对着 1°的圆心角. n°的圆心角对着 n°的弧，n°的弧对着 n°的圆心角.
弧的度数
1°的弧
1° n°
n°的弧性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
∠AOB =∠A’OB ’

3.弧弦圆心角课件

顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
C
1度弧
D
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度
判断
在两个圆中，分别有 AB和CD , 若 AB 的度数和 CD 相等，则有
是圆周长的 1/6 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
心角是 60 度。
课堂检测
5.已知：如图，⊙O中， AB、CD
︵︵
交于E， ACB与DBC的度数相等。线
段DE与线段BE相等吗？证明你的结
论.
•
A
C
E
D
O B
2.如图，在⊙O中，∠B=37°，劣弧AB的度数是多少？
对应练习
1.在半径相等的⊙O和⊙´ O⌒中,A´⌒B和´ A B 所对的圆心
角都⌒是6⌒´0°´ . (1)⌒AB和´⌒A´B各是多少度?
(2)AB和A B 相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8 等分,那么
（1）AB 和 CD 相等
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆心角相等
例题分析
例1:已知：如图，在△ABC中, ∠C=90°， ∠A=34°,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点，求BD弧的度数.
A
问题：求BD弧的度数，可转化
为求什么？需添辅助线吗？
D
如何添？
C
B
对应练习
1.下列说法，正确的是（） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等

弦、弧、圆心角(课件)

∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=45°+30°=75°
∵OA=OC, ∠AOC=30°，
1
∴∠ACO= ×(180-30°)=75°
2
∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC
同理可得BF=BD，∴AE=CD=BF
三等分，弦AB与半径0C，
如图，在□ ABCD中，以A为圆心AB为半径的圆交AD、BC于F、G两点，延长BA
解：∵ BC =CD = DE，
E
D
BOC COD DOE =35 ，
75 .
C
A
·
O
B
例3.如图，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D将
OD分别交于点E，F.求证:AE=CD=BF.
证明:连接AC，BD
∵C，D将弧AB三等分，
∴AC=CD=BD
∵∠AOB=90°，且OA=OB
1.如图，O0的半径为13，弦AB的长度是24，ONLAB，垂足
为N，则ON的长为(
A.5
A)
B.7
C.9
D.11
2.如图，O0的弦AB垂直平分半径0C，则四边形OACB是(
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.以上答案都不对
B)
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重
合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
A.15°
C.75°
B.60°
D.150°
3.下列语句中，正确的有( A )
①圆心角相等,所对的弧也相等;②圆心角相等，所对的弦也相等;③长度相
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.

弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册

(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
෢ = ,
෢ ⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
෢
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
෢
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
෢ =
෢ = ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
෢
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
෢ = ,
෢ ∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）

弧、弦、圆心角PPT教学课件

H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大趋势。对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
第 3 课时弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的相等关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等__，所对的弦 _相__等___．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相__等____，所对的弦也__相__等____．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元醇进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、

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E
B
12
思考
1、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦都相等，所对的弦心距呢？
2、同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、包括弦心距存在着知一得二或是三甚至是n的相等关系,那么，如果一段弧是另一段弧的两倍，所对的弦也存在两倍的关系吗？
2020/12/11
13
课堂总结
圆心角概念
关系定理
弧、弦、圆心角
九上人教数学24.1.3
弧、弦、圆心角
2020/12/11
1
创设情景明确目标
回顾与思考：圆的对称性
回顾一
将一张圆形纸片沿直径对折，你发现了什么现象？说明了什么？
回顾二
将一张圆形纸片绕圆心旋转180度，你发现了什么现象？说明了什么？
回顾三
将一张圆形纸片绕圆心旋转任意角度，你发现了
什么现象？说明了什么？
2020/12/11
2
创设情景明确目标
点击概念
在圆中，任意画两条半径，得到一个顶点在圆心的角
B
A O
顶点在圆心的角叫做圆心角
本节课，我们将利用圆的对称性来研究同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间的关系。
2020/12/11
3
创设情景明确目标
学习目标
1. 能识别圆心角. 2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系. 3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算
E
D
C
A
·
O
B
2020/12/11
10
巩固训练强化目标
3、如图，已知AB、CD为 ⊙O 的两条弦，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A⌒D=B⌒C
C
求证AB＝CD.
B O
2020/12/11
D A
11
巩固训练强化目标
4、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O
的半径，弦BE∥OA。
求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
2020/12/11
题、证明题.
2020/12/11
4
合作探究达成目标
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到 ∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？
A′
B
B′
·
O
A
A O A O B B
ABA'B'.
⌒⌒
AB = A1B1
2020/12/11
5
合作探究达成目标
这样，我们就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角同所圆对或的等弧圆相中等，，
B
C
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2020/12/11
8
巩固训练强化目标
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
2020/12/11
④
9
巩固训练强化目标
2.如图，AB是⊙O的直径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
,
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
2020/12/11
14
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
15
几何语言
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ③AB=A′B′
A′ B
B′
O· A
2020/12/11
7
合作探究达成目标
例：如图在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠ACB=60°，
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. A
⌒⌒
证明：∵AB=AC
∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形．
O·
又∠ACB=60°，
所对的弦也相等．
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
同样，还可以得到：
有一组量相等，
在同圆或等圆中，如果两条弧相则等它，们那所么对它应们的所对的圆心角相等，所对的弦也其相余等各．组量也相
等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们
所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相
等．
2020/12/11
6
合作探究达成目标