信号取样与恢复实验报告概要

实验四信号取样与恢复一、实验目的1．了解模拟信号取样及恢复的基本方法。

2．理解和掌握时域取样定理，掌握无混叠和有混叠条件下信号取样与恢复的频域分析方法。

3．了解取样频率、取样脉冲宽度、恢复滤波器截止频率等对取样信号和恢复信号的影响。

4．熟悉DDS-3X25虚拟信号发生器的使用方法。

二、实验内容1．无混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分析，比较不同取样频率和取样脉冲宽度对取样及恢复信号的影响。

2．有混叠条件下正弦信号的取样与恢复测试分析。

3．非正弦周期信号的取样与恢复测试分析，比较不同恢复滤波器截止频率对恢复信号的影响。

三、实验仪器1．信号与系统实验硬件平台一台2．信号取样与恢复实验电路板一块3．DSO-3064虚拟示波器一台4．DDS-3X25虚拟信号发生器二台5．PC机（含DSO-3064、DDS-3X25驱动及软件）一台四、实验原理1. 信号取样信号取样与恢复实验电路板，如图4.1所示。

该电路板通过背面的两个DB9公头插接到硬件实验平台上使用。

)()()(t s t f t f s =图4.1 信号取样与恢复实验电路板电路板左侧为一个采用模拟开关进行取样的信号取样电路，取样脉冲序列为高电平（高电平对应电压应大于+1V ）时模拟开关接通、为低电平（低电平电压应小于-1V ）时模拟开关断开。

在“信号输入”端接入被取样模拟信号，通过改变取样脉冲序列（通常为矩形脉冲序列）的频率（该电路取样频率不宜超过256kHz ）和占空比，即可在“取样输出”端获得不同频率和不同取样脉冲宽度的取样信号。

取样信号()s f t 可用（4-1）式来描述(4-1)式中()f t 表示被取样模拟信号，()s t 为模拟开关的开关函数，当模拟开关接通时，()1s t =，反之则()0s t =。

电路板右侧是两个用作恢复滤波器的低通滤波器，可根据实验需要选用。

其中“恢复滤波器1”是一个截止频率约为1kHz 、通带增益等于4的二阶低通滤波器，其截止频率不可调节。

“恢复滤波器2”是一个截止频率可调，通带增益等于1的八阶巴特沃斯滤波器，其截止频率（转折频率）调节范围为0.1Hz~25kHz ，通过外接“控制时钟”信号f0来调节，滤波器转折频率为f0时钟频率的1/100。

由（4-1）式获取的取样信号()s f t 依然是一个时域信号。

设()f t 的频谱为()F j ω，()s t 的频谱为()S j ω，则根据频域卷积定理，()s f t 的频谱1()()*()2s F j F j S j ωωωπ=(4-2)设取样脉冲序列的周期为s T 、脉冲宽度为τ，则()()Sa 2s ss n n S j n ωτωτωδωω∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (4-3)式中2s s ωπ=为取样角频率、Sa()g 为取样函数，即()S j ω为取样函数包络下的冲激序列。

此时()()1()()*()Sa 222Sa 2s ss s n s s n s n F j F j S j F j n n F j n T ωωτωωωτωωππωττωω∞=-∞∞=-∞⎛⎫==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ (4-4)因此，取样信号的频谱()s F j ω是将原信号频谱()F j ω在ω轴上以s ω为间隔的非等幅周期延拓，如图4.2所示。

若()F j ω的幅度归一化为1，则第n 个延拓()s F j n ωω-⎡⎤⎣⎦的幅度为 ()Sa 2s s n A n T ωττ⎛⎫=⎪⎝⎭(4-5)利用式（4-5），式（4-4）可简化表示为()()()s sn F j A n F j n ωωω∞=-∞=-⎡⎤⎣⎦∑(4-6)在无混叠的条件下，0n =时延拓（称为主延拓）的波形形状和在ω轴上所处的位置与()F j ω完全相同，因为(0)=s A T τ，故主延拓的幅度为()F j ω的s T τ倍，如图4.2所示。

m mss图4.2 信号取样的时域与频域分析2 信号恢复能否由取样信号()s f t 重构（恢复）原模拟信号()f t ，是衡量原信号在取样之后是否保留了其所有信息的一个基本判据。

由图4.2可知，如果信号的取样满足取样定理，即s ω大于等于2倍信号带宽m ω（2s m ωω≥），则在对信号()f t 取样时，频谱()F j ω的周期延拓将不会发生混叠，()s F j ω中每一个延拓的波形与()F j ω的波形形状完全相同，幅度取决于()A n 。

在这种情况下，如果用一个截止频率c ω满足m c s m ωωωω≤≤-的理想低通滤波器()H j ω对()s F j ω进行滤波，则可以由()s F j ω完整地恢复()F j ω。

考虑到时域与频域的唯一对应性，也就表明可以由()s f t 重构原模拟信号()f t 。

该重构过程在频域与时域分别可以用以下数学模型来描述：()()()()()*()s s F j F j H j f t f t h t ωωω== (4-7)式中理想低通滤波器的频率响应()H j ω和冲激响应()h t 分别为2, ()()0, 2()Sa()c sc sc cc sT T H j g j h t t ωωωτωωτωωωωτω⎧≤⎪==⎨⎪>⎩=(4-8)式中2()cg j ωω是宽度为2c ω的频域门函数。

如果信号取样不满足取样定理，则()s F j ω中相邻的两个或多个周期延拓的波形将会有混叠发生。

通常无法从混叠后的频谱()s F j ω中找到与()F j ω波形相同的某个频带，即无法由发生混叠的信号重构原信号。

考虑下面这个一个例子：设()f t 为7000Hz 的余弦信号，即()=cos(14000)f t t π，取样脉冲频率为8000Hz （即16000/s rad s ωπ=）、占空比为20%（5s T τ=）。

因为[]()()(14000)(14000)2S()Sa 1600055n F j n j n ωπδωπδωπππωδωπ∞=-∞=++-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (4-9)则由式（4-4），可得()()()Sa 1400016000140001600055s n n F j n n ππωδωππδωππ∞=-∞⎛⎫=+-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ (4-10)分析式（4-10），可知在16000s ωωπ≤=范围内，()s F j ω包括以下几项()()()()()14000140005Sa 20002000, 1600055s F j πωδωπδωπππδωπδωπωπ=++-+⎡⎤⎣⎦⎛⎫++-≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(4-11)其中第1项为0n =的主延拓，后一项由1n =±时的延拓得到。

采用截止频率0.58000c s ωωπ==的理想低通滤波器160005, 8000()5()0, 8000H j g j πωπωωωπ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩(4-12)对()s F j ω进行滤波恢复，可得()()1()()()Sa 200020005s F j F j H j πωωωπδωπδωπ⎛⎫==++-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(4-13)1()F j ω对应的时域信号为1()Sa cos(2000)5f t t ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4-14)恢复的结果依然是一个余弦信号，但其频率为1000Hz ，幅度为Sa 5π⎛⎫ ⎪⎝⎭，与原信号()f t 不同。

在上述例子中，如果()f t 改为7000Hz 的方波或三角波等信号，其结果将如何，请读者自行分析。

由于理想低通滤波器是物理不可实现的，在实际工程应用中，受恢复滤波器特性的制约，取样角频率应略高于2m ω，才能更有效地抑制取样导致的信号混叠。

同时，实际恢复滤波器的阻带幅频响应并不能做到完全等于0，即使是在无混叠的条件下，也不可能完全滤除所有的高频分量，因此恢复得到的信号会有一定的畸变。

五、实验步骤1.按照要求连接完毕电路打开电脑并且安装驱动，完成软件的必要设置。

2.无混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分析调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：1KHz ，幅度：2V ，取样脉冲序列频率：10KHz ，幅度：2V ，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率：5KHz ，故时钟频率f0=512KHz 。

打开电源开关，观察波形。

改变取样脉冲序列的频率：20KHz ，观察波形。

再分别改变占空比为25%和75%，观察波形。

波形如下图所示。

（波形代表从上到下依次为：被取样信号，恢复输出，取样脉冲序列，取样输出）图5.2.1 取样频率10KHz 占空比50%图5.2.2 取样频率20KHz 占空比50%图5.2.3 取样频率10KHz占空比25%图5.2.4 取样频率10KHz占空比75%3.非正弦周期信号取样与恢复测试分析选取非正弦信号为三角波信号，频率：640Hz，幅度：2V，取样脉冲序列频率：10KHz，幅度：2V，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率分别为被取样基波频率的1倍，2倍，4倍，8倍，故时钟频率f0分别为64KHz，128KHz，256KHz，512KHz。

观察波形并且记录。

图5.3.1 截止频率640Hz图5.3.2 截止频率1280Hz图5.3.3 截止频率2560Hz图5.3.4截止频率5120Hz4.有混叠条件下正弦信号取样与恢复测试分析调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：5KHz，幅度：2V，取样脉冲序列频率：6KHz，幅度：2V，占空比：20%，恢复滤波器的截止频率：5KHz，故时钟频率f0=512KHz。

断开2台DDS-3X25的电源，然后取下他们之间的连接线“MULTIPROCESSOR LINK”，再次重新脸上电源，无需区分主控和被控设备。

重新设置如上参数，打开电路电源，观察波形如右图所示。

5.观测无混叠条件下正弦取样与恢复下的信号频谱波形调节输入被取样模拟信号（正弦波）频率：1KHz，图5.4.1 有混叠条件幅度：2V，取样脉冲序列频率：10KHz，幅度：2V，占空比：50%，恢复滤波器的截止频率：5KHz，故时钟频率f0=512KHz。

使用DSO-3064自带的频谱分析功能。

设置方法如下：选择DSO-3064软件界面的菜单“设置”→“MATH”选项，在弹出的“MATH设置”窗口中“运算”选择“FFT”，并勾选“开/关”选项，“OK”即可启动频谱分析功能。

观察频谱图像如图所示。

图5.5.1 被取样信号频谱图5.5.2 取样脉冲序列频谱图5.5.3 取样输出频谱图5.5.4 恢复输出频谱六、实验结果分析1. 无混叠条件下正弦信号的取样与恢复分析（1）根据实验结果（重点是无混叠条件下各信号的频谱），结合课程相关内容，参考图4.2及取样与恢复实验原理的介绍，从频域的角度，分析无混叠条件下信号取样与恢复的原理，据此阐述自己对取样定理的理解。