数学：第25章解直角三角形单元测试(沪科版九年级上)

沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。

第25章 解直角三角形§25.1 测量【学习目标】1.了解测量物体高度和物体之间距离的方法.2.学会运用相似三角形对应边成比例或勾股定理解决相关测量问题. 【课前导习】1．在△ABC 中，若∠C=90° , ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则a 2+b 2= ．2．若△ABC ∽DEF,AB=6，DE=8，则)(AB=)(BC=)(DF= ．3. 地图上A 、B 两地的图上距离是1.6m ，比例尺为1：20000，则实际距离是 km ．4.一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是 ． 【主动探究】问题一： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．问题二：如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识，你知道吗？．试一试：如图25．1．2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．【当堂训练】1.在同一时刻，物高与影长成正比。

若高为1.5m 的竹竿的影长为2.5m ，则影长为30m 的建筑物高为 （ ）A 、20米B 、18米C 、16米D 、15米 2.一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距 海里．3.如图，A 、B 两村庄被湖水隔开，在AB 外取一点C ，连接AC 和BC,并分别找出其中点M 、N,若测得MN=15米， 则A 、B 两村庄的距离为 ．4．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？5．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）【回学反馈】1.如图，C 、D 两个村庄，分别位于一个湖的南北两端A 和B 的正东方向上，且D 位于C的北偏东30°方向上，CD=6km ，则AB= ．2. 旗杆上一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成30°角，顶端着地处B 与旗杆底端相距4米，则原旗杆高为 米．3.如图，一架长2.5米德梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2米，请你计算此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？李家兴A C DECA B§25.2 锐角三角函数课时一 锐角三角函数的概念【学习目标】1.理解锐角三角函数的概念.2.学会锐角三角函数概念的应用. 【课前导习】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则sinA= ，cosA= ,tanA= ,cotA= ，分别叫做∠A 的 、 、 、 ，统称锐角∠A 的三角函数.2.在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边比值都是 .3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA= ，cosA= ,tanB= ,cotB= .4. 在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C=30°若BC=10，则AB= . 【主动探究】概 念如图25．2．1，在Rt △ABC ，∠C=90°，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示．请思考：1.如图25．2．1，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边、邻边与对边、对边与斜边、邻边与斜边的比值是一个什么值？．2.如图25．2．2，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边、邻边与对边、对边与斜边、邻边与斜边的比值是一个什么值？图25.2.1图25.2.2概 括1.在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值都是唯一确定的．2.因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．3.锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1.A C Bc ba例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知AC=7，BC=24，求∠A 的四个三角函数值．例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，且AD=2，AC=3，∠B 的四个【当堂训练】1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,下列式子中成立的是 （ ）A 、a=c •sinB B 、a= c •cosBC 、a=c •tanBD 、a=c •cotB2.在Rt △ABC 中，将其三边都扩大3倍，则锐角∠A 的余弦值将 （ ）A 、扩大3倍B 、缩小3倍C 、不变D 、不能确定3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA= ，cosA= ,tanA= ,cotA= .4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA=54，那么tanB= . 5.已知∠A 为锐角，则2)1(cos A = .6.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AD=4，CD=3,求∠B 的四个三角函数值.【回学反馈】1.在直角三角形中，各边长度都缩小2倍，则锐角B 的三角函数值将 （ ）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、不变D 、有的扩大，有的缩小 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是 （ ）A 、sinA=23 B 、tanA=21C 、cosB= 23D 、tanB= 3 3. 如果∠A 为锐角，sinA=2m-1，则m 的取值范围是 . 4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=8，sinA=41，则AC= . 5.如图，∠ACB=90，CDAB 于D.（1）若AD=2，BD=8，求cosB.（2）若AD:BD=9:16，求∠A 的四个三角函数值.李家兴ABD B§25.2 锐角三角函数课时二 同角三角函数的关系【学习目标】1.理解同角三角函数的关系.2.学会同角三角函数关系的简单应用. 【课前导习】1.（1） 在直角三角形中，sin 230°+cos 230°= ， tan60° •cot60°= . （2） sin30°=cos( ) °， tan60°=cot( ) ° （3） 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sin 246°+ cos 2A =1，则∠A= . （4） 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB •cot52°=1，则∠B= . 【主动探究】问题一：在直角三角形中，同一锐角的三角函数之间有何关系？（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=探讨：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，∵ sinA=c a ，cosA=cb； ∴ sin 2A+cos 2A=22c a +22c b =222cb a + 又∵ 2a +b 2=c 2∴ sin 2A+cos 2A= ，试一试：﹡（2）倒数关系：tanA •cotA= ，﹡（3）商的关系：tanA=)()( , （4）cotA=)()(.﹡问题二：在Rt △ABC 中，∠A+∠B=900,两个锐角∠A 、∠B 的三角函数之间有何关系？ （1）sinA=cos(90°-A)=cos ， （2）cosA=sin(90°-A)=sin ，(3) tanA=cot(90°-A)=cot ， （4）cotA=tan(90°-A)=tan . 问题三：在直角三角形中，一个锐角的正弦值、正切值随角度增大或减小将如何变化？余弦值、余切值呢？例题讲解例1 若在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA=53 ACBcb a求：（1）cosB 、 tanA 、cotB 的值；（2）tanA •cotA例2 化简 sin 210°+ 2tan46°• tan44°-sin 280°【当堂训练】1.下列结论正确的是 （ ）A 、cot43°-cot47°﹤0B 、若 ∠A+∠B=90°，tanA=cotBC 、tan15°•tan75°=1D 、sin26°=cos(90°-26°) 2. 已知∠B 为锐角，若cosB=sin75°，则∠B= .3.比较sin49°、cos49°、tan49°的大小关系： （ 用“﹤”号连接）.4.已知∠A 为锐角，且sinA-cosA=51，则sinA •cosA= . 5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=135，BC=24，则AC= .6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=257，求cosA 、tanA 、cotA 的值.7.已知tanA 、cotA 是关于x 的方程kx 2-10x-4=0的两根，求k 的值.【回学反馈】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cotA=73，则tanA= . 2.比较大小：（1）sin46° cos46°，（2）tan12° cot12°.3.计算sin 269°+tan1°• tan2°•tan3°…tan88°•tan89°+sin 221°= . 4.已知∠A 为锐角，tanA 是x 2-2x-3=0的一根，则tan 2A+ 2tanA+1= . 5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5 求：（1）sinA 、cosA ； (2) sin 2A+cos 2A6.如图，在直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为（10,0），点B 在第一象限内，BO=5，sin ∠BOA=3，求：（1）点B 的坐标；（2）cos ∠BAO 的值. 李家兴§25.2 锐角三角函数课时三 特殊角的三角函数值【学习目标】1.了解特殊角的三角函数值的推导方法.2.掌握特殊角的三角函数值及简单应用. 【课前导习】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则sinA= 、 cosA= 、 tanA= 、cotA= .2.在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比是 .3.若2sinA=3，则∠A= ；若2cos （B-10°）=1，则∠B= .4.计算（1） tan60°•cot60°= ，（2） sin 245°+cos 245°= .5.反比例函数y=xk图像经过点（tan45°，cot30°），则k= . 【主动探究】探索：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它的对边与斜边比值是多少？ （方法一：用刻度尺度量计算；方法二：通过逻辑推理说明）。

九年级上册数学单元测试卷-第23章解直角三角形-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.2、已知α为锐角，且tan（90°－α）＝，则α的度数为（）A.30°B.60°C.45°D.75°3、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A.sinA=sinBB.sinA=cosBC.tanA=tanBD.cosA=tanB4、如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A. B. C. D.5、如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠c=50°，那么sin∠AEB的值为（）A. B. C. D.6、身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（）A.甲的最高B.丙的最高C.乙的最低D.丙的最低7、tan30°的值等于（）A. B. C. D.8、如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。

若∠BAC=α，则此车的速度为( )A.5tanα米/秒B.80tanα米/秒C. 米/秒D. 米/秒9、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D（4，4），cos ∠BCD＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k 的值为（）A.14B.7C.8D.10、如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，则AB的长是（）A.4B.3+C.5D.2+211、Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，AC=6cm，那么BC等于（）A.8cmB. cmC. cmD. cm12、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A. B. C. D.13、如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B 时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒②矩形ABCD的两邻边长为BC=6cm，CD=4cm；③sin∠ABS= ；④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④14、一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为S1，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为S2，若S2＝2S1，则矩形的长宽之比（）A.2B.C.D.15、如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为A. B. C. D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=，则菱形ACEF的面积为________．17、用计算器求tan35°的值，按键顺序是________ ．18、某建筑物的走廊墙壁上搭了-个长4m的梯子，梯子底端正好与地面成45°角，影响了人们的正常行走．为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60°，则行路通道被拓宽了________m(结果保留根号)．19、已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是________米（结果保留根号）．20、如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为________.21、在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB= ，则sinC=________．22、如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=________．23、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为________．24、4cos30°+ +|﹣2|=________．25、如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（﹣1）2+| ﹣1|+2sin45°．27、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．28、在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．29、如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）.30、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD＝1，DC＝2CE．求证：cos∠ADE ＝．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、A5、D6、B7、C8、A9、B10、C11、A12、D13、C14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、。

第25章 解直角三角形(25.3)测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（ ）A.30米B.10米C.米D. 米103010102．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC 为，则两树间的坡面距离AB 302m 为（ ）Ａ．Ｄ．4m m 3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）Ａ.250ｍ Ｂ．ｍ Ｄ．ｍ4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（ ）Ａ．B.C.D.23323443（ 第2题 ）（ 第3题）（ 第4题）5．如果∠A 是锐角，且，那么∠A=（ ）A cos A sin A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（ ）cm6cm 36CABDA.B.C.D.03006009001207．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ） A ．150B ．C ． 9D ． 73758．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，，则边AC 的长是（ ）2sin 3A = AB ．3C ．D 439．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）A.(m 2) B.(m 2) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2)αsin 1600αcos 160010.如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若 tan ∠BCD ＝，31则tanA ＝（ ） A.1B.C.D.312332第4题图CDBA（ 第9题 ）（ 第10题）二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．已知为锐角, sin()=0.625, 则cos =___。