江苏省天一中学高考数学模拟卷(1)

2020年高考数学第一次模拟试卷一、填空题（共14个小题）1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为．3．函数的定义域为．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为．14．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为．二、解答题15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题.[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．复数z＝（i为虚数单位）的虚部为1．解：z＝＝i+1的虚部为1．故答案为：1．3．函数的定义域为[4，+∞）．．解：函数f（x）＝有意义，只需log2x﹣2≥0，且x＞0，解得x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．4．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为．解：在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的两张，基本事件总数为n＝＝10，抽取的两张卡片编号之和是偶数包含的基本事件个数：m＝＝4，则抽取的两张卡片编号之和是偶数的概率为p＝．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为．解：因为双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，可得＝，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x．故答案为：y＝±x．6．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为时，可使得所用材料最省．解：如图所示，设圆柱的高为h，底面半径为r．由题意，128π＝πr2•h，∴S＝2πr2+2πr•h＝＝≥3．当且仅当，即当r＝4时取等号．此时h＝＝8．∴它的底面半径和高的比值为．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2＝2px 上，则实数p的值为．解：双曲线的右准线x＝，渐近线y＝x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，），交点在抛物线y2＝2px上，可得：＝3p，解得p＝．故答案为：．8．已知α是第二象限角，且，tan（α+β）＝﹣2，则tanβ＝﹣．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∵tan（α+β）＝＝＝﹣2；∴tanβ＝﹣．故答案为：﹣．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝﹣42．解：由题意可得：2×（﹣8﹣6）＝6+S9﹣（﹣8），解得S9＝﹣42．故答案为：﹣42．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，若点A1的横坐标为1．则点A2的横坐标为3．解：因为点A1的横坐标为1，即当x＝1时，f（x）＝sin（ω+）＝，所以ω+＝2kπ+或ω+＝2kπ+（k∈Z），又直线l：y＝与函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2…，所以ω+＝，故ω＝，所以：函数的关系式为f（x）＝sin（）．当x2＝3时，f（3）＝sin（）＝，即点A2的横坐标为3，（3，）为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．11．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝．解：如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得＝b12，∵e1＝，∴a1＝，∴b12＝a12﹣c2＝c2（），同理可得＝b22，∵e2＝，∴a2＝，∴b22＝c2﹣a22＝c2（1﹣），∴c2（﹣1）＝c2（1﹣），即，∵e2＝3e1，∴e1＝．故答案为：．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，，，AE的延长线交BC边于点F，若，则＝．解：作DG∥AF交BC于G；∴，∴FE＝DG；BF＝FG；①∵，∴DG＝AF；FG＝GC；②联立①②可得EF＝AF；AE＝AF；BF＝BC；∵＝（+）•＝﹣[+（﹣）]•（）＝﹣（+）•（）＝﹣[﹣﹣]＝﹣[×22﹣•﹣×22]∴＝；则＝•＝×（）•＝×（•+）＝×（×+×22）＝；故答案为：．13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣e ax（其中e是自然对数的底数），若f（2020﹣ln2）＝8，则实数a的值为3．解：根据题意，f（x）的图象关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x）又由f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），则有f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．则f（x）是周期为4的函数，故f（2020﹣ln2）＝f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣（﹣e x•ln2）＝8，变形可得：2x＝8，解可得x＝3；故答案为：314．已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程f2（x）﹣3a|f（x）|+2a2＝0恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为{}∪[，）．解：当x≤2时，令f′（x）＝＝0，解得x＝1，所以当x≤1时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增，当1≤x≤2时，f′（x）＜0，则f （x）单调递减，当x＞2时，f（x）＝＝单调递减，且f（x）∈[0，）作出函数f（x）的图象如图：（1）当a＝0时，方程整理得f2（x）＝0，只有2个根，不满足条件；（2）若a＞0，则当f（x）＜0时，方程整理得f2（x）+3af（x）+2a2＝[f（x）+2a][f（x）+a]＝0，则f（x）＝﹣2a＜0，f（x）＝﹣a＜0，此时各有1解，故当f（x）＞0时，方程整理得f2（x）﹣3af（x）+2a2＝[f（x）﹣2a][f（x）﹣a]＝0，f（x）＝2a有1解同时f（x）＝a有2解，即需2a＝1，a＝，因为f（2）＝＝＞，故此时满足题意；或f（x）＝2a有2解同时f（x）＝a有1解，则需a＝0，由（1）可知不成立；或f（x）＝2a有3解同时f（x）＝a有0解，根据图象不存在此种情况，或f（x）＝2a有0解同时f（x）＝a有3解，则，解得，故a∈[，）（3）若a＜0，显然当f（x）＞0时，f（x）＝2a和f（x）＝a均无解，当f（x）＜0时，f（x）＝﹣2a和f（x）＝﹣a无解，不符合题意．综上：a的范围是{}∪[，）故答案为{}∪[，）二、解答题：共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知△ABC为正三角形，D，E分别是AC，CC1的中点，平面AA1C1C⊥平面ABC，A1E⊥AC1．（1）求证：DE∥平面AB1C1；（2）求证：A1E⊥平面BDE．解：（1）证明：D，E分别是AC，CC1的中点，∴DE∥AC1，DE⊈平面AB1C1，∵AC1⫋平面AB1C1，故DE∥平面AB1C1；（2）证明：△ABC为正三角形，所以BD⊥AC，因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，故BD⊥平面AA1C1C，A1E⊂平面AA1C1C，所以BD⊥A1E，又A1E⊥AC1，DE∥AC1，所以A1E⊥DE，又BD∩DE＝D，所以A1E⊥平面BDE．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求tan2C的值．解：（1）在△ABC中，由余弦定理b2+c2﹣2bc cos A＝a2，得，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5．（2）由及0＜A＜π得，，所以，又因为0＜C＜π，所以，从而，所以．17．截至1月30日12时，湖北省累计接收揭赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套，N95口罩47.9万个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等．某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆載重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720t物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车16次，B型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，B型卡车378元．求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，化简得：，目标函数z＝240x+378y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点A时，截距z最小，解方程组，得点A的坐标为（，0），又∵x∈N，y∈N，∴点A（，0）不是最优解，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝240×8+378×0＝1920，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1920元．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝，又由右准线方程为x＝2，得到＝2，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝1所以，椭圆C的方程为+y2＝1（2）设B（x1，y1），而A（0，1），则M（，），∵＝，∴N（，），因为点B，N都在椭圆上，所以，解得：y1＝，x＝所以（3）由原点O到直线l的距离为1，得＝1，化简得：1+k2＝m2联立直线l的方程与椭圆C的方程：，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，且△＝8k2＞0，∴•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）﹣+m2＝＝＝＝λ所以k2＝，所以△OAB的面积S＝1×AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，因为S＝在[，]为单调减函数，并且当λ＝时，S＝，当λ＝时，S＝，所以△OAB的面积S的范围为19．设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论解：（I）∵f（x）＝2x2+alnx，∴f′（x）＝4x，由题意可得，f′（1）＝2，f（1）＝2∴4+a＝2，2+m＝2∴a＝﹣2，m＝0，（II）∵f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，2（2x﹣1）2+aln（2x﹣1）+2＞2（2x2+alnx），整理可得，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]＞0对任意x∈[2，+∞）恒成立，∴4﹣a（n4﹣ln3）＞0即a当a时，4（x﹣1）2﹣a[2lnx﹣ln（2x﹣1）]设g（x）＝4（x﹣1）2﹣，则g′（x）＝8（x﹣1）[（2x2﹣x）﹣]∵x≥2，∴x﹣1＞0，，∴g′（x）＞0，即g（x）单调递增，g（x）＞g（2）＝0综上可得，a（III）不可能有三个不同的实根，证明如下：令g′（x）＝f（x）+2cos x，若g（x）＝5有三个不同的实数根，则g（x）至少要有三个单调区间，则g′（x）＝0至少有两个不等实根，所以只要证明g′（x）＝0在（0，+∞）至多1个实根，g′（x）＝4x，g′′（x）＝4﹣2cos x﹣∵，∴g′′（x）＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g′（x）＝0至多1个根，当a≥0时，（4x﹣2sin x）′＝4﹣2cos x＞0，∴y＝4x﹣2sin x在（0，+∞）上单调递增，∴y＝4x﹣2sin x＞0，又因为a≥0时，∴＞0，g′（x）＝0g′（x）在（0，+∞）上没有实数根综上可得，g′（x）＝0（0，+∞）上至多一个实数根，得证20．已知f（x）＝x3+ax2+bx，a，b∈R．（1）若b＝1，且函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，x1＜x2，且存在x0满足x1+2x0＝3x2，令函数g （x）＝f（x）﹣f（x0），试判断g（x）零点的个数并证明你的结论．解：f′（x）＝3x2+2ax+b，（x∈R），（1）当b＝1时，f′（x）＝3x2+2ax+1，因为f（x）在区间（﹣1，）上单调递增所以当x∈（﹣1，）时，f′（x）＝3x2+2ax+1≥0恒成立．函数f′（x）＝3x2+2ax+1的对称轴为x＝﹣．①﹣＜﹣1，即a＞3时，f′（﹣1）≥0，即3﹣2a+1≥0，解之得a，解集为空集；②﹣1，即﹣时，f即，解之得，所以﹣③﹣，即a时，f≥0即3+a+1≥0，解之得a≥﹣，所以﹣综上所述，当﹣函数f（x）在区间（﹣1，）上单调递增．…（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，且函数f（x）在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∵g′（x）＝f′（x）∴函数g（x）也是在区间（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减∵g（x0）═f（x0）﹣f（x0）＝0，∴x0是函数g（x）的一个零点．…由题意知：x1+2x0＝3x2，g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）∵x1+2x0＝3x2，∴2x0﹣2x2＝x2﹣x1＞0，∴x0＞x2∴f（x2）＜f（x0），∴g（x2）＝f（x2）﹣f（x0）＜0又g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝x13+ax12+bx1﹣（x03+ax02+bx0）＝（x1﹣x0）（x12+x1x0+x02+ax1+ax0+b）＝（x1﹣x0）（x12+x1•+（）2+ax1+a•+b）＝（x1﹣x0）（3x12+2ax1+b+9x22+6ax2+3b）∵x1，x2是方程f′（x）＝3x2+2ax+b＝0的两个根，∴3x12+2ax1+b＝0，3x22+2ax2+b＝0…∴g（x1）＝f（x1）﹣f（x0）＝0∵函数g（x）图象连续，且在区间（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增∴当x∈（﹣∞，x1）时，g（x）＜0，当x∈（x1，x0）时g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g（x）＞0，∴函数g（x）有两个零点x0和x1．…（16分）[选做题]本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，曲线C的极坐标方程是．由，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ，整理的直角坐标方程为：x2+y2＝4x+4y，所以曲线C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8．（2）由（1）知圆C半径，利用圆心到直线的距离，所以．[选修4-5：不等式选讲」23．已知x1，x2，x3∈（0，+∞），且满足x1+x2+x3＝3x1x2x3，证明：x1x2+x2x3+x3x1≥3．【解答】证明：∵x1+x2+x3＝3x1x2x3，∴，∴，当且仅当“x1＝x2＝x3＝1”时取等号，故x1x2+x2x3+x3x1≥3，即得证．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线x+y﹣1＝0上，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交抛物线线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段AB上，P是DE的中点，证明：AP∥EF．解：（1）抛物线C的焦点F坐标为，且该点在直线x+y﹣1＝0上，所以，解得p＝2，故所求抛物线C的方程为y2＝4x；（2）由点F在线段AB上，可设直线l1，l2的方程分别为y＝a和y＝b且a≠0，b≠0，a≠b．则，，D（﹣1，a），E（﹣1，b）∵P是DE的中点，∴直线AB的方程为，即4x﹣（a+b）y+ab＝0，又点F（1，0）在线段AB上，∴ab＝﹣4，，，由于AP，EF不重合，所以AP∥EF．25．在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望．【解答】角：（1）某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛．选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数为：m＝+＝28．（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的概率分布为：X0123PX的数学期望E（X）＝＝．。

2023届高三数学测试题数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设复数z 满足()12i 1z +=+，则z 的虚部为（）A.2i -B.2iC.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】先求出1+，再根据复数的除法运算求出z ，由虚部的定义即可求解.【详解】因为15+=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z -===-++-.所以z 的虚部为2-.故选:C.2.已知集合{Z |13}A x x =∈-<<，{|30}B x x a =-<，且(){}R 1,2A B ⋂=ð，则a 的取值范围为（）A.()0,4 B.(]0,4 C.(]0,3 D.()0,3【答案】C 【解析】【分析】先求得{0,1,2},{|}3a A B x x ==<，得到R {|}3a B x x =≥ð，结合题意得到不等式013a<≤，即可求解.【详解】由集合{Z |13}{0,1,2}A x x =∈-<<=，{|30}{|}3a B x x a x x =-<=<，可得R {|}3a B x x =≥ð，因为(){}R 1,2A B ⋂=ð，所以013a<≤，解得03a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,3.故选：C.3.直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay +-=平行，则实数=a （）A.1a = B.1a =- C.1a =或1- D.0【答案】A 【解析】【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.【详解】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay +-=平行，所以210a -=且10a --≠，解得1a =.故选：A .4.对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为1r ，21S ，21R ，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为2r ，22S ，22R ，则（）A.若12r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B.若2212r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C.若2212S S >，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D.若2212R R >，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好【答案】B 【解析】【分析】由线性相关系数r 与决定系数2R 的意义及残差平方和2S 与2R 的关系即可求解.【详解】线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故A 错误，B 正确；残差平方和2S 越小，则决定系数2R 越大，从而两个变量拟合的效果越好，残差平方和2S 越大，则决定系数2R 越小，从而两个变量拟合的效果越差，故C 、D 错误.故选：B 5.函数2()1cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的部分图象为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可.【详解】21e ()1cos cos 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以1e e 1()cos cos ()1e e 1x x xx f x x x f x -----=⋅=⋅=-++，所以()f x 为奇函数，故排除A ，D ；当πx =时，ππ22(π)1cos π101e 1e f ⎛⎫=-=-> ⎪++⎝⎭，故排除B ；故选：C.6.在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且1b =，cos cos A a B a -=，则（）A.ππ64A << B.ππ63A <<C.ππ43A << D.ππ42A <<【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得2B A =，再根据角,,A B C 都是锐角即可求解.【详解】因为1b =，cos cos A a B a -=，所以cos cos b A a B a -=，所以由正弦定理得sin cos sin cos sin B A A B A -=，即()sin sin B A A -=，因为π02A <<，π02B <<，所以ππ22B A -<-<，所以B A A -=，即2B A =，因为π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π02π022π0π22A A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得ππ64A <<.7.如图，在平面直角坐标系中，以OA 为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E ，F 两点，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若直线EF 的斜率为14，则()sin αβ+=（）A.1517-B.817-C.817D.1517【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得tan 42αβ+=-，再根据二倍角的正切公式即可求出()8tan 15αβ+=，最后结合αβ+的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案.【详解】由题意得AOE α∠=，AOF β∠=，OE OF =，则直线EF 所对的倾斜角为ππ222βααβα--+-=-，π1tan 224αβ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即114tan 2αβ-=+，则tan42αβ+=-，则()22tan882tan 15151tan2αβαβαβ+-+===+--，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3π,22αβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又因为()tan 0αβ+>，3ππ,2αβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则()()()sin 8tan cos 15αβαβαβ++==+，结合()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()8sin 17αβ+=-，8.定义：一对轧辊的减薄率-=输入该对的面带厚度输出该对的面带厚度输入该对的面带厚度.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为2640000mm π，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为k L ，则（）A.1016000.2mm kk L -=⨯ B.1016000.2mm k k L -=⨯C.1016000.8mmk k L -=⨯ D.1016000.8mmk k L -=⨯【答案】D 【解析】【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到91600(120%)L =⋅-，由次求出9L ，进而求出k L .【详解】设轧辊的半径为r ，由轧辊的横截面积2640000mm π可得：22640000πmm πr =，解得：800r =，所以轧辊的周长为2π2π8001600mm r =⋅=，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有91600(10.2)L =⋅-，所以916002000(mm)0.8L ==，101600L =所以()10101016000.8mm0.8k k kL L --==⨯故选：D .二、多选题：本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，错选得0分.9.已知平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，直线m 的方向向量为()0,1,2b =-，则（）A.//l αB.αβ⊥C.l 与m 为相交直线或异面直线D.a 在b向量上的投影向量为480,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.【详解】因为平面α的一个法向量为111,2,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，则11010n a ⋅=+-= ，即1n a ⊥，则//l α或l ⊂α，故A 不正确；又平面β的一个法向量为()21,0,2n =-- ，所以121010n n ⋅=-++= ，即12n n ⊥，所以αβ⊥，故B 正确；由直线m 的方向向量为()0,1,2b =- ，所以不存在实数λ使得a b λ=，故l 与m 为相交直线或异面直线，故C 正确；a 在b向量上的投影向量为()4480,1,20,,555a b b bb-⋅⎛⎫⋅==--=- ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：BC .10.若点()2,3P 在双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的一条斜率为正的渐近线的右侧，c 为半焦距，则（）A.1a bc +> B.2b ca +>C.32b a< D.2c a >【答案】ABD 【解析】【分析】点()2,3P 在一条斜率为正的渐近线的右侧可得32b a >，从而可判断选项C 、D 正误；对A 直接用分析法证明即可；对B 由b c b ca a a+=+可证得结论成立.【详解】可得双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条斜率为正的渐近线方程为:b y x a=，因为(2,3)P 在b y x a =右侧,所以23b a ⨯>，故32b a >,故C 错误；所以132e =>=,故D 正确；对A ：要证1a b c+>，即证()2222a b c a b +>=+，即证20ab >，显然成立，故A 正确；对B ：313222b c b c b a a a a +=+=++>，故B 正确；故选:ABD.11.若()54325101051f x x x x x x =-+-+-，则（）A.()f x 可以被()31x -整除B.()1f x y ++可以被()4x y +整除C.()30f 被27除的余数为6D.()29f 的个位数为6【答案】AB 【解析】【分析】根据二项式定理的展开式逆用知5()(1)f x x =-，据此可判断AB ，由5(30)(272)f =+可判断C ，由5(29)(302)f =-可判断D.【详解】()543255101051(1)f x x x x x x x =-+-+-=- ，()f x ∴可以被()31x -整除，故A 正确；5(1)()f x y x y ++=+ ，()1f x y ∴++可以被()4x y +整除，故B 正确；()5505144455555530(301)(272)C 27C 272C 272C 2f =-=+=⋅+⋅⨯++⋅⨯+⋅ =051444555C 27C 272C 272275⋅+⋅⨯++⋅⨯++ (30)f ∴被27除的余数为5，故C 错误；()55051444555529(291)(302)C 30C 30(2)C 30(2)(2)f =-=-=⋅+⋅⨯-++⋅⨯-+- 051444555C 30C 30(2)C 30(2)32=⋅+⋅⨯-++⋅⨯-- ，∴个位数为1028-=，故D 错误.故选：AB12.若存在直线与曲线()()322,f x x x g x x a a =-=-+都相切，则a 的值可以是（）A.0B.24-C.logD.π+【答案】ABC 【解析】【分析】设该直线与()f x 相切于点()3111,x x x -，求出切线方程为()2311312y x x x =--，设该直线与()g x 相切于点()2222,x x a a -+，求出切线方程为22222y x x x a a =--+，联立方程组，得到24321119312424a a x x x -+=--+，令()4329312424h x x x x =--+，讨论()h x 的单调性，从而得到最值，则可得到21a a -+≥-，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与()f x 相切于点()3111,x x x -，因为()231f x x '=-，所以()21131f x x =-'，所以该切线方程为()()()32111131y x x x x x --=--，即()2311312y x x x =--.设该直线与()g x 相切于点()2222,x x a a -+，因为()2g x x '=，所以()222g x x '=，所以该切线方程为()()222222y x a a x x x --+=-，即22222y x x x a a =--+，所以212322123122x x x x a a⎧-=⎨-=--+⎩，所以2222334321211111319312222424x a a x x x x x x ⎛⎫--+=-=-=--+ ⎪⎝⎭，令()()432329312,963424h x x x x h x x x x +=--∴'=--，所以当()1,0,13x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭ 时，()h x '<0；当()1,01,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；()h x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,1上单调递减；在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；又()15,11327h h ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以()[)1,h x ∞∈-+，所以21a a -+≥-，解得151522a -+≤≤，所以a 的取值范围为11,22⎡+⎢⎣⎦，所以A 正确；对于B ，(22150424-+--=>，所以15204<-<，所以B 正确；对于C ，因为0log <<2315log 22=<，所以C 正确；对于D ，因为eπ1522>=>，所以D 不正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设A ，B ，C ，D 是四个命题，A 是B 的必要不充分条件，A 是C 的充分不必要条件，D 是B 的充分必要条件，那么D 是C 的______条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）【答案】充分不必要【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为A 是B 的必要不充分条件，所以B A ⇒，但A ⇒B ，A 是C 的充分不必要条件，所以A C ⇒，但C ⇒A ，D 是B 的充分必要条件，所以D B ⇒，但B ⇒D ，所以D B A C ⇒⇒⇒，但C ⇒D ，故D 是C 的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14.若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且214a =，555S =，数列{}31n a -的前10项的和为______.【答案】265-【解析】【分析】由题意可得1114545552a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解方程求出1,a d ，即可求出31-n a ，再由等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1114545552a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1173a d =⎧⎨=-⎩，故()()1713320n a n n =+-⨯-=-+，所以()31=33120923n a n n --⨯-+=-+，所以数列{}31n a -的前10项的和为()101467=2652⨯--.故答案为：265-.15.设ABC 内接于椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，A 与椭圆的上顶点重合，边BC 过E 的中心O ，若AC 边上中线BD 过点()0,F c ，其中c 为椭圆E 的半焦距，则该椭圆的离心率为______.【答案】10【解析】【分析】画出草图，分析可知F 为ABC 的重心，求解即可.【详解】如图：边BC 过E 的中心O ，所以O 为BC 的中点，则AO 为边BC 上的中线，AC 边上中线BD 过点()0,F c ，所以两中线的交点为F ，即F 为ABC 的重心，所以3OF OA =，即3c b =，则229b c =，所以2229a c c -=，所以2210a c =，所以2110e =，所以1010e =.故答案为：10.16.设函数π()sin(23f x x =-在π[,]3αα+上的值域为[],M N ，则N M -的取值范围是______.【答案】1[2【解析】【分析】探讨函数()f x 的周期，按函数()f x 在π[,]3αα+上是否单调分类求解N M -的范围，再求出交集作答.【详解】函数π()sin(23f x x =-的周期πT =，而ππ(332T αα+-=<，当函数()f x 在π[,3αα+上单调时，(π|()()|ππsin(2sin 2)|cos 2|333|N M f f ααααα-=--=+=-+≤当函数()f x 在π[,3αα+上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当()f x 在π[,]3αα+上的图象关于直线π6x α=+对称时，N M -最小，此时πππ2(π,Z 632k k α+-=+∈，即ππ,Z 24k k α=+∈，因此min ππsin(2)sin 2||s |in(πsin(3ππ()|()6(||π)62N M f k f k αααα--+-==--=++11|cos πcos π|22k k =-=，所以N M -的取值范围是1[2.故答案为：1[2【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ，角A ，B ，C 所对应的边是a ，b ，c ，满足2cos 21cA a=+，且2B A ≠．（1）求证：3A C =；（2）若C 为钝角，D 为边AC 上的点，满足24cos 1ADA CD =-，求BD CD的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）(2,)+∞【解析】【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换化简即可证明；(2)根据题意确定BD 为B 的角平分线，再根据正弦定理可得323sin 4sin 12sin BD A ACD A -=-，换元法求解函数3234()12t t f t t-=-的值域即可.【小问1详解】∵(2cos 21)a A c +=，由正弦定理可得sin (2cos 21)sin A A C +=，则()2sin 4cos 1sin (2cos 1)(2cos 1)sin A A A A A C -=-+=则(sin 2sin )(2cos 1)2sin 2cos sin A A A A A A-+=-2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 2sin cos sin A A A A A A A A A A=+-=+-sin 2cos sin cos 2A A A A =+，原式可化简为sin 3sin A C =，则3A C =或3πA C +=．若3πA C +=，则3πA C A B =-=+，此时2B A =，与题意矛盾，故3A C =．【小问2详解】若24cos 12cos 21AD cA A CD a=-=+=，则BD 为B 的角平分线．则sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2πcos 2cos 2sin 22BD A A A A A A ACDA A A ++===⎛⎫- ⎪⎝⎭22322sin (12sin )2sin cos 3sin 4sin 12sin 12sin A A A A A AA A -+-=--,由于C 为钝角，则ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令12sin ,22t A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭．∴3234()12DB t t f t DC t-==-．由()4222863()012t t f t t -+=>-'，因为122t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()0f t '>，可知()f t 在1,2,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭单调递增，∴1()()22f t f >=，故DBDC的取值范围为(2,)+∞．18.设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足()23202n n n t b n b -++=（t ∈R ，*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求100T .【答案】（1）2n n a =（2）3t =（3）2226【解析】【分析】（1）由已知可求出q 的值，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由已知可得2232n n tnb n -=-，根据数列{}n b 为等差数列，得到1322b b b +=，再求出t 的值即可；（3）根据题意可知{}n c 的前100项，由90个2，123910,,,,,a a a a a 构成，再利用分组求和法求解即可.【小问1详解】由题意，可得31568a a a =+，所以2468q q =+，解得24q =或22q =（舍），则2q =，又12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由()23202n n n t b n b -++=，得2232n n tnb n -=-，所以124b t =-，2164b t =-，3122b t =-，因为数列{}n b 为等差数列，所以1322b b b +=，解得3t =，所以当3t =时，2n b n =，由12n n b b +-=（常数）知此时数列{}n b 为等差数列.【小问3详解】因为12b =，所以1a 与2a 之间插入2个2，24b =，所以2a 与3a 之间插入4个2，36b =，所以3a 与4a 之间插入6个2，……则{}n c 的前100项，由90个2，123910,,,,,a a a a a 构成，所以1001210()290T a a a =++++⨯ ()10212180222612-=+=-.19.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：日销售量/件0123天数5102510假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．【答案】（1）13125;（2）1125.【解析】【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，利用二项分布的概率概率公式求(2)P X ≥即可；（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.【小问1详解】由题设，能卖出3件水牛奶的概率为15，3件以下的概率为45，所以三天中卖出3件水牛奶的天数1(3,)5X B ，则22333341113(2)(2)(3)C ()()C ()555125P X P X P X ≥==+==+=.【小问2详解】由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A ={销售0件}或B ={销售1件}，所以1()10P A =，1()5P B =，令C ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P C A =，1(|)5P C B =，所以9()()(|)()(|)100P C P A P C A P B P C B =+=.第一天营业结束后补货的情况为D ={销售3件}或E ={销售2件}，所以1()5P D =，1()2P E =，令F ={第二天货架上有1件存货}，则1(|)2P F D =，1(|)2P F E =，所以7()()(|)()(|)20P F P D P F D P E P F E =+=.综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率11()()25P P C P F =+=.20.如图，在空间几何体ABCDE 中，已知,,ABC ACD BCE 均为边长为2的等边三角形，平面ACD 和平面BCE 都与平面ABC 垂直，H 为AB 的中点．（1）证明：ED ∥平面ABC ；（2）求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【小问1详解】证明：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；【小问2详解】连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()())110,1,0,0,1,0,,,,0,,2222A C DE H ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，所以()33130,2,0,,,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以2033022y y z -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，则()1,0,2m =-，所以cos ,5DH m DH m DH m ===，设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,5DH m θ==．21.在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1，E 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()11,A x y ，()22,B x y 分别为曲线C 上的第一象限和第四象限的点，且121294x x y y +=，求ABO 与AFO V 面积之和的最小值.【答案】（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩（2）2【解析】【分析】（1）由题意直接求动点的轨迹方程即可；（2）当直线AB 的斜率为0时，不适合题意，所以设出直线的方程与抛物线联立利用基本不等式求解即可.【小问1详解】设动点E 的坐标为(),x y21y x +=+，化简得：24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩，故曲线C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩.【小问2详解】如图：因为点()11,A x y ，()22,B x y 分别为曲线C 上的第一象限和第四象限的点，所以当直线AB 的斜率为0时，不适合题意；当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ay t =+，由24x ay ty x =+⎧⎨=⎩得，2440y ay t --=，216160a t ∆=+>，所以121244y y a y y t +=⎧⎨=-⎩，由1240y y t =-<，得0t >，因为121294x x y y +=，所以()()121294ay t ay t y y +++=，所以()()221212914a y y at y y t ++++=，所以()()2291444a t at a t +-+⋅+=，解得：92t =或12t =-（舍去），当92t =时，直线AB 的方程为92x ay =+，直线AB 过定点902,⎛⎫⎪⎝⎭，且满足0∆>，且12418y y t =-=-，所以1211219111922244ABO AFO S S y y y y y +=⨯⨯-+=-==△△≥当且仅当1211944y y -=，即192211y =，2y =时取等号，故最小值为9222.22.已知函数()21ln x af x a x x+-=-+，a ∈R .（1）当2a =时，证明：()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立；（2）判断函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）证明不等式恒成立转化为求函数的最小值，最小值大于等于零即可求证；（2）利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.【小问1详解】当2a =时，()212ln x f x x x-=-+，所以()()222221212110x x x f x x x x x---+='=++=≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.故()()min 10f x f ==，所以()0f x ≥，即()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.【小问2详解】()21ln x af x a x x+-=-+，其定义域为：()0,∞+.()()()()222211111x x a x ax a a a f x x x x x⎡⎤----+---⎣⎦=+-=='.当1a ≤时，令()0f x '=得：1x =.若()0,1x ∈，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数.所以()()min 120f x f a ==->，所以此时()f x 没有零点；当12a <<时，令()0f x '=得：1x =，或11x a =-<.若()0,1x a ∈-，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数；若()1,1x a ∈-，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，所以()x 为增函数.所以()f x 的极大值为()()1ln 120f a a a a -=--+->，极小值为()120f a =->.此时0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞.所以此时()f x 有1个零点；当2a =时，()()2210x f x x-'=≥，所以()f x 在()0,∞+单调递增.此时0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞.所以此时()f x 有1个零点；当2a >时，令()0f x '=得：1x =，或11x a =->.若()0,1x ∈，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数；若()1,1x a ∈-，()0f x '<，所以()f x 为减函数；若()1,x a ∈-+∞，()0f x ¢>，所以()f x 为增函数.所以()f x 的极大值为()120f a =-<，极小值为()()1ln 120f a a a a -=--+-<.此时0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有1个零点.综上所述：当1a ≤时，()f x 没有零点；当1a >时，()f x 有1个零点.【点睛】判断函数零点的个数，就是利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.。

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤4．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，5．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ）A ．52-B ．2-C ．2D ．726．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 62- B 21C 62+ D 219．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．53210．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.112．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏高考数学模拟试卷(一)20xx年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.设复数z满足$\frac{z+i}{i}=-3+2i$（i为虚数单位），则z的实部是______。

2.若全集$U=\{x||x|<2\}$，$A=\{x|\log_3(x^2-1)<1\}$，则$U-A=$______。

3.某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段 | [60,65) | [65,70) | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) |人数。

| 13.| 66.| 211.| 62.| 11.| 1.| 0.|若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为______分。

4.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是______。

5.运行如图所示程序框图后，输出的结果是______。

k←1while k≥-3S←S-2kk←k-1print(S)6.设m，n是两条不同的直线，$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，$S=$______。

给出下列命题：1) 若$\alpha\parallel\beta$，$m\perp\beta$，$n\parallel\alpha$，则$m\perp n$；2) 若$\alpha\parallel m$，$\beta\parallel n$，$m\subset\beta$，$n\subset\alpha$，则$S=S-2k$，输出S；3) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\parallel\beta$，则$m\parallel n$；4) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\perp\beta$，则$m\perp n$。