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带电粒子在匀强磁场中运动之边界磁场杨巧及(宁波市鄞州中学ꎬ浙江宁波３１５１０４)摘㊀要:带电粒子在匀强磁场中运动的问题是高中物理的重点和难点ꎬ其中边界磁场问题是较为重要的教学内容之一.磁场边界类型主要包括平面边界㊁圆形边界㊁环形边界等ꎬ带电粒子垂直磁场方向进入磁场ꎬ在磁场中做匀速圆周运动ꎬ由于入射方向的不同ꎬ造成带电粒子的运动轨迹不同ꎬ对应的临界条件㊁几何关系也不同.本文按不同形状的边界磁场进行分类ꎬ每一种磁场考虑入射方向一定和入射方向不定两种情况进行分析ꎬ适合高三复习.关键词:带电粒子ꎻ匀强磁场ꎻ边界磁场ꎻ初速度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００９５－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:杨巧及(１９８９－)ꎬ女ꎬ浙江省宁波人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀带电粒子在匀强磁场中运动的问题在高中物理教学中ꎬ往往需要多个课时来分类讲解边界磁场㊁复合场㊁轨迹分析㊁实例应用等.对于边界磁场这一内容笔者进行了如下设计.１平面边界磁场平面边界匀强磁场是带电粒子在磁场中运动问题中最基本也是最重要的.这类问题学生需掌握一些边界磁场的基本运动规律ꎬ如出射方向与入射方向关系ꎬ运动时间与圆心角的关系等.１.１单平面边界如图１所示ꎬ带正电粒子以与边界夹角为α的初速度ｖ垂直射入匀强磁场Ｂꎬ磁场方向垂直纸面向里ꎬ经过一段圆弧轨迹后从同一边界射出.根据圆周运动的规律我们可以知道:(１)粒子出磁场时速度方向与边界夹角依旧为αꎬ即出射方向与入射方向夹角为２α(２)轨迹圆弧对应的圆心角θ为２α或(２π－２α)㊀(３)粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴ(４)粒子出射时相对入射位置的侧移量为轨迹圆弧所对应的弦长ｄ＝２Ｒｓｉｎα图１㊀单平面边界磁场１.２双平面平行边界平行边界磁场由于存在双边界ꎬ根据带电粒子初速度大小的不同就有可能从不同侧射出.如图２所示ꎬ磁场宽度为ｄꎬ带电粒子从左侧边界Ｐ点垂直磁场方向射入磁场ꎬ初速度ｖ方向与左侧边界垂直ꎬ５９由ｑｖＢ＝ｍｖ２Ｒ知Ｒ＝ｍｖｑＢ.(１)当带电粒子初速度ｖ较小时ꎬ半径Ｒ较小ꎬ则粒子从左侧边界射出ꎬ运动规律与单平面边界磁场相同.(２)当带电粒子初速度ｖ较大时ꎬ半径Ｒ较大(Ｒ>ｄ)ꎬ则粒子从右侧边界射出ꎬ此时我们首先找到的几何关系为ｓｉｎθ＝ｄＲꎬ即圆弧对应的圆心角θ＝ａｒｃｓｉｎｄＲꎬ由此可知ꎬ①粒子射出磁场时速度偏转角为θꎬ与右侧边界夹角为(π２－θ)ꎻ②粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴꎻ③粒子出射时偏离入射方向的侧移量Δｘ＝Ｒ(１－ｃｏｓθ).图２㊀双平面边界磁场而实际问题中往往会出现 带电粒子以速度ｖ沿各个方向射入磁场 的条件ꎬ即动态圆与边界磁场结合的问题ꎬ以下题为例:例１㊀带电粒子的质量ｍ＝１.７ˑ１０－２７ｋｇꎬ电荷量ｑ＝＋１.６ˑ１０－１９Ｃꎬ以速度ｖ＝３.２ˑ１０６ｍ/ｓ沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中ꎬ磁场的磁感应强度为Ｂ＝０.１７Ｔꎬ磁场的宽度ｌ＝１０ｃｍꎬ如图３所示ꎬ试求:图３㊀例１示意图(１)带电粒子离开磁场时的速度大小和速度偏转角.(２)带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离.答案:(１)３.２ˑ１０６ｍ/ｓꎬ３０ʎ.(２)２５２４πˑ１０－８ｓꎬ２－３１０ｍ拓展提问㊀若使该种带电粒子从同一处ꎬ以相同速度沿纸面各个方向同时射入该匀强磁场ꎬ求带电粒子分别从左右边界射出的区域宽度?所有带电粒子从磁场射出所需要的时间?答案:从左侧边界射出ꎬ宽度为３５ｍ从右侧边界射出宽度为３５ｍ运动时间为０－π２４ˑ１０－６ｓ２圆形边界磁场带电粒子射入圆形磁场时最常见的是沿半径方向射入ꎬ如图４所示ꎬ一个电子从Ａ处沿ＡＯ方向射入半径为ｒ的圆形磁场ꎬ根据几何关系可知该粒子一定会沿另一半径方向射出磁场ꎬ即速度反向延长线必过圆形磁场的圆心.连接两个圆心ꎬ可知轨迹圆弧对应的圆心角θ满足ｔａｎθ２＝ｒＲ.㊀图４㊀圆形磁场例２㊀一质量为ｍ＝９.１ˑ１０－３１ｋｇ的电子以速率ｖ＝５ˑ１０９ｍ/ｓ从左侧沿ＡＯ方向垂直射入磁感应强度为Ｂ＝２.８４Ｔꎬ半径为ｒ＝３３ˑ１０－２ｍ的圆形磁场ꎬ穿出磁场后打在荧光屏上之Ｐ点ꎬ荧光屏与磁６９场最右侧距离为Ｌ＝３３ˑ１０－２ｍꎬＯᶄ与Ａ㊁Ｏ在同一直线上ꎬ如图５所示ꎬ求ＯᶄＰ的长度和电子通过磁场所用的时间.图５㊀例２示意图答案:ＯᶄＰ＝２ˑ１０－２ｍｔ＝２３πˑ１０－１２ｓ例３㊀一带电粒子以速度ｖ从Ｏ点沿ｙ轴的正方向射入磁感应强度为Ｂ的一圆形匀强磁场区域ꎬ磁场方向垂直于纸面ꎬ粒子飞出磁场区域后ꎬ从Ｐ处穿过ｘ轴ꎬ速度方向与ｘ轴正向夹角为３０ʎꎬＯＰ距离为３Ｌꎬ如图６所示ꎬ粒子重力不计ꎬ试求:图６㊀例３示意图(１)圆形磁场区域的最小面积.(２)粒子从Ｏ点进入磁场区域到达Ｐ点所经历的时间.解析㊀(１)３４πＬ２ꎻ(２)２π＋３３()Ｌ３ｖ拓展提问㊀是否存在这样的磁场ꎬ使该种粒子从Ｏ点以相同速度ｖ沿不同方向射入磁场ꎬ射出磁场时速度方向与ｘ轴正方向夹角都为３０ʎ?若存在ꎬ试求该磁场的半径和圆心坐标.答案:Ｌꎻ(１２Ｌꎬ３２Ｌ).３圆环形边界磁场例４㊀如图７所示ꎬ两个同心圆ꎬ半径分别为ｒ和２ｒꎬ在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场ꎬ磁感应强度为Ｂ.圆心Ｏ处有一放射源ꎬ放出粒子的质量为ｍꎬ带电荷量为－ｑꎬ假设粒子速度方向都和纸面平行[１].图７㊀例４示意图(１)图中箭头表示某一粒子初速度的方向ꎬＯＡ与初速度方向夹角为６０ʎꎬ要想使该粒子经过环形区域磁场后第一次通过Ａ点ꎬ则初速度的大小为多少?(２)要使粒子不穿出环形区域ꎬ则粒子的初速度不能超过多少?答案:(１)３Ｂｑｒ３ｍꎻ(２)３Ｂｑｒ４ｍ.拓展提问㊀若粒子初速度方向不受限制ꎬ如图８所示ꎬ则所有粒子都能穿出磁场的最小速度为多大?图８㊀拓展提问示意图答案:３Ｂｑｒ２ｍ参考文献:[１]王朝银.步步高大一轮复习讲义物理(人教版)[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２２:１９２－１９４.[责任编辑:李㊀璟]７９。
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在匀强磁场中运动轨迹带电粒子在匀强磁场中运动轨迹一、带电粒子在匀强磁场中运动轨迹带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下,在匀强磁场中的运动有:1.粒子初速度方向平行磁场方向（V ∥B ）：运动轨迹：匀速直线运动2.粒子初速度方向垂直磁场方向（V ⊥B ）：(1)动力学角度：洛伦兹力提供了带电粒子做匀速圆周运动所需的向心力(2)运动学角度：加速度方向始终和运动方向垂直，而且加速度大小不变。
运动轨迹：匀速圆周运动二、轨道半径和运动周期1.轨道半径r ：qBm v r = 在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，轨道半径跟运动速率成正比。
2.运动周期T ：qBm T π2= (1)周期跟轨道半径和运动速率均无关(2)粒子运动不满一个圆周的运动时间：qB m t θ=，θ为带电粒子运动所通过的圆弧所对的圆心角三、有界磁场专题：（三个确定）1、圆心的确定已知进出磁场速度方向已知进出磁场位置和一个速度方向2. 半径的确定：半径一般都在确定圆心的基础上用平面几何知识求解，常常要解三角形带电粒子在匀强磁场中运动轨迹3、时间的确定（由圆心角确定时间）粒子速度的偏转角(?)等于回旋角(α)，并等于AB 弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍即．θα?2==粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：T t πα2= （1）直界磁场区: 如图，虚线上方存在无穷大的磁场B ，一带正电的粒子质量m 、电量q 、若它以速度v 沿与虚线成o o o o o o*****6030、、、、、角分别射入，请你作出上述几种情况下粒子的轨迹、并求其在磁场中运动的半径和时间。
粒子在直界磁场（足够大）的对称规律：从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
（2）、圆界磁场带电粒子在匀强磁场中运动轨迹偏转角：rR =2tan θR ：磁场半径r:圆周运动半径经历时间：qBmt θ= 圆运动的半径：qBm v r = 圆界磁场对称规律：在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
匀强磁场中带电粒子的运动
带电粒子在匀强磁场中的运动是如下。
匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。
匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动。
带电粒子的运动问题
1、电场中的加速问题
带电粒子在电场中只受电场力作用的问题。
如果在匀强电场中问题可以根据牛顿运动定律结合运动学公式或动能定理进行处理。
但对于非匀强电场中的问题只能根据动能定理来解决了。
2、电场中的偏转问题
带电粒子以一定的速度和电场成一定角度进入电场，这样带电粒子的受力方向与速度方向不在同一直线上，粒子将做曲线运动。
常见的是带电粒子垂直电场方向射入电场，这类问题的分析方法和平抛运动问题的分析方法一样，把粒子的运动分解成沿受力方向的匀加速运动和沿初速度方向的匀速运动。
主要解决的问题是带电粒子的末速度、偏转距离、偏转角度。
3、磁场中的偏转问题
射入磁场的带电粒子，只要它的速度方向与磁场成一定的角度。
它就受到磁场对它的洛伦兹力作用。
如果垂直射入匀强磁场的带电粒子，它的初速度方向和所受洛伦兹力的方向都在跟磁场方向垂直的平面内，没有作用使粒子离开这个平面，所以粒子只能在这个平面运动。
4、复合场中的运动问题
所谓复合场中的运动，就是在两个或两个以上的场中运动的问题。
带电粒子在复合场中要受到两个或两个以上的力的作用，运动情况一般比较复杂，高中阶段很难解决。
但可设计出粒子匀速运动或匀速圆周运动的问题。
解题方法是分析出受力情况，根据粒子的运动特点来判断未知量。
微专题8 带电粒子在组合场和复合场中的运动一带电粒子在组合场中的运动组合场是指电场与磁场同时存在或者磁场与磁场同时存在,但各位于一定的区域内,并不重叠的情况。
所以弄清带电粒子在电场及磁场中的运动形式、规律和研究方法是解决此类问题的基础。
1.基本类型运动类型带电粒子在匀强电场中加速(v0与电场线平行或为零)带电粒子在匀强电场中偏转(v0⊥E)带电粒子在匀强磁场中匀速运动(v0与磁感线平行)带电粒子在匀强磁场中偏转(v0与磁感线垂直)受力特点受到恒定的电场力;电场力做功不受磁场力作用受磁场力作用;但磁场力不做功运动特征匀变速直线运动类平抛运动匀速直线运动匀速圆周运动研究方法牛顿运动定律匀变速运动学规律牛顿运动定律匀变速运动学公式正交分解法匀速直线运动公式牛顿运动定律向心力公式圆的几何知识表达方式如何求运动时间、速度和位移如何求飞行时间、偏移量和偏转角-如何求时间和偏转角用匀变速直线运动的基本公式、导出公式和推论求解飞出电场时间:t=打在极板上t=偏移量:y=偏转角:tan-时间t=T(θ是圆心角,T是周期)偏转角sin θ=(l是磁场宽度,R是粒子轨道半径)α=运动情境2.解题思路题型1电场与磁场的组合例1如图所示,在xOy直角坐标系中,第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场,第Ⅱ象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场。
初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电场加速后,从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域,重力不计,经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴进入电场区域,在电场中偏转并击中x轴上的C点。
已知OA=OC=d。
则磁感应强度B和电场强度E分别为多少?解析设带电粒子经电压为U的电场加速后速度为v,则qU=mv2带电粒子进入磁场后,由洛伦兹力提供向心力qBv=依题意可知r=d,联立解得B=带电粒子在电场中偏转,做类平抛运动,设经时间t从P点到达C点,由d=vt,d=t2联立解得E=。
