遇到中点常加的辅助线

几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等：如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等：如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形：如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

常见全等辅助线知识集结知识元倍长中线型知识讲解倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.2.倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.3.平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：例题精讲倍长中线型例1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．例2.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'例3.'【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．'倍长过中点的任意线段型知识讲解当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.例题精讲倍长过中点的任意线段型例1.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'例2.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'平行线构造“8字型”知识讲解当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.例题精讲平行线构造“8字型”例1.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'例2.'如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE（1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；（2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明．'例3.'阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．'截长法添加辅助线知识讲解在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.举例说明：1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.2.当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则（1）截长法具体操作：在线段AC上截取AM=AB条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.（2）补短法具体操作：延长AB至N，使得AN=AC条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.例题精讲截长法添加辅助线例1.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'例2.'如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．'例3.'如图1，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点P为△ABC三条平分线的交点，连PA，PB，PC．（1）求证：BC=AB+AP；（2）如图2，若将“∠ABC=45°”变为“∠ABC=60°”，其余条件不变，求证：AC=AB+BP．'补短法添加辅助线知识讲解当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.例题精讲补短法添加辅助线例1.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'例2.'（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．'当堂练习填空题已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是．解答题练习1.'如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．'练习2.'如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．'如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF．'练习4.'如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．'练习5.'如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．'练习6.'如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．'练习7.'如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．'练习8.'如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．'练习9.'如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．'练习10.'ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．'练习11.'如图，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD．'练习12.'已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．'。

等边三角形中的常见辅助线等边三角形是一种具有特殊性质的三角形，其三条边都相等。

在解决与等边三角形相关的问题时，使用常见的辅助线可以简化计算并找到解决方案。

1. 高线（Perpendicular Bisector）高线是等边三角形中常见的辅助线之一。

它从等边三角形的顶点垂直地分割底边，并且和底边的中点连线垂直。

等边三角形的高线相互垂直，并且交于三角形的外心。

2. 中线（Median）中线是等边三角形中另一种常见的辅助线。

它连接三角形的顶点和底边的中点，并且与底边垂直。

等边三角形的中线也相互垂直，在三角形的重心交汇。

3. 角平分线（Angle Bisector）角平分线是等边三角形中可以用来解决角度相关问题的辅助线。

它从三角形的顶点分割等边三角形的底角，并且和底边相交于一点。

4. 中垂线（Perpendicular from Vertex to Base）中垂线是等边三角形中另一种常见的辅助线。

它从等边三角形的顶点垂直地连接底边，并且与底边的中点相交。

等边三角形的中垂线相互垂直，并且交于三角形的垂心。

这些常见的辅助线可以帮助我们在等边三角形中解决各种问题。

通过利用这些辅助线的性质，我们能够简化计算，找到解决问题的方法。

在实践中，我们还可以设计不同的问题来加深对这些辅助线的理解和应用。

总结：等边三角形中的常见辅助线包括高线、中线、角平分线和中垂线。

它们在解决等边三角形相关问题时起到了重要的作用，并且具有特殊性质。

通过熟练掌握这些辅助线的性质和用法，我们能够更加灵活地解决等边三角形的各种问题。

与中点有关的引辅助线方法中点是平面几何中一个重要的概念，它与图形的对称性、平行性、垂直性等性质有着密切的关系。

为了帮助解决与中点有关的问题，我们可以使用引辅助线的方法。

下面我将介绍一些与中点有关的引辅助线方法。

1.引中点辅助线法这是最基本的与中点有关的引辅助线方法。

当我们需要求线段的中点时，可以通过引一条过该线段两端点的直线，然后取该直线上的中点即可。

这样，我们就引出了一个与中点有关的辅助线。

2.引垂直平分线法当我们需要将一个线段平分时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线与线段的中点相交。

这样，该垂直直线就成为了该线段的垂直平分线。

3.引中垂线法当我们需要求一个线段的中垂线时，可以通过引一条垂直于该线段的直线，并让该直线的中点与该线段的中点相连。

这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是该线段的中垂线。

4.引平行线法当我们需要构造一个与条直线平行的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的平行线，并让该平行线上的距离与该点到该直线的距离相等。

这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线平行的直线。

5.引垂直线法当我们需要构造一个与条直线垂直的直线时，可以通过引一条经过该直线上一点的垂直线，并让该垂直线与原直线相交。

这样，我们就得到了一个与中点有关的辅助线，也就是与原直线垂直的直线。

以上就是与中点有关的几种常用引辅助线方法。

利用这些方法，我们可以更方便地解决与中点有关的问题。

当我们遇到与中点有关的几何问题时，可以根据具体情况选择合适的引辅助线方法，并运用相关的定理和性质进行推导和证明。

通过加深对中点的理解和运用，我们能够更好地掌握几何知识，提高解题的能力。

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内切圆,内角平分线梦园;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;若是添上连心线,切点肯定在上面;二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径;作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量;2、常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点;作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角;2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角;作用：利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点;作用：利用圆周角的性质,可得到直径;4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形;5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径;2若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心即作半径,再证其与直线垂直;6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段;作用：利用内心的性质,可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等;例题1、如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A=45°,BC=2,求⊙O的面积; 例题2、如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在弧AMB上,则∠C的度数是________.例题3、如图,AB是⊙O的直径,AB=4,弦BC=2,∠B=例题4、如图,AB、AC是⊙O的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O的半径是例题5、如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB;求证：直线L与⊙O相切;例题6、如图,P是⊙O外一点,PA、PB分别和⊙O切于A、B,C是弧AB 上任意一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为______________例题7、如图,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=例题8、如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB 于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图,ΔABC中,∠C=90°,圆O分别与AC、BC相切于M、N,点O在AB上,如果AO=15㎝,BO=10㎝,求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.4、如图,学校A附近有一公路MN,一拖拉机从P点出发向PN方向行驶,已知∠NPA=30°,AP=160米,假使拖拉机行使时,A周围100米以内受到噪音影响,问：当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时,则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线;圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一,与圆有关的问题,汇集了初中几何的各种图形概念和性质,其知识面广,综合性强,随着新课程的实施,园的考察主要以填空题,选择题的形式出现,不会有比较繁杂的证明题,取而代之的是简单的计算;圆中常见的辅助线有：1作半径,利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时,常作垂直于弦的直径弦心距,利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距,构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时,常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时,常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时,有两种情况：1已知直线与圆有公共点时,连接圆心与公共点,证此半径与已知直线垂直 ,简称“有点连线证垂直,”2已知直线与圆无公共点时,过圆心作已知直线的垂线段,证它与半径相等,简称“无点做线证相等”此外,两解问题是圆中经常出现的问题,涉及弧,弦,与圆有关的角,点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系等知识,着重考察思维的完备性和严谨性,应特别引起重视。

2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，则DF 的长为________．第1题图2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为________．第2题图3.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AB 上一点，且BE ＝2AE ，连接CE 交AD 于点F ，若CF ＝3，则EF 的长为________．第3题图4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 的中点，点F 为BE 的中点，连接DF .若DF ⊥BE ，则tan ∠DBE 的值为________．第4题图5. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，F 为BC 的中点，连接EF ，若∠B ＝70°，则∠BFE 的度数为________．第5题图6. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN .若△CMN 的面积为32，则△AMN 的面积为________．第6题图7. 如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是CD 边上一点，连接EF 交BD 于点G ，若DF ＝2，CF ＝4，DG ＝3，则BG 的长为________．第7题图8. 如图，已知△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，其中∠ABC ＝∠CEF ＝90°，且E 是中线AD 的中点，连接BF ，若AB ＝4，则线段BF 的长度为________．第8题图9. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 上一点，连接DE ，CE ，且EC 平分∠DEB ，点F 为CE 的中点，连接AF ，BF .求证：AF ⊥BF .第9题图参考答案与解析1. 2 【解析】如解图，连接EF ，AE .∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点，∴BE ＝EC ，AF ＝CF ，∴EF ∥AB ，EF ＝12 AB .∵AD ＝12 AB ，∴AD ＝EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF ＝AE ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝12BC ＝2，∴DF ＝AE ＝2.第1题解图2.125【解析】如解图，连接AM ，∵AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ⊥CM (三线合一)，BM ＝CM .∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，在Rt △ABM 中，AB ＝5，BM ＝3，∴根据勾股定理得AM ＝AB 2－BM 2 ＝52－32 ＝4.∵S △AMC ＝12 MN ·AC ＝12 AM ·CM ，∴MN ＝AM ·CM AC ＝4×35 ＝125.第2题解图一题多解3. 1 【解析】解法一：如解图①，过点D 作DG ∥AB 交CE 于点G ，则∠EAF ＝∠GDF .∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DG 是△BCE 的中位线，∴BE ＝2DG ，CG ＝EG .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝DG .∵∠AFE ＝∠DFG ，∴△AEF ≌△DGF ，∴EF ＝GF ，∴EF ＝13 CF ＝13 ×3＝1.解法二：如解图②，过点D 作DH ∥CE 交AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DH 是△BCE 的中位线，∴DH ＝12 CE ，BH ＝EH .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝EH ，∴EF 是△ADH 的中位线，∴EF＝12 DH ，∴EF ＝14 CE ，∴EF ＝13 CF ＝13×3＝1.图①图② 第3题解图4.33【解析】如解图，连接CE ，设CD ＝a ，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD ＝BD ＝a .∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF .∵DF ⊥BE ，∴BD ＝ED ＝a .∵E 为AD 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝ED ＝CD ＝a ，∴△CED 为等边三角形，即∠CDE ＝60°.又∵BD ＝ED ，∴∠DEF ＝∠DBF ＝12 ∠CDE ＝30°，∴tan ∠DBE ＝33.第4题解图5. 165° 【解析】 如解图，延长EF 交AB 的延长线于点M ，连接AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C ＝∠MBF .∵F 为BC 的中点，∴BF ＝CF .在△BFM 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBF ＝∠C ，BF ＝CF ，∠BFM ＝∠CFE ， ∴△BFM ≌△CFE (ASA)，∴MF ＝EF ，∠CEF ＝∠M .∵AE ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAB ＝90°.∵MF ＝EF ，∴AF ＝EF ＝MF ，∴∠M ＝∠MAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠ABC ＝70°，∠BCD ＝110°.∵BC ＝2AB ，∴AB ＝BF ，∴∠MAF ＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M ＝55°，∴∠CEF ＝55°，∴∠CFE ＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE ＝180°－15°＝165°.第5题解图6. 6 【解析】如解图，连接AC ，BD .∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点，∴MN ＝12 BD ，MN ∥BD ，S △ACN ＝S △DAN ，S △ABM ＝S △AMC ，S △CMN ＝14 ·S △DBC .∵S △CMN ＝32 ，∴S △DBC ＝6.∵∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，∴S △ABD ＝12AD ·AB ＝9，∴S四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD ＝15，∴S △ACN ＋S △ACM＝12 S 四边形ABCD ＝152，∴S △AMN ＝S △ACN ＋S △ACM －S △CMN ＝6.第6题解图7. 12 【解析】如解图，延长FE 交BA 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠H ＝∠DFE ，∠HAE ＝∠FDE .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴△AEH ≌△DEF ，∴AH ＝DF ＝2，∴BH ＝AB ＋AH ＝CD ＋AH ＝4＋2＋2＝8.又∵AB ∥CD ，∴△BGH ∽△DGF ，∴BG DG ＝BH DF ，即BG 3 ＝82，解得BG ＝12.第7题解图8. 2 【解析】如解图，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，连接BG ，∵点E 是AD 的中点，∴点G 是AC 的中点．∵△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∴AB ＝BC ，CE ＝EF ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，CB ＝2 CG ，CF ＝2 CE ，∴∠GCE ＝∠BCF ，CG CB ＝CE CF ＝22 ，∴△GCE ∽△BCF ，∴GE BF ＝22 .∵BC ＝AB ＝4，AD 是中线，∴BD ＝CD ＝2.∵点E ，G 分别是AD ，AC 的中点，∴EG 是△ADC 的中位线，∴GE ＝12 CD ＝1，∴BF ＝2 .第8题解图9. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠CEB . ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DCE ＝∠DEC ， ∴DE ＝DC . 如解图，连接DF ，∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ，∴∠DFC ＝90°.在矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12 EC ，∴∠ABF ＝∠CEB . ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCF . 在△ABF 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CF ，∠ABF ＝∠DCF ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCF (SAS)， ∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°， ∴AF ⊥BF .第9题解图。

三角形辅助线小结：一、三角形辅助线小结：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角形。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

二、常见辅助线的作法有以下几种：（一）关于角平行线的问题，常用两种辅助线；（二）有中点常见的辅助线①、利用延长或作平行等构造全等三角形②、利用三线合一③、利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半④、利用中位线。

⑤利用旋转（三）截长补短法：遇到求证一条线段等于另两条线段之和（或差）时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

说明：截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

（四）不等关系问题：1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

（五）对折、旋转法：旋转法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法。

1、旋转方法主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。

3、旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。

例题讲解：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。

学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。

所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。

一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。