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多裂纹板应力强度因子分析一、问题描述含多裂纹矩形板受到垂直方向拉伸载荷的作用，如图1所示，计算中心裂纹尖端的应力强度因子K和并讨论其随几何参数L,h, a,b,。
等的变化规律, 写一篇分析报告。
要求：1、报告中计算所用的分析方法和模型应阐述清楚，并写出必要的计算公式等。
2、绘制应力强度因子随几何参数的变化曲线。
3、列出必要的参考文献。
图1含三条裂纹矩形板受垂直拉伸载荷作用二、计算分析采用ABAQUS 软件计算裂纹尖端的应力强度因子。
通过阅读ABAQUS 的 帮助文件，得到ABAQUS 基于有限元方法在线弹性范围内计算应力强度因子的 原理。
（1）线弹性断裂力学中 I 型裂纹尖端的应力场为:Ki 0.. . 0 . 3%a x = cos — (1 - sin — sin ——)2 2 2妇 e . e . 30、 (j y = cos —(1 + sin — sin——)V 2nr 2 2 2K } . e e 30SHI —COS —COS —72^7 222I 型裂纹尖端的位移场为:从上面可以看出，对于I 型裂纹而言，裂纹尖端的应力场和位移场均可以表 示成应力强度因子的形式，所以可以通过裂纹尖端的应力应变场求其裂尖应力强 度因子。
这也正是传统有限元求解应力强度因子的原理。
但是从上面的表达式同 样可以看出，在裂纹尖端应力具有1/2的奇异性，其趋向于无穷大；而位移则趋 于零，所以在裂纹尖端应力场和位移场均具有很大的梯度，所以就需要划分很精 细的网格来求解应力位移场。
有限元在计算裂纹尖端的应力应变场时，通常在裂纹尖端通过引入奇异单元 来模拟应力的奇异性，这样即使在单元数目有限的情况仍然能很好地求解出裂纹 尖端的应力应变场。
（2） J 积分求解裂纹尖端的应力强度因子传统的有限元在计算裂纹尖端的应力强度因子的时候，无可避免地遇到裂尖 复杂应力场和位移场的计算，J 积分则可以完全避免这种复杂的处理过程。
（1）.0 . 30 sin —sin —— 2 2(2)‘3-4i/ 其中氏=3—v .177平面应力(3)(l+M 2E PH2E平面应变1968年由Rice 和Cherepanov 提出了一个围绕裂纹尖端的围线积分，该积分与路径无关，保持为一个常数，并且可以反映出裂纹尖端的应力应变场。
第一部分——断裂力学基本概念理论综述断裂力学定位断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。
学习中介绍了断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性断裂力学基本理论、裂纹扩展、J积分以及断裂问题的有限元方法等内容。
断裂力学诞生现代断裂力学（fracture mechanics）这门学科，就在这种背景下诞生了。
从上世纪五十年代中期以来，断裂力学发展很快，目前线性理论部分已比较成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。
解决断裂问题的思路因为断裂的发生绝大多数都是由裂纹引起的，而断裂尤其是脆性断裂，一般就是裂纹的失稳扩展。
裂纹的失稳扩展，通常由裂纹端点开始。
因此，发生断裂的时机必然与裂端区应力应变场的强度有关。
对于不含裂纹的物体，当某处的应力水平超过屈服应力，就要发生塑性变形；而对于含裂纹的物体，当某裂端表征应力应变场强度的参量达到临界值时，就要发生断裂。
这个发生断裂的临界值很可能是材料常数，它既可表征材料抵抗断裂的性能，亦可用来衡量材料质量的优劣。
影响断裂的两大因素———载荷大小和裂纹长度考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。
在工作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。
这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状有关。
断裂力学研究内容储备强度究竟是个什么样的参量？它与表征裂端区应力变场强度的参量有何关系？如何计算它？如何测量它？它随时间变化的规律如何？受到什么因素的影响？韧度（toughness）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。
它是个能量的概念。
脆性（brittle）和韧性（ductile）一般是相对于韧度低或韧度高而言的，而韧度的高低通常用冲击实验测量。
第八章 断裂力学习题及解习题1、已知I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ，其中()()z Z z Z I I ,分别为复变函数()z Z I 的二次积分和一次积分，试求出对应的应力分量。
解：令()()()y x iv y x u z Z I ,,+=，那么()udy v dx i v dy udx dz z Z CCC++-=⎰⎰⎰按C-R 条件有yux v y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。
那么有如下关系式 y Zx Z Z ∂∂=∂∂='Im Re Re ， xZy Z Z ∂∂=∂∂-='Im Re Im ， 由应力函数可得应力()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=I I I I I 222I 2xx Z y Z y y Z y Z y Z y y σIm Im Re Im Re ϕ ()'Im Re Re Re Im Re Im I I I I I I I xx Z y Z Z yZ y Z Z y Z y -=+∂∂=++-∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=x Z y xZ x Z y Z x x σI I I I 222I 2yyIm Re Im Re ϕ得 ()'Im Re Im Re I I I I yy Z y Z Z y Z x+=+∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-∂∂=∂∂∂-=I I I I I I 2xyZ y Z y y Z x Z y Z y x y x Im Im Re Im Re ϕτ ()'Re Re Im Re Im I I I I I xy Z y xZ y Z Z y Z x -=∂∂-=--∂∂=τ 习题2、如图8-1所示无限大板中含有一长度为2a 的中心贯穿裂纹，设I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ（双向拉伸），或为()()())(2Im Re 22y x A z Z y z Z z I I I --+=ϕ（单向拉伸）。
一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（）max达到临界时，裂纹开始扩展•S3、应变能密度:W S，其中S为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。
4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、推导题（本大题10分）D-B模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于x1，有dx2 0 , ds dx1 , T22007断裂力学考试试题B卷答案BD上：平行于捲，有dx20 , ds dx1 , T2u iJ (Wdx2 T L ds)s V s V S(V A三、计算题（本大题共1、利用叠加原理：微段K]ABT2 V D)3小题，每小题集中力qdx U2dx1%BDT2U£dx1X120分,dK]总计60分）a 2q . a0 (2 2.(a x ) dx 10分sin cos — a cos sin a2b 2b 2b 2b— cos — a sin a 2b 2b2b(_ 2 2)cos — 2b a 2 cos a si n a2b2b 2b 2ba)2la sin 1(豎)a cosK i2qJ — 0 赢T d 当整个表面受均布载荷时，6 a .2、边界条件是周期的：a.zy0, xy 0c.所有裂纹前端又Z 应为2b 的周期函数si2z皿2冷 采用新坐标： z aZ % a)J (sin 七严2陶)20 时，sin —— ——,cos —2b 2b 2bK i 2qsin 1(a a ) q a10分令 x acos 一 a 2 x 2 a cosb.在所有裂纹内部应力为零.y0,x a, a 2b x a2b 在区间内单个裂纹时Zz z 2 a 210分d(sin -2b［吃（加sin ( a)2ba sin2b .2 a . a」 --------- cos——sin 】2b 2b0时,2 2帥莎(a)] (s^a)22b cos asin a 2b2b2bK I1吧0 F_Zsin2b1 a . a ——cos——sin —2b2b 2b2b ta n—a2ba tan—2b 10分注意行为规范3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度，材料屈服，即：2 2 2 2(1 2 ) ( 2 3) ( 3 1 ) 2 s对于I型裂纹的应力公式：(X2y)2xy1Kl cos-[1 sin-]2 2 r 2 2遵考场10分纪程•律0(平面应力,薄板或厚板表面)K I22scos2[1 3sin2—]2 2--平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方10分r、简答题1.断裂力学中, (80 分)按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。
第一部分——断裂力学基本概念理论综述断裂力学定位断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。
学习中介绍了断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性断裂力学基本理论、裂纹扩展、J积分以及断裂问题的有限元方法等内容。
断裂力学诞生现代断裂力学（fracture mechanics）这门学科，就在这种背景下诞生了。
从上世纪五十年代中期以来，断裂力学发展很快，目前线性理论部分已比较成熟，在工程方面，已广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等许多领域。
解决断裂问题的思路因为断裂的发生绝大多数都是由裂纹引起的，而断裂尤其是脆性断裂，一般就是裂纹的失稳扩展。
裂纹的失稳扩展，通常由裂纹端点开始。
因此，发生断裂的时机必然与裂端区应力应变场的强度有关。
对于不含裂纹的物体，当某处的应力水平超过屈服应力，就要发生塑性变形；而对于含裂纹的物体，当某裂端表征应力应变场强度的参量达到临界值时，就要发生断裂。
这个发生断裂的临界值很可能是材料常数，它既可表征材料抵抗断裂的性能，亦可用来衡量材料质量的优劣。
影响断裂的两大因素———载荷大小和裂纹长度考虑含有一条宏观裂纹的构件，随着服役时间后使用次数的增加，裂纹总是愈来愈长。
在工作载荷较高时，比较短的裂纹就有可能发生断裂；在工作载荷较低时，比较长的裂纹才会带来危险。
这表明表征裂端区应力变场强度的参量与载荷大小和裂纹长短有关，甚至可能与构件的几何形状有关。
断裂力学研究内容储备强度究竟是个什么样的参量？它与表征裂端区应力变场强度的参量有何关系？如何计算它？如何测量它？它随时间变化的规律如何？受到什么因素的影响？韧度（toughness）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。
它是个能量的概念。
脆性（brittle）和韧性（ductile）一般是相对于韧度低或韧度高而言的，而韧度的高低通常用冲击实验测量。
断裂力学及其工程应用期末课程总结学院：材料科学与工程学院班级：成型091405班（铸造）姓名：鲁茂波学号：200914030181通过本学期对断裂力学及其工程应用的系统性学习，对断裂力学在生活中的应用有了深刻的认识，并且用断裂力学理论性的知识解释生活史上发生一系列大的事故的发生原因。
例如1943—1947年美国5000余艘焊接船连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘全毁。
1949年东俄亥俄煤气公司的圆柱形型天然气罐发生爆炸，是周围街市变成废墟。
还有等等很多重大性事故都可以用断裂力学的知识解释其发生的原因，并且可以得到怎样癖免它发生的措施。
通过本学期对断裂力学及其工程应用的系统性学习，及老师的精彩讲解。
自己学到了很多东西。
通过总结学到了以下几方面的知识：1、断裂力学的许多理论性知识；2、断裂力学在相关工程上的应用；3、学到了一些相关问题建模的能力、思考问题的能了、解决问题的能力。
第一章：线弹性断裂力学1.1裂纹的分类：1、按裂纹的几何特征可以分为穿透裂纹、表面裂纹和深理裂 纹。
2、 在实际构件中的裂纹，由于外加作用力的不同，可以分为 三种基本状态，即张开型裂纹、滑开型裂纹和撕开型裂纹。
张开型裂纹、滑开型裂纹和撕开型裂纹的受力图1.2构件断裂的两种观点：1、应力强度因子理论（Irwin 应力强度因子理论） 2、能量释放率理论（Griffith 脆断理论） 1.3裂纹失稳扩展：1.4能量释放率断裂理论：1、Griffith 理论 临界应力：aE c πγσ2=x x x yyyz z z III III 裂纹曲裂纹曲率非常小，近似为原子间距2、Orowan 理论3、裂纹表面能：形成新的裂纹表面所需要的能量。
1.5能量释放率及其断裂判据：从能量守恒和功能转换关系来研究裂纹扩展过程，由此可以更清楚地揭示断裂韧性的物理意义。
1、断裂韧性：表征材料阻止裂纹扩展的能力，是度量材料的韧性好坏的一个定量指标。
断裂力学复习题1．裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。
按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。
2．应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及（裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。
材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。
3．确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数值法），（实测法）。
4．受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，具有长度为2a 的中心贯穿裂纹，求应力强度因子ⅠK 的表达式。
【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为： ① 当y = 0，x → ∞时，σσσ==y x；② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→y σ。
可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为 22Ⅰ )(az z z Z -=σ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z =ζ或ζ= z －a ，代入（1），可得： )2()()(I a a Z ++=ζζζσζ 于是有：aaaaaKπσζζσπζζζσπζζζ=++⋅=++⋅=→→)2()(2lim)2()(2limⅠ5．对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，求应力强度因子ⅡK的表达式。
【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：①当y = 0，x→∞时，ττσσ===xyyx，0；②在y= 0，ax<的裂纹自由面上，0,0==xyyτσ；而在ax>时，随ax→，∞→xyτ。
可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅱ)(azzzZ-=τ（1）将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z =ζ或ζ= z－a，代入（1），可得：)2()()(ⅡaaZ++=ζζζτζ于是有：aaaaaKπτζζτπζζζτπζζζ=++⋅=++⋅=→→)2()(2lim)2()(2limⅡ6．对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题，求应力强度因子ⅢK的表达式。
断裂与疲劳(专升本)阶段性作业1总分：100分得分：0分一、判断题1. 断裂力学的研究对象是含裂纹体。
(6分)正确错误正确的答案是：正确解题思路：2. 脆性材料不发生或很小塑性变形，没有屈服极限，在经历很小的变形情况下就会发生断裂。
(6分)正确错误正确的答案是：正确解题思路：3. 第二强度理论代表最大切应力理论。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：4. 穿晶断裂是韧性的，而不可以是脆性的。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：5. 约束力是一种主动力。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：6. 低应力脆断多与结构件中存在宏观缺陷(主要是裂纹)有关，且与材料的韧性有关。
(6分)正确错误正确的答案是：正确解题思路：7. 材料的理论断裂强度与实际断裂强度相差很大。
(6分)正确错误正确的答案是：正确解题思路：8. 使构件发生变形的外部物体作用统称为外力，它只表示构件承受的载荷。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：9. 根据材料断裂的载荷性质，断裂力学分为静态断裂力学和动态断裂力学，断裂动力学是断裂静力学的基础。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：10. 材料的断裂是一个很复杂的过程，是材料性质、载荷类型、复役环境、构件尺寸等多种因素共同作用的结果，并且可能造成灾难性事故，因此断裂控制是无规律可循的。
(6分)正确错误正确的答案是：错误解题思路：二、填空题1. 载荷按性质分类有拉伸载荷、压缩载荷和___(1)___ 载荷。
(5分)(1). 正确的答案是: 剪切2. 由于作用循环载荷而性能变劣造成的断裂称为___(2)___ 。
(5分)(1). 正确的答案是: 疲劳断裂3. 材料（或构件）断裂前有明显的塑性变形，即断裂应变较大的断裂方式为___(3)___ 。
(5分)(1). 正确的答案是: 韧性断裂三、单选题1. 断裂化学则是研究各种对材料断裂过程的作用及影响的一门学科。
研究生课程考试答题册学号056060343姓名徐红炉考试课目断裂力学考试日期2006.9西北工业大学研究生院1． 分析1型裂纹尖端附近的应力应变场。
考虑在无限远处受双向拉伸应力作用的Ⅰ型裂纹问题。
其Westergaard 应力函数的形式选为：)(~)(~~z Z yI z Z R I m I e I +=φ，该函数满足双协调方程，其相应的应力分量为)()(22z Z yI z Z R yI m I e Ix '-=∂∂=φσ （1a ）)()(22z Z yI z Z R xI m I e Iy '+=∂∂=φσ （1b ）)(2z Z yR yx I e I xy'-=∂∂∂=φτ （1c ） 相应的应变分量)]()1()()1[(1)(1z Z I y z Z R E E I m I e y x x ''+-'-'='-'=ννσνσε （2a ）)]()1()()1[(1)(1z Z I y z Z R E E I m I e x y y ''++'-'='-'=ννσνσε （2b ）Gz Z yR G I e xyxy)('-==τγ （2c ） 先确定一个解析函数)(1z Z ,使得到的应力分量应满足问题的全部边界条件。
将x 坐标轴取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则边界条件为： （1） y=0,x ∞→,σσσ==y x（2） y=0,a x <,的裂纹自由面上，0=y σ，0=xy τ；而当a x >，随着a x →，∞→σ。
因此选择函数222)/(1)(ax xx a x Z I -=-=σσ，用z=x+iy 代替上式中的x ，从而有22)(az zz Z I -=σ （3）满足上述边界条件。
为计算方便，将原点坐标从裂纹中心移至裂纹的右端点处，采用新坐标ξ，a z a iy x iy a x -=-+=+-=)()(ξ，或写成a z +=ξ。
（7）式用新坐标可写成 )2()()()()(22a a a a a Z I ++=-++=ξξξσξξσξ （4）令aa f I 2)()(++=ξξσξ （5）则)(1)(ξξξI I f Z ⋅=考虑裂纹尖端的附近的应力场，即在0→ξ时，)(ξI f 为一实常数。
令πξξ2)(lim 0I I K f =→，则πξξξξξ2)(lim )(lim 0I I I K f Z ==⋅→→)(2limξπξξI I Z K ⋅=→，其中I K 就是Ⅰ型裂纹的裂纹尖端应力强度因子。
因此，在裂纹尖端处，在0→ξ的很小的范围内，解析函数)(ξI Z 可以写成πξξξξξ2)(1lim)(0I I I K f Z =⋅=→ （6）采用极坐标，将)sin (cos θθξθi r e r i +=⋅=，从而式（10）变为)sin (cos 222)(2θθπππξθθi rK erK er K Z I iI i I I -==⋅=-即，θπξcos 2)(r K Z R I I e = （7a ）θπξsin 2)(rK Z I II m -=（7b ）由)23sin 23(cos 22)21(2)(2323θθπξπξi r K K Z I II --=-='--有，23cos22)(23θπξ--='rK Z R I I e （8a ） 23sin22)(23θπξ-='rK Z I I I m （8b ） 同理有2cos 22)(~21θπξr K Z R I I e = （9a ）23sin22)(23θπξ-='rK Z I I I m （9b ） 且2cos 2sin2sin θθθr r y == （10） 将公式（7），（8）和（10）代入式（1），并将公式（9）代入（2）式，得到各个应力分量和应变分量的表达式，即)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπσ-=rK Ix （11a ）)23sin 2sin 1(2cos 2θθθπσ+=rK Iy （11b ）3sin cos 222xy θθθτ=（11c ）]23sinsin )1(cos )1[(2θθνθνπε'+-'-'=r E K I x （12a ） ]23sinsin )1(cos )1[(2θθνθνπε'++'-'=rE K I y （12b ） rK I xy πθθγ2223cossin =, （12c ）其中：平面应力情况：E E ='，νν='平面应变情况：)1/(2ν-='E E ，ννν-='12． 试求小范围屈服时塑性区的大小，并讨论在这种情况下如何对线弹性断裂力学准则进行修正。
对于平面问题，由材料力学知识知，2/1221]4)[(21)(21xy y x y x τσσσσσ+-++= (13a)2/1222]4)[(21)(21xy y x y x τσσσσσ+--+= (13b)03=σ（平面应力）；)(213σσνσ+=（平面应变） (13c)将公式（11）代入式（13）中，化简得到)2sin 1(cos 21θθπσ+=rK I（14a ）)2sin 1(cos 22θθπσ-=rK I(14b) 03=σ（平面应力）；2cos223θπνσrK I =（平面应变） (14c)利用Mises 屈服准则，22132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- （15）式（15）中的s σ为材料在单向拉伸时的屈服极限。
对于平面应力情况：将式（14）代入式（15），得到)]2sin 31(2[cos )(21222θθσπ+=s I K r （16） 式（16）表示在平面应力状态下裂纹尖端塑性区的边界曲线方程，在裂纹延长线上（即在ο0=θ的x 轴上），塑性区边界到裂纹尖端的距离为 200)/(21s I K r r σπθ===ο （17）同样有，对于平面应变状态下，2200)/(21)21(s I K r r σπνθ-===ο （18）在这种情况下，当裂尖出现的是小范围屈服，则裂纹尖端附近的塑性区域被周围广大的弹性区所包围，此时只需对塑性区的影响作出考虑，而仍可用线弹性断裂理论来处理，因此可以采用“有效裂纹尺寸”法，用它对应力强度因子I K 进行修正，得到所谓“有效应力强度因子”，作为考虑塑性区影响的修正。
若欲使线弹性理论解rK I yπσθ20==ο仍然使用，则假想将裂纹尖端向右移动，把实际的弹塑性应力场，改用一个虚构的弹性应力场来代替。
可以计算出不论平面应力或是平面应变问题，裂纹长度的修正值为塑性区尺寸的一半，即修正后裂纹的裂尖正好处于x 轴塑性区的中心。
3． 图中受单向拉伸作用的“无限大”平板，板中有一条长度为2a 且与拉伸方向夹角为β的穿透斜裂纹。
设板材的断裂韧度IC K 为已知，按最大周向应力理论和应变能密度因子理论确定开裂角0θ和临界压应力c σ。
首先求出裂纹位置处的“当地应力”。
利用材料力学中求轴向拉压时斜截面上的公式有，ασσα2cos =αασταcos sin =注意到此处βπα-=2，可以得到βσσα2sin =ββσταcos sin =由此可以看出，这是Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹问题，其中βπσπσα2sin a a K I == ββπσπταcos sin a a K II ==最大周向应力理论：将I K 和II K 代入有最大周向应力理论确定的公式0)1cos 3(sin 00=-+θθII I K K 中，化简得 0)1cos 3(sin 00=-+βθθctg当给定裂纹角β时，可以由上式确定的开裂角0θ，确定开裂角0θ之后，将I K 和II K 一起代入公式Ic II I K K K =-]sin 232cos [2cos02θθθ，得到临界应力， ]cos sin sin 3sin )cos 1[(2cos20200ββθβθθπσ-+=a K Icc应变能密度因子理论：应变能密度因子为233222122112III II II I I K a K a K K a K a S +++= 将I K 和II K 一起代入上式，有),()cos sin cos sin 2(sin 222223121142θβπσβββββπσaf a a a a S =++=其中系数)]cos 1)(cos 43[(16111θθνπ+--=Ga )]21()[cos sin 2(16112νθθπ--=G a )]1cos 3)(cos 1()cos 1)(1(4[16112-++--=θθθνπG aGa π4133=根据0=∂∂θS，022>∂∂θS 的条件，确定开裂角οθ。
然后将开裂角οθ的代入应变能密度因子表达式中，便得到最小应变能密度因子min S ，当min S 达到材料对应的临界值时，裂纹开始扩展，此时对应的σ就是临界压应力c σ。
即22min 421),(Ic c cK GS af S πνθβπσ-===ο，由此可以得到临界压应力c σ即212]),()21([οθβπνσf a K Icc -=4． 用D-B 模型计算裂纹尖端塑性区的宽度及裂纹尖端张开位移。
首先确定裂纹尖端区的宽度R ，假想把塑性区挖去，则在弹性—塑性区的边界上应加上均匀拉力s σ，于是得到裂纹长度为2c ，外加应力是σ远场应力以及塑性区有应力s σ的线弹性问题。
此时裂纹尖端C 的应力强度因子cI K 应由两部分组成：一个是由远场均匀拉应力σ产生的)1(I K ，另一个是由塑性区部位的裂纹表面所受的均匀应力s σ所产生的)1(I K ，根据无限大板中心贯穿裂纹公式有，c K I πσ=)1()(cos 21)2(ca c K sI --=ππσ从而有)(cos 21)2()1(cac c K K K sII cI --=+=ππσπσ （19）由于C 点为塑性区的端点，应力无奇异，因此cI K =0，代入（19），得到)(cos 21cac c s-=ππσπσ即)2cos(sc a σπσ= （20） 由于塑性区宽度R=c-a ，，将式（20）代入并化简得到，)12(sec-=sa R σπσ，将上式按级数展开，且当s σσ/较小时，得到R 的近似表达式， 2)2(2sa R σπσ=考虑到无限大平板有中心贯穿裂纹时I K a =πσ，故有22)(39.0)(8sI S I K K R σσπ≈=下面计算裂纹尖端的张开位移：首先给出Paris 位移公式，⎰→∂∂'=ξδ00)(2da FK K E F IFc I （21）在初始裂纹（2a ）端点处各引入一对虚拉力F ，产生的I K 为)(222a c c FcK IF -=π （22）将公式（19）和（22）代入（21）式，注意到积分式表示从原点扩展到某裂纹长的过程，用变量ξ2代替2c ，表示裂纹在增长过程中的瞬时长度，于是有⎰→--∂∂-'=c F s d a F F a E 00221])(2[]cos 2[2ξξπξξξπξπσπξσδ注意到当a <ξ时，对力F 作用于韧带上的同一点而互相抵消，使0=IF K ，故只需从a 到c 积分，积分后有)2sec(ln 8ss E a σπσπσδ=（23） 当6.0/≤s σσ时，公式（23）是较合适的。
