人教版高中数学选修(1-1)-2.3典型例题：抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.3.2 抛物线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：抛物线的基本运算 因为抛物线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可以已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 对抛物线ay 4x 2=（0a ≠），下列说法中正确的是A. 若0a >，焦点为（0，a ），若0a <，焦点为（0，-a ）B. 若0a >，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,0；若0a <，焦点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ,0C. 不论0a >，还是0a <，焦点都是（0，a ）D. 不论a 0>，还是0a <，焦点都是⎪⎭⎫⎝⎛2a ,02. 已知椭圆14y 5x 22=+的中心为A ，右准线为l ，那么A 为顶点，l 为准线的抛物线方程为A. x 20y 2-=B. x 20y 2=C. x 10y 2-=D. x 10y 2=3. 已知P （8，a ）在抛物线px 4y 2=上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 164. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），能使此抛物线方程为x 10y 2=的条件是___________。

（要求填写合适条件的序号）。

题型二：求抛物线的方程 求抛物线方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 如图2-3-1所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知点A （-2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线7. 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，直线AB 交抛物线C 于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M （m ，0），A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，求抛物线C 的方程。

2．3.1 抛物线及其标准方程填一填1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过点F )距离相等的点的集合叫作抛物线，点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py (p >0)叫作抛物线的标准方程．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程是x ＝－p2，开口方向向右． (3)抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程是x ＝p2，开口方向向左． (4)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程是y ＝－p2，开口方向向上． (5)抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程是y ＝p2，开口方向向下.判一判1.解析：由抛物线标准方程的推导过程可知正确．2．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x －2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为抛物线．(×)解析：定点F 在定直线上，动点P 的轨迹是一条直线，故错误．3．抛物线x ＝2y 2的准线方程为y ＝－18.(×)解析：抛物线x ＝2y 2化为标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－18，故错误．4．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫14a ，0.(×) 解析：抛物线的焦点在y 轴上应为⎝⎛⎭⎫0，14a ，故错误． 5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是y 2＝－4x .(×)解析：设抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2.抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故错误．6．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是y 2＝4x .(×)解析：设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义，动圆圆心的轨迹方程为y 2想一想1.在抛物线的定义中，若去掉“l 不过点F ”，点的轨迹还是抛物线么？提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离． 3．求抛物线的标准方程的方法有哪些？ 提示：(1)定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一、分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y 2＝2px (p >0)和y 2＝－2px (p >0)两种情况求解．法二、设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．4．四种位置的抛物线的标准方程有什么异同？ 提示：(1)共同点：①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的14；(2)不同点：①焦点在x 轴上时，x 为一次y 为二次；焦点在y 轴上时，y 为一次x 为二次；即一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同．②一次项系数的正负不同，x 为一次项且系数为正(负)开口向x 轴的正(反)方向；y 为一次项且系数为正(负)开口向y 轴的正(反)方向，即一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．思考感悟：练一练1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2解析：因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.答案：B2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .答案：D3．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析：抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 答案：y ＝34．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解析：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝5， 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.知识点一抛物线的定义1.已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|可化为x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5，它表示点M 到坐标原点O 的距离等于它到直线3x ＋4y －12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M 的轨迹是抛物线．故选C.答案：C2．给出下列命题：①到定点F (－1,0)的距离和定直线x ＝1的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线；②到定点F (2,1)的距离和到定直线3x －2y －4＝0的距离相等的动点P 的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y 轴上． 其中假命题是________(填序号)．解析：由抛物线的定义，知命题①为真命题；因为定点F (2,1)在定直线3x －2y －4＝0上，可知动点P 的轨迹为一条直线，所以命题②为假命题；因为抛物线的焦点可以随建立坐标系的方式不同而不同，因此可以在x 轴上，所以命题③为假命题．答案：②③3．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解析：方法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |，所以y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. 于是动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．方法二：由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，所以当x <0时，射线y ＝0上的点满足题意；当x ≥0时，已知条件等价于点P 到点F (1,0)的距离与到其直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .2知识点二 抛物线的标准方程 4.准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B5．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( )A ．(504,0) B.⎝⎛⎭⎫18 064，0C.⎝⎛⎭⎫0，18 064D.⎝⎛⎭⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为⎝⎛⎭⎫0，18 064. 答案：C6．抛物线y ＝x 2的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，0B.⎝⎛⎭⎫14，0 C.⎝⎛⎭⎫0，－14 D.⎝⎛⎭⎫0，14 解析：∵抛物线方程为y ＝x 2，∴2p ＝1，∴p ＝12，又∵焦点在y 轴的正半轴，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，故选D. 答案：D7．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解析：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .基础达标一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫18，0D.⎝⎛⎭⎫0，18 解析：转化为标准方程，x 2＝12y ，所以焦点为⎝⎛⎭⎫0，18.故选D. 答案：D2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是( )A ．y ＝－a 2B ．y ＝－a4C ．y ＝－12aD ．y ＝－14a解析：首先将方程化为标准方程x 2＝1a y ＝2·12a y .当a >0时，y ＝－14a ；当a <0时，y ＝－14a .所以抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝－14a.故选D.答案：D3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：D4．已知两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－bax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－15，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－25，0 解析：依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9，ab ＝20，a >b 解得a ＝5，b ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－45x ，p ＝25，∴其焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选B. 答案：B5．点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2py (p ＞0)上一点，若点M 到该抛物线的焦点的距离为2，则点M 到坐标原点的距离为( ) A.312B.31C.21D.212解析：抛物线x 2＝2py (p >0)的准线方程是y ＝－p2，因为点M 到该抛物线的焦点的距离为2，所以32＋p2＝2，解得：p ＝1，所以该抛物线的方程是x 2＝2y ，因为点M ⎝⎛⎭⎫x 0，32是抛物线x 2＝2y上的一点，所以x 20＝2×32＝3，所以点M 到坐标原点的距离是x 20＋⎝⎛⎭⎫322＝3＋94＝212，故选D.答案：D6．抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M (4，m )到焦点的距离为5，则m 的值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．4或－4解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义有⎪⎪⎪⎪4＋p 2＝5，p ＝2(负值舍去)，此时y 2＝4x ，将点M (4，m )代入抛物线方程中，求出m ＝±4.答案：D7．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|P A |＋d 的最小值为( )A ．4 B.74C.17－1D.34－1解析：抛物线y 2＝4x的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1.如图所示，过点P 作PN ⊥l 交y 轴于点M ，垂足为N ，则|PF |＝|PN |.∴d ＝|PF |－1，∴|P A |＋d ≥|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1，故选D. 答案：D 二、填空题8．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.答案：29．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p 2，与圆相切，则3＋p2＝4，p ＝2.答案：210．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．答案：2 611．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：如图，可得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3代入双曲线y 2－x 23＝1可得p 23－p 23×4＝1，解得p ＝2.答案：212．已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，若l 与圆C (x －3)2＋y 2＝1相交所得弦长为3，则a ＝________.解析：抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的准线l ：y ＝－14a ，∴圆心(3,0)到其距离为d ＝1－34＝12，∴14a ＝12，∴a ＝12. 答案：12三、解答题13．求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)经过点(－2，－4)，且以坐标轴为对称轴； (2)焦点为直线2x －3y －6＝0与坐标轴的交点； (3)顶点在坐标原点，准线方程为y ＝－5.解析：(1)因为点(－2，－4)在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝－2py (p >0)若点(－2，－4)在x 2＝－2py (p >0)上，则(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12若点(－2，－4)在y 2＝－2px (p >0)上，则(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)直线2x －3y －6＝0与x 轴的交点坐标为(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，当焦点坐标为(3,0)时，p2＝3即p ＝6，抛物线的方程是y 2＝12x ；当焦点坐标为(0，－2)时，p2＝2即p ＝4，抛物线的方程是x 2＝－8y .抛物线的标准方程为y 2＝12x 或x 2＝－8y .(3)因为准线方程为y ＝－5，所以可设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，且p2＝5，p ＝10，故所求抛物线的标准方程为x 2＝20y .14．如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解析：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a 4. 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点B 在抛物线上，所以⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ·⎝⎛⎭⎫－a 4， 解得p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21.因为a能力提升15.已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两点，若|MF |＋|NF |＝32，求线段MN的中点P 到x 轴的距离．解析：如图，抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18，准线为y ＝－18，过M ，N 分别作准线的垂线，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32，所以中位线|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34，所以中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58.16．设抛物线y 2＝mx的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知1－⎝⎛⎭⎫－m4＝3，所以m ＝8. 此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4，由条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .。

2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课时过关·能力提升1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A.(12,0)B.(6,0)C.(3,0)D.(0,3)答案: C2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()A.y.yC.y2=.y2=4x答案:B3.抛物线yA.x.xC.x=.x=答案:D4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()A.(x-1)2+y.x2+(y-1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1答案:C5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()A.3B.6C.9D.12解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x.由抛物线定义知l=h,又l=d d=l-4=6.答案:B6.设定y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()A.(0,0)B.(1C.(2,2) D解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y=),此时,点P的坐标为(2,2).答案:C7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为.答案:y2=8x8.抛物线x=2y2的焦点坐标是.答案9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;(2)焦点到直线x=-5的距离是8.解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则=4,∴p=8,∴方程为y2=16x.(2)焦点在x轴上,设为,∴+5=8,解得=3,则其焦点为(3,0),∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.★10.如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:(1)y1y2=-p2,x1x(2)|AB|=x1+x2+pθ为直线AB的倾斜角);(3.分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.证明:(1)由已知,得焦点F,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0),由消去x,得ky2-2py-kp2=0.①由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2=.又由y=k,得x=y+,故x1x2=y1y2+(y1+y2)+(-p2)+.当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,x1x2=.综上,y1y2=-p2,x1x2=.(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.②又y=k(k≠0),∴x=y+,∴x1+x2=(y1+y2)+p.由①知y1+y2=,∴x1+x2=+p,代入②得|AB|=+2p=2p=2p.当直线AB的斜率不存在,即θ=时,A,B,|AB|=2p=+p=.综上,|AB|=x1+x2+p=.(3)=,将x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,得.故为定值.。