不定方程 教学

《不定方程的解法》教案《不定方程的解法》教案一、教学目标1.理解不定方程的概念及其解法。

2.掌握常用的求解不定方程的技巧。

3.能解决实际生活中的不定方程问题。

二、教学内容及过程1.什么是不定方程？介绍不定方程的定义：未知数的个数多于方程的个数，且未知数的系数为整数（或小数），且用整（或小数）表示的方程。

2.不定方程的解法（1）整除法：利用整数的整除性质求解。

例如：3x+5y=7，其中x，y均为整数，求满足条件的解。

我们可以发现3和7的公约数只有1，那么我们就可以知道x和y必然是3和7的公约数。

所以可以得到一组解x=1，y=2或者x=2，y=1。

（2）奇偶性分析法：通过分析奇偶性求解。

例如：3x+5y=9，其中x，y均为整数，求满足条件的解。

我们可以观察到方程左边是奇数，那么右边的数也必须是奇数。

而9是奇数，所以可以得到一组解x=0，y=3或者x=3，y=0。

（3）质因数分解法：通过质因数分解求解。

例如：2x+3y=18，其中x，y均为整数，求满足条件的解。

我们可以把18分解成2和3的因子相乘的形式，即18=2×3×3。

因此可以得到一组解x=0，y=6或者x=3，y=4或者x=6，y=3或者x=9，y=2或者x=12，y=1。

（4）分组法：将方程分成若干组，然后分别求解。

例如：4x+6y=18，其中x，y 均为整数，求满足条件的解。

我们可以将方程分成两组进行求解，即（4x+6y=18）=(4x+6(y-1))+(6y+6)=2[2x+(3y-3)]+6=(2x+3(y-1))+6=(2x+3)+(3(y-1))+6 得到两组解x=0, y=3; x=-3, y=4; x=-6, y=5; x=-9, y=6; x=-12, y=7; x=-15, y=8; x=-18, y=9; x=-21, y=10; x=-24, y=11; x=-27, y=12。

（5）枚举法：列举出所有可能的解。

初中不定方程应用教案教学目标：1. 理解不定方程的定义和基本性质；2. 学会解简单的多变不定方程；3. 能够应用不定方程解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 不定方程的定义和基本性质；2. 解多变不定方程的方法。

教学难点：1. 不定方程的解的判断和求解；2. 应用不定方程解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入不定方程的概念，让学生回顾一下之前学过的方程；2. 提问：方程有什么特点？方程的解有什么特点？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不定方程的定义和基本性质；2. 通过示例讲解解多变不定方程的方法；3. 引导学生思考：如何判断一个方程是不定方程？如何求解不定方程？三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题；2. 指名学生讲解解题思路和过程；3. 集体订正答案，讲解错误的原因。

四、应用拓展（15分钟）1. 让学生思考：不定方程在实际生活中有哪些应用？2. 举例讲解不定方程在实际问题中的应用；3. 让学生尝试解决一个实际问题，小组讨论交流。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结不定方程的定义和性质；2. 强调解不定方程的方法和注意事项；3. 鼓励学生积极参与数学活动，提高解决问题的能力。

教学反思：本节课通过讲解不定方程的定义和性质，让学生掌握了不定方程的基本概念；通过示例和练习，让学生学会了解多变不定方程的方法，并能够应用不定方程解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和动力。

同时，也要关注学生的学习情况，及时发现和解决问题。

《一次不定方程及其应用》教案设计教学内容：教学内容：让学生了解什么叫不定方程，解二元一次不定方程的问题时，我们有两个定理，及他的应用，解二元一次不定方程的关键是求它的一组解。

教学重点：二元一次定方程的定理及其应用。

教学难点：定理的理解及其应用。

情景导入：同学们以前学过一元一次方程的求解，那我们来一起回顾一下。

让学生分成两组进行比赛：5x+2=12 得x=213y-3=23 得y=2那大家想一下，以前我们都是计算的一元一次方程，那现在如果告诉我们一个式子，摆出式子，x+y=4，那大家看一下，我们能算出这个式子中的两个未知数吗、这就是我们今天要学习的内容。

例1.求方程4x+5y=21的整数解。

思路点拨：因为方程4x+5y=1，有一组解的x=-1，y=1，所以方程4x+5y=21，有一组解x=-21，y=21，又因为方程4x+5y=0的所有整数解为x=5k。

y=-4k（k为整数）所以方程4x+5y=21的所有整数解为X=-21+5k，y=21-4k（k为整数）解答：方程4x+5y=21得所有整数解为x=-21+5k。

y=21-4k（k为整数）说明：本题也可直接观察得到方程4x+5y=21的一组特解，从而得到4x+5y=21的通解{x=-1+5k。

y=5-4k}（k为整数）扩展训练:求方程5x+3y=22的所有正整数解。

分析：先求出原方程的一切整数解，再从中得出原不定方程的正整数解。

解：方程5x+3y=1的一组解为x=-1，y=2.所以方程5x+3y=22有一组解为x=-22，y=44又因为5x+3y=0的所有正整数解为x=3，y=-5k。

k为整数所以方程5x+3y=22的正整数解为x=33k-22，y=-5k+44，k为整数，由3k-22>o。

-5k+44>0,解得k>22|3，k<44|5,所以，k=8.原方程的正整数解为x=2，y=4例2，求方程63x+8y=-23的整数解。

不定方程教案不定方程教案一、教学目标：1. 理解不定方程的概念和基本特征。

2. 掌握解一次不定方程的方法。

3. 能够运用解不定方程的方法解决实际问题。

二、教学重点：1. 解一次不定方程的基本方法。

2. 运用解不定方程的方法解决实际问题。

三、教学难点：解二次及高次不定方程的方法。

四、教学步骤：1. 引入问题老师可以通过举例子的方式引入不定方程的概念，比如说“若一只鸡和一只兔子的总脚数是80只，问鸡和兔子各有多少只？”。

引导学生思考如何解决这个问题。

2. 解一次不定方程的方法讲解求解一次不定方程的基本方法，即设未知数，列方程，求解方程，得出答案。

举例说明这个方法的具体步骤，并让学生自己尝试解决举的例子。

3. 运用解不定方程的方法解决实际问题让学生运用所学的方法解决一些实际问题，比如说“小明有25元钱，要买一些苹果和梨，苹果的单价是2元，梨的单价是3元，问他可以买到几个苹果和几个梨？”。

引导学生列方程并求解，得出答案。

4. 解二次及高次不定方程的方法讲解解二次及高次不定方程的方法，包括设未知数，列方程，求解方程，得出答案。

举例说明这个方法的具体步骤，并让学生自己尝试解决举的例子。

5. 进行练习和巩固让学生在教师的指导下进行练习，巩固所学的知识。

教师可以根据学生的理解情况适当调整难度。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握解一次不定方程的基本方法，并能够运用解不定方程的方法解决实际问题。

但在解二次及高次不定方程的方法上，学生普遍存在困难。

所以，下节课需要继续强化解二次及高次不定方程的方法讲解，并加大练习和巩固的力度。

不定方程一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这里的“不定”指的是方程的解不定．二、基本思路与方法：1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。

2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。

3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。

4．运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。

5．同余方法，如果不定方程12(,,,)0n F x x x =有整数解，则对任意*m N ∈，其整数解12(,,,)n x x x 满足12(,,,)0(mod )n F x x x m ≡。

利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。

6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。

7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。

三、例题选讲：例1.求所有满足方程222511(11)x y xy +=-的正整数解(,)x y 。

解：法1（因式分解）：方程即2(2)(5)11x y x y --=-，可得解得(,)(14,27)x y =。

法2（配方法）：方程即22211812()1148y x y -+=，即222(411)81181x y y -+⨯= 例2．将113表示成k 个连续正整数之和，求项数k 的最大值。

解：设这k 个连续正整数中最小的数为a ，则1113(1)2ka k k =+-，即112(1)23ka k k +-=⋅，作因式分解可得11(21)23k a k +-=⋅。

显然，为了让k 尽量大，则需a 尽量小，故需k 与21a k +-的取值尽量接近，因此令523k =⋅，6213a k +-=，可得122a =，486k =。

一招教你搞定不定方程一相关概念1.什么是不定方程未知数个数多于方程个数的方程,叫做不定方程,比如：3x+4y=42就是一个二元一次方程.在各类公务员考试中通常只讨论它的整数解或正整数解.在解不定方程问题时,我们可以利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案.但是方法越是繁多,我们在备考过程中学习的压力就越大,为了让大家更好的地理解和掌握不定方程的求解问题,这里我们介绍一种“万能”的方法——利用同余性质求解不定方程.2.什么是余数被除数减去商和除数的积,结果叫做余数.比如：19除以3,如果商6,余数就是1；如果商是5,余数就是4；如果商是7,余数就是-2.注意,这里余数的概念指的是广义上的概念,即余数不再是比除数小的正整数.3.同余特性①余数的和决定和的余数例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1；23,24除以5的余数分别是3和4,所以23+24除以5的余数等于余数和7,正余数是2.②余数的差决定差的余数；例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,即两个余数的差3-1；16-23除以5的负余数为-2,正余数为3.③余数的积决定积的余数；例：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.二利用同余性质解不定方程例1：解不定方程x+3y=100,x,y皆为整数.A 41B 42C 43D 44解析：因为3y能够被3整除,100除以3余1,根据余数的和决定和的余数,x 除以3必定是余1的,所以答案为C.例2:：今有桃95个,分给甲,乙两个工作组的工人吃,甲组分到的桃有2/9是坏的,其他是好的,乙组分到的桃有3/16是坏的,其他是好的.甲,乙两组分到的好桃共有多少个A.63B.75C.79D.86解析：由题意,甲组分到的桃的个数是9的倍数,乙组分到的桃的个数是16的倍数.设甲组分到的桃有9x个,乙组分到16y个,则9x+16y=95.因为9x可以被9整除,所以95除以9的余数就等于16y除以9的余数,95除以9余5或者余14,16y 除以9的余数由16除以9的余数7和y除以9的余数之积决定,所以可以推出：y除以9的余数是2,那么y的值只能取2,进而求出x=7,,则甲、乙两组分到的好桃共有7x+13y=7×7+13×2=75个,答案选B.。