2021中考数学热点题型专练三角形含解析

中考数学各类计算题型专练二次函数特殊三角形存在性问题（等腰三角形、直角三角形）【一】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A（－1,0）、B（3, 0）、C（0 ,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【二】如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），B（1.0 ），C（0，-3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y 轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【三】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C （1,0）,如图所示,抛物线y=ax2−ax−2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【四】如图，抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．【五】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C。

（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【六】如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y= -1/2x ﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【七】如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B （3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。

专题16三角形及全等三角形（共40题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠∠ABC =∠BCD ，∠CB 平分∠DCE ，∠∠BCE =∠BCD ，∠∠BCE =∠ABC ，∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∠∠ABC =20°，故选B ．3．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】 由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在Rt ∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线1l 、2l 、3l 两两相交，且13l l ⊥．若50α=︒，则β的度数为（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【分析】 由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒．【详解】∠13l l ⊥，∠∠2=90°；∠510α∠=∠=︒，∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选C ．5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒ 【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD，∠∠BCD=100°，∠∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∠∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．∠是ABC的外角．已知：如图，ACD∠=∠+∠．求证：ACD A B下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A 与B ，利用理论与实践相结合可判断C 与D ．【详解】解：A . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A 不符合题意；B . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B 符合题意；C . 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C 不符合题意；D . 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D 不符合题意．故选择：.B8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 603c R C ===︒，∠3R =， ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∠OD ∠AB ，AB 为弦，∠AD =BD =122AB =， ∠AD =OA cos30°，∠OA=cos30223AD ÷︒=÷=，∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．9．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】 根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中， ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠ABC ∠DCB （ASA ），选项B ，添加 AB DC =，在ABC 和DCB 中， AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ∠DCB ； 选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．10．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断∠ABC ∠∠DEF的是（ ）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∠FD【答案】C【分析】 根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】 解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断∠ABC ∠∠DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D【分析】 此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ∠AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ∠EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式 D ．若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ， 22(3)(7)374m m m m ∴-+-=-+-=，故选：D ．14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∠//,140m n ∠=︒，∠∠4=∠1=40°，∠230∠=︒，∠34270∠=∠+∠=︒；故选B ．16．（2021·海南中考真题）如图，已知//a b ，直线l 与直线a b 、分别交于点A B 、，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若140∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．95︒C ．100︒D ．105︒【答案】C【分析】 根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而可得CB AC =，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得40CAB CBA ∠=∠=︒，所以可求得100ACB ∠=︒．【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，∠直线MN 垂直平分线段AB ，∠CB AC =，∠//a b ，140∠=︒，∠140CBA ∠=∠=︒，∠40CAB CBA ∠=∠=︒，∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C ．17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD 为ABC 的角平分线的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．【详解】A ：所作线段为AB 边上的高，选项错误；B ：做图痕迹为AB 边上的中垂线，CD 为AB 边上的中线，选项错误；C ：CD 为ACB ∠的角平分线，满足题意。

专练03三角形中的面积和周长问题1.已知 ΔABC 的面积是 120 ，请完成下列问题：（1）如图1所示，若 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的中线，则 ΔABD 的面积________ ΔACD 的面积．（填“ > ”“ < ”或“ = ”）（2）如图2所示，若 CD ， BE 分别是 ΔABC 的 AB ， AC 边上的中线，求四边形 ADOE 的面积可以用如下方法：连接 AO ，由 AD =DB 得： S ΔADO =S ΔBDO ，同理： S ΔCEO =S ΔAEO ，设 S ΔADO =x ， S ΔCEO =y 则 S ΔBDO =x ， S ΔAEO =y ．由题意得： S ΔABE =12S ΔABC =60 ， S ΔADC =12S ΔABC =60 ，可列方程组为 {2x +y =60x +2y =60 ，解得________，通过解这个方程组可得四边形 ADOE 的面积为________． （3）如图3所示， AD:DB =1:3 ， CE:AE =1:2 ，请你计算四边形 ADOE 的面积，并说明理由． 2.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，AC=8，BC=6，点D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP ，DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当t=2时，求PD 的长；（2）如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE ∥AP. （3）如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1 ， 当 S 1S＜ 13 时，请直接写出t 的取值范围．3.如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，△OAB 为等边三角形，P 、Q 分别为AO 、AB 边上的动点，点P 、点Q 同时从点A 出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P 以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t ，已知点A坐标为（a ，b），且满足（a﹣6）2+| √3a﹣b|=0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C ，请问当t为何值时，∠OCP=60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．4.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，P ，Q分别为AB ，AC边上的动点，点P ，点Q同时个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C 从点A出发，若P以32运动，设运动时间为t ．（1）如图1，①当t＝________时，P是线段AB的中点，此时线段AQ与AC的数量关系是AQ＝________AC ．②在点P、Q运动过程中，△APQ是否能构成等腰三角形？________；A ．有可能B ．不可能C ．无法确定（2）如图2，连接CP、BQ交于点M ，请问当t为何值时，∠BMP＝60°；（3）如图3，D为BC边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②设四边形APDQ的面积为S1，△ABC的面积为S2．请直接写出S1与S2的关系式；若不能，请说明理由．5.（感知）如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．（1）（探究）如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC 与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）（拓展）如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，CF=2BE，S△ABF=6，则S△BCD的大小为________．若AF= 326.（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E ，与AB的延长线相交于F ，使BF＝CE ．①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE ，用含k的代数式表示△ABD的面积为多少；②求证：△AEF是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H ，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x ，∠BAC＝y ，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P ，AF上找一点Q ，FD上找一点M ，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM 周长的最小值________．（只需直接写出结果）7.如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=120°，AB=6，点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合），点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作ΔCDE，使CE=CD，∠DCE=∠ACB，连结BE．（1）求∠ABE的度数；（2）是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明理由；（3）ΔBDE的周长是否存在最小值？若存在，求出ΔBDE的最小周长；若不存在，请说明理由．8.据图回答问题：（1）感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF；（2）拓展：如图②，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN在内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点在D边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为________．9.在△ABC中，AB=AC，P为平面内一点（1）如图1，若∠BAP=∠CAP求证：BP=CP（2）如图2，若∠APB=∠APC求证：BP=CP（3）如图3，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD交AC于点E，EF ⊥BC于F，EF与BD交于点G，若ED= a，CD= b，求△BGC的面积（用含a，b的代数式表示）.10.已知：如图1，RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，等边ΔCDE的边CE在CB上，点D在AB 上.（1）求证：∠ACD=2∠BDE（2）如图2，将ΔADC沿着CD翻折，得到ΔCDF.连接EF，求证：AD=EF（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥CD交CB延长线于点G，若BE=m，DG=4+2m .求ΔFDE的面积.11.如图,在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D为AB的中点，AE=CF.求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF；（3）若AC=3，求四边形CFDE的面积.12.在RtΔABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6，P、Q分别为边AB、AC的动点.（1）若AP=a，则当AQ=________时，ΔAPQ与ΔABC相似（用含a的式子表示）；（2）若点P从点A处出发，沿线段AB以每秒钟5个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C处出发，沿线段CA以每秒钟4个单位的速度向点A运动：①当运动到第几秒时，BQ⊥CP?②令线段PQ的中点为M，则运动过程中，ΔMBC的周长的最小值是多少?。

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题1．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．2．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．（1）求CD的长．（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．5．提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l 于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．解决问题：如图3，在△ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F 作直线l的垂线，垂足为M、N．①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝3，BC＝4，五边形EMNFC面积的最大值为．6．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是直线AC上的一点，连接BP，过点C作CD⊥BP，交直线BP于点D．（1）当点P在线段AC上时，如图①，求证：BD﹣CD＝AD；（2）当点P在直线AC上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD，BD与AD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．9．如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt △ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB ：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．10．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．参考答案1．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．2．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC∴BE＝BC＝2在Rt△ABE中，AE＝＝＝4∵S＝BC•AE＝AB•CD△ABC∴CD＝＝＝8答：CD的长为8．（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：＝AC•BF＝AB•CD∵S△ABC∵AB＝AC∴BF＝CD在Rt△CDP和Rt△BQF中，∵CP＝BQ，CD＝BF∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）∴PD＝QF在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10 ∴AD＝＝6同理可得AF＝6∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0 ∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；当点Q在FC之间时，如图所示：此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6解得t＝4综上得t的值为4．②同①可知：v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6整理得v＝∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6所以v＝（2≤t＜6）．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；故答案为：∠1+∠2＝90°；（2）DE＝CE+BD，理由如下：∵BD⊥l于点D，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠ABD，又∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（3）①AB＝EM+FN，理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠EAM，又∵AE＝AC，∠EMA＝∠AHC＝90°，∴△AEM≌△CAH（AAS），∴EM＝AH，AM＝CH，同理可得：△BCH≌△FBN（AAS），∴BH＝FN，CH＝BN，∴AB＝AH+BH＝EM+FN；②∵△AEM≌△CAH，△BCH≌△FBN，∴S△AEM ＝S△CAH，S△BCH＝S△FBN，∴五边形EMNFC面积＝S△AEC +S△BCF+2S△ABC＝+2S△ABC，∵当AC⊥BC时，△ABC的最大面积为6，∴五边形EMNFC面积的最大值＝+12＝，故答案为：．6．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，＝CE•FH＝××＝，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，＝CF•ME＝×ME＝ME，∴S△CEF∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，＝CF•GM＝××＝．∴S△CFG7．解：（1）证明：如图1，在BD上截取BE＝CD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABP+∠APB＝90°，∠ACD+∠DPC＝90°．∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABP＝∠ACD．又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∴∠EAD＝∠EAP+∠CAD＝∠EAP+∠BAE＝90°．在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴∴；（2）如图2，CD﹣BD＝AD．在CD上截取CE＝BD，连接AE，由（1）可知△ADB≌△AEC，∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD﹣BD＝CD﹣CE＝DE＝AD，∴CD﹣BD＝AD．如图3，CD+BD＝AD．延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD+BD＝CD+CE＝DE＝AD．8．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为 5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD ＝45°，∵CD ⊥x 轴，∴CD ∥y 轴，∴∠ADC ＝∠OAD ＝45°；（3）A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化，理由：设点A 的坐标为（0，a ），①当点A 在y 轴正半轴上时，连接CE 交y 轴于F ，∴点C ，E 在y 轴的两侧，即点E 在y 轴左侧，同（1）的方法得，C （a ，a +1），∵△OAE 是等腰直角三角形，∴AE ⊥OA ，∴E （﹣a ，a ），∴直线CE 的解析式为y ＝x +a +，∴F （0，a +）， ∴AF ＝a +﹣a ＝， ∵OB ＝1， ∴＝2；②当点A 在y 轴负半轴上时，同①的方法得，C （﹣a ，a ﹣1），E （a ，a ）， ∴直线CE 的解析式为y ＝x +a ﹣，∴F （0，a ﹣）， ∴AF ＝， ∴＝2．即A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化．10．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：三角形综合题（五）1．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．2．数学拓展课上，老师给出如下定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，那么称这个三角形为“趣味三角形”．理解：（1）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝，BC ＝2，试判断△ABC 是否为“趣味三角形”，并说明理由． 发现：（2）如图2，已知△ABC 是“趣味三角形”，AD ，BE ，CF 分别是BC ，AC ，AB 边上的中线，且AD ＝BC ，试探究BE 和CF 之间的位置关系． 应用：（3）如图3，直线l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2，点B ，C 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，AD ，BE ，CF 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 上的中线．若△ABC 是“趣味三角形”，BC ＝2．求BE 2+CF 2的值．3．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（4，b），（1）若a，b满足（a+b﹣5）2+|2a﹣b﹣1|＝0，①求点A，B的坐标；②点D在第一象限，且点D在直线AB上，作DC⊥x轴于点C，延长DC到P使得PC＝DC，若△PAB的面积为10，求P点的坐标；（2）如图，将线段AB平移到CD，且点C在x轴负半轴上，点D在y轴负半轴上，连接AC交y轴于点E，连接BD交x轴于点F，点M在DC延长线上，连EM，3∠MEC+∠CEO＝180°，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，∠NFG＝2∠NFB，请探究∠EMC和∠BNF 的数量关系，给出结论并说明理由．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线CM上任意一点，在射线CM上载取CE＝BD，连接AD、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；（2）在（1）的条件下，求出∠ADE的度数；（3）如图2，当点D落在线段BC（不含端点）上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴，连接AB，∠ABO ＝45°，AB＝2，（1）求点B坐标；（2）如图2，点D是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边做等腰直角△DOE，∠DOE ＝90°，设点D的横坐标为m，求点E的坐标；（用含m的代数式表示）（3）在（2）的条件下，如图3，在BA延长线上有一点F，过点F作DE的平行线，交x 轴于点H，延长OE交FH于点G，若AF＝GH，DO＝FD，求点F的坐标．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边所在直线上的一个动点（不与点B 、C 重合），在AD 的右侧作△ADE ，使得AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ． （1）求证：∠ABC ＝∠ACE ；（2）当点D 为线段BC 的中点时，判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由； （3）试探究∠DAE 与∠BCE 的数量关系，并直接写出其结果 ．7．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（a ，0），（2，﹣4），（c ，0），且a ，c 满足方程（2a ﹣4）x c ﹣4+y＝0为二元一次方程．（1）求A ，C 的坐标．（2）若点D 为y 轴正半轴上的一个动点．①如图1，∠AOD +∠ADO +∠DAO ＝180°，当AD ∥BC 时，∠ADO 与∠ACB 的平分线交于点P ，求∠P 的度数；②如图2，连接BD ，交x 轴于点E ．若S △ADE ≤S △BCE 成立．设动点D 的坐标为（0，d ），求d 的取值范围．8．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于点D．（1）如图1，求证：BD＝AE；（2）如图2，点H为BC的中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH＝6：5，△FHM的面积为30，∠EHB＝∠BHG，求线段EH的长．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的BC边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OB＝a，OA＝a，△ABC的面积为36．（1）求点A的坐标；（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，求t为何值时，过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍；（3）设点D为AB的中点，连接CD，在x轴上是否存在点Q，使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点D．（1）用t表示点D的坐标；（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．参考答案1．（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（AAS），∴DC＝AB．∵AB＝200米．∴CD＝200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，又∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴PC＝PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），∴BF＝DE，PE＝PF＝，∵DE＝AE，∴BF＝AE，∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠CBF＝∠CAE，在△FBC和△EAC中，，∴△FBC≌△EAC（SAS），∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴CP⊥EP，CP＝EP＝．③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°同②可得△FBP≌△EDP（AAS），同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，∴HE＝，AH＝，又∵AC＝BC＝3，∴CH＝3+，∴EC2＝CH2+HE2＝∴PC2＝＝．2．解：理解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝CD＝BC＝1∴AD＝＝＝3∴AD＝1.5BC∴△ABC为“趣味三角形”；（2）BE⊥CF连接DF，设AD与CF的交点为O，∵点D，点F分别是BC，AB的中点，∴DF∥AC，AC＝2DF，BD＝CD∴∴AO＝2DO，∴AD＝3DO，AD＝BC，∴DO＝BC∴DO＝BD＝CD∴∠BOC＝90°∴BE⊥CF；（3）①若AD＝BC时，如图，由（2）可知，BE⊥CF∴BO2+CO2＝BC2，∵O是重心∴BO＝BE，CO＝CE，∴BE2+CE2＝（2）2，∴BE2+CE2＝18②若BE＝AC时，如图3，过点E作EH⊥BC于点H，过点A作AK⊥BC于点K，∴EH∥AH，AK＝2∴∴KH＝CH，且AE＝CE∴EH＝AK＝1∵BE2＝BH2+EH2，∴BE2＝（2+CH）2+1，∵AC2＝CK2+AK2，∴AC2＝（2CH）2+4，∵BE＝AC∴BE2＝AC2，∴（2+CH）2+1＝（4CH2+4）∴CH＝0或CH＝当CH＝0时，BE2+CF2＝（2）2+1+[（2）2+4]＝12，当CH＝时，BE2+CF2＝（）2+1+[（）2+4]＝15③若CF＝AB时，同②解法，可得BE2+CF2＝12或15，综上所述：BE2+CF2＝18或12或153．解：（1）①∵（a+b﹣5）2+|2a﹣b﹣1|＝0，又∵（a+b﹣5）2≥0，|2a﹣b﹣1|≥0，∴，∴，∴A（2，6），B（4，3）．②如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M，过点B作BT⊥AN于T，交PD于E．设ET＝x，＝10，∵A（2，6），B（4，3），S△PAB∴•PD•2＝10，∴PD＝10，∵CD＝PC，∴CD＝5，∴四边形MNTB是矩形，∴BM＝TN＝EC＝3，AT＝AN﹣TN＝6﹣3＝3，∴DE＝DC﹣EC＝2，∵OM＝4，ON＝2，∴MN＝BT＝2，∵S△ABT ＝S梯形ADET+S△DEB，∴×2×3＝×（3+2）×x+×2×（2﹣x），解得x＝，∴OC＝2+＝，∴D（，5），∴P（，﹣5）．（2）结论：∠BNF﹣∠EMC＝30°．理由：设∠MEC＝a，∠BFN＝b，∵3∠MEC+∠CEO＝180°，∠AEO+∠CEO＝180°，∴∠AEO＝3a，∵∠NFG＝2∠BFN，∴∠NFG＝2b，∠OFD＝∠BFG＝3b，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC∥BD，∠ACD＝∠ABD，∴∠BDE＝180°﹣∠AEO＝180°﹣3a，∵∠BDE+∠OFD＝90°，∴180°﹣3a+3b＝90°，∴a﹣b＝30°，∵∠ACD＝∠EMC+∠MEC，∠ABD＝∠BFN+∠BNF，∴∠EMC+a＝∠BNF+b，∴∠BNF﹣∠EMC＝a﹣b＝30°．4．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），（2）解：∵△ABD≌△ACE∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝30°．（3）解：如图2中，△GHC是等边三角形．理由：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵∠ACM＝∠ACB＝30°，∴∠ACG＝∠ACH，∠GCH＝60°，∵AG⊥EC，AH⊥BC，∴∠AGC＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△ACG≌△ACH（AAS），∴CG＝CH，∴△GCH是等边三角形．5．解：（1）∵∠ABO＝45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴2OB2＝AB2，∵AB＝2，∴OB＝2，∴点B坐标为（﹣2，0）；（2）过点D作DM⊥OB于M，过点E作EN⊥x轴于N，如图2所示：则△BMD是等腰直角三角形，∵∠DOE＝90°，∴∠MDO＝∠NOE，在△DOM和△OEN中，，∴△DOM≌△OEN（AAS），∴DM＝ON，OM＝EN，∵△BMD、△AOB都是等腰直角三角形，EN＝OM＝﹣m，∴ON＝DM＝2+m，∴点E的坐标（2+m，﹣m）；（3）延长OD交HF延长线于点P，HF延长线交y轴于点N，在y轴正半轴上点R，使OR ＝OH，过点F作FM⊥y轴于M，如图3所示：∵△DOE是等腰直角三角形，DE∥FH，∴△POG是等腰直角三角形，∴OP＝OG，∵∠POR+∠ROG＝90°，∠ROG+∠GOH＝90°，∴∠POR＝∠GOH，在△POR和△GOH中，，∴△POR≌△GOH（SAS），∴PR＝GH，∠PRN＝∠GHO，∵MF⊥y轴，△AOB是等腰直角三角形，∴△AMF是等腰直角三角形，∠GHO＝∠NFM，∴AF＝MF，又∵AF＝GH，∴PR＝GH＝MF，在△RNP和△FNM中，，∴△RNP≌△FNM（AAS），∴PN＝MN，FN＝RN，∴PF＝MR，在△BOD和△PFD中，，∴△BOD≌△PFD（AAS），∴PF＝OB＝MR＝2，设MF＝m，MN＝y，FN＝2﹣y，则MA＝m，OH＝OR＝4+m，在Rt△MNF中，MN2+MF2＝FN2，∴m2+y2＝（2﹣y）2①，∵△MFN∽△OHN，∴＝，∴＝②，由①②联立解得：，∴OM＝OA+MA＝2+1＝3，∴F点的坐标为（1，3）．6．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE，（2）解：DE⊥AC，理由如下：如图2，∵AB＝AC，点D为线段BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CAD，在△AFD和△AFE中，，∴△AFD≌△AFE（SAS）∴∠AFD＝∠AFE＝90°，即DE⊥AC；（3）当点D在线段BC上时，∠DAE+∠BCE＝180°，理由如下：∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∴点A、D、C、E四点共圆，∴∠DAE+∠BCE＝180°；当点D在线段CB的延长线上时，∠DAE＝∠BCE，理由如下：如图3，由（1）得，∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，∴∠DAE＝∠BCE，故答案为：∠DAE+∠BCE＝180°或∠DAE＝∠BCE．7．解：（1）由题意得，2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，解得，a＝﹣2，c＝5，则点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（5，0）；（2）①作PH∥AD，∵AD∥BC，∴PH∥BC，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠OAD，∴∠ADO+∠BCA＝90°，∵∠ADO与∠BCA的平分线交于P点，∴∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，∴∠ADP+∠BCP＝45°，∵PH∥AD，PH∥BC，∴∠HPD＝∠ADP，∠HPC＝∠BCP，∴∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；②连接AB，交y轴于F，∵S△ADE ≤S△BCE，∴S△ADE +S△ABE≤S△BCE+S△ABE，即S△ABD≤S△ABC，∵A（﹣2，0），B（2，﹣4），C（5，0），∴S△ABC＝×（2+5）×4＝14，点F是线段AB的中点，即点F的坐标为（0，﹣2），则S△ABD＝×（2+d）×2+×（2+d）×2＝4+2d，由题意得，4+2d≤14，解得，d≤5，∵点D为y轴正半轴上的一个动点，∴0＜d≤5．8．证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△CAE与△ABD中∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，∴∠EAH＝∠DBH，在△AEH与△BDH中∴△AEH≌△BDH（SAS），∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°即∠EHD＝90°，∴∠EDH＝∠DEH＝（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．∵DG⊥FH，ER⊥FH，∴∠DGH＝∠ERH＝90°，∴∠HDG+∠DHG＝90°∵∠DHE＝90°，∴∠EHR+∠DHG＝90°，∴∠HDG＝∠HER在△DHG与△HER中∴△DHG≌△HER（AAS），∴HG＝ER，∵ET∥BC，∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，∠ETF＝∠FHM，∵∠EHB＝∠BHG，∴∠HET＝∠ETF，∴HE＝HT，在△EFT与△MFH中，∴△EFT≌△MFH（AAS），∴HF＝FT，∴，∴ER＝MS，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，，k＝，∴FH＝5，∴HE＝HT＝2HF＝10，9．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴CO＝BO＝a，＝BC•OA＝×2a×a＝36，∵S△ABC∵a＞0，∴a＝6，∴OA＝6，∴A（0，6）；（2）∵CO＝BO＝6，∴AB＝AC＝BC＝12，①当P在AB上时，如图1，BP＝t，AP＝AB﹣BP＝12﹣t，∵OP分△ABC周长为1：2，∴（BP+BO）：（AP+AC+OC）＝1：2，∴（6+t）：（12﹣t+12+6）＝1：2，解得t＝6；②当P在AC上时，如图2，BA+AP＝t，PC＝24﹣t，则有（BO+BA+AP）：（PC+OC）＝2：1，∴（6+t）：（24﹣t+6）＝2：1，解得t＝18，∴t＝6秒或t＝18秒时，OP所在直线分△ABC周长为1：2；（3）如图3，∵点D为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，∠BCD＝30°，＝BC•OA＝AB•CD，∵S△ABC∴CD＝OA＝6，△DCQ是以CD为腰的等腰三角形，点Q在x轴上．分以下情况讨论：①如图3，当CQ＝CD时，CQ＝6，∵OC ＝6，∴Q 1（6+6，0）， Q 2（6﹣6，0）；②如图4，当DQ ＝DC 时，∠DQB ＝∠DCQ ＝30°，又∵∠ABC ＝60°，∴∠QDB ＝∠ABC ﹣∠DQC ＝60°﹣30°＝30°，∴∠QDB ＝∠DQB ，∴QB ＝BD ＝6，∴OQ ＝12，∴Q 3（﹣12，0），所以，在x 轴上存在点Q ，Q 1（6+6，0）， Q 2（6﹣6，0），Q 3（﹣12，0）使△DCQ是以CD 为腰的等腰三角形．10．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，∴∠ABC＝∠OAD，∴∠ABC＝∠OAD，∵AB＝OA，∴△ABC≌△OAD（ASA），∴OD＝AC＝2t，∴D（0，2t）．故答案为（0，2t）（2）如图1中，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝8，∴AB＝AO＝8，∵t＝2，∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，∴△FOD≌△FOC（SAS），∴∠FCO＝∠FDC，∵△ABC≌△OAD，∴∠ACB＝∠ADO，∴∠FCO＝∠ACB．（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m．∵CB平分∠ABO，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，∴∠KBC＝∠KCB＝22.5°，∴KB＝KC＝m，∴m+m＝8，∴m＝8（﹣1），∴t＝＝4（﹣1）．。

20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。

2021年浙江省三角形中考数学试题专题解析以下是查字典数学网为您推荐的 2021年浙江省三角形中考数学试题专题解析，希望本篇文章对您学习有所帮助。

2021年浙江省三角形中考数学试题专题解析一、选择题1.(2021浙江杭州3分)如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1.假设OC∥BA，AOC=36，那么【】A.点B到AO的间隔为sin54B.点B到AO的间隔为tan36C.点A到OC的间隔为sin36sin54D.点A到OC的间隔为cos36sin54【答案】C。

【考点】平行线的性质，点到直线的间隔，锐角三角形函数定义。

【分析】由，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A、由于在Rt△ABO中AOB是直角，所以B到AO的间隔是指BO的长。

∵AB∥OC，BAO=AOC=36。

在Rt△BOA中，∵AOB =90，AB=1，BO=ABsin36=sin36。

故本选项错误。

B、由A可知，选项错误。

C、如图，过A作ADOC于D，那么AD的长是点A到OC的间隔。

在Rt△BOA中，∵BAO=36，AOB=90，ABO=54。

AO=AB sin54= sin54。

在Rt△ADO中， AD=AOsin36=ABsin54sin36=sin54sin36。

故本选项正确。

D、由C可知，选项错误。

应选C。

3.(2021浙江湖州3分)如图，在Rt△ABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，那么CD的长是【】A.20B.10C.5D.【答案】C。

【考点】直角三角形斜边上的中线性质。

【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：∵在Rt△ABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，CD= AB=5。

应选C。

4. (2021浙江嘉兴、舟山4分)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的间隔，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，A=90，C=40，那么AB等于【】米.A. asin40B. acos40C. atan40D.【答案】C。

2021中考考点必杀500题专练09（三角形相似大题）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，DE△BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD△△CDE；（2）22CD AD BC AB．2．（2021·上海九年级其他模拟）如下图，已知在△AB C中，AD平分△BAC，EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.（1）连接AE，证明：△EAC=△B.（2）求证：DE2=BE·CE.3．（2021·上海九年级其他模拟）如图，AB 为△O 的直径，直线CD 切△O 于点M ，BE△CD 于点E ． （1）求证：△BME=△MAB ；（2）求证：BM 2=BE•AB ；（3）若BE=185，sin△BAM=35，求线段AM 的长．4．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．6．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，6AB =，4BE =，9BC =，连接AC ．（1）求线段CD 的长；（2）如果3AE =，求线段AC 的长．7．（2021·上海九年级专题练习）已知△MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，△EBD =△MAN ，且CE △BD ，sin△MAN =35， AB =5，AC =9． （1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在△MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．8．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．ABC 的高AH 交GF 于点I ．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．11．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠；（2）求证：··BE EF BF AE =．12．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CH△AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE△△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．13．（2021·上海九年级专题练习）Rt ABC 中，△ACB=90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD=CA ，DE△AB ．（1）求证：2CA CE CB =⋅．（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH△AB．14．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，8BC=，点E、F是对角线BD上的两点，且BE EF FD==，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设BGE△的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）15．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．16．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且MAN ABD∠=∠．（1）求证：2AB BF DE=⋅；（2）若BE DNDE DC=，求证：//EF MN．17．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且AED ABC∠=∠，连接BE、CD相交于点F．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．18．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ACB △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD AB =，BE CE =，AD 与BE 交于点F ，且AF DF BF EF ⋅=⋅．求证：（1）ADC BEC ∠∠=；（2）AF CD EF AC ⋅=⋅．19．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．20．（2021·上海九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．21．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且//DE BC ，AF AE FE EC =.（1）求证：//DF BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB=DEBE的值．22．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形ABCD中，//AD BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作//AF DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE BD BE=；（2）如果ADB ACD∠=∠，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．23．（2020·上海宝山区·九年级二模）已知：如图，△O与△P相切于点A，如果过点A的直线BC交△O于点B，交△P点C，OD△AB于点D，PE△AC于点E．（1）求DEBC的值：（2）如果△O和△P的半径比为3:5，求ABAC的值．24．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC中，AD是ABC的中线，△DAC=△B，点E在边AD上，CE=CD.（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：22AC AE AD=⋅.25．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF=BD ；（2）如果AN GM AC GF=，求证：AF EN ⊥．26．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD△BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ．求证：（1）△ABC△△DCB ；（2）DE·DC ＝AE·BD ．27．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF 的值．28．（2020·上海九年级一模）如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且EB BH BG FH=，DG △AB ，求证：DF ＝BG ．29．（2020·上海长宁区·）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．30．（2020·上海闵行区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE △BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且△DFC=△EGC ． （1）求证：CG=DG ；（2）求证：2CG GM AG =⋅．。

热点11 三角形【命题趋势】首先说明——三角形是中考必考内容，而且也是热点内容，无论是小题还是大题．因为三角形包括的内容很多，例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形）的性质及判定方法，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重，它是我们计算线段长度的最重要的工具，所以这是考查的重点中的重点。

【满分技巧】一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容有关三角形的内容非常多，利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容，让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络，这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识．二、总结与三角形有关的基本模型（1）有关三角形全等模型（2）有关三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一线三等角型，一线三直角型，．【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 2 【答案】C【解析】△tan△C=34 ，AB=6cm ，△AB BC =6BC =34 ，△BC=8，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ，设△PBQ 的面积为S ，则S=12 ×BP×BQ=12 ×2t×（6﹣t ），S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9，P ：0≤t≤6，Q ：0≤t≤4，△当t=3时，S 有最大值为9，即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．2.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】B【解析】因为DE//BC ，所以△ADE△△ABC ，k=12,所以△ABC 的周长为12 3.如图，已知等腰三角形ABC ，AB=AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE=ECB ．AE=BEC ．△EBC=△BACD ．△EBC=△ABE【答案】C【解析】△AB=AC ，△△ABC=△ACB ，△以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，△BE=BC ，△△ACB=△BEC ，△△BEC=△ABC=△ACB ，△△A=△EBC ，故选C ．4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．【答案】B【解析】设小正方形的边长为x，△a=3，b=4，△AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x﹣12=0，解得x=或x=（舍去），△该矩形的面积=（+3）（+4）=24，故选：B．5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．16【答案】D【解析】△在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，△DE△BC，DE=BC，△△ADE△△ABC，△=，△=，△△ADE的面积为4，△△ABC的面积为：16，故选：D．6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．△A＝△D B．AC＝DFC．AB＝ED D．BF＝EC【答案】A【解析】选项A、添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF，故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：A．7.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，△AC2+BC2＝AB2，△△ABC是直角三角形，且△ACB＝90°，故选：B．8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】△若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，△正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；△若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，△正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．10.如图，在Rt ABC∆中，90B∠=︒，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若1BG=，4AC=，则ACG∆的面积是()A．1B．32C．2D．52【答案】C【解析】由作法得AG平分BAC∠，G∴点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以ACG∆的面积14122=⨯⨯=．故选：C．11.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5C．△A：△B：△C＝3：4：5D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0【答案】C【解析】A、△，△△ABC是直角三角形，错误；B、△（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，△△ABC是直角三角形，错误；C、△△A：△B：△C＝3：4：5，△△C＝，△△ABC不是直角三角形，正确；D、△|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0，△，△△A＝60°，△B＝30°，△△C＝90°，△△ABC 是直角三角形，错误；故选：C．12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）A.8B.11C.16D.17【答案】B【解析】因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以△ACE的周长为5+6=11故选B13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a ﹣（c ﹣b ），宽＝a ，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），△知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C ．14.如图，在ABC ∆中，AC BC =，40A ∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，AB AC =， CG ∴平分ACB ∠，A B ∠=∠，1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， 1502BCG ACB ∴∠=∠=︒． 故选：C ．15.如图，点D 在BC 的延长线上，DE △AB 于点E ，交AC 于点F ．若△A ＝35°，△D ＝15°，则△ACB 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．85° 【答案】B【解析】△DE △AB ，△A ＝35°△△AFE＝△CFD＝55°，△△ACB＝△D+△CFD＝15°+55°＝70°．故选：B．二、填空题16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．【答案】6或25或45【解析】△如图1当5AD=，AB AC==，4则3==，BD CD∴底边长为6；△如图2．当5==，4AB ACCD=时，则3AD=，∴=，2BD22∴=+=，2425BC∴此时底边长为25；△如图3:当5AB AC==，4CD=时，则223AD AC CD =-=，8BD ∴=，45BC ∴=，∴此时底边长为45．故答案为：6或25或45．17.如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．【答案】【解析】在Rt△ABC 中，△B ＝60°，△△A ＝30°，△AB ＝2a ，AC ＝a ．△DE 是中位线，△CE ＝a ．在Rt△FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，△△FEC ＝30°．△△A ＝△AEM ＝30°，△EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝．故答案为．18.如图，在△ABC中，△ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC△BC，则△ABC的面积是．【答案】8【解析】△DC△BC，△△BCD＝90°，△△ACB＝120°，△△ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，△D为AB的中点，△AD＝BD，在△ADH与△BCD中，，△△ADH△△BCD（SAS），△AH＝BC＝4，△H＝△BCD＝90°，△△ACH＝30°，△CH＝AH＝4，△CD＝2，△△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案为：8．19.如图，已知直线121//l ，含30︒角的三角板的直角顶点C 在1l 上，30︒角的顶点A 在2l 上，如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点，那么1∠= 度．【答案】120【解析】D 是斜边AB 的中点，DA DC ∴=，30DCA DAC ∴∠=∠=︒，260DCA DAC ∴∠=∠+∠=︒，121//l ，12180∴∠+∠=︒，118060120∴∠=︒-︒=︒．故答案为120．20.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为cm．由题意知，应分两种情况：【答案】32【解析】（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．三、证明题21.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：△A+△B+△C=180°．【证明】：过点A作EF△BC，△EF△BC，△△1=△B，△2=△C，△△1+△2+△BAC=180°，△△BAC+△B+△C=180°，即△A+△B+△C=180°．22.如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出△A与△B的和与△C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．【解】：（1）△在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，△△A+△B＜△C；（2）如图，过点A作MN△BC，△MN△BC，△△MAB＝△B，△NAC＝△C（两直线平行，同位角相等），△△MAB+△BAC+△NAC＝180°（平角的定义），△△B+△BAC+△C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）△＝，△ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，△2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，△a2+c2＝b2，△△ABC是直角三角形．23.已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠．求证：E C ∠=∠．【证明】：BAE DAC ∠=∠BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠CAB EAD ∴∠=∠，且AB AD =，AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆C E ∴∠=∠24.如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上，分别过点A 、B 作AE △直线m 于点E ，BD △直线m 于点D ．△求证：EC ＝BD ；△若设△AEC 三边分别为a 、b 、c ，利用此图证明勾股定理．△【证明】：△△ACB ＝90°，△△ACE +△BCD ＝90°．△△ACE +△CAE ＝90°，△△CAE ＝△BCD ．在△AEC 与△BCD 中，△△CAE △△BCD （AAS ）．△EC＝BD；△解：由△知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b△S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又△S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．△a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．25.如图，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．【证明】：△△BAC＝90°，△△DAF＝90°，△点E，F分别是边BC，AC的中点，△AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，△FE＝AB，FE△AB，△△EFC＝△BAC＝90°，△△DAF＝△EFC，△AD ＝AB ，△AD ＝FE ，在△ADF 和△FEC 中，， △△ADF △△FEC （SAS ），△DF ＝EC ，△DF ＝BE ．四、作图题26.如图，已知等腰ABC ∆顶角30A ∠=︒．（1）在AC 上作一点D ，使AD BD =（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：BCD ∆是等腰三角形．（1）解：如图，点D 为所作；（2）证明：AB AC =， 1(18036)722ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒， DA DB =，36ABD A ∴∠=∠=︒，363672BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，BDC C ∴∠=∠，BCD ∴∆是等腰三角形．五、应用题27.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：在Rt △BCD 中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．在Rt △ACD 中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．所以，AB=AD+BD=15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），因为耗时45s ，所以上升速度v==0.3（米/秒）．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．28.在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x 作AD ⊥BC 于D ，设BD = x ，用含x 的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积A C【解】：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，设BD x =，△14CD x =-．由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-， 2222213(14)AD AC CD x =-=--，△2215x -=2213(14)x --，解之得：9x =．△12AD =．△12ABC S BC AD ∆=•11412842=⨯⨯=． 六．探究题29.如图△，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC 、CD 在同一条直线上，点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点，连接AE 、BD ．（1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图△中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图△，AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图△中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC ，CD=kCE ，如图△，写出PM 与PN 的数量关系，并加以证明．【解析】（1）PM=PN ，PM△PN ，理由如下：△△ACB和△ECD是等腰直角三角形，△AC=BC，EC=CD，△ACB=△ECD=90°．在△ACE和△BCD中，，△△ACE△△BCD（SAS），△AE=BD，△EAC=△CBD，△点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，△PM=BD，PN=AE，△PM=PM，△△NPD=△EAC，△MPN=△BDC，△EAC+△BDC=90°，△△MPA+△NPC=90°，△△MPN=90°，即PM△PN；（2）△△ACB和△ECD是等腰直角三角形，△AC=BC，EC=CD，△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△△ACE△△BCD．△AE=BD，△CAE=△CBD．又△△AOC=△BOE，△CAE=△CBD，△△BHO=△ACO=90°．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，△PM=BD，PM△BD；PN=AE，PN△AE．△PM=PN．△△MGE+△BHA=180°．△△MGE=90°．△△MPN=90°．△PM△PN．（3）PM=kPN△△ACB和△ECD是直角三角形，△△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△BC=kAC，CD=kCE，△=k．△△BCD△△ACE．△BD=kAE．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，△PM=BD，PN=AE．△PM=kPN．30.已知：如图，△ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在△ABC内部，且点P到△ABC两边的距离相等．【解析】：△点P在△ABC的平分线上，△点P到△ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），△点P在线段BD的垂直平分线上，△PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），如图所示：。

2021中考数学一轮知识点专练：全等三角形一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是()A．3 B．4C．5 D．72. 如图所示，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD成立，还需要添加的条件是 ()A.∠BAC=∠BADB.BC=BD或AC=ADC.∠ABC=∠ABDD.AC=BD3. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC4. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD5. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()A．4个B．3个C．2个D．1个6. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．120 C．135°D．150°7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).10. 如图，AB＝DE，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__________(不添加任何辅助线，填一个即可)．11. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________(只需写出一个)．12. 如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在同一直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个．．条件，这个条件可以是__________(填一个即可)．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．14. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题15. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.求证:∠CDE=∠BAD.16. 如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.17. 如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：(1)AB＝AC；(2)AD＝AE；(3)AM＝AN；(4)AD⊥DC，AE⊥BE.请你以其中三个论断为题设，余下的一个论断为结论，使之组成一个真命题，并写出证明过程．18. 如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF.Q是射线OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为M，N，则QM与QN相等吗？请证明你的结论．2021中考数学一轮知识点专练：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B[解析] 要添加的条件为BC=BD或AC=AD.理由:若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL);若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).3. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.4. 【答案】C[解析] A.添加BC=FD，AC=ED，可利用“SAS”判定△ABC≌△EFD;B.添加∠A=∠DEF，AC=ED，可利用“ASA”判定△ABC≌△EFD;C.添加AC=ED，AB=EF，不能判定△ABC≌△EFD;D.添加∠A=∠DEF，BC=FD，可利用“AAS”判定△ABC≌△EFD.5. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．6. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.10. 【答案】答案不唯一，如∠B＝∠E11. 【答案】AB＝DE(答案不唯一)12. 【答案】答案不唯一，如∠C＝∠E或AB＝FD等13. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)14. 【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S△ABC =S△ACP+S△ABP-S△BPC=AC·PE+AB·PG-S△BPC=×9×2-2=7.三、解答题15. 【答案】证明:∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE.由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD.又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∴∠CDE=∠BAD.16. 【答案】证明：∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt △ADC 和Rt △AFE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE(HL)．∴CD ＝EF. 在Rt △ABD 和Rt △ABF 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF(HL)． ∴BD ＝BF.∴BD －CD ＝BF －EF ， 即BC ＝BE.17. 【答案】解：若要组成真命题，则论断(4)必须作为条件．因此可组成以下三个真命题： 命题①：若(1)(2)(4)，则(3)；命题②：若(1)(3)(4)，则(2)；命题③：若(2)(3)(4)，则(1)．下面以命题①为例进行证明：∵AD ⊥DC ，AE ⊥BE ，∴∠D ＝∠E ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AE ＝AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ACD(HL)． ∴∠BAE ＝∠CAD.∴∠BAE －∠BAC ＝∠CAD －∠BAC ， 即∠EAN ＝∠DAM.在△ADM 和△AEN 中，⎩⎨⎧∠DAM ＝∠EAN ，AD ＝AE ，∠D ＝∠E ，∴△ADM ≌△AEN(ASA)． ∴AM ＝AN.18. 【答案】解：QM ＝QN.证明：∵PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，PE ＝PF ， ∴OP 是∠AOB 的平分线．又∵Q是射线OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，∴QM＝QN.。

一、选择题1. （2021贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°【答案】D.考点：平行线的性质．.2. （2021贵州遵义第10题）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A.考点：三角形中位线定理；三角形的面积．3. （2021贵州遵义第12题）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C.【解析】试题分析：∵AD是∠BAC的平分线，AB=11，AC=15，∴1115 BD ABCD AC==,∵E是BC中点，∴11151321515 CECA+==,∵EF∥AD，.∴1315 CF CECA CD==，∴CF=1315CA=13．故选C．考点：平行线的性质；角平分线的性质．.4. （2021湖南株洲第5题）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155°D．160°【答案】B.考点：三角形内角和定理．5. （2021湖南株洲第10题）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．2D．2【答案】D.【解析】试题分析：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF =∠3+∠DFQ =45°，∴∠QEF =∠DFQ ，∵∠2=∠3， ∴△DQF ∽△FQE ，∴12DQ FQ DF FQ QE EF ===， ∵DQ =1，∴FQ =2，EQ =2，∴EQ +FQ =2+2， 故选D. .考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．6. （2021内蒙古通辽第7题）志远要在报纸上刊登广告，一块cm cm 510⨯的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ） A ．540元 B ．1080元 C.1620元 D ．1800元 【答案】C考点：相似三角形的应用7. （2021郴州第8题）小明把一副45,30的直角三角板如图摆放，其中00090,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，则αβ∠+∠等于 （ ）A ．0180 B ．0210 C ．0360 D ．0270【答案】B ．【解析】试题分析：∵∠α=∠1+∠D ，∠β=∠4+∠F ，∴∠α+∠β=∠1+∠D +∠4+∠F =∠2+∠D +∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90°=210°，故选B ．考点：三角形的外角的性质. .8. （2021广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60︒方向上，10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒.A ．20(31)+B ．20(31)- C. 200 D ．300 【答案】A考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．9. （2021哈尔滨第8题）在Rt ABC △中，90C ∠°，4AB ，1AC ，则cos B 的值为( ) A.154B.14C.1515D.41717【答案】A 【解析】试题分析：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC =2241- =15，则cosB =BCAB=154，故选A .考点：锐角三角函数的定义．10. （2021哈尔滨第9题）如图，在ABC △中，,D E 分别为,AB AC 边上的点，DE BC ∥，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点E ，则下列结论中一定正确的是( )A.ADAEAB ECB.AC AEGF BDC.BD CEAD AED.AG ACAF EC【答案】C考点：相似三角形的判定与性质．11. （2021黑龙江绥化第6题）如图， A B C '''∆是ABC ∆在点O 为位似中心经过位似变换得到的，若A B C '''∆的面积与ABC ∆的面积比是4:9，则:OB OB '为（ ）A．2:3B．3:2C．4:5D．4:9【答案】A考点：位似变换．12. （2021黑龙江绥化第9题）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，BCA约为29，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29米B．3.5cos29米C．3.5tan29米D．3.5 cos29米【答案】A 【解析】试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=ABBC，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，故选A．.考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．13. （2021湖南张家界第5题）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴AD =12AB ，AE =12AC ，DE =12BC ，∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =2AD +2AE +2DE =2（AD +AE +DE ）=2×6=12．故选B ．. 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．14. （2021辽宁大连第8题）如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，点E 是AB 的中点，a DE CD ==，则AB 的长为（ ）A ．a 2B ．a 22 C. a 3 D ．a 334 【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线.15. （2021海南第13题）已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B.考点：等腰三角形的性质.16. （2021河池第9题）三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分是（） A ．中线 B ．角平分线 C.高 D ．中位线 【答案】A. 【解析】试题分析：根据等底等高的三角形的面积相等解答． ∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选A ．考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高.17. （2021河池第12题）已知等边ABC ∆的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作AC DE ⊥于点E ，过E 作BC EF ⊥于点F ，过F 作AB FG ⊥于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是（） A ．3 B ．4 C. 8 D ．9 【答案】B. 【解析】试题分析：设AD =x ，根据等边三角形的性质得到∠A =∠B =∠C =60°，由垂直的定义得到∠ADF =∠DEB =∠EFC =90°，解直角三角形即可得到结论．. 设AD =x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°， ∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，∴∠ADF =∠DEB =∠EFC =90°，∴AF =2x ，∴CF =12﹣2x ， ∴CE =2CF =24﹣4x ，∴BE =12﹣CE =4x ﹣12，∴BD =2BE =8x ﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形. .18. （2021贵州六盘水第12题）三角形的两边,a b的夹角为60°且满足方程23240x x，则第三边长的长是( )A.6B.22C.23D.32【答案】考点：一元二次方程；勾股定理.二、填空题1. （2021湖南株洲第11题）如图示在△ABC中∠B=．【答案】25°. 【解析】试题分析：∵∠C =90°，∴∠B =90°﹣∠A =90°﹣65°=25°； 故答案为：25°．.考点：直角三角形的性质．2. （2021湖北咸宁第16题）如图，在ACB Rt ∆中，30,2=∠=BAC BC ，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线ON OM ,上滑动，下列结论： ①若O C 、两点关于AB 对称，则32=OA ； ②O C 、两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则CO AB ⊥； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2π. 其中正确的是 ．【答案】①②③．④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14，则：902180π⨯=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；考点：三角形综合题．.3. （2021湖南常德第14题）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是．【答案】0≤CD ≤5． 【解析】试题分析：当点D 与点E 重合时，CD =0，当点D 与点A 重合时，∵∠A =90°，∠B =60°，∴∠E =30°，∴∠CDE =∠E ，∠CDB =∠B ，∴CE =CD ，CD =CB ，∴CD =12BE =5，∴0≤CD ≤5，故答案为：0≤CD ≤5． 考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．.4. （2021黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是ABC ∆的“和谐分割线”，ACD ∆为等腰三角形，CBD ∆和ABC ∆相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ．【答案】113°或92°．考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质．5. （2021黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为 ．【答案】（0，（2）2016）或（0，21008）．考点：规律型：点的坐标．6. （2021黑龙江绥化第20题）在等腰ABC ∆中，AD BC ⊥交直线BC 于点D ，若12AD BC =，则ABC ∆的顶角的度数为 ． 【答案】30°或150°或90°．. 【解析】试题分析：①BC 为腰， ∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ，∴∠ACD =30°， 如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C =30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB =180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3， ∵AD ⊥BC 于点D ，AD =12BC ，∴AD =BD =CD ，∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，∴∠BAD +∠CAD =12×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．.考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．7. （2021黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．【答案】2n-112考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形．8. （2021上海第15题）如图，已知AB ∥CD ，CD =2AB ，AD 、BC 相交于点E ，设AE a = ，BE b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 ．【答案】2b a +考点：1.平面向量；2.平行线的性质9. （2021辽宁大连第15题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东060方向，距离灯塔nmile 86的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东045方向上的B 处.此时，B 处与灯塔P 的距离约为 nmile .（结果取整数，参考数据：4.12,7.13≈≈）【答案】102. 【解析】试题分析：根据题意得出∠MPA =∠PAD =60°，从而知PD =AP •sin ∠PAD =433，由∠BPD =∠PBD =45°根据BP =sin PDB∠，即可求出即可．.考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用.三、解答题1. （2021湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【答案】①.证明见解析；②证明见解析. .【解析】试题分析：①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．2. （2021湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度A B．【答案】①求点H到桥左端点P的距离为250米；②无人机的长度AB为5米．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．3. （2021郴州第19题）已知ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，点,D E 分别为边,AB AC 的中点，求证：BE CD =.【答案】详见解析. 【解析】试题分析：由∠ABC =∠ACB 可得AB =AC ，又点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得到AD =AE ，通过△ABE ≌△ACD ，即可得到结果．考点：全等三角形的判定及性质.4. （2021郴州第22题）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在,A C两城市间修建一条高速铁路60方向上，在线段AC上距A城市（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东030方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，120km的B处测得P在北偏东0请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？）（参考数据：3 1.732【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.【解析】试题分析：作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．试题解析：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．考点：解直角三角形的应用.5. （2021郴州第26题）如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE .（1）求证：CDE ∆是等边三角形；（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以,,D E B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，23+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，③当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；④当t ＞10s 时，由旋转的性质可知，∠DBE =60°，又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4，∴OD =14cm ，∴t =14÷1=14s ，综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.6. （2021湖北咸宁第18题） 如图，点F C E B ,,,在一条直线上，FC BE DE AC DF AB ===,,.⑴求证：DFE ABC ∆≅∆；⑵连接BD AF ,，求证：四边形ABDF 是平行四边形.【答案】详见解析.考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．7. （2021湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414）【答案】3.05．考点：解直角三角形的应用．8. （2021湖南常德第26题）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD =4DC ，取AB 的中点G ，连接CG 交AD 于M ，求证：①GM =2MC ；②AG 2=AF •A C ．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分．9. （2021哈尔滨第24题）已知：ACB △和DCE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠∠°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N .(1)如图1，求证：AE BD ； (2)如图2，若AC DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB ≌△DCE （SAS ），△EMC ≌△BCN （ASA ），△AON ≌△DOM （AAS ），△AOB ≌△DOE （HL ）考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．10. （2021黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，BD AD =，DG DC =，E ，F 分别是BG ，AC 的中点．（1）求证：DE DF =，DE DF ⊥；（2）连接EF ，若10AC =，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF =52 ．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理．11. （2021湖北孝感第18题）如图，已知,,AB CD AE BD CF BD =⊥⊥ ，垂足分别为,,E F BF DE = .求证AB CD .【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据全等三角形的判定与性质，可得∠B =∠D ，根据平行线的判定，可得答案．试题解析：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，∴BE=DF．在Rt△AFB和Rt△CFD中，AB CDBE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△AFB≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠D，∴AB∥C D．考点：全等三角形的判定与性质.12. （2021内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD CE=；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当ABC∆的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形.（2）四边形DEMN是正方形，理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12 BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，BE CDCE BDBC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．13.（2021内蒙古呼和浩特第22题）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30︒角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70︒角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【答案】A，B两地的距离AB长为200（3﹣tan20°）米．在直角△BCM中，∵tan20°=BMCM，∴BM=200tan20°，∴AB =AM ﹣BM =2003﹣200tan 20°=200（3﹣tan 20°），因此A ，B 两地的距离AB 长为200（3﹣tan 20°）米．考点：解直角三角形的应用．14. （2021青海西宁第24题）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC 上的,A B 两点分别对南岸的体育中心D 进行测量，分别没得0030,60,200DAC DBC AB ∠=∠==米，求体育中心D 到湟水河北岸AC 的距离约为多少米（精确到1米，3 1.732≈）？【答案】体育中心D 到湟水河北岸AC 的距离约为173米．在直角△BHD 中，sin 60°=32002DH DH BD ==,∴DH =1003≈100×1.732≈173．答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．考点：解直角三角形的应用．15. （2021上海第21题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥B C．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．【答案】（1）sinB=21313；（2）DE =5．考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.16. （2021湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =70.5°，在Rt △DBC 中，∠DBC =45°，且CD =2.3米，求像体AD 的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.5°≈0.943，cos 70.5°≈0.334，tan 70.5°≈2.824）【答案】4.2m ．考点：解直角三角形的应用．17. （2021辽宁大连第24题）如图，在ABC ∆中，090=∠C ，4,3==BC AC ，点E D ,分别在BC AC ,上（点D 与点C A ,不重合），且A DEC ∠=∠.将DCE ∆绕点D 逆时针旋转090得到''E DC ∆.当''E DC ∆的斜边、直角边与AB 分别相交于点Q P ,（点P 与点Q 不重合）时，设y PQ x CD ==,.（1）求证：DEC ADP ∠=∠；（2）求y 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）5512(3),627255612.12257x xyx x⎧-+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即61257x<≤时，过P作MN∥DC′，设∠B=α∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，∴PM=PQ•cosα=45y，PN=43×12（3﹣x），∴23（3﹣x）+45y=x，∴255122y x=-，考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.18. （2021辽宁大连第25题）如图1，四边形ABCD 的对角线BD AC ,相交于点O ，OD OB =，m AD AB OA OC =+=,，n BC =，ACB ADB ABD ∠=∠+∠.（1）填空：BAD ∠与ACB ∠的数量关系为 ；（2）求nm 的值； （3）将ACD ∆沿CD 翻折，得到CD A '∆（如图2），连接'BA ，与CD 相交于点P .若215+=CD ，求PC 的长.【答案】（1）∠BAD +∠ACB =180°；（2）512；（3）1.考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.19. （2021海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.20. （2021新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A≈≈≈，结果取整数）出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】∵cos 37°=EB BC， ∴EB =BC •cos 37°≈0.8×10=8海里，EF =AD =17.32海里，∴FC =EF ﹣CE =11.32海里，AF =ED =EB +BD =18海里，在Rt △AFC 中，AC =22221811.32AF FC +=+≈21.26海里， 21.26×3≈64海里/小时．答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题。

2021年全国各省市中考真题汇总：三角形解答1．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC ＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为、，结论为；（2）证明你的结论．2．（2021•永州）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．（1）求证：△AEC≌△BFD．（2）判断四边形DECF的形状，并证明．3．（2021•黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．4．（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．（1）求A、D两点之间的距离；（2）求隧道AB的长度．5．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．6．（2021•湖北）如图1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度在线段AC上向点C运动，PQ，PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE⊥AB，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为xs，∠RPQ 与△ABC的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数关系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x≤n）两段不同的图象组成．（1）填空：①当x＝5s时，EF＝cm；②sin A＝；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当y≥36cm2时，请直接写出x的取值范围．7．（2021•铜仁市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ 重叠部分的面积为S．（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围）；（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）．8．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC ＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．9．（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．10．（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．（1）求证：∠ADE＝∠DFC；（2）求证：CD＝BF．11．（2021•娄底）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：EF2＝BE2+CF2；（3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．12．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．13．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．14．（2021•南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．15．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．16．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17．（2021•陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．18．（2021•台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．19．（2021•衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．20．（2021•杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．21．（2021•江西）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB 于点D，求证：AD＝BD．22．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．23．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB ＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．24．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC ＝∠OCB．25．（2021•温州）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．26．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．27．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC ＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．28．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．（1）求证：DA＝DC；（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．29．（2021•湖州）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长．（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．30．（2021•吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．参考答案1．（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，故答案为：①，③，②（答案不唯一）；（2）证明：在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．2．（1）证明：∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．（2）四边形DECF是平行四边形，证明：∵△AEC≌△BFD，∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，∴CE∥DF，∴四边形DECF是平行四边形．3．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．4．解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：则∠AEC＝∠AED＝90°，∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），∴AE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝×＝（km）；（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，∴AB＝＝＝3（km），即隧道AB的长度为3km．5．（1）证明：如图，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，∴AB＝AC，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中有：，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，∵AF⊥BD，∴AF∥CE，BF＝FC，∴＝＝1，∴BG＝EG．（2）解：如图，过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，∴∠1＝∠2，∴sin∠1＝sin∠2，∴＝，即＝＝＝，同理可证∠3＝∠4，＝＝，∴＝，∴DM＝CN，在△DGM和△CGN中，有：，∴△DGM≌△CGN（AAS），∴DG＝CG，∴＝1．6．解：（1）当x＝5时，如图3中，点F与B重合．∵∠RPQ＝45°，PE⊥AB，∴∠PEF＝90°，∴∠EPF＝∠PFE＝45°，∴EF＝EP，由题意•EF•PE＝50，∴EF＝PE＝10（cm），∵AP＝5×2＝10（cm），∴sin A＝＝＝．故答案为：10，．（2）当0＜x≤5时，重叠部分是△PEF，y＝×（×2x）2＝2x2．如图3中，在Rt△APE中，AE＝＝＝20（cm），∴AB＝EF+AE＝30（cm），∴BC＝AB＝6（cm），∴AC＝＝＝12，∴点P从A运动到C的时间x＝＝6，当5＜x≤6时，如图4中，重叠部分是四边形PTBE，作BL∥PF交AC于L，过点L作LJ⊥AB于J，LK⊥AC交AB于K，过点B作BH⊥PF于H．∵BL∥PF，∴∠LBJ＝∠PFE＝45°，∴△BLJ是等腰直角三角形，∴BJ＝LJ＝10（cm），BL＝10（cm），∵tan A＝＝，∴LK＝5，AK＝25，∴BK＝AB﹣AK＝30﹣25＝5，∵BC∥KL，∴∠FBT＝∠BKL，∴△FBT ∽△BKL ， ∴＝， ∴＝， ∴FT ＝（12x ﹣60）（cm ），∵BH ＝BF ＝（6x ﹣30）＝3x ﹣15，∴y ＝S △PEF ﹣S △BTF ＝×2x ×2x ﹣×（12x ﹣60）•（3x ﹣15）＝﹣34x 2+360x﹣900． 综上所述，y ＝．（3）当y ＝36时，2x 2＝36，x ＝3，﹣34x 2+360x ﹣900＝36， 解得x ＝6或，∵＜5，∴x ＝不符合题意舍弃，观察图象可知，满足条件的x 的值为3≤x ≤6．7．解：（1）如图1中，当点Q 落在△ABC 内部时，S ＝×（2x ）2＝x 2．（2）如图2中，当点Q 落在AB 上时，过点Q 作QH ⊥AC 于H ．∵∠QHA＝∠ACB＝90°，∴QH∥BC，∴＝，∴＝，∴x＝4，∴CP＝8，CH＝PH＝4，∴S＝×82＝16．（3）如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N 作NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4，AT＝4，＝×6×4＝12，∴S△BCN∵NT∥PM，∴△AMP∽△ANT，∴＝，∴＝，∴MJ＝12﹣2x，∴S＝S△ABC ﹣S△BCN﹣S△AMP＝×6×12﹣12﹣×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝﹣2x2+24x﹣48（4＜x≤6）．8．解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，又∵BE＝BC﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案为：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：当点D不在AC上时，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BE＝AD，理由如下：当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，在等腰直角三角形ABC中：＝，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，，∴△DCA∽△ECB，∴，∴BE＝，②DC＝5，理由如下：设EC与AB交于点F，如图所示：∵AB＝3，AD＝1由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，又∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴＝＝，∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，∴BF＝＝，在Rt△EBFz中：EF＝＝＝，又∵CF＝3EF＝3×＝，∴EC＝EF+CF＝＝5，在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•sin45°＝5×＝5．9．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案为：CA，∠DCE＝∠ABC，CB，DE＝AB．10．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；（2）连接AE，∵线段EF是由线段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，∵AE＝BF，∴CD＝BF．11．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴B＝∠ACB＝45°，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴DF＝EF，在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，∵CD＝BE，∴EF2＝CF2+CD2；（3）在Rt△ABC中，AC＝AB＝，∴BC＝AB＝2，∵AH⊥BC，∴AH＝BH＝CH＝BC＝1，∴BE＝1﹣EH，CF＝1﹣FH，由（2）知，EF2＝CF2+CD2，∵EF＝EH+FH，∴（EH+FH）2＝（1﹣FH）2+（1﹣EH）2，∴1﹣EH•FH＝EH+FH，在Rt△AHE中，tanα＝＝，在Rt△AHF中，tanβ＝＝，∴右边＝＝＝＝＝＝1，∵α+β＝45°，∴左边＝tan（α+β）＝tan45°＝1，∴左边＝右边，即当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立．12．证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．13．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，∠ABO＝∠DCO，AB＝DC，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．14．（1）证明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）；（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，∴AB＝DC＝2，∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC+CE＝4，∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：EF＝．15．解：（1）证明：在△ADB和△ADC中：，∴△ADB≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，∴C△ABES＝＝＝22．△ABE16．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：由题意得，BE＝＝，EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC17．证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．18．解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，∵∠BCA＝45°，BC＝10，∴sin∠BCA＝sin45°＝＝＝,∴BE＝10，又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，∴∠BAE＝30°，又∵△ABC≌△ADC，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°．19．证明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),又∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等), 在△ABC和△DEF中，,∴△ABC≌△DEF(ASA)．20．证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）21．（1）解：原式＝1﹣1+＝；(2)证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABE＝∠ABC＝×80°＝40°，∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE，∴△ABE为等腰三角形，∵ED⊥AB，∴AD＝BD．22．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC,在△ACF和△BAE中，,∴△ACF≌△BAE(AAS),∴AF＝BE．23．解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴BD＝CE且BD⊥CE；（2）延长BD和CE交于点H，由（1）知BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2，而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，故四边形ADHE为矩形，而AD＝AE，故四边形ADHE为正方形，在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6＝DH＝EH＝AD，则BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，在Rt△BDF中，DF＝BD tan∠CBH＝2×＝1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作图知，△ADE为等腰直角三角形，设CE＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC＝AB＝＝2，则CH＝BC，BH＝BC cos30°＝3，则DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+，则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），解得x＝2﹣（舍去）或1，即BD＝x＝1，过点D作DN⊥BC于点N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，则ND＝BD＝，BN＝BD cos30°＝，则CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，∴CD＝＝，则sin∠BCD＝＝＝．24．证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．25．解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝．26．证明：在△DCA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．27．解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝20°；（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．28．（1）证明：作DG⊥BD，交BC的延长线于点G，如右图所示，∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，∴四边形DEBG是矩形，又∵DE＝BE，∴四边形DEBG是正方形，∴DG＝BE，∠EDG＝90°，∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠EDC+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴DA＝DC；（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，∴AE＝3，DE＝＝＝3，由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AB＝AE+BE＝3+3，∵FE⊥AB，BC⊥AB，∴FE∥CB，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得EF＝6﹣3，∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，即DF的长是6﹣6．29．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB＝，∵BD＝AC，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP＝，∴，∴，（2）证明：连接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，在△CPA和△DPE中，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP＝EP＝，DE＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，在△CAB和△EBA中，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP，（3）存在这样的m，m＝．理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，当BD＝时，∴BD＝，∵∠EDB＝45°，作BF⊥DE于F，∴BD＝，∴DE＝DF，∴点E，F重合，∴∠BED＝90°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝AC，同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC＝AE＝2AP，∴存在m＝，使得BC＝2AP30．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．。

中考数学专项练习三角形（含解析）一、单选题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△AB C绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，现在点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结D E，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（）A.7B.8C.9D.104.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A.B.2C.3D.5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，D F处加三根木条，使其不变形，这种做法的依照是（）A.长方形的四个角差不多上直角B.长方形的对称性C.三角形的稳固性D.两点之间线段最短6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将()A.变大B.变小 C.不变 D.变大变小要看点C 向左依旧向右移动7.如图，、分别是、的中点，则（）2B.1∶3C.1∶4D.2∶38.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.49.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为A.9B.12C.15D.1810.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）个B.6个C.8个D.10个二、填空题11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△A PB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________．12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________13.已知是关于x的方程的一个根，同时等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是那个方程的两个根，则△ABC的周长为_____ ___．14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有_____ ___①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么那个直角三角形斜边上的高为________cm．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________三、运算题19.依照问题进行运算：（1）运算：×﹣4××（1﹣）0；（2）已知三角形两边长为3，5，要使那个三角形是直角三角形，求出第三边的长．20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．四、解答题22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东7 5°方向上，在海岛上的观看所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC ⊥EG．五、综合题24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：（1）画出△ABC并求出它的面积；（2）求出最长边上高．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判定直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，专门角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=3 0°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD= AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD= AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，∴S阴影= DF×CF= ×= ．故答案为：C．【分析】先依照已知条件求出AC的长及∠B的度数，再依照图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判定出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判定出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。

专题12解直角三角形一、单选题1．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A【分析】 根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∵BD DC =， ∵DC co ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=，∵24cos BC DC α==，故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ． 3．（2021·浙江绍兴市）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（ ）A ．32BCD ．2【答案】D【分析】 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BD AD AB =．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CE AD的值． 【详解】∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠，∵//AB DE ．∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ADE CDE SAS ≅，∵AE CE =，∵ADE 为等腰三角形，∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，∵ABD ADE ∼， ∵DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． ∵1cos 4AB B BC ==， ∵12AB BD =， ∵2CE BD AD AB ==． 故选D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．二、填空题4．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12 【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 5．（2021·浙江省湖州市）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】 在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．【详解】 解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．6．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∵MFC AFB ∆∽， ∵54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=， 解得：CM =8cm ，∵CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∵BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∵AMD BEC ≌，∵DM CE =，∵8MC ED cm ==，∵488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点， ∵1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∵COD BOA ∽， ∵322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ， 因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∵15CHN DHN ∠=∠=︒，∵2sin15=8.32CD CH cm =︒，∵28.323CO CD OB AB AB=⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．7．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】21【分析】 由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案．【详解】 解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE =,BEM BME ∴∠=∠,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴90BNC EFC ∴∠=∠=︒，90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒,90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠,BCN CFD ∴≌,BN CD ∴=矩形,ABCD//,//,AB CD AD BC ∴,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠1,2,CG MG CD ∴===2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽,AE EF CG BG∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=-2,11x x x -∴=+解得：x =经检验：x =x =2AE EF ∴==sin 1.AE AFE EF ∴∠===故答案为： 1.【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（2021·浙江绍兴市）已知ABC 与ABD △在同一平面内，点C ，D 不重合，30ABC ABD ∠=∠=︒，4AB =，AC AD ==CD 长为_______．【答案】2，4，【分析】首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，每种结果分别求解，共得到四种不同的取值；图2、图3、图4均可通过过A 点向BC 作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质可求出相应线段的长，与CD 关联即可求出CD 的长；图5则是要过D 点向BC 作垂线，构造直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】解：如图1，满足条件的∵ABC 与∵ABD 的形状为如下两种情况，点C ，D 不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；如图2，ABC ABD △≌△，此时，=BC BD ，由题可知：°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵BCD △是等边三角形，∵=CD BC ；过A 点作AE ∵BC ，垂足为E 点，在Rt ABE △中，∵°4,30AB ABC =∠=， ∵122AE AB ==,BE在Rt ACE △中，2CE ==;∵2BC ；（同理可得到图4和图5中的2BC ，2CF =，BF =）∵2CD BC =．如图3，ABC ABD △≌△，此时，=BC BD ，由题可知：°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵BCD △是等边三角形，∵=CD BC ；过A 点作AM ∵BC ，垂足为M ，在Rt ABM 中，∵°4,30AB ABC =∠=，∵122AM AB ==,BM =在Rt ACM △中，2CM ===;（同理可得到图4和图5中的2BD ，2DF =，BF =）∵CD =2BC BM CM =-=；如图4，由上可知：()=22=4CD CF FD CF BF BD +=+-=+；如图5，过D 点作DN ∵BC ，垂足为N 点；∵°°°==3030=60CBD ABC ABD ∠∠+∠+，∵°=30BDN ∠，∵在Rt BDN 中，()112122BN BD ===, )°tan 601=3DN BN =⋅=∵)213CN CB BN =-=-=,∵在Rt DCN 中，CD ==综上可得：CD 的长为2，4，故答案为：2，4，【点睛】本题主要考查了对几何图形的分类讨论问题，内容涉及到勾股定理、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形、等边三角形等知识，考查了学生对相关概念与性质的理解与应用，本题对综合分析能力要求较高，属于填空题中的压轴题，涉及到了分类讨论与数形结合的思想等．三、解答题9．（2021·浙江台州市）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB 垂直于地l ，活动杆CD 固定在支撑杆上的点E 处，若∵AED ＝48°，BE ＝110 cm ，DE ＝80 cm ，求活动杆端点D 离地面的高度DF ．（结果精确到1cm ，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）【答案】164cm【分析】过点E 作EM DF ⊥，易得四边形EBFM 是矩形，即110cm MF BE ==，再通过解直角三角形可得cos DM DE EDM =⋅∠，即可求解．【详解】解：过点E 作EM DF ⊥，∵EM DF ⊥，AB BF ⊥，DF BF ⊥，∵90EMF EBF MFB ∠=∠=∠=︒，∵四边形EBFM 是矩形，∵110cm MF BE ==，∵∵AED ＝48°，∵48EDM AED ∠=∠=︒，∵cos 800.6753.6cm DM DE EDM =⋅∠≈⨯=，∵164cm DF DM MF =+≈．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2021·浙江宁波市）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D 已滑动到点D 的位置，且A ，B ，D 三点共线，40cm AD '=，B 为AD '中点，当140BAC ∠=︒时，伞完全张开．（1）求AB 的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70094,cos700.34,tan70 2.75︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）20cm ；（2）26.4cm【分析】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点B 作BE AD ⊥于点E ．根据等腰三角形的三线合一的性质求出2AD AE =．利用角平分线的性质求出∵BAE 的度数，再利用三角函数求出AE ，即可得到答案．【详解】解：（1）∵B 为AD '中点， ∵12AB AD '=， ∵40AD '=，∵()20cm AB =．（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ．∵AB BD =，∵2AD AE =．∵AP 平分,140BAC BAC ∠∠=︒， ∵1702BAE BAC ∠=∠=︒． 在Rt ABE △中，20AB =，∵cos70200.34 6.8AE AB =⋅︒≈⨯=，∵213.6AD AE ==．∵40AD '=，∵()4013626.4cm -=．， ∵伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．11．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∵手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．（2）能．理由：当点B ，C ，D 共线时，如图2，6070130cm BD =+=，50cm AB =，在Rt △ABD 中，222AB AD BD +=，120cm 110cm AD ∴=>．手臂端点D 能碰到点M ．【点睛】 本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．12．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）． （1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin 360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan 360.73︒≈，sin 720.95︒≈，cos 720.31︒≈，tan 72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∵'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∵''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∵点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠= ∴sin 36 3.54DG BD =⋅︒≈．在Rt BHE 中，sin EH EBH BE∠= ∴sin 72 3.80EH BE =⋅︒≈．∵ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∵点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．。

热点06 三角形与全等三角形三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。

所以，在中考中，考察的几率也是比较大。

在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和定理、“三线”基本性质等，全等三角形考点，考题形式选择填空均有，个别以简答题形式出现考察其性质与判定的简单应用。

而且，因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以还有作为几何综合问题的考点之一来综合考察。

1.三角形基本性质：分类记忆，边、角、线；有关三角形的基本性质，主要从以下几个方向考察：①边的角度——三边关系——三角形两边之和大于第三边；②角的角度——三角形内角和定理——三个内角之和=180°（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和）；③三线的角度——高线、中线、角平分线2.应用方面抓实质——当问题已知条件中出现什么概念，立马想找个概念对应的性质；不仅仅是三角形的基本性质，其他几何图形也一样，概念决定性质，性质决定应用。

应用时用不上怎么办？添加对应的辅助线，使对应概念的性质可以应用。

3.全等三角形：根据不同条件选择合适的判定方法，判定和性质通常都是同步考察的；全等三角形的问题，简单问题直接选择合适的方法判定或者应用；复杂的问题中，证出两个三角形是全等三角形之后，通常要接着用全等三角形的对应边或者对应角相等来解决后续问题。

所以，有时候问题中并没有让判定两个三角形全等，但是我们需要通常“三角形全等的证明”间接得到所需要的边相等或角相等。

三角形常考热点考点有：三角形三边关系、内角和定理、外角定理、中线高线角平分线的应用、全等三角形的性质与判定等。

大多数是数学问题的直接考察，个别时候会需要我们把生活实例中的某个物体抽象出数学模型，之后根据其性质对应计算或应用。

A卷（建议用时：50分钟）1．（2021•宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．（2021•梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．3．（2021•湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．4．（2021•本溪·中考真题）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°【分析】根据直角三角形的性质求出∠5，根据三角形的外角性质求出∠3，根据对顶角相等求出∠4，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故选：B．5．（2021•哈尔滨·中考真题）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF 的度数．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．6．（2021•盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM，根据全等三角形的性质得出∠COM＝∠DOM，根据角平分线的定义得出答案即可．【解答】解：在△COM和△DOM中，所以△COM≌△DOM（SSS），所以∠COM＝∠DOM，即OM是∠AOB的平分线，故选：D．7．（2021•攀枝花·中考真题）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．①B．②C．③D．①③【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．8．（2021•青海·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．9．（2021•宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG＝x，在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即AG＝3，故选：B．10．（2021•安徽·中考真题）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（）A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．【解答】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A，C，D，B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故选项C正确）∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴点M是EF的中点，CE∥BF，∴∠EDF＝∠CED＝90°，∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故选项B正确），综上，可知选项A的结论不正确．故选：A．11．（2021•雅安·中考真题）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC ＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据平移的性质得出AD＝BE，进而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故选：B．12．（2021•鄂州·中考真题）如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD ＝2，CD＝4，则线段AB的长为．【分析】过点C作CE⊥CD交AD于E，判断出∠ACE＝∠BCD，进而利用AAS判断出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，∴∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，BC与AD的交点记作点F，∵∠ACB＝90°，∴∠AFC+∠CAE＝90°，∵∠AFC＝∠DFB，∴∠DFB+∠CAE＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DFB+∠CBD＝90°，∴∠CAE＝∠CBD，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，∴DE＝CD＝＝8，∵BD＝2，∴AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝＝2，故答案为．13．（2021•兰州·中考真题）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．14．（2021•南京·中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．【分析】（1）由AAS证明△AOB≌△DOC即可；（2）由全等三角形的性质得AB＝DC＝2，再证△BCD∽△BEF，得＝，即可求解．【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）；（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，∴AB＝DC＝2，∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC+CE＝4，∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：EF＝．15．（2021•河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分别是AB，BC 边上的动点，以BD为直径的⊙O交BC于点F．（1）当AD＝DF时，求证：△CAD≌△CFD；（2）当△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形时，求AD的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的直径，所以∠DFB＝90°，利用“HL“证明Rt△CAD≌Rt△CFD；（2）因为△CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于△DEB是直角三角形，所以D和F都可能为直角顶点，故需要分两类讨论，我们选择按照D和F为直角顶点分两类讨论更简单，当∠EDB＝90°时，∠DEB＜90°，∠CED是钝角，所以此时只能构造EC＝ED的等腰三角形，故取点D使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以证明DE＝DC，且DE∥AC，得到△BDE∽△BAC，设DE＝DC＝x，利用相似三角形对应边成比例，列出方程并求解，即可解决，当∠DEB＝90°时，如图2，则∠AED＝90°，若△CED为等腰三角形，则∠ECD＝∠EDC＝45°，即EC＝DC，可以利用三角函数或相似来求AD的长度．【解答】证明：（1）∵BD为⊙O直径，∴∠DFB＝90°，在Rt△ACD与Rt△FCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角顶点只能是D点和E点，①若∠EDB＝90°，如图1，在AB上取点D，使CD平分∠ACB，过D作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠CAB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，此时△ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，△DEB是以D为直角顶点的直角三角形，设CE＝DE＝x，在直角△ABC中，BC＝＝5，∴BE＝5﹣x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴，∴x＝，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴AD＝，②若∠DEB＝90°，如图2，则∠CED＝90°，∵△CED为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴可设CE＝DE＝y，∵tan∠B＝＝，∴tan∠B＝＝，∴，∴BC＝CE+EB＝5，∴y+＝5，∴，∴CE＝DE＝，∴BD＝＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝，∴AD的长为或．B卷（建议用时：80分钟）1．（2021•绥化·中考真题）下列命题是假命题的是（）A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【分析】利用三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，故选：C．2．（2021•淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．3．（2021•宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，故选：B．4．（2021•乐山·中考真题）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．5．（2021•台湾·中考真题）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC 上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FCC．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC【分析】由△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得EF＝EC；∠CED＝35°，∠D＝40°可得∠D＞∠CED，由大角对大边可得CE ＞CD；利用AC＝DF，可得AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC，由上可得正确选项．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∵∠ACB＝∠DFE，∴EF＝EC．∵∠CED＝35°，∠D＝40°，∴∠D＞∠CED．∴CE＞CD．∵AC＝DF，∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．∴AE≠FC．∴EF＝EC，AE≠FC．故选：B．6．（2021•齐齐哈尔·中考真题）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．7．（2021•陕西·中考真题）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM ＝4，进而求出．【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BC＝5，CM＝3，∴BM＝＝＝4，∴CN＝4，∴CE＝2CN＝2×4＝8，故选：D．8．（2021•泰州·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是．【分析】有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解．【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，∴S△PMN＝＝ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0∵ME≤MP＝2∴0＜S△≤2．故答案是：0＜S≤2．9．（2021•威海·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF•AC【分析】根据题意得出∠DAC＝∠EAB，用边角边定理证明△DAC≌△EAB，从而得出∠ADC＝∠AEB；根据平分线的性质得出角之间的关系：∠DCA＝∠EBA＝36°＝∠CAB＝36°，再根据平行线的判定可得出CD∥AB；先假设DE＝GE，根据等边对等角及三角形的内角和推出各角之间的关系，得到∠AEG≠∠EAB+∠ABE 与三角形的外角性质产生矛盾，从而推出假设不成立；【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中有：，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），故B选项不符合题意；③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角，∴∠AEG＝∠EAB+∠ABE而事实上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，∴假设不成立，故C选项符合题意；④∵∠F AB＝∠FBA＝36°，∴∠AFB＝180°﹣2×36°＝108°，∴在△AFB中有＝，∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，∴∠BFC＝72°，∴在△BFC中有：＝，∴＝，即BF2＝AB•CF，∵AB＝AC，∴BF2＝AC•CF，故D选项不符合题意．故选：C．10．（2021•日照·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D 运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为2或时，△ABP与△PCQ全等．【分析】可分两种情况：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，综上所述，当v＝2或时，△ABP与△PQC全等，故答案为：2或．11．（2021•绍兴·中考真题）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，则CD长为．【分析】分C，D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．【解答】解：如图，当C，D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝2，∵AD＝AC＝2，∴DE＝＝2，EC＝＝2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，当C，D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝2+2，∴CD的长为2±2或4或2．故答案为：2±2或4或2．12．（2021•达州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠P AB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，∴∠APB＝120°，如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，∴点P在上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OP A，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OP A﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，∴CO＝4，∴AO＝2，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4﹣2＝2，故答案为2．13．（2021•长沙·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE ＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．【分析】（1）证明AD是BC的中垂线，即可求解；（2）利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．14．（2021•黄石·中考真题）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．15．（2021•湘潭·中考真题）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．（1）证明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝，求折痕AE的长度．【分析】（1）由折叠性质得到，∠AFE＝∠B＝90°，由点B恰好落在对角线AC的中点F上可得AF＝CF，根据邻补角的定义得到∠CFE＝90°，即可根据SAS判定△AEF≌△CEF；（2）由（1）得∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得到∠BAE＝∠EAF，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAE＝30°，再解直角三角形求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，在△AEF和△CEF中，，∴△AEF≌△CEF（SAS）．（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，∴∠EAF＝∠ECF，由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∴3∠BAE＝90°，∴∠BAE＝30°，在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，∴AE＝＝＝2．16．（2021•威海·中考真题）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．【分析】（1）连接EC，根据题意易推出∠BAD＝∠CAE，从而证明△BAD≌△CAE，得到AF∥CE，再利用平行线分线段成比例的性质求解即可．（2）作相关辅助线构造直角三角形△DGM和△CGN，先由角之间的互余关系推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据等角的正弦值相等得出边之间的关系DM＝CN，从而证明△DGM≌△CGN，利用全等三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ACB+∠ACE＝90°，则CE⊥BD，∵AF⊥BD，∴AF∥CE，BF＝FC，∴＝＝1，∴BG＝EG．（2）解：如图，过点D作DM⊥AG，垂足为点M，过点C作CN⊥AG，交AG的延长线于点N，在△ABC和△AED中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°，设AE＝a，AB＝b，则AD＝a，AC＝b，∵∠1+∠EAF＝90°，∠2+∠EAF＝90°，∴∠1＝∠2，∴sin∠1＝sin∠2，∴＝，即＝＝＝，同理可证∠3＝∠4，＝＝，∴＝，∴DM＝CN，在△DGM和△CGN中，有：，∴△DGM≌△CGN（AAS），∴DG＝CG，∴＝1．。

中考数学专题训练：解直角三角形及其应用（附参考答案）1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )A．sin B＝ADAB B．sin B＝ACBCC．sin B＝ADAC D．sin B＝CDAC2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin ∠AEC＝( )A．2√55B．√55C．12D．√1043.计算sin 30°·tan 45°的结果是( )A．12B．√32C．√36D．√244.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则tan B的值为( ) A．√33B．1C．√3D．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为( )A．13B．12C．√22D．√326.如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为( )A．3√2B．3√5C．3√7D．6√27.已知α为锐角，且2sin (α－10°)＝√3，则α等于( )A．50°B．60°C．70°D．80°8.如图，在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为( )A．15sin 32°B．15tan 64°C．15sin 64°D．15tan 32°9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，使得AE ＝AC.若BE＝3ED，则sin ∠BAE＝( )A．12B．15C．35D．3410.如图，河对岸有铁塔AB，C，D，B三点共线，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向铁塔方向水平前进14 m到达D处，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为( )A．4(4√3－1)m B．7(√3＋1)mC．(16√3＋7)m D．(10√3＋7)m11.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的塔AB的高度，他从塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1∶√3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得塔AB的高度是( )A．(10√3＋20)m B．(10√3＋10)mC．20√3 m D．40 m12.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是______．13.在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4√2，BC＝5，则△ABC的面积为_________．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，，则点C的坐标为______．且点C在点A右方，连接AB，BC.若tan ∠ABC＝1315.如图，在杭州西湖风景区游船处，在离水面高度为5 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m，此人以0.5 m/s的速度收绳，10 s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了______________m.(假设绳子是直的，结果保留根号)16.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东45°方向航行，那么“海天”号沿______________方向航行．17.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离；(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.732)(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)18.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan ∠ABG＝1，正方形ABCD的边长为8，求BH的长．219.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．参考答案1．C 2．A 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 11．A 12．12，0) 15.(12－√39) 16.北偏西45°13. 2或14 14.(9417.(1)湖岸A与码头C的距离约为1 559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船，理由略18.BH＝1019.(1)DE的长为3.4 cm (2)点A，B之间的距离为22.2 cm。

2021年中考数学复习专题-【等腰三角形的性质】考点解答题专练（三）1．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA ＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC 于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．2．如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．4．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．5．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．6．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE＝2CM+BN．7．求证：等腰三角形的两个底角相等（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）已知：求证：证明：8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．10．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D．参考答案1．解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，∵EA＝EC，∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．2．（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．3．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．4．解：（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；故∠B＝50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．5．解：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD；（2）连接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．6．（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°．∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°．∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝130°﹣50°＝80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2CM．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝BN．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝BN+2CM．7．解：已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C；证明：如图，过D作BC⊥AD，垂足为点D，∵AB＝AC，AD＝AD，在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C．8．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD在△BOE和△COD中∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠DOE+∠A＝180°∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．9．解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．以△ABE≌△ACE为例，证明如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS）．10．证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D，又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D．。

湖北三角形中考数学题分类解析以下是查字典数学网为您引荐的 2021年湖北三角形中考数学题分类解析，希望本篇文章对您学习有所协助。

2021年湖北三角形中考数学题分类解析一、选择题1. (2021湖北荆门3分)以下44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，那么与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】A. B. C. D.【答案】B。

【考点】网格效果，勾股定理，相似三角形的判定。

【剖析】依据勾股定理，AB= ，BC= ，AC= ，△ABC的三边之比为。

A、三角形的三边区分为2，，，三边之比为，故本选项错误;B、三角形的三边区分为2，4，，三边之比为，故本选项正确;C、三角形的三边区分为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误;D、三角形的三边区分为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误.应选B。

2. (2021湖北荆门3分)如图，△ABC是等边三角形，P是ABC的平分线BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.假定BF=2，那么PE的长为【】A. 2 B. 2 C. D. 3【答案】C。

【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。

【剖析】∵△ABC是等边三角形，点P是ABC的平分线，EBP=QBF=30，∵BF=2，FQBP，BQ=BFcos30=2 。

∵FQ是BP的垂直平分线，BP=2BQ=2 。

在Rt△BEF中，∵EBP=30，PE= BP= 。

应选C。

3. (2021湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，△ABC 为等边三角形，点E在BA的延伸线上，点D在BC边上，且ED=EC.假定△ABC的边长为4，AE=2，那么BD的长为【】A.2 B.3 C. D.【答案】A。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。

【剖析】延伸BC至F点，使得CF=BD，∵ED=EC，EDB=ECF。