高中数学复习提升高二含参不等式

高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。

如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。

【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且【问题4】． 解关于x 的不等式322---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围使B A ⊆【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。

高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题在高考中，学生们往往遇到含参量不等式这类问题，这类问题可以有相当复杂的解法，比如把这个不等式转化成函数求解。

许多同学对于这类问题不太了解，或者因为时间和精力的限制而缺乏手段，最终可能无法解出答案，从而不能取得好的成绩。

因此，掌握如何正确解题非常重要。

首先，在解决不等式问题时，需要仔细阅读题干，了解问题中所涉及的变量，并要分析出不等式的特征。

如果问题中出现了等号、不等号和参量，且参量中有变量，这时就需要把它转换成函数求解。

比如，若有一个不等式：x + y 2，则可以把它转换成函数形式：y =√2-x，其中y是变量，x是参量。

将不等式转换为函数形式后，就可以根据函数的性质，分析出不等式的解。

之后，就可以根据参量变化的关系，求出函数图像上的根，从而得到不等式的解。

其中，如果参量是一个正数，函数图像会在该参量处有一个最高点，而一个负数会产生最低点，因此可以根据参量的特点查找有关解的信息。

此外，在计算的过程中，函数的参量不应该产生任何负值，否则将可能导致函数求解出错，从而不能得到正确的结果。

最后，当我们求得不等式的解后，可以使用函数的一般化的简便方法，即判断一定范围内的参量是否满足不等式。

举个例子，若有不等式 x + y 2，而我们想要解出所有x 1时，y值是多少，则可以把x参量从1开始，逐步递增，每次改变1，查看y在对应x下是否满
足不等式限制，直至把区间内的所有结果查询完。

总之，要想正确解题，学生们需要仔细阅读题干，准确分析问题，把不等式转换成函数求解，并要注意参量不应该产生负值，最后可以使用函数的一般化的简单方法，从而得到函数的正确解。

含参不等式专题辅导含参数的不等式有着丰富的内容，解决含参数不等式的问题不仅需要很熟练的运算能力，而且还需要有明确的数学思想指导，灵活深刻的思维品质。

应注意以下几个问题：1. 解含有参数的不等式。

2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围。

3. 不等式恒成立，能成立，恰成立的问题。

【典型例题】[例1] 解不等式012>+-xx ax 。

解：0)1(2>+-⇔x x ax（1）当0=a 时，0)1(>-x x 解为)1,0(∈x（2）当0>a 时，0)11(2>+-⋅ax a x x a a412-=∆ ① ),41(∞+∈a 时，解为),0(∞+∈x ② 41=a 时，解为),2()2,0(∞+⋃∈x ③ )41,0(∈a 时，解为),2411()2411,0(∞+-+⋃--∈a a a a x （3）0<a 时，0)11(2<+-x a x a x 0412>-=∆a a解为：)2411,0()2411,(aa a a --⋃-+-∞ [例2] 设na n n x f x x x x ⋅+-++++=)1(321lg )( ，其中R a ∈，2≥n ，*N n ∈，n 为常数。

若)(x f 在（∞-，1）上成立，求a 的取值范围。

解：依题意：0)1(21>+-+++na n n x x x 即0)1(21>+-++a n n x x x ])1()2()1[(x x x n n n n a -+++-> 令])1()1[()(x x nn n x g -++-= x n y )1(=↓……↓-=x nn y )1( ∴ )(x g y = R 上↑ ∴ ∈x （∞-，1） 21)1(max n g y -== ∴ 21n a -> ∴ ∈a （21n -，∞+） [例3] }09log 5log 1|{<-+=x x x A ，}0)2(2|{2<+--=a a x x x B ，若B B A =⋃，求a 的取值范围。

三招搞定高考题含参不等式恒成立问题已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。

这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。

为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。

一分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。

例1（2010年全国卷1理）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围（Ⅱ）证明:解析：（Ⅰ），由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。

，当时，；当时，。

当时，有最大值，（Ⅱ）略。

评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。

（4）恒成立。

二分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数的上确界为，记作；函数的下确界为，记作。

于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。

（2）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需。

例2（2010年湖南卷理）已知函数，对任意的，恒有（Ⅰ）证明：当时，（Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值。

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）由即恒成立，得从而，等号当且仅当，即时成立（1）当时，，令，则，则因为函数（）的最大值不存在，但易知其上确界为（2）当时，或0，，从而恒成立综合（1）（2）得的最小值为例3（2010年全国卷Ⅱ理）设函数（Ⅰ）若，求的单调区间。

（Ⅱ）若时，，求的取值范围。

解析：（Ⅱ）由对所有的成立，可得（1）当时，；（2）当时，，设，问题转化为求的最小值或下确界。

高二数学专题一：含参不等式及参数问题 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：专题一：含参不等式及参数问题二. 重点、难点：含参数的不等式有着丰富的内容，解决含参数不等式的问题不仅需要很熟练的运算能力，而且还需要有明确的数学思想指导，灵活深刻的思维品质。

应注意以下几个问题： 1. 解含有参数的不等式。

2. 已知不等式成立的条件，求参数的X 围。

3. 不等式恒成立，能成立，恰成立的问题。

【典型例题】[例1] 解不等式012>+-x x ax 。

解：0)1(2>+-⇔x x ax（1）当0=a 时，0)1(>-x x 解为)1,0(∈x（2）当0>a 时，0)11(2>+-⋅ax a x xa a 412-=∆①),41(∞+∈a 时，解为),0(∞+∈x②41=a 时，解为),2()2,0(∞+⋃∈x③)41,0(∈a 时，解为),2411()2411,0(∞+-+⋃--∈a a a a x （3）0<a 时，0)11(2<+-x a x a x 0412>-=∆a a解为：)2411,0()2411,(aaa a --⋃-+-∞ [例2] 设na n n x f x x x x ⋅+-++++=)1(321lg )( ，其中R a ∈，2≥n ，*N n ∈，n为常数。

若)(x f 在（∞-，1）上成立，求a 的取值X 围。

解：依题意：0)1(21>+-+++nan n x x x 即0)1(21>+-++a n n x x x ])1()2()1[(x x x n n n n a -+++-> 令])1()1[()(xx nn n x g -++-=x n y )1(=↓……↓-=x nn y )1(∴)(x g y = R 上↑∴∈x （∞-，1） 21)1(max ng y -== ∴21n a ->∴∈a （21n-，∞+） [例3] }09log 5log 1|{<-+=x x x A ，}0)2(2|{2<+--=a a x x x B ，若B B A =⋃，求a 的取值X 围。

高二含参不等式重要知识点含参不等式是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、不等式证明以及解决实际问题中都起着重要作用。

本文将介绍高二阶段学习含参不等式时需要掌握的重要知识点。

1. 含参不等式的基本概念含参不等式是指不等式中包含一个或多个未知数的不等式。

通常使用形如f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的形式表示，其中f(x)和g(x)是关于x的算式。

2. 含参不等式的解集表示法含参不等式的解集可以用数学符号表示，例如用区间表示。

对于f(x)>g(x)的不等式，解集可以表示为{x|f(x)>g(x)}，其中x为满足不等式的实数。

3. 含参不等式的性质（1）含参不等式满足运算性质。

对于任意实数a和b，若f(x)>g(x)，则af(x)>ag(x)；若f(x)>g(x)且g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。

（2）含参不等式满足传递性质。

若f(x)>g(x)，g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。

（3）含参不等式的均值不等式。

对于任意实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。

4. 含参不等式的求解方法（1）代数法。

通过变形和运算，将含参不等式转化为可求解的形式，从而求得解集。

（2）图像法。

将含参不等式转化为函数图像，分析图像特征得出解集。

（3）区间法。

通过确定函数的单调性、零点、极值点等，在数轴上找到解集所在的区间。

5. 含参不等式的应用含参不等式在实际问题中有广泛的应用，例如优化问题、最值问题、经济学模型等。

通过建立合适的含参不等式模型，可以解决实际问题，并得到解的范围或最优解。

6. 含参不等式的证明在数学证明中，含参不等式的证明方法有多种。

常用的方法包括归谬法、反证法、数学归纳法等。

根据具体的证明要求，选择适合的方法进行证明。

以上是高二含参不等式重要知识点的介绍。

掌握这些知识点，可以帮助学生在解决实际问题和数学建模中灵活运用含参不等式，提升数学解题能力和逻辑思维能力。

高二数学复习考点知识专题讲解与练习高二数学复习考点知识专题讲解与练习第七讲第七讲 含参数不等式问题含参数不等式问题含参数不等式问题1、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如（1）解不等式2(1)(2)0x x −+≥。

分式不等式的解法分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如 （1）解不等式25123x x x −<−−−绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法：(1)分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+−≥−x x(2)数形结合；如解不等式|||1|3x x +−>与含有参数的不等式含有参数的不等式有关的数学问题有关的数学问题有关的数学问题，，大致有以下大致有以下三种类型三种类型三种类型：：第一种第一种类型类型类型：：解含有参数的不等式解含有参数的不等式；；第二种类型第二种类型：：已知含有参数的不等式成立的条件已知含有参数的不等式成立的条件，，求参数的范围.第三种类型种类型：：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立、、能成立能成立、、恰成立或部分成立分成立，，求参数的范围.【例1】 解不等式：()0122>+++x a ax【例2】 解不等式042>++ax x【例3】 解不等式)0( 011(2≠<++−a x aa x练习巩固练习巩固：：1、解不等式06522>+−a ax x ，0≠a2、已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程()120f x x −+=有两个实根为4,321==x x .（1）求函数f (x )的解析式；（2）设1>k ，解关于x 的不等式xk x k x f −−+<2)1()(参数取值范围问题参数取值范围问题：：一、知识要点1.根据条件求参数的范围，常见类型：（1）.恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）. 存在性问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）. 恰成立问题：若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D .若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,2.分类讨论解不等式.“分类讨论”是解决含参数不等式的主要方法，分类讨论要确定好分类的标准，做到不重不漏。

高中数学不等式的恒成立问题一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

基本结论总结例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=-040)2(202a a 解（1）得⎩⎨⎧<<-<222a a ，解（2）a ＝２∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。

4.x 取一切实数时，使3472+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题函数含参量不等式恒成立问题是一个重要的高中数学题型，也是高考数学中的重中之重，为本篇文章的主题。

函数含参量不等式恒成立的解题主要包括：求解函数的单调性，以及求解函数的极值。

首先，解决函数含参量不等式恒成立的问题，我们需要首先明确函数的函数形式，即函数的多项式形式、指数形式或对数形式等。

如函数的多项式形式，即函数形式为y = ax^2 + bx + c，求解该函数的单调性，则要考虑它的二次项a，如果其值大于0，则表示该函数在定义域内是增函数，而如果其值小于0，则表示该函数在定义域内是减函数。

接着，继续求解函数的极值问题，我们可以用一元二次不等式中的解法，即先将函数化为一元二次不等式，然后求对应的根，根的大小来决定函数的极值。

此外，函数的函数形式还可以为指数形式，即函数形式为y = ae^(bx)，求解该函数的单调性，则判断其乘法常数b的符号来区分，如果其值大于0，则表示该函数在定义域内是增函数，而如果其值小于0，则表示该函数在定义域内是减函数。

而对于求解函数的极值来说，我们可以给出其函数图像，通过函数图像的波峰和波谷来确定函数的极大值和极小值。

最后，我们还可以用对数形式来表示函数，即函数形式为y = a*ln(x) + b，求解该函数的单调性，则要考虑它的一次项b，如果其值大于0，则表示该函数在定义域内是增函数，而如果其值小于0，则表示该函数在定义域内是减函数。

然而，要求解函数的极值，则需要将其变换为一元一次不等式，即y = a*ln(x) + b = c，其中c为常数。

然后求取解得到，即x = e^(c - b)/a，因此可以得出函数的极值，从而解决函数含参量不等式恒成立问题。

以上就是函数含参量不等式恒成立问题的解题思路，解决函数含参量不等式恒成立的问题需要考虑函数的形式，并利用一元二次不等式、一元一次不等式以及函数的图像等求解函数的增减性及极值问题。

此外，若要加深理解，可以通过大量模拟题练习，使自己更加熟练地解决函数含参量不等式恒成立问题，从而取得更好的高考及后续数学课程学习成绩。