苏教版数学高二-3.2素材 含参不等式的讨论策略

高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。

如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。

【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且【问题4】． 解关于x 的不等式322---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围使B A ⊆【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。

高二数学不等式选讲苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式选讲二. 教学重点、难点：二、本周教学目标：1、掌握不等式的基本性质，并能说明这些性质存在的道理．2、进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；3、认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小的方法是证明不等式的常用方法，会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明方法证明一些简单的不等式．三、本周知识要点：（一）不等式的性质（1）a ＞b ⇔b ＜a（2）a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c（3）a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c（4）a ＞b ，c ＞0，⇒ac ＞bc ；（5）若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且（6） 若0,1)a b n N n >>>∈>且（二）含有绝对值的不等式1、|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ．|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a ．2、性质1：||||||a b a b +≤+性质2：||||a b -≤||a b -性质3：||||||||||b a b a b a +≤-≤-（三）不等式的证明1、比较法2、综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法．3、反证法4、放缩法【典型例题】例1. 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小．解：由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x ≠0 ∴x 2＞0∴（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＞0∴（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1．例1引申：在例1中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何？在例1中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论，即：当x ＝0时，（x 2＋1）2＝x 4＋x 2＋1当x ≠0时，（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1例2. 已知a ＞b ，c ＜d ，求证：a －c ＞b －d ．（相减法则）分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的．证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0（两个正数的和仍为正数）故a －c ＞b －d ．思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的．证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d例3. 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x ＞y ．求证：b y y a x x +>+． 证：∵ba 11>＞0 ∴b ＞a ＞0， 又x ＞y ＞0 ∴xb ＞ay ∴xy ＋xb ＞xy ＋ay即x （y ＋b ）＞y （x ＋a ） ∵a ，b ，x ，y 是正数，∴y ＋b ＞0，x ＋a ＞0∴b y y a x x +>+．例4. 已知函数2()f x ax c =-，－4≤(1)f ≤－1，－1≤f （2）≤5，求(3)f 的取值范围．分析：利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c ，然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f ，最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围．解：∵⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴)1(35)2(389)3(f f c a f -=-= ∵－4≤f （1）≤－1，故)35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f （1） 又－1≤f （2）≤5，故340)2(3838≤≤-f （2） 把（1）和（2）的各边分别相加，得：－1≤)1(35)2(38f f -≤20 所以，－1≤f （3）≤20 点评：应当注意，下面的解法是错误的：依题意，得：⎩⎨⎧≤+≤--≤-≤-(2)541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3，1≤c ≤7 （3）所以，由c a f -=9)3(可得，－7≤f （3）≤27．以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f （3）的范围也就随之扩大了．例5. 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε，|z |＜9ε，求证|x ＋2y －3z |＜ε． 证明：|x ＋2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε，|z |＜9ε， ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε例6. 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L ，则周长为L 的圆的半径为π2L ，截面积为2()2L ππ；周长为L 的正方形边长为4L ，截面积为2)4(L ，所以本题只需证明22)4()2(L L >ππ． 证明：设截面的周长为L ，依题意，截面是圆的水管的截面面积为2)2(ππL ，截面是正方形的水管的截面面积为2)4(L ，所以本题只需证明22)4()2(L L >ππ． 为了证明上式成立，只需证明 164222L L >ππ 两边同乘以正数24L ，得411>π因此，只需证明π>4 上式是成立的，所以22)4()2(L L >ππ例7. 若a ，b ，c ，d ∈R ＋，求证： 21<+++++++++++<c a d db dc ca cb bd b a a证明：（用放缩法）记m ＝c a d db dc ca cb bd b a a+++++++++++∵a ，b ，c ，d ∈R ＋ ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc ca cb a bd c b a am2=+++++++<c d dd c cb a bb a am∴1＜m ＜2 即原式成立【模拟试题】一、选择题1、若a ＜0，－1＜b ＜0，则有（ ）A. a ＞ab ＞ab 2B. ab 2＞ab ＞aC. ab ＞a ＞ab 2D. ab ＞ab 2＞a2、如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列不等式中不正确的是（ ）A. a －d ＞b －cB. c bd a> C. a ＋d ＞b ＋c D. ac ＞bd3、如果a 、b 为非0实数，则不等式b a 11>成立的充要条件是（ ）A. a ＞b 且ab ＜0B. a ＜b 且ab ＞0C. a ＞b ，ab ＜0或ab ＜0D. a 2b －ab 2＜04、当a ＞b ＞c 时，下列不等式恒成立的是（ ）A. ab ＞acB. （a －b ）∣c －b ∣＞0C. a ∣c ∣＞b ∣c ∣D. ∣ab ∣＞∣bc|5、已知a 、b 为实数，则“a ＋b ＞2”是“a 、b 中至少有一个大于1”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、log m 2＞log n 2的充要条件是（ ）A. n ＞m ＞1或1＞m ＞n ＞0B. 1＞m ＞n ＞0C. n ＞m ＞1或1＞n ＞m ＞0D. m ＞n ＞1二、填空题：7. 若－1＜x ＜y ＜0，则x 1，y 1，2x ，2y 的大小关系为__ ．8. 设角α、β满足22πβαπ<<<-，则α－β的取值范围为 ．9. 若实数a ＞b ，则a 2－ab ba －b 2．（填上不等号）10. 已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c=0，则b 2 – 4ac 的值的符号为 ．三、解答题11. 如果x ＞0，比较（x －1）2与（x ＋1）2的大小．12. 已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d be c a e ->- 13. 已知：|x －1|≤1，求证：（1）|2x ＋3|≤7； （2）|x 2－1|≤314. 求证：213121112222<++++n[参考答案]http//一. 选择题1. D2. C3. D4. B5. A6. C二. 填空题7. y 1x 1y x 22>>> 8. 0<β-α<π- 9. >10. 正数三. 解答题11. 解：（x －1）2－（x ＋1）2 ＝［（x －1）＋（x ＋1）］［（x －1）－（x ＋1）］ 或［（x －2x ＋1）－（x ＋2x ＋1）］＝－4x∵x ＞0 ∴x ＞0 ∴－4x ＜0 ∴（x －1）2＜（x ＋1）212. 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>->-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 13. 证明：（1）∵|2x ＋3|=|2（x －1）＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7（2）|x 2－1|=|（x ＋1）（x －1）|=|（x －1）[（x －1）＋2]|≤|x －1||（x －1）＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=314. 证明：（用放缩法）n n n n n111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n。

含参数不等式的解题方法与技巧含参数不等式的解题方法与技巧引言含参数的不等式是数学中常见的一种形式，它具有一定的复杂性，需要一些解题的方法和技巧来求解。

本文将详细介绍一些解题的技巧，帮助读者更好地理解和解决含参数的不等式问题。

技巧一：确定参数范围在解决含参数不等式的问题时，首先需要确定参数的取值范围。

通过分析不等式中的条件和限制，可以推导出参数的范围。

参数的取值范围决定了不等式的解集的性质，是解题的重要依据。

技巧二：代入法代入法是解决含参数不等式问题的一种常用方法。

通过选择合适的值代入参数，并观察不等式的变化情况，可以得到不等式解集的一些性质或范围。

多次尝试不同的取值，可以逐步缩小解集的范围。

技巧三：证明法证明法是解决含参数不等式问题的一种常见方法。

通过对不等式进行推导和变形，运用数学分析的知识，可以得到不等式解集的一些性质或范围。

使用证明法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。

技巧四：图像法图像法是解决含参数不等式问题的一种直观方法。

通过将不等式表示为图形，并分析图形的特征和变化趋势，可以得到不等式解集的一些性质或范围。

图像法可以帮助读者更好地理解和直观地判断不等式的解集。

技巧五：数学归纳法数学归纳法是解决含参数不等式问题的一种有效方法。

通过对不等式进行递推和归纳，可以得到不等式解集的一些性质或范围。

数学归纳法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。

技巧六：一般化方法一般化方法是解决含参数不等式问题的一种常用技巧。

通过对不等式进行变量替换和常数化简，可以将复杂的不等式问题转化为简化的形式，从而更好地进行求解。

一般化方法可以帮助读者更好地理解不等式的本质和规律。

总结解决含参数不等式问题需要综合运用多种技巧和方法。

通过确定参数范围、代入法、证明法、图像法、数学归纳法和一般化方法等，可以更好地解决含参数不等式问题，得到准确的解集和结论。

挖掘不同方法的优势，结合实际问题的特点，能够更高效地解决含参数不等式问题，提高数学解题的能力。

高二年级数学含参不等式一、含参不等式的解法——分类讨论思想 1.由判别式△的符号引起的讨论例1、01x 2≤++ax x 的不等式解关于 2.由二次项的系数符号引起的讨论例2、014)1m 2≤+-+x x x 的不等式（解关于（本题须二次分类，先讨论开口再讨论△） 3.由根的大小引起的讨论例3、0)(x x 322>++-a x a a 的不等式解关于牛刀小试：练习1. 解关于x 的不等式0212>---x x ax练习2。

解关于x 的不等式)1(,12)1(≠>--a x x a二、含参不等式----恒成立问题求参1、转换主元法：例1.若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

231x 271+<<+-2、化归二次函数法：例2、对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。

⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21例3、已知向量a =(x 2,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围。

t ≥5例4、若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

21m ->3、数形结合法例5、如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是1k 0≤≤ 例6、已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x<21恒成立，则a 的取值范围(] 2,11,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 4、分离变量法例7、在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。

]3,1(∈m例8、已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。

含参数不等式的解题方法与技巧(一)含参数不等式的解题方法与技巧1. 确定参数的范围在解析含参数不等式时，首先需要确定参数的范围。

通过观察不等式中的条件，可以得出参数的取值范围，以便后续的推导和解题。

2. 代入法一个常用的解决含参数不等式的方法是代入法。

当不等式中的参数有特定限制时，我们可以选择代入一些特定的值进行计算，从而得到不等式的解集。

3. 分类讨论对于一些较为复杂的含参数不等式，可以进行分类讨论。

通过对参数的不同取值进行分类，可以将原问题拆分为多个简化的子问题，从而更容易找到解集。

4. 画图法对于一些几何形状相关的不等式问题，可以使用画图法来辅助解题。

根据不等式的条件，将其转化为几何图形并进行分析，可以更直观地理解问题并找到解集。

5. 推导法通过一系列的推导和变换，可以将含参数不等式转化为一种等价的形式，从而更容易求解。

在推导过程中，需要灵活运用不等式的性质和常用的等价关系。

6. 使用不等式性质不等式中存在一些常用的性质，如加法性质、乘法性质、倒数性质、平方性质等。

在解题过程中，可以运用这些性质对不等式进行简化和转换，以求得解集。

7. 求导法对于一些含参数的函数不等式，可以通过求导来研究其变化趋势。

通过求导的结果，可以判断函数的单调性和极值点，从而确定不等式的解集。

8. 极值法求解含参数不等式的另一种常用方法是使用极值法。

通过构造一个与不等式相关的函数，并通过求导和求极值来确定不等式的解集。

9. 不等式链法对于一些复杂的含参数不等式，可以通过构造不等式链来求解。

将原不等式转化为一系列含参不等式，通过对每个不等式进行推导和分析，最终得出原不等式的解集。

以上是解决含参数不等式的常用方法和技巧。

在实际解题过程中，需要根据具体问题选择合适的方法，并灵活运用不等式的性质和等价关系。

10. 反证法反证法也是解决含参数不等式的常用方法之一。

假设原不等式不成立，通过推导和分析，找出与之矛盾的条件，从而得出原不等式的解集。

考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。

高二含参不等式重要知识点含参不等式是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、不等式证明以及解决实际问题中都起着重要作用。

本文将介绍高二阶段学习含参不等式时需要掌握的重要知识点。

1. 含参不等式的基本概念含参不等式是指不等式中包含一个或多个未知数的不等式。

通常使用形如f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的形式表示，其中f(x)和g(x)是关于x的算式。

2. 含参不等式的解集表示法含参不等式的解集可以用数学符号表示，例如用区间表示。

对于f(x)>g(x)的不等式，解集可以表示为{x|f(x)>g(x)}，其中x为满足不等式的实数。

3. 含参不等式的性质（1）含参不等式满足运算性质。

对于任意实数a和b，若f(x)>g(x)，则af(x)>ag(x)；若f(x)>g(x)且g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。

（2）含参不等式满足传递性质。

若f(x)>g(x)，g(x)>h(x)，则f(x)>h(x)。

（3）含参不等式的均值不等式。

对于任意实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。

4. 含参不等式的求解方法（1）代数法。

通过变形和运算，将含参不等式转化为可求解的形式，从而求得解集。

（2）图像法。

将含参不等式转化为函数图像，分析图像特征得出解集。

（3）区间法。

通过确定函数的单调性、零点、极值点等，在数轴上找到解集所在的区间。

5. 含参不等式的应用含参不等式在实际问题中有广泛的应用，例如优化问题、最值问题、经济学模型等。

通过建立合适的含参不等式模型，可以解决实际问题，并得到解的范围或最优解。

6. 含参不等式的证明在数学证明中，含参不等式的证明方法有多种。

常用的方法包括归谬法、反证法、数学归纳法等。

根据具体的证明要求，选择适合的方法进行证明。

以上是高二含参不等式重要知识点的介绍。

掌握这些知识点，可以帮助学生在解决实际问题和数学建模中灵活运用含参不等式，提升数学解题能力和逻辑思维能力。

专题：如何抓住讨论点来处理二次函数（不等式）含参（导数）问题 知识梳理：1. 含参的二次函数（不等式）的讨论问题要关键点是：（1）参数影响了开口方向，要讨论（2）参数影响了两个根的大小，要讨论（十字相乘，判别式∆）（3）除了要考虑以上两个讨论点外，参数在导数问题上还要优先考虑恒大于0或恒小于0两种情况，如果能用十字相乘法分解，则一定要结合定义域，优先考虑含参括号恒大于或小于0情况，不能分解用整体法考虑二次函数恒大于0或小于0的情况，典型例题：例1：(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．例2：已知函数R a x a x x a x f ∈+-+=,)12(21ln 2)(2 （1）求f(x)的单调区间 （2）设函数x x a x x f x g 8)12(21)()(2+-+-=，若g(x)存在两个极值点21,x x a x x x 24)2121<+-练习：1、 解不等式：x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0.2、解关于x的不等式axx－1<1(a>0)．3、(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2，讨论f(x)的单调性．专题：如何抓住讨论点来处理二次函数（不等式）含参（导数）问题知识梳理：1.含参的二次函数（不等式）的讨论问题要关键点是：（1）参数影响了开口方向，要讨论（2）参数影响了两个根的大小，要讨论（十字相乘，判别式 ）（3）除了要考虑以上两个讨论点外，参数在导数问题上还要优先考虑恒大于0或恒小于0两种情况，如果能用十字相乘法分解，则一定要结合定义域，优先考虑含参括号恒大于或小于0情况，不能分解用整体法考虑二次函数恒大于0或小于0的情况，知识梳理：例1：(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1. ③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a <－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 例2：已知函数R a x a x x a x f ∈+-+=,)12(21ln 2)(2 （1）求f(x)的单调区间（2）设函数xx a x x f x g 8)12(21)()(2+-+-=，若g(x)存在两个极值点21,x x ，证明：a x x x g x g 24)()(2121<+-- (1)解:f'(x )=+x - (2a +1)== .… … … … … … … … … … … … 1分①若a ≤0,当 0<x <1时 ,f'(x ) <0:当x>1时 ,f'(x ) >0.所以f (x )在(0,1)上单调递减 ,在(1,+∞)上单调递增. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2分②若 0<a < ,由 f'(x ) >0,得 0<x <2a 或x >1:由f'(x ) <0,得 2a <x <1. 所以f (x )在(0,2a ) ,(1,+∞)上单调递增 ,在(2a ,1)上单调递减. … … … … … … … … … … … … … … 3分③若a =,f'(x ) ≥0恒成立 ,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.… … … … … … … … … … … … … … 4分④若a > ,由 f'(x ) >0,得 0<x <1或x >2a :由f'(x ) <0,得 1<x <2a . 所以f (x )在(0,1) ,(2a ,+∞)上单调递增 ,在(1,2a )上单调递减. … … … … … … … … … … … … … … 5分(2)证明:g (x ) =f (x ) -x 2 +(2a -1)x +=2a 1n x -2x + , g'(x )=-2- = .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (6)分①当a ≤4时 ,g'(x ) ≤0恒成立 ,g (x )不可能有两个极值点.… … … … … … … … … … … … … … … … … … 7分②当a>4时 ,由 g'(x ) =0得两个根x 1 ,x 2 ,因为x 1 +x 2 =a >0,且x 1x 2 =4,所以两根x 1 ,x 2均为正数 , 故 g (x )有两个极值点.不妨设x 1<x 2 ,由 x 1x 2 =4知 0<x 1<2,x 2>2. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8分=2a . -2-=2a . -4, +4<2a 等价于 2a .<2a ,即 -x 2 +21n x 2<21n2.… … … … … … … … 10分令h (x )= -x +21n x (x >2) ,h'(x )= - -1+= 3<0,所以h (x )在(2,+∞)上单调递减 ,又h (2) =21n2,所以当x >2时 ,h (x ) <21n2.故 +4<2a 成立.… … … … … … … 12分 练习：1、 解不等式：x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0.解 原不等式化为(x －a )(x －a 2)>0.①当a 2－a >0，即a >1或a <0时，解不等式，得x >a 2或x <a ； ②当a 2－a <0，即0<a <1时，解不等式，得x <a 2或x >a ； ③当a 2－a ＝0，即a ＝0或a ＝1时，解不等式，得x ≠a . 综上，当a >1或a <0时，不等式的解集为{x |x >a 2或x <a }； 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠a }．2、解关于x 的不等式ax x －1<1(a >0)． 解 ax x －1<1⇔(a －1)x ＋1x －1<0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)<0. ①当a ＝1时，容易解得x <1.②当a >1时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a －1(x －1)<0，解得11－a <x <1. ③当0<a <1时，11－a －1＝a 1－a >0，所以11－a>1， 原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －11－a (x －1)>0，解得x <1或x >11－a . 综上知，当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1或x >11－a ； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x <1}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |11－a <x <1.3.(2020·全国Ⅲ卷节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2，讨论f (x )的单调性． 解 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝± k 3， 令f ′(x )＜0，得－ k 3＜x ＜k 3， 令f ′(x )＞0，得x ＜－ k 3或x ＞k 3， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上。

含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

3.2 一元二次不等式的解集为R 的条件及应用我们知道，当0a >，且当0∆<时，不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集为R ；反之，亦然. 这是一个及其重要的结论，本文举例说明其应用，供参考. 一、求参数的值例1． 已知二次函数)(x f 的图象经过点),0,1(- 是否存在常数c b a ,,使不等式21)(2x x f x +≤≤对一切实数x 恒成立，若存在，求出c b a ,,；若不存在，请说明理由. 解：假设存在符合条件的c b a 、、.()f x 的图象过点)0,1(-，∴.0,0)1(=+-=-c b a f 即21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，令1x =，则211112a b c ≤++≤+（）. 1.a b c ∴++=).21(21)(21212a x ax x f c a b -++==+=∴，， ∴2(),1()(1).2f x x f x x ≥⎧⎪⎨≤+⎪⎩即2211()0,(1)2211()0.(2)22ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≤⎪⎩对R x ∈成立. 由（1）0=a 时，不合题意，所以，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=⇔≤-->⇔≤∆>.41,0)21(441,0,0,0a a a a a 将41=a 代入（2）得0122≥+-x x 解集为.R 故存在满足条件的,,abc ，使11,.42a c b === 二、求参数的取值范围例2．知实数d c b a ,,,满足,7,52222=+++=+++d c b a d c b a 求a 的最大值. 解：构造函数R x d x c x b x y ∈-+-+-=222)()()(，R x d c b x d c b x y ∈≥+++++-=,0 )(232222 ，当且仅当d c b x ===时取等号，则有0)(12)(42222≤++-++=∆d c b d c b ，即22520a a -+≤，解得.221≤≤a 故当d c b ===1时a 取最大值2.例3．已知对于任意实数m ，方程0)()1(2=-+-a x x m 恒有实根，求实数a 的取值范围.解：方程可化为.0)(2=+-+a m x mx（1）当0=m 时，方程恒有实根a x =；（2）当0≠m 时，任意实数m ，方程0)(2=+-+a m x mx 恒有实根，则判别式)(0)(41R m a m m ∈>++=∆恒成立，即01442>++ma m 对任意实数m 恒成立，所以，016162/<-=a ∆，解得.11<<-a综上，得当0=m 时，R a ∈；当0≠m 时，.11<<-a注意：（1）不等式R x c bx ax ∈>++,02恒成立, 则0>a ，且判别式0<∆，或．，且00>==c b a （2）不等式R x c bx ax ∈<++,02恒成立, 则0<a ，且判别式0<∆或．，且00<==c b a （3）不等式],[)0(02n m x a c bx ax ∈≠>++恒成立，则;0,0<>∆a 或 .0)(,2,0;0)(,2,0>≥->>≤->n f n ab a m f m a b a 或 （4）不等式],[)0(02n m x ac bx ax ∈≠<++恒成立, 则;0,0<<∆a 或.0)(,2,0;0)(,2,0<≥-<<≤-<n f n ab a m f m a b a 或 三、证明不等式证明不等式例4．已知,0>a 函数2bx ax y -=，当0>b 时，若对任意R x ∈都有1y ≤，求证：.2b a ≤证明：依题意，有,12≤-bx ax 即012≥+-ax bx )(R x ∈，而,0>b 所以，.2,0,04)(2b a a b a ≤∴>≤--=∆又例5．设,1,,,=++∈c b a R c b a 且求证：.31222≥++c b a证明: 构造函数,0)()()(222≥-+-+-=c x b x a x y而R x c b a x c b a x y ∈≥+++++-=,0)(232222恒成立，则判别式 22224()12()0.a b c a b c ∆=++-++≤因为1a b c ++=，故.31222≥++c b a 同步练习（供选用）1．不等式223222x kx k x x ++≥++对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 2．当)6,2(-∈x 时，,02322>-++a b x a ax 当),6()2,(∞+--∞∈ x 时, .02322<-++a b x a ax（1）求b a ,的值；（2）当k 为何值时，)16(23)2(4322-++-++-k kx a b x a ax k 恒为负值？ 3．（1）若对任意实数,x 不等式02)2()2(2>++-+-k x k x k 恒成立, 则实数k 的取值范围是_____;（2）若集合,}01)1()1(|{22R x m x m x =<-+-- 则实数m 的取值范围是._____（3）设集合}01|{<<-=m m P ，044|{2<-+=mx mx m Q 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆ （C ）Q P = （D ）∅=Q P4．已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围.5．已知函数)(2)1()1011(22R x x a x a a y ∈+--+--=的值恒为正数, 求实数a 的取值范围.6．函数2()3f x x ax =++，当 ]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立, 求实数a 的取值范围.7．若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 答案1．]10,2[；2．08,8,4≤<---k ；3．（1）2k ≥；（2）31.5m -≤<（3）A 4．)19,1[ 5．)9,1[ 6．]2,7[- 7．]2,0(。

含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx axx f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆aa 解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

2019年6月解法探穷一.)1高中数学含参问题求解策略例析，江苏省常熟市浒浦高级中学周军在高中数学内容体系中，含参问题不是单一的知识版块,而是与许多知识点密切联系，如解析几何、函数、方程、不等式、线性规划等.在解决含参问题时，需要根据具体的问题情景与涉及的知识点，运用常见的含参问题的求解策略进行解答，这样才能从知识点的本质层面解答好含参问题.本文以苏教版高中数学为例,结合不同的知识案例来阐述常见的解题思路与方法，为广大师生提供经验借鉴.-、平面向量中的含参问题平面向量是高中数学重要的知识内容，是代数关系与空间关系的结合，也是后续解析几何、立体几何等内容的重要基础.作为重要的考点，在平面向量的问题中经常会出现参数，提升了对学生思维量的考核,求解难度较大，在江苏省高考中经常作为填空题的压轴题出现.下面笔者结合教学经验与具体案例列举出两种最为常见的解题思路与方法.1.建立直角坐标系一般来说，构建直角坐标系是解决平面向量问题的通用解法，只要能够在平面内建立起坐标系，那么各个点的坐标就可以表示出来,与之相对应的向量关系就可以得到确定.【案例1】在四边形"#中，已知边与平行，"#的长度为CD的2倍，&与'分别为边与#$的中点.现存在向量关系A"=!X"+"A"，则！+"的值为_____.解析：因为这是一道填空题，因此可以将问题特殊化，假设四边形"#CD是一个直角梯形，建立直角坐标系，如图1所示.令CD的长为+,"D的长为,，则"#的长为2+.易知&点的坐标为i卜3D&C0（A）B2图1■+,b点的坐标为[-%，~2&,#点的坐标为(2+,0).因为所以将各点坐标代入，可得(2+,0)=!,bI3+b\!—+也=2a,224R所以有方程组（解得!=-',"=）.入b+丛=0,552因此可得!+"=4.故填专.2.构造向量基底有时候构建平面直角坐标系的运算量过大，难以快速求解出正确答案,那么可以尝试构造向量基底.这一方法也是解决平面向量含参问题的常用方法.在构建向量基底时，需要结合平面向量的基本定理，根据确定的向量基底来表示题目所涉及的向量，由向量基底来表示已知条件中的各种向量关系，进而起到“消元”的作用，实现向量的统一.【案例2】已知四边形"#CD为菱形，边长为2,+BAD 的大小为120。

高中数学：含参数的不等式的分类讨论求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类考试中的重点和难点。

分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。

本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。

一、含参数的一元二次不等式的讨论策略例1 解关于x的不等式。

分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。

需要的话还要对根的大小进行比较。

含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。

解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。

（2）当a>0时，方程，△=4－4a。

①若△>0，即0<a<1< span="">时，方程的两个解为，，。

</a<1<>所以原不等式的解集为。

②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。

③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。

④当a<0时，一定有△>0，方程两个解为，，且。

原不等式的解集为。

总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。

（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。

（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。

二、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2 解关于x的不等式。

错解：。

当时，解得。

当时，解得。

剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。

3.2 一元二次不等式（3）教学目标：一、知识与技能1. 进一步熟悉求解一元二次不等式的方法、步骤；2. 提高分析问题、构建函数模型、解决问题的能力．二、过程与方法1. 让学生在解决应用题的过程中，体会应用题的求解思路，掌握求解应用题的方法．2. 培养学生数学应用意识和分析问题、解决问题的能力以及表达交流能力．教学重点：通过构建函数模型解应用题．教学难点：建立函数模型．教学方法：在教师的引导下学生自主分析、转译、建立函数模型．教学过程：一、问题情境如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少？二、学生活动1. 让学生分组讨论，通过尝试解决问题，暴露和发现可能存在的问题．2. 通过问题求解，让学生总结求解应用题的基本思路和程序．三、建构数学引导学生自己总结出求解一元二次不等式应用题的基本思路：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系．（3）解不等式．（4）回归实际问题．四、数学运用1．例题．例1 用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解 设矩形一边的长为(m)x ，则另一边的长为50(m)x -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例 2 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解 由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离(m)s 与车速(km /h)x 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？解 由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．点评：从现实中抽象出来的问题，由两车的刹车距离来推测车速，从而确定事故的主要责任方，这里实际上仅考虑了车速因素，现实生活中的交通事故认定，往往要考虑许多因素．2．练习（1）国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元（叫做税率00R ），则每年的销售量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R 应怎样确定？（2）制作一个高为20cm 的长方体容器，底面矩形的长比宽多10cm ，并且容积不少于4000cm 3．问：底面矩形的宽至少应为多少？五、回顾小结六、课后作业1．用24米长的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,中间有一道竹篱笆,要使养鸡场的面积最大,问矩形的边长应为多少米？2．某旅店有200张床位，若每床一晚上租金为27元，则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要该旅店某晚的收入超过10000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？。

不等式组的含参问题不等式组的含参问题是指在一组不等式中，存在一个或多个参数（未知数），需要求出这些参数的取值范围。

这类问题常见于代数与数学分析课程，对于学生来说是一个重要的考察对象。

在解决含参不等式组的问题时，我们可以考虑以下几个主要的思路和方法：1.图形法：将不等式转化为几何图形，在图形上找出参数的取值范围。

在平面直角坐标系上绘制不等式的图形，通过分析图形的位置、形状和交点等特征，确定参数的取值范围。

这种方法适用于一些简单的不等式组，例如线性不等式组或二次不等式组。

例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ 2,x² + y² ≥ k,x ≥ 0,y ≥ 0}将这些不等式转化为图形，可以发现参数k对应的图形是一个闭合的圆，而x + y ≤ 2确定了圆的位置。

因此，根据参数k的取值，圆可以与直线x + y = 2相交或相切。

2.代数方法：通过运用代数的方法进行计算和推导，求出参数的取值范围。

这种方法通常需要借助不等式之间的关系，推导出参数的上界和下界。

一般来说，在解决含参不等式组的问题时，我们需要考虑以下几种可能的情况：-不等式存在等号的情况：将不等式转化为等式，求出参数的值。

-含有分式的不等式：进行分式的乘法或约分，使得不等式中的分式被消去，然后根据参数的范围，确定解的取值。

-多个不等式的组合：通过将不等式进行叠加或相减，确定参数的范围。

例如，考虑如下不等式组：{x + 2y ≤ n,x - y ≥ n,y ≥ 0}我们可以将第一个不等式左右两边同时减去2y，得到x ≤ n -2y；然后将这个结果代入第二个不等式，得到n - 2y - y ≥ n，即-y ≥ 0，由此得出y ≤ 0。

因此，参数y的取值范围是y ≤ 0。

-不等式的相乘：通过乘法，将一个不等式转化为另一个不等式，然后根据参数的范围，确定解的取值。

例如，考虑如下不等式组：{x + y ≤ a,x - y ≤ a,a > 0,x ≥ 0,y ≥ 0}将这两个不等式相乘，得到(x + y)(x - y) ≤ a²，再根据x ≥ 0和y ≥ 0，可以得到x² - y² ≤ a²，即|x| ≤ a，从而x的取值范围是-x ≤ a且x ≥ 0，即0 ≤ x ≤ a。

解析含参不等式技巧
含参不等式是数学中的重要概念，解析这类不等式需要掌握一定的
技巧。

在解析含参不等式时，我们可以采用以下几种方法来简化问题，提高解题效率。

首先，我们可以将含参不等式转化为不含参不等式。

这可以通过代
入具体数值来实现。

例如，对于不等式$3x+2>y$，我们可以选择$x=1$，即将$x$替换为1，得到$3*1+2>y$，即$5>y$。

这样我们就将含参不等
式转化为了不含参的不等式，从而更容易解决问题。

其次，我们可以利用图像法来解析含参不等式。

通过绘制不等式所
表示的图形，我们可以直观地看出不等式的解集。

特别是在二维平面上，我们可以通过画图的方式清晰地表达不等式的解集，从而更好地
理解问题。

另外，我们还可以利用数学推导的方法解析含参不等式。

通过对不
等式进行有序性分析、整理变形，我们可以得出更简洁、更易解的形式。

在解析含参不等式时，需要注意细节，遵循数学规律，避免出现
错误。

最后，我们还可以采用试探法来解析含参不等式。

通过尝试不同的
取值，找到满足条件的解，从而得出不等式的解集合。

在使用试探法时，需要注意取值的范围，避免遗漏解或者重复试探。

总的来说，解析含参不等式需要掌握多种方法和技巧。

通过转化为
不含参不等式、利用图像法、数学推导和试探法等方式，我们可以更
高效地解决问题，提高解题效率。

希望以上技巧能够帮助大家更好地理解和解析含参不等式，提高数学解题能力。

不等式问题的处理策略与解决技巧不等式是数学中的主要内容之一，是每年高考必考的热点内容，几乎涉及整个高中数学的每个部分。

不等式问题的处理方式是高中数学对逻辑推理能力要求较高的内容，是数学中的一个难点，再加之不等式问题题型灵活多变，涉及面较广，最近几年的高考试题明显加大了对不等式内容的考查力度。

本文通过几道例题，来说明不等式问题的处理策略。

一．比较法比较法是解决不等式问题最基本的方法，具体来说有差比较和作商比较两种。

其基本思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1 比较大小。

例1．已知三个不等式：(1)；(2)；(3)。

以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则中以组成个正确的命题。

分析：对于第(2)个不等式作等价变形：(*)于是，由，可得(*)式成立，即(1)(3)(2)；若，，则可得，故(1)(2) (3)；若，，则，即(2)(3) (1)；因此可以组成三个不同的正确的命题。

答案为：3个。

二．基本不等式法利用均值不等式及其变形解决不等式问题是常用的方法，使用时简捷易行，且方便灵活常用的基本不等式及其变形有：(1)若，则(当且仅当时等号成立)；(2)若，则(当且仅当时等号成立)；(3)若同号，则(当且仅当时等号成立)；(4)若，则(当且仅当时等号成立)。

例2．(2006年重庆高考试题)若且，则的最小值为( )A．B．C．D．分析：由于(当且仅当b=c时取等号)从而的最小值为。

从而选D。

三．分类讨论例3．(2006年山东省实验中学模拟试题)解关于的不等式（）。

解：方程的两个根为且所以①当或时,,原不等式的解集为；②当或时,,原不等式的解集为；③当时,,原不等式的解集为四．利用函数的单调性例3．(2006年广州市二模试题)某公司是一家专做产品的国内外销售的企业，每一批产品上市销售天内全部售完。

该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）。