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应用数学基础

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应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解

应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
i1 1 i i
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4

应用数学基础知识点总结及课堂笔记

应用数学基础知识点总结及课堂笔记

应用数学基础知识点总结及课堂笔记 1.函数、极限和连续 1.1函数1.1.1函数的概念 （1）函数的定义：设X ，Y 是两个非空实数集合，若存在对应法则f ，使得对于任给的x X ∈，存在唯一的y Y ∈与之对应，则称f 是X 到Y 的函数，记作()y f x =。

X 称为定义域，{|(),}W y y f x x X Y ==∈⊂，称为函数f 的值域。

（2）函数的表示法：a.公式法：如分段函数、隐函数、参数方程表示的函数；b.图形法：c.表格法：（3）分段函数：（4）要点：函数的定义的两个要素：定义域X 及对应法则f 。

当两个函数的定义域及对应法则均相同时，表示两个函数相同。

定义：设()f x 的定义域为X ，值域为W ，若对于任给y W ∈，在X 中只有一个数x 与之对应，使得()f x y =，把y 看作自变量，x 看作函数，得到的一个新函数，称为函数f 的反函数，记作1f-。

1()()fy x f x y -=⇔=原函数与反函数的图像关于直线y x =对称，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

复合函数：设函数()y f u =的定义域为U ，函数()u x ϕ=的定义域为X ，值域为*U ，且*U U ⊂，则称函数(())y f x ϕ=为定义在X 上的复合函数，u 为中间变量。

1.1.6初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成并可用一个式子表示的函数叫做初等函数。

一些简单实际问题的函数关系式：（1）长方形z 绕轴线L 旋转一周（如右图）的所得体积为：2V x y π=（2）将边长为a 的正方形的四角截取边长为x 的小正方形，并将小正方形折起所得的正方体（如右图）的体积为：2(2)V a x x =-（3）收益函数：R PQ =（P ：价格，Q ：数量）成本函数：()C Q 利润函数：L R C =- 1.2极限1.2.1数列极限的概念数列的极限lim n n x a →+∞=：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<。

大一应用数学基础知识点

大一应用数学基础知识点

大一应用数学基础知识点本文将介绍大一学生需要掌握的应用数学基础知识点，包括数列与数列极限、函数与函数极限、导数与微分以及积分与定积分。

一、数列与数列极限数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

数列的极限是指当数列中的数趋于无穷时，数列整体的趋势或稳定的值。

大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个常数或者变量来表示数列中的每一项。

例如等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

2. 数列的极限数列的极限指的是当数列中的数趋于无穷时，数列整体趋于的稳定值。

例如，等差数列的极限为无穷或有限值，等比数列的极限为0或无穷。

3. 数列收敛与发散数列的极限存在且为有限值时，称为收敛；当极限不存在或为无穷时，称为发散。

4. 数列极限的性质常用的数列极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。

二、函数与函数极限函数是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。

函数极限则是指当自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。

大一学生需要掌握以下几个重要的概念和性质：1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的所有可能取值。

函数的值域是指所有因变量的可能取值。

2. 函数的极限函数的极限是指自变量趋于某个值时，函数整体趋于的稳定值。

例如，当自变量无穷趋近于某个值时，函数的极限可以是有限值、无穷大或无穷小。

3. 函数极限的性质常用的函数极限性质有唯一性、夹逼准则以及四则运算法则等，大一学生需要熟悉这些性质的应用和证明。

三、导数与微分导数是函数变化率的度量，描述了函数某一点的陡峭程度。

微分则是导数的几何解释，表示函数在某一点附近的线性近似。

大一学生需要了解以下几个重要的概念和性质：1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用极限的方式表示。

记作f'(x)或dy/dx。

2. 常见函数的导数常用函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

应用数学基础上册(1-12章)全套课件

应用数学基础上册(1-12章)全套课件
(2)中的集合里， “|”或“： ”或“； ”的左边表示集合所含 元素的一般形式，右边表示集合中的元素所具有的特定性质。
例1 用列举法或描述法表示下列集合.
（1）大于 3 小于 17 的偶数； （2）不等式 x2 4 0 的整数解
解 (1)用列举法可表示为:4,6,8,10,12,14,16 用描述
如果集合所包含的元素个数为有限个，称这个集合为 有限集合；如果集合所包含的元素个数为无限多个，称这 个集合为无限集合。
例如，实数集R，有理数集Q等都是无限集合，而上面的 例子中， (1) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 都是有限集合.
二、集合的表示法
1、列举法 把某一集合的每个元素不重复、不遗漏、不 分次序地一一列举起来写在花括号 {}内表示集合的方法叫 做列举法。
Байду номын сангаас
例如,集合 1,2,3 与集合 1, 2,3, 4,5 ,由定义可知, 1, 2,3 是 1,2,3,4,5的子集, 记作1,2,3 1, 2,3, 4,5 或{1,2,3,4, 5} 1, 2,3 .
为方便起见,我们把至少含有一个元素的集合叫做非空集. 应该注意:
(1)空集“ ”与集{0}以及数“0”是三个不同概念；
(2)单元素集{ a }与单个元素 a 是两个不同的概念.{ a }表示 由 a 组成的集合，而 a 表示一个元素 a .
四、子集、真子集、集合的相等
对于两个集合 A 和B , 如果集合A的任何一个元素都是集 合B的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集.记作 A B (也可 写成A B),或 B A (B A).读作" A包含于B "或" B包含A".
习惯上，我们用大写字母 A、B、C、…表示集合，而用小写字 母a、 b、 c…表示集合的元素。 如果a 是集合 A 的元素， 记为 “ aA” ， 读作 “ a 属于 A” ； 如果 a 不是集合 A 的元素， 则记为 “ aA”(或 “a” )， 读作“ a 不属于 A” 。

应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形

应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形

记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key

应用数学基础 10-1初等函数

应用数学基础 10-1初等函数

有时又需要分清楚一个复合函数是由哪些简单函数复合而成的.
这里说的简单函数是指基本初等函数以及由它们的和、差、积、商所形成的函数.
例2 说出下列复合函数是由怎样的简单函数复合而成的:
2
(1) = cos ;
(2) = e
cos 2
;
(3) = arctan
1−
.
1+ 2
解 (1)函数 = cos2 可以看成是由简单函数 = 2 和 = cos复合而成的.
生物科学等众多领域都展示了强大威力.
从本章开始我们将进入微积分内容的学习. 微积分研究的基本对象是函数,
函数和极限是微积分的基础, 连续性是微积分中的一个基本概念.
朴素的极限和微积分思想出现很早. 例如, 早在公元前4世纪,
我国就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法. 这就是说,
一尺长的木棒, 每天取走一半, 永远也取不完;
并能用一个数学式子表示的函数, 称为初等函数.
如上面例1、例2中的各个函数, 多项式函数、有理分式函数等等,
都是初等函数.
那么称以x为自变量的函数 = [()] 为由 = ()和 = ()复合而成
的复合函数,简称复合函数,称u为中间变量.
类似地, 可以说明由三个或更多函数复合而成的复合函数.
需要说明一下, 并不是任何两个函数都能够复合成为一个复合函数的.
例如， = ln, ∈(0, + ∞) 和 = − 2 , ∈R分别是和的函数,
例1 已知函数 = ln, = , = 2 −1, 把 y 表示成 x的复合函数.
解
把 = 2 −1代入 = 中, 得 = 2 −1,
再把 = 2 −1代入 = ln中, 即得x的复合函数 = ln 2 −1.

应用数学基础

应用数学基础应用数学是一门研究数学在实际问题中的应用的学科，它不仅仅是为了解决数学问题，更是为了解决现实世界中的各种实际问题。

应用数学基础是应用数学的基石，它包含了数学中的基本概念、原理和方法，为解决实际问题提供了重要的工具和思维方式。

应用数学基础的核心内容之一是数学模型的建立和求解。

数学模型是将实际问题抽象化、简化为数学形式的表示，通过对模型的求解来获取问题的解答。

在建立数学模型时，我们需要考虑问题的背景、目标和限制条件，选择合适的数学方法和工具进行求解。

例如，在物理学中，我们可以使用微分方程来描述物体的运动状态；在经济学中，我们可以使用优化方法来寻找最优的决策方案。

另一个重要的内容是概率论和统计学。

概率论是研究随机事件发生的规律性和不确定性的数学分支，统计学是通过对数据的分析和推断来研究总体特征和个体差异的学科。

概率论和统计学可以帮助我们理解和解释实际问题中的不确定性，如风险评估、市场预测、医学诊断等。

通过概率论和统计学的方法，我们可以对实际问题进行量化分析，为决策提供科学依据。

线性代数是应用数学中的另一个重要分支。

线性代数研究向量、矩阵和线性变换的性质和运算规律，它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，我们可以使用线性代数的方法来描述和处理图像的变换和渲染；在电力系统中，我们可以使用线性代数来分析电路的稳定性和功率流动等问题。

数值计算是应用数学中的一个重要分支，它研究通过数值方法来近似求解数学问题。

在实际问题中，往往无法通过解析方法得到精确解，这时就需要借助数值计算的方法来求解。

数值计算涉及到数值逼近、插值、数值积分、数值微分等技术，它在科学计算、工程设计、金融风险评估等领域发挥着重要作用。

优化理论和方法也是应用数学中的一大重要内容。

优化理论研究如何在给定的约束条件下，找到使某一指标达到最优的决策方案。

优化问题广泛存在于各个领域，如物流路径规划、生产调度、资源分配等。

应用数学基础第二版复习题

应用数学基础第二版复习题应用数学基础第二版复习题应用数学是一门研究数学在实际问题中的应用的学科。

它涉及广泛的领域，包括物理学、工程学、经济学等。

应用数学基础是学习应用数学的重要基础课程之一。

本文将对《应用数学基础第二版》的复习题进行讨论和解答，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。

第一章：微积分基础第一章主要介绍了微积分的基本概念和方法。

复习题中涉及了导数、微分、极限等内容。

在解答这些题目时，我们需要熟练掌握导数的计算方法，理解极限的概念，并能运用微积分的基本原理解决实际问题。

第二章：微分方程第二章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。

复习题中涉及了一阶和二阶微分方程的解法，以及常微分方程的应用。

在解答这些题目时，我们需要掌握微分方程的基本解法，了解常微分方程在物理学、生物学等领域的应用，并能灵活运用所学知识解决实际问题。

第三章：多元函数微分学第三章主要介绍了多元函数的导数和微分学。

复习题中涉及了多元函数的偏导数、全微分、梯度等内容。

在解答这些题目时，我们需要理解多元函数的导数和微分的概念，熟练掌握偏导数的计算方法，并能灵活运用所学知识解决实际问题。

第四章：多元函数积分学第四章主要介绍了多元函数的积分学。

复习题中涉及了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等内容。

在解答这些题目时，我们需要熟练掌握多元函数积分的计算方法，理解积分的几何意义，并能运用所学知识解决实际问题。

第五章：级数第五章主要介绍了级数的基本概念和性质。

复习题中涉及了数项级数、幂级数、傅里叶级数等内容。

在解答这些题目时，我们需要理解级数的收敛性和敛散性，掌握级数求和的方法，并能灵活运用所学知识解决实际问题。

通过对《应用数学基础第二版》的复习题的讨论和解答，我们可以更好地理解和掌握应用数学的基本概念和方法。

同时，通过解决实际问题的例子，我们也能够更好地将所学知识应用到实际生活中。

因此，复习题的学习和解答是学习应用数学基础的重要环节，希望读者能够认真对待，并通过不断练习和思考提高自己的数学水平。

应用数学基础答案

综合作业1. (单选题) 已知空间两点,向量( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： A标准答案：A解析：无得分： 12. (单选题) 向量,则( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案： C标准答案：C解析：无得分： 13. (单选题) 函数的偏导数存在是在点可微是的( )(本题1.0分)A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件学生答案： C标准答案：B解析：无得分： 04. (单选题) 平面在轴的截距是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 05. (单选题) 已知空间两点,向量的中点( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 06. (单选题) ,( )(本题1.0分)A、B、C、D、 1学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 07. (单选题) 级数一定( )(本题1.0分)A、收敛B、发散C、条件收敛D、可能收敛可能发散学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 08. (单选题) 微分方程的阶数是( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 4D、 5学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 09. (单选题) 已知空间两点,向量的模( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 010. (单选题) 方程表示怎样的曲面( )(本题1.0分)A、柱面B、平面C、球面D、圆锥面学生答案：未答题标准答案：C解析：无得分： 011. (单选题) 函数函数在点可微是在点的偏导数存在是的( )(本题1.0分)A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 012. (单选题) 已知,则 ( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 6D、-62学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 013. (单选题) 已知空间两点,向量的中点( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：得分： 014. (单选题) ,( )(本题1.0分)A、B、C、D、 1学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 015. (单选题) 若,则级数( )(本题1.0分)A、一定收敛B、一定发散C、一定条件收敛D、可能收敛可能发散学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 016. (单选题) 微分方程的阶数是( )(本题1.0分)A、 2B、 3C、 4D、 5学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 017. (单选题) 函数是( )(本题1.0分)A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、恒等于零的函数学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 018. (单选题) 函数是定义域的( )(本题1.0分)A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无界函数学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 019. (单选题) 函数的反函数是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 020. (单选题) 设（）(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 021. (单选题) 函数的导数为( )(本题1.0分)A、 3B、C、D、学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 022. (单选题) =( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案：未答题标准答案：C解析：无得分： 023. (单选题) 若函数在某点不可导,则函数所表示的曲线在相应点的切线( )(本题1.0分)A、一定不存在B、不一定存在C、一定存在D、以上结论都不对学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 024. (单选题) 函数在点的导数是( )(本题1.0分)A、B、C、0D、不存在学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 025. (单选题) 函数是( )(本题1.0分)A、偶函数B、奇函数C、非奇非偶函数D、恒等于零的函数学生答案：未答题标准答案：A解析：无得分： 026. (单选题) 函数是定义域的( )(本题1.0分)A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无解函数学生答案：未答题标准答案：C解析：无得分： 027. (单选题) 函数的反函数是( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：D解析：无得分： 028. (单选题) 设( )(本题1.0分)A、B、C、D、学生答案：未答题标准答案：B解析：无得分： 029. (单选题) 函数的导数为( )(本题1.0分)A、 3B、C、D、学生答案：未答题标准答案：C解析：无得分： 030. (单选题) =( )(本题1.0分)A、0B、 1C、 2D、 3学生答案：未答题标准答案：C解析：无得分： 031. (多选题) 下列说法中正确的是(本题4.0分)A、若在点处连续，则在该点处的导数一定存在。

《应用数学基础》(陈冲)157-8课件 第一章 函数、极限与连续


1.1 函数的概念 2．函数的性质
3）单调性
设函数 f (x) 在区间 I 上的任意两点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在 区间 I 上为单调增加函数；反之，当 x1 x2 时， f (x1) f (x2 ) ，则称 y f (x) 在区间 I 上为单调
应用数学基础
第一章 函数、极限与连续
目录
ONTENTS
1 函数 2 函数的极限 3 无穷小量与无穷大量 4 极限的四则运算法则 5 两个重要极限 6 函数的连续性
01 函 数
1.1 函数的概念 1．函数的两个要素
➢ 函数的概念
定义 1 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数 xD ，按照 某个法则 f 总有一个确定的 y 值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，数集 D 称为这个 函数的定义域， x 称为自变量， y 称为因变量， y 的取值范围称为函数的值域，用 M 表示．
1.2 基本初等函数
（1）常数函数： y C ． （2）幂函数： y x （ 为常数）． （3）指数函数： y ax （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （4）对数函数： y loga x （ a 0 ， a 1， a 为常数）． （5）三角函数： y sin x ， y cos x ， y tan x ， y cot x ， y sec x ， y csc x ． （6）反三角函数： y arcsin x ， y arccos x ， y arctan x ， y arccot x ． 这六种函数统称为基本初等函数．这些函数的定义、图像和性质在中学已经学过，今后会 经常用到．
．
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《应用数学基础》试题一、选择题(10分)x 6•函数f(x)的定义域是 ___________ .J2x x 24•已知f(x)是2x 的一个原函数，且f(0)=—，则f(x)=( In 2C.2x ln2+C(C 是任意常数)D.2x ln2x 12.不定积分——dx .4 x 2---------------2x 214.设函数 f(x) cost 2dt ,则 f ' (2)=.0 ' ’ -------------------------------------------------------------17.求曲线y=e x +xcos3x 在点(0,1)处的切线方程函数f(x)= x 2 +ln(3-x)的定义域是(7 .函数f(x)= _1 ------ 的间断点是 __________x 2 5x 6 12.定积分V4 x 2dx= .2 4.对于函数f(x),下列命题正确的是()A .若X 0为极值点，则f (X 。

) 0B .若f (X 。

)0 ,则X 0为极值点C .若X 。

为极值点，则f (X 。

) 0A. 2x In2 C(C 是任意常数) B Z In 218.求极限 xsinxx im 0尹2CA . C. [-3,2] [-2,3)B . [-3,2) D . [-2,3]24. (1 )设 y y(x)由方程 x 33xy y 31确定，求业及dydx dx13.极限 l im 0Xsi nt 2dt14.无穷限反常积分2xdx= ________D •若x o为极值点且f(X。

)存在，则f(X。

)0 &设函数y e tanx，则y9.曲线y=x2+1在点(1, 2)处的切线方程为10.函数f (x) x3x的单调增加区间为19•计算定积分I 5x-, dx.2.x 1.1 x2 121 .设函数f (x)2x1 sin ax处连续.1.函数f(x)=arcsin 的定义域为(0 ,试确定常数a和b的值，使得f (x)在x=0A.[-1 , 1] C. (-1, 1)B.[-1 , 3] D. (-1 , 3)3.函数f(x)x33x1在x=1处的导数为1A.1 C.3B.2D.不存在6.设f(x) ,g(x)=x2+1,则f[g(x)]=.arcta nx7. lim 2 —x x2 116.求极限limxx x cos x 0x sin x19.已知函数f(x)满足dx e x C，求f (x)dx . x25.证明：当x>0 时,1+ 1X -1 x .2tan 2x 2.极限limx 0 6x A. 024. x=0 是函数 f(x)=e x x 的( )A .零点 C.极值点D.非极值点6. _____________________________ 已知 f(x+1)=x 2，贝U f(x)= _______________________________ .10函数f(x)=2x 3+3x 2-12x+1的单调减少区间为 ___________ .11 .函数f( x)= x 3-3 x 的极小值为 ________ .13. __________________________________________ 设 f/ (x)=cos x-2x 且 f( 0)=2，贝U f(x)= _________________五、应用题(本大题 9分)24. 设区域D 由曲线y=e x , y=x 2与直线x=0, x=1围成.(1 )求D 的面积A ;(2 )求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .28•极限 lim(1 2x)°=.x 09•曲线y=x+ln x 在点(1, 1 )处的切线方程为 ____________x2213.设 f(x)连续且 0 f(t)dt x cos x ，贝y f(x)= ___________219.计算定积分 2 sin . 2xdx .1 x20. 求不定积分2dx.1 x21. 求函数f(x)=x 3-6x 2+9x-4在闭区间［0 , 2］上的最大值和最小值3V x7.极限 lim 1 —= x 03 8. 当x 0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则11. 设 y=x sin x ,贝U y = __ 12. 曲线y=x 3+3x 2-1的拐点为17.求极限x im 022xe sin x 1C.D. 3B.驻点 17.求极限x lim — x 0 1 xe 2 cosxa= __________9.极限limxsin x x 2 124.设曲线xy=1与直线y=2, x=3所围成的平面区域为 D （如图所示） （1） D 的面积；（2） D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 .1/ 1x cos x 4. 6 dx (11 sin x A.—2 C.1 7. lim8. lim x cost xx 0x'1 x 19. limx 0 x 1 13.2dx2(x 1)16•求极限x 叫丁 2. 当X T +8时， F 列变量中为无穷大量的是（)A .1 xB. l n( 1+x)C. si nxD . e -x4. 设f （x ）可微，则d(e f (x))=()A. f ' (x)dxB. e f(x)dxC. f ‘(艰 dxD .f ‘(x )se 18.求不定积分 22.计算定积分 B. n D.0.求x 1 x 0 7•设函数f （X ）= x 2,，x 0，则极限即（X ） --------------------- 1 1 9 .不定积分牙cos dx x xd 2x t10. — ( si n — dt)= dx 02 — 1 /x 416. 求极限limx 5x 518.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y （x ）的导数 少. dx24.从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25. 求由曲线y=x 3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积当 X T 0 时，x In (x+1)是(F 列反常积分中收敛的是（11.设由参数方程x=-,y 21 t 确定的函数为y y （x ）,则巴=dxx 1求 y'.17.设 y=Rx(x 3)'做成一个无盖的盒A . 与x sin x 等阶的无穷小B. x sin x 同阶非等价的无穷小C. 比x sin x 高阶的无穷小D.x sin x 低阶的无穷小A .1 dx 3 x2 B.e x dxC.1dx xln xD.dy=17.设 y 1 x 2In cosx e 2，求 y .18.设由参数方程T , 1 t,确定的函数为 y(x),19.求不定积分 (1 121 .计算定积分xe 0dx.x)(2 x)x dx.A. 2, 1 C. 1,1 3. lim (1 -)x 1 ( )x x A.1 C.e+14. 下列反常积分中发散的是( )A. e xdx0 C.-—dx exln x9. 设 y=lnsinx 侧 y ___________ . x 10. 曲线y =e 2在x = 0处的切线斜率是11. _________________________________________________ 若 f(x)dx F (x) C,贝U e x f (e x )dx ____________________________________________________ 0dt12. ----------------------------------------------------------- 设(x) x ,1 t 3,则(x)213. ____________________________ 曲线y =e x 的拐点为 . 17. 设方程xy-e x +e y =0确定了隐函数y = y(x)，求y (0). 18.函数 f (x)= 3xv 1 3x ,x',在x =1处是否连续？是否可导？ 2x 1, x 1 21.求不定积分 x dx.1 e22.计算定积分dx 2x 22x 2 '1 1 25•证明 x m (1 x)n dx x n (1 x)mdx.oo1•下列函数中是偶函数的为( )A.y =x 4+x 5B.y = x 5 xC.y =e x -e -xD.y = xsin x1 x 22. 设函数y = f(x)的定义域为 0,1 ,则f (x+2)的定义域为(B. 2,1 D. 0,1B.e D.1 B.2 dx1x’ 1 D. 2 dx1 x 225.设f (x)是连续函数，证明xf (x)dx xf (x) f (x) C.1 •下列函数中是奇函数的为( )2A. y=ln(x +1)-secxC.1y=l n1B. y= x3 +11 x, x 0, D.y=1 x, x 0.&设f(x)是可导函数，y=f(仮),则dy= __________________ .dx9 .设f(x) =ln(1+x),则f (0) ________ .10 .设由参数方程x=a(t-sint),y=a(1-cost)(其中a>0为常数)确定的函数为y y(x),则dydx1 213.不定积分一^cos—dx ___________x x16.求极限lim ( n2 2n 1 n2 n 1).e17. 设y=p ln3,求y .x1 dy18.求由方程x-y+ siny=0所确定的隐函数y=y(x)的一阶导数.2 dx21 .求不定积分ln xdx.0ln(te t)dt1 cosxA.2x-1 (X T 0)sin xB. (X T 0)x1C. 2 (X T 1)(x 1)24.下列反常积分收敛的是()D.2-X-1(X T 1)22.计算极限limx 02.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A. 2x dxC. xdx0 B. e x dxD.dx1x -------- dx = 1..2 x 2 设方程y 2-2xy+9=0确定了隐函数y=y(x),求®. dxnlim xsin =x14•无穷限反常积分 ________exln x22 .计算定积分sin 3 x sin 5 xdx.12.19.20. 计算定积分1-dx. x21. 求由参数方程t2，所确定的函数y=y(x)的一阶导数列及二阶导数 仝y2e t dx dx 222. 讨论函数 lim xsin — 2.x0 xy=/-6x+8的单调性.A.0B.1C *D 不存在也不是a13.设 x ln(1 t2),,则 y t arcta ntdy =dx14. 25.丄石dx 1，则常数k=____ 1 x 2求由直线y=x 与抛物线y 2=x 所围成的平面图形的面积 若无穷限反常积分11. 已知x 7(t y 7(1Sint)，则虬cost), dx12. 如果 f (x)dx xln x C ，贝U f(x)14卯0xcost 2dtsin x, x x —,20.已知f(x) 2求f(x)dx.x —,—x , 22 225•求由曲线xy=1与直线y=2,x=3所围成的平面图形的面积x 22•设f(x) 2 ,g(x) x ,则g[f(x)]=( )2A.2xB.x 2xC.4D.x22x3•下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是()A.2x 1 (x 0)B.(x 0)xC.—(x 1)D.2 x 1 (x 1)(x 1)24•设曲线y x2x 1在点M的切线的斜率为3,则点M的坐标为() A. (0,1 )1 .设函数y=f (x)的定义域为［0,A .[0, 1]C .[-2, 1]2.当X T 0时，下面无穷小量中与A. 3xC. ln (1+x2)6. lim (1 -)2x 3____________ .X x4 121 .计算定积分 -------- dx .1 1 J xx22 .设y=e 2 cos3x,求y .2•若f』)(—)2，则f(x)=(x xA.(宀 2 x 1C.(1 + x)211・设f(x。