第二届全国大学生数学竞赛预赛试题及答案(非数学类)

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案（非数学类，2011）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。

）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭；解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：0202000322sin 1sin 1ln lim11cos lim1cos 201sin cos 12limlimlim 11333222sin lim x x x x x xx x x xx xx x x xx x x x x eex ee e e→→→→→-⎛⎫ ⎪⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭====（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。

全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕2021年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满意22()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么=22d d xy.二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并探讨)(x g '在0=x 处的连续性.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、〔15分〕)(x u n 满意1()()1,2,n xnnu x u x xe n -'=+=，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、〔10分〕求-→1x 时，及∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2021年 第二届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔25分，每题5分〕〔1〕设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞〔2〕求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 〔3〕设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.〔4〕设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. 〔5〕求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩及直线2213:421x y z l ---==--的间隔 .二、〔15分〕设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、〔15分〕设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=及22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、〔15分〕设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：〔1〕当1α>时，级数1n n na S α+∞=∑收敛；〔2〕当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、〔15分〕设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，〔其中2221)αβγ++=的直线，匀称椭球2222221x y z a b c++≤〔其中0c b a <<<，密度为1〕绕l 旋转.〔1〕求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的随意光滑的简洁闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx yϕ+=+⎰的值为常数. 〔1〕设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；〔2〕求函数()x ϕ；〔3〕设C 是围绕原点的光滑简洁正向闭曲线，求422d ()d Cxy x x yx y ϕ++⎰.2021年 第三届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、计算以下各题〔此题共3小题，每题各5分，共15分〕〔1〕求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕.求111lim (12)n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 〔3〕()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、〔此题10分〕求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、〔此题15分〕设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 四、〔此题17分〕设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑及2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点间隔的最大值和最小值. 五、〔此题16分〕S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分〔0z ≥〕〔取上侧〕，∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的间隔 ，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： 〔1〕()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；〔2〕()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、〔此题12分〕设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑肯定收敛.七、〔此题15分〕是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满意(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰请说明理由.2021年 第四届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、〔本大题共5小题，每题6分，共30分〕解答以下各题〔要求写出重要步骤〕. 〔1〕求极限21lim(!)n n n →∞. 〔2〕求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. 〔3〕函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满意方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 〔4〕设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面及途径无关，求(,)u x y .〔5〕求极限1limx x x t +. 二、〔此题10分〕计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、〔此题10分〕求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、〔此题12分〕设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、〔此题12分〕求最小实数C ，使得满意10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、〔此题12分〕设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、〔此题14分〕设1n n a ∞=∑及1n n b ∞=∑为正项级数，证明：〔1〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，那么级数1n n a ∞=∑收敛； 〔2〕假设()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，那么级数1n n a ∞=∑发散. 2021年 第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、解答以下各题〔每题6分，共24分，要求写出重要步骤〕sin d xx x+∞⎰不是肯定收敛的. ()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线及曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、〔总分值12分〕计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰. 三、〔总分值12分〕设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、〔总分值12分〕设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、〔总分值14分〕设∑()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、〔总分值14分〕设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=lim ()a r I r →+∞. 七、〔总分值14分〕推断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性，假设收敛，求其和.一、填空题〔共有5小题，每题6分，共30分〕1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是 .22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 那么及L 平行的S 的切平面方程是 .()y y x =由方程21sin d 4y x t x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0d d x y x== .1(1)!nn k kx k ==+∑，那么=∞→n n x lim . 130()lim 1x x f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么=→20)(lim x x f x . 二、〔此题12分〕设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、〔此题14分〕设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对随意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、〔此题14分〕〔1〕设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；〔2〕设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分 五、〔此题15分〕设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、〔此题15分〕设2222212n n n n A n n n n =++++++，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.一、填空题〔每题6分，共5小题，总分值30分〕〔1〕极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 〔2〕设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠那么z z x y xy∂∂+=∂∂ .〔3〕曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面及曲面所围区域的体积是 . 〔4〕函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .〔5〕设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，那么()u x 的初等函数表达式是 .二、〔12分〕设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、〔12分〕设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，那么()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、〔14分〕求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、〔16分〕设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰.试证：〔1〕[]00,1x ∃∈使()04f x >； 〔2〕[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、〔16分〕设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 假设()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2021年 第八届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，总分值30分〕 1、假设()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，那么()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、假设()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，假设z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、〔14分〕设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、〔14分〕某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2n n k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、〔14分〕设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、〔14分〕设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2021年 第九届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、1. 可导函数f (x )满意⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，那么()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 那么21xx yy w w c -. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，那么240(sin )lim x f x x→. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ，那么三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、〔此题总分值14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数假设对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的微小值.三、(此题总分值14分) 设曲线Γ为在上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(此题总分值15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，假设对随意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，那么,()a b a b ∀<，2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(此题总分值15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。

22,x y +x x 2t te2111))[n n s s s s s14解：（简要过程）（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

的值。

将f(x)二阶泰勒展开二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2f f x f f x x x =++因为二阶倒数大于0，所以，所以lim ()x f x ®+¥=+¥，lim ()x f x ®-¥=-¥证明完成。

证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t y ì=+>-í=î所确定，其中()t y 具有二阶导数，曲线()y t y =与22132t u y e du e -=+ò在1t =出相切，求函数()t y 。

解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t y =与22132t u y e du e-=+ò在1t =出相切得出相切得3(1)2ey =，'2(1)e y ='//()22dy dy dt dx dx dt t ty ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t y y ==++-=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=å证明：证明：（1）当1a >时，级数1nn na S a +¥=å收敛；收敛； （2）当1a £且()ns n ®¥®¥时，级数1nn na S a +¥=å发散。

广东第二师范学院第二届大学生数学竞赛（非数学专业组）试卷（ A ）卷姓名学号 系级班别试题 一 二 三 四 五 总分 分值 100分 得分评卷教师（签名）考试有关事项说明考试日期：2013年9月14日 考试用时：150分钟考试地点：花都校区教学楼、海珠校区综合楼 考试形式：闭卷一、填空题（每题4分，共28分） 分值 28 得分1．0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.2．设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .3．设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则=x dx dy= . 4．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是______________.5．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.6．设函数()f x 在(0,)+∞连续，对任意正数,a b ，积分()abaf x dx ⎰与a 无关，且(1)1f =，则()f x = ____.7．设椭圆22:143x y L +=的周长为a ，则22(234)Lxy x y ds ++=⎰ . 二、计算题（每题8分,共64分） 分值 64 得分1．求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.2.若)0()1ln(sin lim 30≠=+-⎰→c c dtt t xax x b x ，试确定常数c b a ,,的值．3.求二重积分max(,1)d d Dxy x y ⎰⎰，其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.4．设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31，试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.5.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，求22d ydx.6. 已知连续函数)(x f 满足0()()()xf x x f t x t dt =+-⎰，判定级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性，并求极限02()lim 11xx f t dtx +→+-⎰.7. 求级数21(1)(1)nn x x n n ∞=+++∑的收敛域8．计算曲线积分22(1)(1)L ydx x dyI x y --=-+⎰ ，其中L 为椭圆22194x y +=的正向.三、证明题（每小题8分，共8分）1. 设),(y x z z =由方程(,)0z zF x y y x++=给出，且,F z 都可微， 证明：z zx y z xy x y∂∂+=-∂∂．分值 8得分。

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案（非数学类，2011）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。

）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭；解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：0202000322sin 1sin 1ln lim11cos lim1cos 201sin cos 12limlimlim 11333222sin lim x x x x x xx x x xx xx x x xx x x x x eex ee e e→→→→→-⎛⎫ ⎪⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭====（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

第二届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2011年3月）一、（本小题3分，每小题各5分，共15分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.（1）11cos 0sin lim x x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭ （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d y x 二、（本题10分）求方程(24)d (1)d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数，且(0),(0),(0)f f f '''均不为零. 证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得12320()(2)(3)(0)lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑和2∑的交线. 求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算（1）d (,,)S z S x y z ρ⎰⎰； （2）(3)d Sz x y z S λμν++⎰⎰. 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<.任取实数0a ，定义1ln ()n n a f a -=，1,2,n = .证明：11()n n n aa ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[0,2]上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，20()d 1f x x ≤⎰？请说明理由.。

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足22()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy.二、（5分）求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(xf 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且ne u n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （3）设0s >，求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g gx y∂∂+∂∂. （5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离.二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+， 其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ.四、（15分）设10,nn n k k a S a =>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n na S α+∞=∑发散.五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c ++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值. 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0Lxy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx yϕ+=+⎰Ñ； （2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x yx y ϕ++⎰Ñ.2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d yx.二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解. 三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算： （1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim(!)n n n →∞. （2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-. （3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂.（4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d L x y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y .（5）求极限1lim x x x t +. 二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有10f dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛； （2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散.2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值. 4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim 0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m ≤⎰.五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I xx y z y y z x z z x y∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞. 七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和.2014年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x tπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x== .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim . 5.已知13()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n n A n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y yx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z z x y xy∂∂+=∂∂ .（3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 . （4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 .（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()20xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是 .二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导. 四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()11000,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >； （2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若z z x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2xf x ex =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()2300d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M xy z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx f n n →∞=⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()10d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用级数理论证明()f x 为常数.2017年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x .2． 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c为非零常数. 则21xx yy w w c-. 4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰. 6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰.二、（本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值.三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2ba b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。