高中数学人教B版第3章3.3函数的应用(一)学案(2)

1.3.2函数极值与导数

【学习目标】

1.理解极大值、极小值概念；

2.能够运用判别极大值、极小值方法来求函数极值；

3.掌握求可导函数极值步骤.

【新知自学】

知识回顾：

1.利用导数判断函数单调性方法：

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么y=f(x)为这个区间内 ；如果在这个区间内0y，那么y=f(x)为这个区间内 .

新知梳理：

1. 极值定义：

（1）极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有点，都有 ，就说f(x0)是函数f(x)一个极大值，记作 ， x0是极大值点.

（2）极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近所有点，都有 .就说f(x0)是函数f(x)一个极小值，记作 ， x0是极小值点.

（3） 与 统称为极值

2.判别f(x0)是极大、极小值方法:

0x满足0)(0xf，且在0x两侧)(xf导数异号，则0x是)(xf极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“ ”，则0x是)(xf极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“ ”，则0x是)(xf极小值点，)(0xf是极小值.

感悟：

（1）极值点是自变量值，极值指是函数值；

（2）极值是一个局部概念定义，极值只是某个点函数值与它附近点函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小．

（3）函数极值不是惟一，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．

（4）极大值与极小值之间无确定大小关系，即一个函数极大值未必大于极小值.

...

... 3.3.幂函数

[学习目标].1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x21的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.

[知识链接]

函数y＝x，y＝x2，y＝1x(x≠0)的图象和性质

函数 图象 定义域 值域 单调性 奇偶性

y＝x

R R 增 奇

y＝x2

R

[0，＋∞) 在(－∞，0)上减

偶 在[0，＋∞)上增

y＝1x(x≠0)

{x|x≠0} {y|y≠0} 在(－∞，0)上减

奇

在(0，＋∞)上减

[预习导引]

1.幂函数的概念

函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.

2.幂函数的图象与性质

幂函数

y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x21 y＝x－1

图象

定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 x∈[0，＋∞]增x∈(－∞，0]减 增 增 x∈(0，＋∞)减x∈(－∞，0)减

定点 (1,1)

...

... 要点一.幂函数的概念

例1.函数f(x)＝(m2－m－1)x23mm是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.

解.根据幂函数定义得，

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，

当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.

∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.

规律方法.1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.

2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.

学习K12教育资料

学习K12教育资料 3.2.3 指数函数与对数函数的关系

[学习目标] 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.

[知识链接]

在同一坐标中，作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，两图象关于直线y＝x对称.

[预习导引]

1.反函数

(1)互为反函数的概念

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.

(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用

y＝f－1(x)表示.

2.指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.

(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象关于y＝x对称.

要点一 求反函数

例1 写出下列函数的反函数：

(1)y＝lg x；(2)y＝log31x；(3)y＝(2)x；(4)y＝23x.

解 (1)y＝lg x的底数为10，

它的反函数为指数函数y＝10x.

(2)y＝log31x的底数为13，它的反函数为指数函数

y＝13x. 学习K12教育资料

学习K12教育资料 (3)y＝(2)x的底数为2，它的反函数为对数函数

y＝log2x(x＞0).

(4)y＝23x的底数为23，它的反函数为对数函数

y＝log23x(x＞0).

规律方法 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.

跟踪演练1 求下列函数的反函数：

(1)y＝log2x；(2)y＝13x；(3)y＝5x＋1.

解 (1)由y＝log2x，得y∈R，x＝2y，

∴f－1(x)＝2x，x∈R.

(2)由y＝13x，得x＝log13y且y＞0.

∴f－1(x)＝log31x(x＞0).

排列、组合、二项式定理1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项知识网考纲导高考导组排列组两个计数原理 排排列概排列数组合概组合数组合数应通项公式 二项式定理

二项式系数应

式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．

第1课时 两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A变式训练1：在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A、25个 B、36个 C、100个 D、225个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626CC个， 故选D。例2. (1) 将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？(2) 设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？典型例基础过