高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.4 函数的应用(Ⅱ)教案 新人教B版新人教B版高一数学教案

3.4 函数的应用（Ⅱ）

整体设计

教学分析

教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知识．

三维目标

掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．

重点难点

教学重点：建立函数模型．

教学难点：建立函数模型．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(事例导入)

一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？

解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105

m，g(20)＝2 m.

也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．

思路2.(直接导入)

请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．

推进新课

新知探究

提出问题

①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.

②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.

③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.

④分别用表格、图象表示上述函数.

⑤指出它们属于哪种函数模型.

⑥讨论它们的单调性.

⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.

⑧另外还有哪种函数模型.

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

①总价等于单价与数量的积．

②面积等于边长的平方．

③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….

④列表画出函数图象． ⑤引导学生回忆学过的函数模型．

⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性．

⑦让学生自己比较并体会．

⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．

讨论结果：①y＝x.

②y＝x2.

③y＝(1＋5%)x，

④如下表：

x 1 2 3 4 5 6

y＝x 1 2 3 4 5 6

y＝x2 1 4 9 16 25 36

y＝(1＋5%)x 1.05 1.10 1.16 1.22 1.28

1.34

它们的图象分别为下图甲、乙、丙．

甲

乙

丙

⑤它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．

⑥从表格和图象得出它们都为增函数．

⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．

⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．

函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．

应用示例

例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？

解：设x年后人口总数为14亿．依题意，得12·(1＋0.012 5)x＝14，

即(1＋0.012 5)x＝1412.

两边取对数，得xlg1.012 5＝lg14－lg12，所以x＝lg14－lg12lg1.012 5≈12.4.

所以13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．

点评：增长率问题通常与指数函数有关.

变式训练

光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.

(1)写出y关于x的函数关系式；

(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg3≈0.477 1)

解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k；

光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k；

光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k； 光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.

∴y＝0.9xk(x∈N＋)．

(2)由题意，知0.9xk＜k3，

∴0.9x＜13.两边取对数，xlg0.9＜lg13.

∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.

∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xmin＝11.

∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下.

例2有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?

解：已知本金为a元：

1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；

2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；

3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；

……

x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.

将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022

55.

由计算器算得y＝1 117.68(元)．

所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元.

变式训练

某地现有森林面积为1 000 hm2，每年增长5%，经过x(x∈N＋)年，森林面积为y hm2，写出x、y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．

解：y与x之间的函数关系式为y＝1 000(1＋5%)x(x∈N＋)，

经过5年，森林的面积为1 000(1＋5%)5＝1 276.28(hm2).

例3一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减：

(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．(精确到0.1)．

解：(1)最初的质量为500 g，

经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.91，

经过2年，ω＝500×0.92，

…

由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.

(2)解方程 500×0.9t＝250.

0．9t＝0.5，

lg0.9t＝lg0.5，

tlg0.9＝lg0.5， t＝lg0.5lg0.9≈6.6.

所以这种放射性元素的半衰期约为6.6年.

变式训练

抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽( )

A．6次 B．7次 C．8次 D．9次

解析：设至少要抽x次，则(1－60%)x＜0.1100.

解得x＞7，即最少要抽8次．

答案：C

知能训练

1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高∕cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重∕kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．

(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y＝a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y

kg与身高x cm的函数关系．

解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(下图甲)．根据点的分布特征，可以考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm关系的函数模型．

如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，

代入y＝a·bx，得 7.9＝a·b70，47.25＝a·b160.

用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．

(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，

由计算器算得y≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．

甲 乙

2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．

活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结． 解：设Nt表示t世代种群的大小，Nt＋1表示t＋1世代种群的大小，

则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….

由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：Nt＋1＝R0·Nt，其中R0为世代净繁殖率．

如果种群的R0速率年复一年地增长，则

N1＝R0N0，

N2＝R0N1＝R02N0，

N3＝R0N2＝R30N0，

…

Nt＝Rt0N0.

R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．

拓展提升

某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如下图所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；

③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；

⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

哪些说法是正确的？

解：①说法正确．

∵关系为指数函数，∴可设y＝ax(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.

∴a＝2，即底数为2.

②∵25＝32＞30，∴说法正确．

③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．

④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．

⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．

课堂小结

活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．

引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．

小结：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．