一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.
(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA
=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;
(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2
3
DG,PO=5,求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.
【解析】
【分析】
(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出
EH∥DG,求出OM=1
2
AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=
2
3
DG,DG=3a,
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=
1
2
MO
BM
=,tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】
(1)证明:连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∵AD⊥PC,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∵OC=OA,
∴∠PAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠PAC;
(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,
∵FG∥AD,
∴∠FGD+∠D=180°,
∵∠D=90°,
∴∠FGD=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BEA=90°,
∴∠BED=90°,
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,
∴四边形HGDE是矩形,
∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,
∵BF AF
=,
∴∠HEF=∠FEA=1
2
∠BEA=190
2
o
?=45°,
∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,
∴∠HEF=∠HFE,
∴FH=EH,
∴FG=FH+GH=DE+DG;
(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,
∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,
∴△FHO≌△EHO,
∴∠FHO=∠EHO=45°,
∵四边形GHED是矩形,
∴EH∥DG,
∴∠OMH=∠OCP=90°,
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,
∴HM=MO,
∵OM⊥BE,
∴BM=ME,
∴OM=1
2 AE,
设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=2
3
DG,DG=3a,
∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,
∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,
∴ME=CD=2a,BM=2a,
在Rt△BOM中,tan∠MBO=
1
22 MO a
BM a
==,
∵EH∥DP,
∴∠P=∠MBO,
tanP=
1
2 CO
PO
=,
设OC=k,则PC=2k,
在Rt△POC中,,
解得:
在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,
a=1,
∴HE=3a=3,
在Rt△HFE中,∠HEF=45°,
∴
.
【点睛】
考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
2.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D在BC上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.
(1)求证:AC=CE;
(2)求证:BC2﹣AC2=AB?AC;(3)已知⊙O的半径为3.
①若AB
AC
=
5
3
,求BC的长;
②当AB
AC
为何值时,AB?AC的值最大?
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;②3 2
【解析】
分析:(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,据此得证;
(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则
CF=CG=AC=CE=CD,证△BEF∽△BGA得BE BG
BF BA
=,即BF?BG=BE?AB,将BF=BC-CF=BC-
AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;
(3)①设AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=AB?AC知6k,连接ED交BC于点M,
Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=1
2
6k求得22
CD CM
-3,可知OM=OD-
3,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②设OM=d,则MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB?AC=B C2-AC2,据此得出关于d的二次函数,利用二次函数的性质可得答案.详解:(1)∵四边形EBDC为菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四边形ABDC是圆的内接四边形,
∴∠A+∠D=180°,
又∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠A=∠AEC,
∴AC=CE;
(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则
CF=CG,
由(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,
∴∠G+∠AEF=180°,
又∵∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴BE BG
BF BA
=,即BF?BG=BE?AB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB?AC,即BC2﹣AC2=AB?AC;(3)设AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=AB?AC,
∴6k,
连接ED交BC于点M,
∵四边形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
则点E、O、M、D共线,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=1
2
6k,
∴223
CD CM k
-=,
∴OM=OD﹣DM=33k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(33)2+6k)2=32,
解得:23
k=0(舍),
∴62;
②设OM=d,则MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由(2)得AB?AC=BC2﹣AC2
=﹣4d 2+6d+18
=﹣4(d ﹣34
)2+814,
∴当d=34,即OM=34
时,AB?AC 最大,最大值为81
4,
∴DC 2=272
,
∴AC=DC=36
, ∴AB=
96
,此时32AB AC =. 点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.
3.如图,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径.∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F .
(1)求证:DP ∥AB ;
(2)若AC=6,BC=8,求线段PD 的长. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】
(1)连接OD ,由AB 为⊙O 的直径,根据圆周角定理得∠ACB=90°,再由
∠ACD=∠BCD=45°,则∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB 为等腰直角三角形,所以DO ⊥AB ,根据切线的性质得OD ⊥PD ,于是可得到DP ∥AB .
(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于△DAB 为等腰直角三角形,可得到
AD 5222
=
==△ACE 为等腰直角三角形,得到AE CE 3222
==
==,在Rt △AED 中利用勾股定理计算出DE=2,则CD=2,易证得∴△PDA ∽△PCD ,得到
PD PA AD 52
PC PD CD 72
===
,所以PA=57PD ,
PC=7
5
PD,然后利用PC=PA+AC可计算出PD.
【详解】
解:(1)证明:如图,连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD=45°.
∴∠DAB=∠ABD=45°.∴△DAB为等腰直角三角形.
∴DO⊥AB.
∵PD为⊙O的切线,∴OD⊥PD.
∴DP∥AB.
(2)在Rt△ACB中,,
∵△DAB为等腰直角三角形,∴.
∵AE⊥CD,∴△ACE为等腰直角三角形.∴.在Rt△AED中,,
∴.
∵AB∥PD,∴∠PDA=∠DAB=45°.∴∠PAD=∠PCD.
又∵∠DPA=∠CPD,∴△PDA∽△PCD.∴.
∴PA=7
5PD,PC=
5
7
PD.
又∵PC=PA+AC,∴7
5
PD+6=
5
7
PD,解得PD=.
4.在O中,AB为直径,C为O上一点.
(Ⅰ)如图①,过点C 作
O 的切线,与AB 的延长线相交于点P ,若28CAB ∠=?,求
P ∠的大小;
(Ⅱ)如图②,D 为弧AC 的中点,连接OD 交AC 于点E ,连接DC 并延长,与AB 的延长线相交于点P ,若12CAB ∠=?,求P ∠的大小. 【答案】(1)∠P =34°;(2)∠P =27° 【解析】 【分析】
(1)首先连接OC ,由OA=OC ,即可求得∠A 的度数,然后由圆周角定理,求得∠POC 的度数,继而求得答案;
(2)因为D 为弧AC 的中点,OD 为半径,所以OD ⊥AC ,继而求得答案. 【详解】 (1)连接OC , ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA =28°, ∴∠POC =56°, ∵CP 是⊙O 的切线, ∴∠OCP =90°, ∴∠P =34°;
(2)∵D 为弧AC 的中点,OD 为半径, ∴OD ⊥AC , ∵∠CAB =12°, ∴∠AOE =78°, ∴∠DCA =39°, ∵∠P =∠DCA ﹣∠CAB , ∴∠P =27°.
【点睛】
本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
5.如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,CD 是⊙O 的切线,AD ⊥CD 于点D ,E 是AB 延长线上一点,CE 交⊙O 于点F ,连接OC 、AC . (1)求证:AC 平分∠DAO .
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°
①求∠OCE的度数;
②若⊙O的半径为22,求线段EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①∠OCE=45°;②EF =23
【解析】
【试题分析】(1)根据直线与⊙O相切的性质,得OC⊥CD.
又因为AD⊥CD,根据同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线也平行,得:AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA,根据等边对等角,得∠OAC=∠OCA.等量代换得:
∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得:AC平分∠DAO.
(2)①因为 AD//OC,∠DAO=105°,根据两直线平行,同位角相等得,
中,∠E=30°,利用内角和定理,得:∠OCE=45°.
∠EOC=∠DAO=105°,在OCE
②作OG⊥CE于点G,根据垂径定理可得FG=CG,因为OC=2,∠OCE=45°.等腰直角三
2倍,得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中,∠E=30°,得GE=23
则EF=GE-FG=23
【试题解析】
(1)∵直线与⊙O相切,∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD,∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
∴AC平分∠DAO.
(2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG
∵OC=2∠OCE=45°.∴CG=OG=2.
∴FG=2.
∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=3
∴EF=GE-FG=23
【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目,涉及到圆的切线的性质,平行线的性质及判定,三角形内角和,垂径定理,难度为中等.
6.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.
(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2) 求证:∠ACF=90°;
(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.
图1 图2
【答案】(1)BE="FH" ;理由见解析
(2)证明见解析
(3)=2π
【解析】
试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH
(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH 为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明
(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长
试题解析:(1)BE=FH.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°,
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF(SAS)
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH ,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH" ∴CH=FH
∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45° ∵AC 是正方形对角线,∴ ∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
(3)∵AE=EF ,∴△AEF 是等腰直角三角形
△AEF 外接圆的圆心在斜边AF 的中点上.设该中点为O .连结EO 得∠AOE=90°
过E 作EN ⊥AC 于点N
Rt △ENC 中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=
Rt △ENA 中,EN =
又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)
∴∠EAC=30° ∴AE=
Rt △AFE 中,AE=
= EF ,∴AF=8
AE 所在的圆O 半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·(90°÷360°)=2π
考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数
7.如图,AB 为
O 的直径,C 、D 为O 上异于A 、B 的两点,连接CD ,过点C 作
CE DB ⊥,交CD 的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
(1)连接AC 、AD ,求证:180DAC ACF ∠+∠=?. (2)若2ABD BDC ∠=∠. ①求证:CF 是
O 的切线.
②当6BD =,3
tan 4
F =
时,求CF 的长. 【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;② 203
CF =
.
【解析】
【分析】
(1)根据圆周角定理证得∠ADB=90°,即AD⊥BD,由CE⊥DB证得AD∥CF,根据平行线的性质即可证得结论;
(2)①连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1,由已知
∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC∥DB,再由CE⊥DB,得到OC⊥CF,根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线;
②由CF∥AD,证出∠BAD=∠F,得出tan∠BAD=tan∠F=BD
AD
=
3
4
,求出AD=
4
3
BD=8,利
用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=OC
CF
=
3
4
,即可求出CF.
【详解】
解:(1)AB是O的直径,且D为O上一点,90
ADB
∴∠=?,
CE DB
⊥,
90
DEC
∴∠=?,
//
CF AD
∴,
180
DAC ACF
∴∠+∠=?.
(2)①如图,连接OC.
OA OC
=,12
∴∠=∠.
312
∠=∠+∠,
321
∴∠=∠.
42BDC
∠=∠,1
BDC
∠=∠,
421
∴∠=∠,
43
∴∠=∠,
//
OC DB
∴.
CE DB
⊥,
OC CF
∴⊥.
又OC为O的半径,
CF
∴为O的切线.
②由(1)知//
CF AD,
BAD F ∴∠=∠, 3tan tan 4
BAD F ∴∠==, 3
4
BD AD ∴
=. 6BD =
4
83
AD BD ∴=
=, 226810AB ∴=+=,5OB OC ==.
OC CF ⊥, 90OCF ∴∠=?,
3
tan 4OC F CF ∴==,
解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.
8.在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和图形W ,如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点,那么称点P 独立于图形W .
(1)如图1,已知点A (-2,0),以原点O 为圆心,OA 长为半径画弧交x 轴正半轴于点 B .在P 1(0,4),P 2(0,1),P 3(0,-3),P 4(4,0)这四个点中,独立于AB 的点是 ;
(2)如图2,已知点C (-3,0),D (0,3),E (3,0),点P 是直线l :y=2x+8上的一个动点.若点P 独立于折线CD-DE ,求点P 的横坐标x p 的取值范围;
(3)如图3,⊙H 是以点H (0,4)为圆心,半径为1的圆.点T (0,t )在y 轴上且t >-3,以点T 为中心的正方形KLMN 的顶点K 的坐标为(0,t+3),将正方形KLMN 在x 轴及
x轴上方的部分记为图形W.若⊙H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.
【答案】(1)P2,P3;(2)x P<-5或x P>-5
3
.(3)-3
<t<1-2或1+2<t<7-2.【解析】
【分析】
(1)根据点P独立于图形W的定义即可判断;
(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断;
(3)求出三种特殊位置时t的值,结合图象即可解决问题.
【详解】
(1)由题意可知:在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中,独立于AB的点是P2,P3.
(2)∵C(-3,0),D(0,3),E(3,0),
∴直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,
由
28
3
y x
y x
+
?
?
+
?
=
=
,解得
5
2
x
y
-
?
?
-
?
=
=
,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,
由
28
3
y x
y x
+
?
?
-+
?
=
=
,解得
5
3
14
3
x
y
?
-
??
?
?
??
=
=
,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-
5
3
,
∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为:x P<-5或x P>-5
3
.
(3)如图3-1中,当直线KN与⊙H相切于点E时,连接EH,则EH=EK=1,HK=2,
∴22-1,
∴T(0,22
∴当-3<t<2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.
如图3-2中,当线段KN与⊙H相切于点E时,连接EH.
OT=OH+KH-KT=4+2-3=1+2,
∴T(0,1+2),此时t=1+2,
如图3-3中,当线段MN与⊙H相切于点E时,连接EH.
22
∴T(0,22
∴当2<t<2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.
综上所述,满足条件的t的值为-3<t<2或2<t<2
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了切线的性质,一次函数的应用,点P独立于图形W的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会利用特殊位置解决实际问题.
9.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于C点,AC平分∠DAB.
(1)求证:AD ⊥CD ;
(2)若AD =2,AC=6,求⊙O 的半径R 的长.
【答案】(1)证明见解析 (2)
32
【解析】
试题分析:(1)连接OC ,由题意得OC ⊥CD .又因为AC 平分∠DAB ,则∠1=∠2=
1
2
∠DAB .即可得出AD ∥OC ,则AD ⊥CD ; (2)连接BC ,则∠ACB =90°,可证明△ADC ∽△ACB .则2AD AC
AC R
=,从而求得R . 试题解析:(1)证明:连接OC ,
∵直线CD 与⊙O 相切于C 点,AB 是⊙O 的直径, ∴OC ⊥CD . 又∵AC 平分∠DAB , ∴∠1=∠2=
1
2
∠DAB . 又∠COB =2∠1=∠DAB , ∴AD ∥OC , ∴AD ⊥CD .
(2)连接BC ,则∠ACB =90°, 在△ADC 和△ACB 中 ∵∠1=∠2,∠3=∠ACB =90°, ∴△ADC ∽△ACB . ∴
2AD AC
AC R
= ∴R =2322
AC AD =
10.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=32,tan∠ADC=3,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
5
2 BE=
【解析】试题分析:(1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD,得到∠ACD=∠ACB=45°,在Rt△AFC中可求得AF =3,在Rt△AFD中求得DF=1,所以AB=AD=10,CD= CF+DF=4,再证明
△ABE∽△CDA,得出BE AB
DA CD
=,即可求出BE的长度;
试题解析:
(1)证明:连结OA,OB,
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB= 90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠BAE=45°,
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,
∴AE是⊙O的切线.
(2)解:过点A作AF⊥CD于点F,则∠AFC=∠AFD=90°.∵AB=AD,
∴AB =AD
∴∠ACD=∠ACB=45°,
在Rt△AFC中,
∵AC =32,∠ACF =45°, ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3, ∵在Rt △AFD 中, tan ∠ADC=3AF
DF
=, ∴DF =1,
∴2
2
3110AB AD ==+=, 且CD = CF +DF =4, ∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABE =∠CDA , ∵∠BAE =∠DCA , ∴△ABE ∽△CDA , ∴BE AB
DA CD
=
, ∴
10
410
=, ∴52
BE =
.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
人教版三年级下 数学易错题、较难题汇总 复习建议: 1)看本学期我们完成的练习纸和作业本,原来的错题现在弄懂了吗? 2)根据查漏补缺的情况,说一说在答题时,要提醒自己注意什么? 3)再根据查漏补缺的情况,找相应的练习进行自主练习 4)最后,说一说你准备怎样做完成“卷子”后的检查? 实战演练: 一、填空 1、一个长方形的长是8厘米,宽是5厘米,它的面积是( 40)平方厘米;在这个长方形上剪下一个最大的正方形,正方形的面积是(25)平方厘米,剩下的长方形的面积是(15)平方厘米。 2、今年全年有(366)天,第一季度是(91)天。从今往后,第一个闰年是( 2016)年。 3、□73÷5,要使商是三位数,□里最小填(5),要使商是两位数,□里最大填(4)。 4、有两个完全相同的正方形,长10厘米,宽5厘米,如果拼成一个正方形,这个正方形的面积是(100)平方厘米,周长是(40)厘米。如果拼成一个长方形,这个长方形的面积是(100)平方厘米,周长是(50)厘米。(像类似这样的拼一拼、剪一剪等题目,要记得动手按要求画一画。) 二、选择
1、小明家的客厅和小芳家的客厅一样大,小明家客厅用了126块地砖,小芳家则铺了140块地砖,那么(A) A、小明家用的地砖大 B、小芳家用的地砖大 C、一样大 D、说不清 2、小明家客厅用了126块地砖,小芳家则铺了140块地砖,那么(D) A、小明家的客厅大 B、小芳的客厅大 C、一样大 D、说不清(说明:因为两家用的地砖每块大小不知道是不是一样大的,所以不能判断。)3、第一小组的学生称体重,最重的45千克,最轻的23千克,下面哪个数量有可能是这组学生的平均体重?(B)(说明:平均体重在45和23之间。) A、45千克 B、32千克 C、23千克 4、25×40积的末尾有(A)个0 。 A、3 B、2 C、1 (说明:25×4=100,别忘了原来因数末尾的0。) 5、周长是80米的正方形花坛,它的面积是(C)平方米 A、320 B、6400 C、400 (说明:要注意审题,这里的80是周长,所以要先求出边长:80÷4=20,再用边长×边长=面积,算出。) 6、两个数相除,余数是8,除数最小是(C) A、7 B、8 C、9 (余数比除数小,即除数要比余数大。) 7、852÷8的商(A)(中间有没有0,要看每个数位上的数够不够商1决定。) A、中间有0 B、中间没有0 C、末尾有0 8、704被7除,结果是(B)(通过判断商的位数即可判断。) A、10......4 B、100......4 C、1000 (4) 9、当A÷B=13……9时,B最小,A=(C) A、117 B、130 C、139 (说明:先判断B最小应该是10,再根据:商×除数+余数=被除数算出。)10、学校开设两个兴趣小组,三(1)班42人报名参加了活动,其中27人参加书画小组,24人参加棋艺小组,两个小组都参加的有( C )人。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
[易错题1] 王叔叔家养了350只鸡,每个笼子里装30只,需要准备多少个这样的笼子? 【错误解答】350÷30=11(个)……20(只) 答:需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了,余下的20只鸡需要再装一个笼子,这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11(个)……20(只) 11+1=12(个) 答:需要准备12个这样的笼子。 [易错题2] 小红、小林和小刚,一个星期一共练了630个大字,平均每人每天练多少个大字? 【错误解答】630÷3=210(个) 答:平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30(个) 答:平均每人每天练30个大字。 [易错题3] 计算(842+421+421)×25,下面最简便的方法是()。 A.421×(4×25 ) B.842×(2×25 ) C.842×25+421×25+421×25 【错因分析】首先要明白(842+421+421)×25有多种简便计算方法,一个可以把421合并成842,另一个也可以把842拆分成421,而此题要求是最简便的方法,那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A,因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421,和题中已有的2个421合并成4个421,再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100,这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便,但比起A来没有A更好算最简便。 [易错题4]
简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律?书上结论是这样陈述的:两个数的和与其中一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数,而另一个加数2就漏乘45了,导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律,把100和2这两个加数分别与45相乘,最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下: (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 [易错题5] 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100,把99先看作最接近的100这很好,但是忽略了简便计算的前提是等量代换,一个量须用与它相等的量去代替,才可以依次继续递等下去。把99替换成(100+1)这本身就建立在不公平基础上,所以不能向下递等,结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘,如果有一个数接近整百数,可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式,再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下: 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 七年级上学期数学期中考试试卷 一、 选择题(每小题3分,共36分) 1、下列各组数中相等的是 ( )A 、-2与)2(-- B 、-2与2- C 、2-与2-- D 、2-与 2 2. 解方程63 x -=,正确的是( ) A .解:3x -= 6,得2x = B .解:6,3x -=得18x = C .解:3x -= 6,解2x =- D .解:6,3 x -=得18x =- 3、已知a 、b 都是有理数,且021=++-b a ,则a+b =( )A 、-1 B 、1 C 、3 D 、5 4、单项式22b a x 与y b a 3-是同类项,则y x 等于( )A 、-8 B 、8 C 、-9 D 、9 5. 小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行,小明每小时走4千米,3小时后两人相遇,设小刚的速度为x 千米/时,列方程得( ) A .4325.2x += B .3425.2x ?+= C .3(4)25.2x += D .3(4)25.2x -= 6、去括号后等于a-b+c 的是( )A 、 a-(b+c) B 、a+(b-c) C 、a-(b-c) D 、a+(b+c) 7、已知0122=--b a ,则多项式2422+-b a 的值等于( )A 、1 B 、4 C 、-1 D 、-4 8.已知a 是有理数,且|a|=﹣a ,则有理数a 在数轴上的对应点在( ) A .原点的左边 B .原点的右边 C .原点或原点的左边 D .原点或原点的右边 9、(2009?绍兴)将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm ),刻度尺上的“0cm”和“15cm” 分别对应数轴上的﹣3.6和x ,则( ) A .9<x <10 B .10<x <11 C .11<x <12 D .12<x <13 10、计算3)2(232-+-?的结果是( )A 、—21 B 、35 C 、—35 D 、—29 11、下列方程中,是一元一次方程的是 ( ) A .012=+-y x B .12 2=+y C .0122=-+x x D .42=y 12、某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人。现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问 第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍?设抽调x 人则可列方程 ( )A.26222?=+x B.()x x -=+26222 C.()x x -=+26222 D.()x -=26222 二、填空题(每小题3分,共24分) 13、太阳光的速度是300000000米/秒,用科学记数法表示为 米/秒,数字7.3482精确到0.01 是 。 14、已知a ,b ,c 的位置如图,化简:|a ﹣b|+|b+c|+|c ﹣a|= . 15.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A .2002或2003 B .2003或2004 C .2004或2005 D .2005或2006 16、规定一种关于a 、b 的运算:a*b=22b a -,那么3 *(-2)= 。 17、一家电脑公司仓库原有电脑100台,一个星期调入、调出的电脑记录是:调入38台,调出42台,调入27台,调出33台,调出40台,则这个仓库现有电脑 台 18、化简(x+y )- (x-y)的结果是 。 19、若≠+-m y x y x m n 则的六次单项式是关于,,)2(232 ,n = 。 20、根据题意列出方程:设某数为x ,某数的3倍与4的差等于10:__________ 。 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、填空 1、连接梯形各边的中点围成新的图形是() 2、一个三角形两条边是5厘米和三厘米,第三条边的长度可能是() 3、电动伸缩门是利用平行四边形的()性设计的。 4、等边三角形是特殊的()。 5、44×25=(11×4)×25=11×(4×25),这是根据()。 6、1100÷125÷8=11000÷(125×8)运用了() 7、一个立体图形,从正面看是)个小正方体。 8、用一根铁丝围成一个边长18厘米的正方形,那么用这个铁丝围成一个正三角形,边长是()厘米。 9、王大伯家的三角形菜地的两条边分别是5米和8米这个三角形菜地的第三条边可能是()米 10、有三种长度的小棒(长度分别是3cm、5cm、8cm)若干根,可以摆成()种不同的三角形 11、十分位上的“3”与十位上的“3”相差() 12、在0.08、0.080、0.008这三个小数中,计数单位相同,但大小不相等的两个数是()、() 13、把6改成以百分之一为计数单位的数是() 14、将一根15厘米的木棒截成三根整厘米的小棒来围成三角形,最长的一根小棒不能超过() 厘米 15、5吨50千克=()吨 1.2平方厘米=()平方分米 4.1公顷=()平方米 16、直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米,这个直角三角形相互垂直的两条边分别是()() 17、观察1、2、3、6、12、23、44、X、164的规律,可知X= () 18、如果12=1×1,22=2×2,32=3×3.....252=25×25,且12+22+....252=5525,那么32+62+...+752=9×5525= 19、近似数是1.0,这个两位小数最小是(),最大是()。 20、甲、乙两数的和是264,把甲数的小数点向左移动一位,则两数相等。甲数()乙数()。 21、两个一样的三角形可以拼成()。两个一样的直角三角形可以拼成()()()。两个一样的等腰直角三角形可以拼成()()()。 22、等腰三角形的底角是顶角的2倍,顶角是()。 23、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒,从中选3根搭成一个三角形,有()种不同的选法。 24、在一条长90米的小路两旁种树,如果两端都种,每相邻两棵树之间的距离是10米,可以种()棵。 25、要在五边形的水池边上摆上花盆,使每一边都有4盆,最少需要()盆。 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b七年级上学期数学期中考试试卷 (典型易错题)
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