实际问题与二元一次方程组
编稿：陈琳琳 审稿：张扬 责编：孙景艳
目标认知
学习目标：
1．了解应用题的几种基本题型；
2．掌握列方程组解应用题的一般步骤；
3．探索事物之间的数字关系，建立方程模型；
4．通过实践和探索，运用二元一次方程组解决有关实际问题.
重点：
在解答应用题时，能建立正确的方程模型.
难点：
二元一次方程组在应用题中的灵活运用.
知识要点梳理
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
要点诠释：
(1)寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
(4)最后的结果必须使实际问题有意义．
知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段
图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；
速度＝；时间＝。
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，
因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题:①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
实际问题与二元一次方程组（1）
（顺风逆风问题·劳力调配问题）
和雅激情：学习贵在坚持
学习目标：经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型。
自学指导：用3分钟自学
文雅自修一
列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
文雅自修二 探究：课本99页探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？
2） 题中等量关系有哪些？ 3）如何解这个应用题？
本题的等量关系是（1）（ ）
（2）（ ）
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1.有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨，5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
2、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
堂清雅行 一、顺风逆风问题：
1、A市至B市的航线长1200㎞,一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分，求飞机的平均速度与风速。
2、一艘轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回12小时才能到达，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度和两地之间的距离。 3、一条船顺流航行，每小时行20㎞；逆流航行，每小时行16㎞,求轮船在静水中的速度与水的流速。
二、劳力调配问题：
1、在甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有17人，现要赶工期，总公司另调20人前来支援，使甲处的人数是乙处人数的2倍，应该分别调往甲、乙两处各多少人？
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Fpg 实际问题与一元二次方程题型归纳总结
一、列一元二次方程解应用题の一般步骤：
与列一元一次方程解应用题の步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题の一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。
（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；
（2）找：找出等量关系；
（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
（4）列：列出一元二次方程；
（5）解：求出所列方程の解；
（6）验：检验方程の解是否正确，是否符合题意；
（7）答：作答。
二、典型题型
1.数字问题
例1、有两个连续整数，它们の平方和为25，求这两个数。
例2、有一个两位数，它の个位上の数字与十位上の数字の和是6，如果把它の个位上の数字 与十位上の数字调换位置，所得の两位数乘以原来の两位数所得の积就等于1008，求调换位置后得到の两位数。
练习：1、两个连续の整数の积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字の平方，个位上の数字比十位上の数字大3，则这个两位数为 （ ）
A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36
2.传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样の传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
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Fpg 3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1).
例4、（1）参加一次足球联赛の每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
（2）参加一次足球联赛の每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
1 一元二次方程应用题的一般解题步骤
解决问题有三个重要环节：
1、完整地系统审清题意；
2、把握住问题中的等量关系；
3、正确地求解方程并检验解的合理性。
一、 一元二次方程应用题问题的一般解题步骤
1、 审题：认真读题，明确哪些是已知数，它们之间的关系是怎样的。
2、 设未知数：用字母表示未知数，这个未知数可能是一个直接未知数，也可能是一个间接未知数。
3、列方程：先确定一个等量关系，再用含所设未知数的字母代数式表示这个等量关系，得到一元二次方程。
3、 解方程：选用合适的方法解这个一元二次方程。
4、 检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意。
5、 答：用总结性的语言写出题目最终答案。
常见类型
1、传播问题
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
2、循环问题
2 1、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个人各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手得分总和，结果分别是2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛。
2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
3、 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
