第二章 质点运动学

6 第二章 质点运动学

运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。

§2.1 质点的运动学方程

一、质点的位置矢量和运动学方程

要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyzo，从坐标原点向该质点引一条有向线段op，用r表示。

1、 位置矢量

定义：自参考点（原点o）引向质点P所在位置的矢量。

质点位矢在直角坐标系中的表示：kzjyixrˆˆ

kji,ˆ,ˆ分别为沿x轴，y轴，z轴正方向的单位矢量，zyx,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。

位矢的大小： 222zyxrr

位矢的方向（用方向余弦表示）：

rzryrxcos,cos,cos

1coscoscos222

,,分别为位矢与x轴，y轴，z轴正方向的夹角。

2、质点的运动学方程

由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(trr

即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。

方程在直角坐标系中的正交分解式：ktzjtyitxtr)()()()(

质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(tzztyytxx

3、质点的运动轨迹

质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。

由运动学方程消去t得： 0),,(zyxf

[例] 一质点的运动学方程为：jtritRrsincos，求其轨迹。

解：由已知，tRytRxsincos ，则轨迹方程：222Ryx，圆心在原点。

二、质点的位移和路程 y

x z P(x,y,z)

j

k

α β γ  7 1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r表示。

)()(trttrr

位移在直角坐标中的正交分解式： ktzjtyitxtrttrr)()()()()(

注意：质点的位移是矢量，其大小 12rrrr

2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l表示。

注意：质点的路程是标量，一般情况下，同一时间间隔内的路程和位移的大小并不相等。

无限小位移时：dlrd

§2.2 瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量

一、平均速度与瞬时速度

1、平均速度

ttrttrtrv)()(

定义：质点的位移与发生这段位移的时间间隔之比，即位矢对时间的平均变化率。

注：平均速度仅能提供一段时间内位置变动的方向和平均快慢，却不能精细地描述质点在每一时刻的运动及快慢。

2、瞬时速度

0t时，将平均速度取极限即可：

dtrdtrvvtt00limlim

其大小：dtrdtrvvt0lim，称为瞬时速率，表示质点在该瞬时运动的快慢；

其方向：沿轨迹质点所在处的切线并指向质点前进的方向。

瞬时速度简称速度。

瞬时速度在直角坐标系中的正交分解式：kvjvivvzyx

kdtdzjdtdyidtdxdtrdv

则：dtdzvdtdyvdtdxvzyx,,

若已知zyxvvv,,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： 222zyxvvvv

方向：vvvvvvzvyvxvcos,cos,cos 8 3、平均速率

tlv

注意：平均速率并不是平均速度的大小，仅当质点在直线上沿固定方向运动时，平均速率才等于平均速度的大小。

二、平均加速度与瞬时加速度

1、平均加速度

ttvttvtva)()(

定义：质点的速度增量与发生这一增量的时间间隔之比，即速度矢量对

时间的平均变化率。

注：平均加速度仅能提供一段时间内速度变动的方向和平均快慢，其方向沿速度增量的方向。

2、瞬时加速度

0t时，将平均加速度取极限即可：

2200limlimdtrddtvdtvaatt

其大小：dtvdtvaat0lim，表示速率在该瞬时变化的快慢；

其方向：沿速度矢端曲线的切线并指向与t增加相应的方向。

瞬时加速度简称加速度。

加速度在直角坐标系中的正交分解式：kajaiaazyx

kdtzdjdtydidtxdkdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx222222

则：222222,,dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxx

若已知zyxaaa,,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： 222zyxaaaa

方向：aaaaaazayaxacos,cos,cos

§2.3 质点的直线运动-从坐标到速度加速度

一、运动学方程

1、坐标系的选择：研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如：Ox、Oy、Oz，其原点位于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。

2、运动学方程：设坐标系为Ox

itxtrr)()( V(t) V(t+Δt) ΔV V(t) 9 由于坐标系与质点轨迹重合，位矢的矢端与坐标x一一对应，则将方程写成：

)(txx

比如：ttxexxttxtcos5sin,,25203

3、位移：12,xxxixr

x 的大小反映了位置变动的多少。

二、速度和加速度

1、速度： ividtdxdtrdvx

讨论：当,0xv质点运动方向与x轴正向相同；

当,0xv质点运动方向与x轴正向相反；

2、加速度

22,dtxdaiaidtdvdtvdaxxx

讨论：xa的正负不能决定质点是加速还是减速运动；

当xxva与同号时，质点做加速运动；

当xxva与反号时，质点做减速运动。

三、匀速直线运动和变速直线运动

1、 匀速直线运动：cvx （c为恒量）；

tvxxx0

质点在任意相等的时间内通过的位移相等

2、匀变速直线运动： cax（c为恒量）

tavvxxx0

例如竖直上抛、自由落体运动等

例题：将真空长直管沿铅直方向放置。自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为2T。在小球运动过程中经过比O点高H处。小球离开H处至又回到H处所用时间为1T。现测得1T、2T和H，试决定重力加速度g。

解：将小球视为质点，建立以O为原点铅直向上的坐标系O-y，如图，测2T时，质点初始坐标为00y，设其初速度为20vvy。因小球O时终坐标亦为0y，有 10 22222100gTTv

同理，设测1T时小球经H向上的速度为10vvy，又有

211121gTTvHH

小球自H高处落至O，有 gHvv22122

从上面三式消掉1v和2v，即得

21228TTHg

§2.4 质点的直线运动-从加速度到速度和坐标

一、从速度到运动学方程和位移

1、由 dtdxvx，则x是xv的一个原函数，若已知速度)(tvx，可通过不定积分求的与之对应的愿函数：

ctxdtdtdxdttvxx)()(， c为任意常数

2、如再给出0tt时，0xx的条件，则)(,)(0000txxcctxxx

3、由定积分知识：dttvtxtxttx0)()()(0

dttvxxttx0)(0

只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动学方程。

4、位移：dttvxxxttx0)(0，与初始条件无关。

二、从加速度到速度和运动学方程

1、由 dtdvaxx， ctvdttavxxx)()(，c为任意常数

给定：0tt时，xxvv0的条件，则)(00tvvcxx

ttxxxxxxdttavtvtvvv0)()]()([000

2、只要给出位置坐标的初始条件，即可求出运动学方程。

例题：已知质点做直线运动，其加速度随时间的变化规律为：

)/(4100)(22smtta

初始条件：0,0000xvtx时，

解：建坐标O-x 沿质点运动方向，圆点在质点初始时所在的点， t y

H

O 11 则， 302034100)4100(0)(0ttdttdttavvtttxxx

420303150)34100(0)(0ttdtttdttvxxtttx

§2.5平面直角坐标系 • 抛体运动

一、平面直角坐标系

质点的平面运动是指质点在平面上的曲线运动（包括直线运动）。

1运动方程：作平面运动的质点的运动学方程在平面直角坐标系中的表示为：

jtyitxtrr)()()(

由上式可知：平面运动状况需要由两个独立标量函数)(tx和)(ty决定。

2 速度： jdtdyidtdxdtrdv

即：dtdyvdtdxvyx,

若已知yxvv,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： 22yxvvv

方向：vvvvyvxvcos,cos

v和v为速度矢量的方向角。

3加速度： jdtydidtxdjdtdvidtdvdtvdayx2222

则：,22dtxddtdvaxx 22dtyddtdvayy

若已知yxaa,的大小，则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： 22yxaaa

方向：aaaayaxacos,cos

4若给出质点平面运动的速度和质点位置的初始条件：

0tt时，00,yyxx，yyxxvvvv00,