北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
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第二章 实 数
7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
教学目标
1.会区分二次根式与最简二次根式;
2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;
3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.
教学重难点
重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;
难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.
教学过程
导入新课
1.做一做：
√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√𝑎2= ｜a｜ , （√𝑎）2=a.
2.观察下列代数式：
(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；
(5)√𝑎2+1 ； (6)√(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)(其中b=24，c=25).
这些式子有什么共同特征？
(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数.
探究新知
一般地，形如√𝑎（a≥0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.
判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.
【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.
(1) √32； (2)6； (3) √−12；
(4) √−𝑚（m≤0）； (5) √𝑥𝑦； (6)√53.
【解】（1）（4）.
（2）没有开方运算；
（3）被开方数是负数；
（5）xy可能是负数；
（6）根指数不是2
活动：探究二次根式的性质
计算下列各式，你能发现什么?
（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；
√16×√25= 20， √16×25=20；
√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45．
（2）用计算器计算：
√6×√7 ≈6.481 ， √6×7≈6.481； √6√7≈0.925 8 ， √67≈0.925 8.
即：√4×√9= √4×9；√16×√25=√16×25；√6×√7=√6×7；
√4√9=√49； √16√25=√1625； √6√7=√67.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
√𝑎𝑏=√𝑎·√𝑏(a≥0,b≥0)
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
√𝑎𝑏=√𝑎√𝑏(a≥0,b＞0).
【例2】化简：（1）√81×64；（2）√25×6；（3）√59.
观察：化简以后结果中的被开方数又有什么特征？
【解】（1）√81×64=√81×√64=9×8=72;
（2）√25×6=√25×√6=5×√6=5√6;
（3）√59=√5√9=√53.
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
最简二次根式的特点：
①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式;③分母不含根号.
【例3】化简：（1）√50；（2）√27； （3）1√3.
【解】（1）√50=√25×2=√25×√2=5×√2=5√2；
（2）√27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147；
（3）1√3=1×√3√3×√3=√33.
注：化简时，要求最终结果是最简二次根式.
课堂练习
1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．√7 B．√3 C．√12 D．√2
2．若x为任意数，则下列各式中一定成立的是（ ）
A.24xx B.24xx C.xx2 D.xx2
3．下列各式中正确的是（ ）
A.416 B.222 C.24 D.3327 4．化简225，结果是(
)
A.-52 B.52 C.－10
D.10
5.要使式子√𝑎+2𝑎有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
参考答案
1.C 2.A 3.D 4.B 5.D
课堂小结
1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.
2.二次根式的性质：
√𝑎𝑏=√𝑎·√𝑏(a≥0,b≥0)；√𝑎𝑏=√𝑎√𝑏(a≥0,b＞0).
3.最简二次根式满足的条件：
①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；
②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）；
③分母不能含有根号.
布置作业
习题2.9第1，2，3题
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7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
1.二次根式的定义及其判断依据；
2.二次根式的性质：√𝑎𝑏=√𝑎·√𝑏(a≥0,b≥0)；√𝑎𝑏=√𝑎√𝑏(a≥0,b＞0).
3.最简二次根式的定义及其判断依据.
