条件极值拉格朗日乘数法例题

一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。

本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。

在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。

下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。

假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。

现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。

根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。

即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。

拉格朗日乘数法例题引言拉格朗日乘数法(Lagrange Multiplier Method)是一种在数学优化问题中常用的方法。

它通过引入拉格朗日乘数，将约束条件与目标函数融合在一起，从而转化为一个无约束条件的优化问题。

本文将通过一个例题，详细介绍拉格朗日乘数法的应用与求解过程。

问题描述我们考虑一个最大化问题，即在一定约束条件下，找到使目标函数取得最大值的变量取值。

假设我们有一个函数 f(x,y,z) = x + y + z，而约束条件为 g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0。

拉格朗日乘数法的原理拉格朗日乘数法的核心思想是将约束条件和目标函数结合在一起，通过引入拉格朗日乘数，将问题转化为一个无约束条件的优化问题。

具体地，对于上述问题，我们定义拉格朗日函数L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) - λ * g(x,y,z)，其中λ 是拉格朗日乘数。

我们的目标是找到使得拉格朗日函数取得最大值的变量取值。

为了求解该问题，我们需要满足以下条件： 1. 求解拉格朗日函数对自变量（x, y, z）和拉格朗日乘数λ 的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程。

2. 解上述方程，得到自变量和拉格朗日乘数的取值。

3. 将自变量和拉格朗日乘数的取值代入拉格朗日函数，得到最大值。

求解过程首先，我们求解拉格朗日函数对自变量和拉格朗日乘数的偏导数，并令它们等于零。

∂L/∂x = ∂f/∂x - λ * ∂g/∂x = 1 - 2λx = 0 –(1) ∂L/∂y = ∂f/∂y - λ * ∂g/∂y = 1 - 2λy = 0 –(2) ∂L/∂z = ∂f/∂z - λ * ∂g/∂z = 1 - 2λz = 0 –(3)∂L/∂λ = -g(x,y,z) = 1^2 + 1^2 + 1^2 - 1 = 0 –(4)我们可以从方程组 (1)-(4) 中解得x = y = z = 1/(2√3)，λ = √3/6。

拉格朗日乘数法例题拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下优化问题的方法，它可以将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将问题转化为无约束条件的优化问题。

下面我们通过一个例题来详细介绍拉格朗日乘数法的应用。

例题：求解以下优化问题：$$\max_{x,y}f(x,y)=x^2+2y^2$$满足约束条件：$$g(x,y)=x+y-1=0$$首先，我们需要将约束条件转化为目标函数的一部分。

根据拉格朗日乘数法，我们可以构造一个新的函数：$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$$其中，$\lambda$是拉格朗日乘数。

现在我们要最大化$L(x,y,\lambda)$，即求$L$对$x$、$y$和$\lambda$的偏导数，并令其等于0。

对$x$求偏导数得到：$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x-\lambda=0$$对$y$求偏导数得到：$$\frac{\partial L}{\partial y}=4y-\lambda=0$$对$\lambda$求偏导数得到：$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0$$将上述三个方程联立起来解得：$$x=\frac{2}{5}, y=\frac{3}{5}, \lambda=\frac{8}{5}$$这就是最优解。

我们可以将其代入原函数$f(x,y)$中，得到最优值：$$f(\frac{2}{5},\frac{3}{5})=\frac{13}{5}$$因此，当$x=\frac{2}{5}$、$y=\frac{3}{5}$时，函数$f(x,y)$取得最大值$\frac{13}{5}$。

以上就是拉格朗日乘数法的应用过程。

需要注意的是，在实际应用中，拉格朗日乘数法可能会出现多个最优解的情况，此时需要进行进一步的分析和讨论。

同时，在约束条件较多或者复杂的情况下，拉格朗日乘数法可能不太适用，需要使用其他方法来求解。

1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1） f ( , )x 2y 2,若 x y 1 0;x y（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；（3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 21, x y z0 .解 (1) 设 L( x, y,) x 2 y 2( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有L x 2x 0, L y 2 y0,L zx y 1 0.解之得x y 1 , 1.由于当 x, y时 ,f.故函数必在唯一稳定点处2 1 1 1取得极小值 , 极小值 f ( ,2 ) .2 2(2) 设 L (x, y, z, t,) x y zt( xyzt c 4 ) 且L x 1 yzt 0, L y 1xzt 0, L z1 xyt 0, L t 1xyz 0,Lxyzt c 40,解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .(3) 设 L( x, y, z, ,u)xyz( x 2 y 2z 2 1) u( xy z) ,并令L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0,L x 2 y 2z 2 10,L ux y z 0,解方程组得x, y, z 的六组值为 :1 2 1 1 1 x1 xxxxx66 6 6 6 61 12 1 , y2 2 y , y , y , yy.6 6 66662 1 1 2 1 z1 zz z z z6666 66又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集{( x, y, z) | x 2 y 2 z 21, x y z0}上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为f ( 1 , 1,2 ) f (2 , 1 , 1 )3 1 ,6 666666极大值为f (1 , 1 ,2 ) f ( 2, 1 , 1 ) 3 1 .66666662.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。

用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。

在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。

下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。

我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。

这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。

接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。

步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。

代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。

问题的解是f(x, y) = 1/2。

上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。

假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。

即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。

拉格朗日乘数法主要用于解决约束优化问题。

以下是具体示例：
求函数f(x,y)=x^2*y的极值，同时满足约束条件g(x,y)=x^2+y^2-1=0。

首先，根据拉格朗日乘数法，引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数
L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)。

将f(x,y)和g(x,y)代入L(x,y,λ)，得到L(x,y,λ)=x^2*y+λ(x^2+y^2-1)。

接着，对L(x,y,λ)求偏导，得到以下三个方程：
1.∂L/∂x=2xy+2λx=0
2.∂L/∂y=x^2+2λy=0
3.∂L/∂λ=x^2+y^2-1=0
由第一个和第二个方程可以得到x(y+λ)=0和y(x-λ)=0，进而解得三组可能的解：
(0,-1),(√2/2,√2/2),(-√2/2,-√2/2)。

然后，将这三组解代入原函数f(x,y)，计算得到对应的函数值。

通过比较这些函数值，可以确定f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的极值。

以上便是使用拉格朗日乘数法解决约束优化问题的一个例子。

这种方法在经济学、最优化等领域有着广泛的应用。

十四. 条件极值(约束极值)的Lagrange 乘数法问题: 求积为定值的两正数之和的最小值. 即, 设x > 0, y > 0, xy = a , 求x + y 的最小值. (本题当然可以用平均不等式求解. 不过, 我们现在要考虑的是求解这类问题的一般方法.) 解法一 y =x a , f (x ) = x +xa (x > 0, a > 0), 求f 的最小值 (驻点a ). 解法一是从所给条件(方程)解出某些变量, 化为无条件极值问题. 能否不解出变量而化为无条件极值问题?解法二 设f (x , y , λ ) = x + y + λ (xy - a ), 求其最小值:⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=)3(,0)2(,01)1(,01 a xy f x f y f y x λλλ 从(1), (2)得x = y , 从(3)得x = y =a . 原问题的最小值存在, 故就是2a .条件极值问题: 求(目标)函数u = f (x ) (x = (x 1,…, x n )∈D ⊂ R n )在(约束)条件g i (x ) = 0 (i = 1, …, m , m < n )下的极值.设E = {x ∈D | g i (x ) = 0, i = 1, …, m }, a ∈E . 若存在开球B (a , r ) ⊂ D 使x ∈E ∩B (a , r )时f (x )≥f (a ) (f (x )≤f (a )), 则称f 在a 达到(满足条件g i (x ) = 0的)条件极小(极大)值. 条件极值必要条件(对n = 3, m = 2叙述) 设D ⊂ R 3开, f , g 1, g 2: D →R 是C (1)类函数, x =(x 1, x 2, x 3)∈D . 若f 在点a (= (a 1, a 2, a 3))处达到条件极值, 且rank a x g x g x g x g x g x g ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂322212312111 = 2, 则存在λ1, λ2 ∈R , 使 )()()(2211a x g a x g a x f jj j ∂∂+∂∂+∂∂λλ= 0 (j = 1, 2, 3), (*) 即a 是Lagrange 函数L = f + λ1g 1 + λ2 g 2的驻点.证 设a x x g g ),(),(3221∂∂≠0. 由隐函数定理, 存在a 1的邻域V 及C (1)类函数ϕ, ψ : V →R , 使x 2 = ϕ (x 1), x 3 = ψ (x 1), a 2 = ϕ (a 1), a 3 = ψ (a 1), 且g 1 (x 1, ϕ (x 1), ψ (x 1)) = 0, g 2 (x 1, ϕ (x 1), ψ (x 1)) = 0. (**)设F (x 1) = f (x , ϕ (x 1), ψ (x 1)) (x 1∈V ), 则a 1是F 的无条件极值点, 故0 = F ' (a 1) = 1x f (a ) +)()()()(1132a a f a a f x x ψϕ'+'.再由(**)得 ,0)()()()()(,0)()()()()(1321221213112111='∂∂+'∂∂+∂∂='∂∂+'∂∂+∂∂a a x g a a x g a x g a a x g a a x g a x g ψϕψϕ 上述三式表明向量grad f (a ), grad g 1(a ), grad g 2(a )均与向量(1,ϕ '(a 1),ψ '(a 1))垂直, 故这三个向量共面, 线性相关. 但a x x g g ),(),(3221∂∂≠0, 故grad g 1 (a ), grad g 2 (a )线性无关(不共线) [否则, ∃c 使grad g 1 (a ) = c grad g 2 (a ), 即)(1a x g i ∂∂= c )(2a x g i ∂∂(i = 1, 2), 从而a x x g g ),(),(3221∂∂= 0], 因而∃λ1, λ2 ∈R , 使grad f (a ) + λ1 grad g 1 (a ) + λ2 grad g 2 (a ) = 0. 按分量写, 就是(*). Lagrange 乘数法 求f (x ) = 0 (x =(x 1,…, x n ) ∈D ⊂ R n ) 在条件g i (x ) = 0 (i = 1, …, m )下的极值的方法如下:1°作函数L (x 1,…, x n , λ1,…, λm ) = f (x ) + λ1 g 1 (x ) + … + λm g m (x ) (x ∈D );2°令ix L ∂∂= 0(i = 1, …, n ), 与j L λ∂∂= 0即条件g j (x ) =0 (j = 1, …, m )联立, 求得驻点;3°找D 中使f , g 1, …, g m 不C (1)类的点, 及使rank ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n m m n x g x g x g x g 1111< m 的点(这些点与驻点一起, 成为期望点);4°用无条件极值方法判断期望点是否为极值点:例如, 设目标函数为u = f (x , y , z ), 条件为g 1 (x , y , z ) = 0, g 2 (x , y , z ) = 0, 期望点为(a , b , c ). 若从条件可解得y = y (x ), z = z (x ), 则u = h (x ) = f (x , y (x ), z (x )), 可求得h' (x ) = f x + f y y' + f z z' , h" (x ) = … (求h' 和h" 时用到的y', z' 可从条件得到), 从h" (a )的正负判断点(a , b , c )极大还是极小.△ 求f (x , y , z ) = xy + yz 在条件x 2 + y 2 = 2, y + z = 2下的极值.解 设L (x , y , z , λ, μ) = xy + yz + λ (x 2 + y 2 - 2) + μ (y + z - 2). 令L x = L y = L z = 0, 得解得驻点P 1 (1,1,1) (λ = - ½ , μ = -1), P 2 (-1,1,1) (λ = ½ , μ = -1),P 3()235,213,213(),231,232)(235,213,2134++---=-=--+-P μλ (λ =232+, μ =231+). rank ⎪⎭⎫ ⎝⎛1 1 0 0 2 2y x = 2. 把y , z 看作x 的函数, 设h (x ) = f (x , y (x ), z (x )) = x y (x ) + y (x ) z (x ), (下面要判断h" 在驻点的值的正负, 以确定极值)从条件可得2x + 2 y y' = 0, y' + z' = 0, y' = -y x , z' =yx , 故h' (x ) = y + xy' + y' z + yz' = y -y xz y x -2+ x , h" (x ) = y' -3222111)(2y y y xz y z x z y y x xy -=+'-'+-'-(3xy 2 + x 3 + y 2z + x 2 z ), h" (1) = -6 < 0, h" (-1) =2 > 0, h" (53324312)213--=+-< 0, h" (5333614)213++=-> 0, 故在P 1 , P 3 处达极大,在P 2 ,P 4处达极小.解二 (因为所给条件之一比较简单, 故可减少条件, 降低维数) z = 2 - y , f (x , y , z ) = xy + y (2 - y ) = g (x , y ), 化为求g 在条件x 2 + y 2 = 2下的极值.设L (x , y , λ) = xy + 2y - y 2 + λ (x 2 + y 2- 2). 由L x = L y = 0, 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-+=+2,0222,0222y x y y x x y λλ解得P 1 (1,1), P 2 (-1,1), P 3 (213,213-+-), P 4 (213-,213+-). (rank (2x , 2y ) = 1.) 设h (x ) = g (x , y (x )), 则h' (x ) = y + xy' + 2y' - 2yy' , h" (x ) = 2y' + xy" + 2y" - 2y' 2 - 2yy" . 由x 2+ y 2 = 2得y'=-yx , y" = -32y , 故 h" (x ) = -2y x - (x + 2 - 2y ) 32y -222y x =3442)(2y y x y x xy +--+-, h" (1) = -6, h" (-1) = 2, h" (213+-) = 3)213(633--< 0, h" (213-) = 3)213(633+---> 0. △求函数f (x , y ) = x 2 - xy + 2y 2 在条件x 2 + y 2 = 1下的最大最小值.解一 设L (x , y , λ) = x 2 - xy + 2y 2 + λ (x 2 + y 2- 1). 令L x = L y = 0, 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-=--,1,024,02222y x y y x x y x λλ解得x 2 =22423±±, y 2 =2241±, xy =22421±±, 故在驻点处f (x , y ) = 22222 =±. 因为f 连续, 集{(x , y ) | x 2 + y 2 = 1}有界闭, 故f 有最大、最小值, 依次为2+2, 2 -2. 解二 以条件代入, 得f (x , y ) = 1 + y 2 - xy , L (x , y , λ) = 1 + y 2 - xy + λ (x 2 + y 2 - 1), ….△ 求内接于半轴为a , b , c 的椭球、棱与轴平行的最大平行六面体的体积.解 设棱长为2x , 2y , 2z . 本题为求V = 8xyz 在条件2222b y a x ++22c z =1下的最大值. 设 L (x , y , z , λ) = 8xyz + λ (2222b y a x ++22c z - 1). 令L x = 8yz + 22a x λ= 0…①, L y = 8xz + 22b y λ= 0…②, L z = 8xy + 2λ2cz λ= 0 …③, 与条件联立. ①×x + ②×y + ③×z , 得24xyz + 2λ = 0, λ = -12xyz . 代入①, ②, ③, 得x =33a , y =33b , z =33c . 由于最大平行六面体存 在, 且驻点唯一, 故所求体积为938abc . △ p.167例2. 除书上的解法外, 也可以用条件之一将目标函数化为f (x , y , z ) = z + z 2, 从而设L (x , y , z , λ, μ) = z + z 2+ λ (x 2 + y 2 - z ) + μ (x + y + z - 1).△ 求椭圆⎩⎨⎧=++=-+0,04222z y x y x 距y 轴的最近点与最远点. 解 设L (x , y , z , λ, μ) = x 2 + z 2+ λ(2x 2 +y 2 -4) + μ (x + y + z ). 令L x = L y = … = 0, 解得P 1 (1,2, -1-2), P 2 (1,-2, -1+2), P 3 (-1,2, 1-2), P 4 (-1, -2, 1+2). f (P 1) = f (P 4) = 4 + 22, f (P 2)= f (P 3) = 4 - 22,故P 1 , P 4是最远点, P 2, P 3是最近点.解二 z = - x - y , x 2 + z 2 = 4 + 2xy , 设L (x , y , λ) = 4 + 2xy + λ (2x 2 + y 2 - 4). …△ 三角形三顶点分别在三条曲线f (x , y ) = 0, g (x , y ) = 0, h (x , y ) = 0上. 证明: 若三角形面积取极值, 则每条曲线在三角形的顶点处的法线必通过该三角形的垂心.证 设三顶点为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3), 且f (x 1, y 1) = 0, g (x 2, y 2) = 0, h (x 3, y 3) =0, 则三角形面积S =11121332211y x y x y x =21(x 1 (y 2 - y 3) + x 2 (y 3 - y 1) + x 3 (y 1 - y 2)). 设 L (x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, λ1, λ2, λ3) = S + λ1 f (x 1, y 1) + λ2 g (x 2, y 2) + λ3 h (x 3, y 3) .由11y x L L == 0得 ,0)(21,0)(2111123132⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x f x x f y y λλ2323x x y y --11x y f f = -1…(*). 因为11x y f f 是曲线f (x , y ) = 0在A 处的法线的斜率, 2323x x y y --是BC 的斜率, 故(*)式表明曲线f (x , y ) = 0在A 处 的法线与BC 垂直, 从而通过垂心.Lagrange 乘数法是解条件极值问题的基本方法, 显然, 变量数增加时计算量会很大, 因此还有其它方法. 此外, 求解条件极值问题时技巧也很重要. 例如p.168例3就可以用 初等方法解: 考虑g (x , y , z ) =xyz z y x f 1),,(1=, 该题化为求和数一定时积的最大值, 由 平均不等式立即得到rz y x 31111===时g 最大, 即x = y = z = 3r 时f 最小.。