数学分析148条件极值

第十五章 极值和条件极值§1. 极值和最小二乘法一 极值定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式()()00,,f x y f x y ≤则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。

极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。

定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ∂=∂，()00,0f x y y∂=∂，则称()00,x y 是f 的一个驻点。

根据费玛定理，可知定理1 二元函数的极值点必为0f f x y∂∂==∂∂的点或至少有一个偏导数不存在的点。

注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。

例：z xy =在()0,0点。

例：z x =在()0,0点。

怎样进一步判断是否有极值？定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，),(0022y x x f A ∂∂=，),(0022y x yf C ∂∂=，),(002y x y x f B ∂∂∂=，2A B H AC B B C ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。

例：求)1(by a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。

例：求333z axy x y =--的极值。

多元函数的最大（小）值问题设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。

*点击以上标题可直接前往对应内容问题引入很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束.例1 要设计一个容积为V 的长方形无盖水箱, 试问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积最小?若设长、宽、高各等于x, y, z, 则=++S z x y x y2();目标函数:=x yz V.约束条件:后退前进目录退出极值（最值）定义12(,,,)0,1,2,,().:k n x x x k m m n ϕΦ==<为简便起见, 记 并设 12(,,,),n P x x x ={|,()0,1,2,,}.k P P D P k m Ωϕ=∈==00()(),(;)(),f P f P P U P P ΩδΩ≤∀∈⋂∀∈或0,0,P Ωδ使得∈>若存在0()f P ()f P Φ则称是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值) ,类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.1212(,,,),(,,,)R ;n n n y f x x x x x x D =∈⊂设目标函数为 约束条件为如下一组方程:0P 称 是相应的极小值点 (或最小值点).拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法探源 形说起, 即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)z f x y x y ϕ==与(,)0x y ϕ=(),y y x =若由确定了隐函数 (,()).z f x y x =标函数成为一元函数d d 0,d d x x y x y y z y f f f f x xϕϕ=+⋅=-⋅=00000(,)(,()),P x y x y x =求出稳定点 0()0.x y y x P f f ϕϕ-=再由 先从 n = 2, m =1 的最简情 则使得目 在此点处满足00000((),())((),())(0,0).x y x y f P f P P P λϕϕ+=由此推知:0,λ存在比例常数 满足(,)f x y z =f 这表示 的等值线P 0(,)f x y z =(,)0x y ϕ=(,)f x y c =(,)0x y ϕ=与曲线在 0P 有公共切线，见图. 点 这又表示: 对于函数(,,)(,)(,),L x y f x y x y λλϕ=+在点处恰好满足: 000(,,)x y λ0()0.x y y x P f f ϕϕ-=(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩也就是说 , (2) 式是函数在其极值点处所 (,,)L x y λ满足的必要条件.通过引入辅助函数把条件极值问题 (1) (,,),L x y λ转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题. 由此产生了一个重要思想: 即称此函数为拉格朗日函数, 其中称 12,,,m λλλ为拉格朗日乘数.拉格朗日乘数法 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)m n k k n k f x x x x x x λϕ==+∑1212(,,,,,,,)n m L x x x λλλ对于前面定义中所设的一般1111rank ,n mm P n x x m x x ϕϕϕϕ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦(0)(0)(0)012(,,,)n P x x x 是该条件极值问 题的极值点, 且(0)(0)(0)12,,,,m λλλ则存在 m 个常数 在区域 D 上有连续一阶偏导数.k f ϕ与设上述条件极值问题中的函数(1,2,,)k m =若D 的内点 使得注 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说明； 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理23.19 中进行.个方程的解:1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.m k k k i i i n k k L f i n x x x L x x x k m ϕλϕλ=⎧∂∂∂=+==⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪===⎪∂⎩∑为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, (0)(0)(0)12(,,,,n x x x (0)(0)(0)12,,,)mλλλn m +即它是如下应用举例定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法.用这种方法先来求解本节开头给出的例题.()2.S xz yz xy V xyz 求+在例约束件1条下的极值=+=解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后, 转而求解 ,V z x y =2()V S x y x y x y=++的普通极值问题. 就无法进行了. 无法将条件式作显化处理时,此法 下面2()(),L xz yz xy xyz V λ=+++-20,x L z y yz λ=++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并求解以下方程组:现在作拉格朗日函数为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得λ2,2,2().xz x y x yz yz x y x yz z x y x yz λλλ+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩20,y L z x xz λ=++=2()0,z L x y x y λ=++=0.L x yz V λ=-=332,2 2.x V y z V ===两两相减后立即得出再代入第四式,得 2,x y z ==注 由以上结果还可以得到一个不等式 ( 这是获得 不等式的一种好方法 ). (表面积) 的最小值:32333min 22(22)(2)2V S V V V =⋅++消去 V 后便得不等式 322()34(),0,0,0.z x y x y x yz x y z ++≥>>>于是有 其中 322()34,z x y xy V ++≥.V x yz =那就是具体算出目标函数 3234V =221..z x y x y z 抛物面被平面截成一个椭圆求该椭圆到原点的最长和最例2短距离=+++=()222,,f x y z x y z 这个问题的目标函数是解 ++求解以下方程组: 为了计算方便，把目标函数改取距离的平方 (这是 22222()(1).L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-等价的), 221z x y x y z 在条件及下的最值问题.=+++=即设22220,220,20,0,10.x y z L x x L y y L z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎫=++=⎪=++=⎪⎪=-+=⎬⎪=+-=⎪⎪=++-=⎭由此又得 (1)()0.x y x y λ+-=⇒=式, 继而得到: ( 这里 否则将无解 )1,λ≠-22210,x x +-=13,1(13)23.2x y z -±===--±=2()2()2.x x y y z λλλ+⎧⎪⇒=+⎨⎪=-⎩再代入条件这是拉格朗日函数的稳定点.222222(13)(23)4x y z -±++=+1(133)443393,2⎧-++-+=-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为min max 953,95 3.d d =-=+最大值和最小值，所以由于所求问题存在 1(1233)4339 3.2+++++=+分析 (i) 如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b , 则椭圆面积为 ;ab π(ii) 由方程 (4) , 此圆柱面关于坐标原点是对称的, 故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某一直线; (iii) 因为所给平面也是通过坐标原点的, 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点. 它与平面相交得一椭圆, 试求此椭 0x y z +-=圆的面积. 例3 已知圆柱面22210,(4)x y z x y yz zx ++----=所以此解 由以上分析, 自原点至椭圆上任意点 ( x , y , z )的距离 之最大、小值， 222d x y z =++椭圆的长、短半轴.类似, 但在具体计算策略上将有较大差异. ) 并令设拉格朗日函数为222(1),x y z x y yz zx μ-++----222()L x y z x y z λ=++++-就是该( 说明: 本例的题型与例 2 相2222(2)0,(5)2(2)0,(6)2(2)0,(7)0,(8)(1)0.(9)x y z L x x y z L y y z x L z z x y L x y z L x y z x y yz zx λμλμλμλμ⎧=+---=⎪=+---=⎪⎪=----=⎨⎪=+-=⎪⎪=-++----=⎩对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x , y , z 后相加, 得到 2222()0,x y z x y yz zx μ-++---=2222()()x y z x y z λ++++-借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得2222.d x y z μ=++=这说明的极值就是这里的 ( 即 的极值就是 μ2d d μ,λ消去 得到一个线性方程组:(2)2(2)0,2(2)(2)0,0.x y z x y z x y z μμμμμμ-++-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-=⎩它有非零解 ( x , y , z ) 的充要条件是 .μ问题便转而去计算 为此先从 (5)－(8) 式由前面讨论知道, 方程 (10) 的两个根就是 12,μμ122.S ab μμ=π==π2212;4,a b μμ=与而2d 的最大、小值, 即 2222222320120,111μμμμμμμμ----=-+-=-22040.(10)3μμ即-+=说明 (i) 一旦由方程 (5) －(9) 能直接求得椭圆的 长、短半轴, ( x , y , z ) 了, 这使解题过程简单了许多. 于是 那就不必再去计算椭圆的顶点坐标(ii) 若用解析几何方法来处理本例的问题, 出纬圆半径 和纬圆面积 23r =2;3A π=的法线与 l 夹角的余弦0x y z +-=(1,1,1)(1,1,1)1cos .333θ⋅-==⋅先求出圆柱面的中心轴所在直线 l : ,x y z ==然后根据面积投影关系最后求得椭圆 cos ,A S θ=面积为 212.33cos A S θπ===π则需要 再求还有平面0P 0Q Γ:(,)0.F x y Γ=例4 设光滑封闭曲线Γ证明: 上任意两个相距最远点 处的切线互相平行, 且垂直于这两点间的连线.220;x y F F +≠且 (ii) 在 上必有相距最远的点.ΓΓ证 由于是光滑封闭曲线, 所以满足: Γ(i) F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,22(,,,)()()f x y u v x u y v =-+-(,)0,(,)0F x y F u v ==000000(,),(,)P x y Q u v Γ设为 上相距最远的两点, 00000(,,,)M x y u v 则点为目标函数 在约束条件之下的极大值点. 22()()(,)(,)L x u y v F x y F u v λμ=-+-++的稳定点. 从而满足 000,,M λμ使点成为拉格朗日函数 于是由拉格朗日乘数法, 存在前者表示 000P Q P Γ与在的切线垂直,000P Q Q Γ与在的切线垂直.示 0Q 00.P Q 两点处的切线互相平行, 且垂直于 000000000000000000002()(,)0,2()(,)0,2()(,)0,2()(,)0.x y u v x u F x y y v F x y x u F u v y v F u v λλμμ-+=⎧⎪-+=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩0000(,)(,),x y P x u y v F F --∥由前两式与后两式分别得到 00000(,)(,).u v Q x u y v F F --∥后者表Γ0,P 所以 在*例5 试求函数111(,,)(0,0,0)f x y z x y z x y z=++>>>3(0)xyz a a =>在条件 下的最小值, 并由此导出相 应的不等式.3111(),L x yz a x y zλ=+++-并使解 设222310,10,10,0.x y z L x yz L y xz L z x y L x yz a λλλλ⎧=-+=⎪⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=-=⎪⎩由此方程组易得,(,,)3.x y z a f a a a a ====并有3:.(,,),0,S x yz a x y z S x y 记当且或=∈→→(,,),0,0x y z S x yδ∈<≤<当且,0,z δδ≤<≤时(,,)3.f x y z a >使得0,0,z →时或(,,).f x y z →+∞都有 下面给出 3a 是条件最小值的理由. 故存在(02),a δδ<<{}1(,,)(,,),,,.S x y z x y z S x y z δδδ=∈≥≥≥又设1S 上存在最大值和最小值. (,,)min (,,)x y z S f x y z ∈3,a 1S f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在1S (,,),a a a 又因内部只有惟一可疑点 所以必定有1S f 由于 为一有界闭集,为连续函数, 1\S S 1S ∂而在 及 上,的内部取得. 因此 f 在 1(,,)min (,,)3.x y z S f x y z a ∈==经整理后, 就是 “调和平均不大于几何平均” 这 个著名的不等式: 131113,0,0,0.x yz x y z x y z -⎛⎫++≤>>> ⎪⎝⎭31113,0,0,0.x y z x y zx yz++≥>>>1113,(,,)x y z S x y z a++≥∈最后, 在不等式中, 用 代入, 3a x yz =就得到一个新的不等式::(0,0,0,0).x y z a x y z a Φ++=>>>>23(,,),f x y z x y z =证 设目标函数为23(),L x y zx y z a λ令并使=+++-233220,20,30,0.x y z L y z L x yz L x y z L x y z a λλλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪=++-=⎩*例6 利用条件极值方法证明不等式623108,0,0,0.6x y z x y z x y z ⎛++⎫≤>>>⎪ ⎭⎝约束条件为下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.(,,)f x y z 3RΦΦΦ=⋃∂∈为简单起见, 考虑 在 Φf 由于 为有界闭集,为连续函数 , 因 f Φ此 在 上存在最大、小值.(,,)min (,,)0,x y z f x y z Φ∈=Φ∂这在 上 ( x = 0, 或 y = 0, 或 z = 0 ) 取得. 60()4320,f P a =>0,P Φ∈且故有稳定点0000(,,)(6,3,2).P x y z a a a =由前三式解出代入第四式后得到 2,3,y x z x ==首先, 显然有 上的情形. 而6(,,)(,,)max (,,)max (,,).432x y z x y z a f x y z f x y z ΦΦ∈∈==由此得到不等式623,(,,).432a x y z x y z Φ≤∈又因在 上满足 把它代入上式 , Φ,a x y z =++6623()108.4326x y z x y z x y z ++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭证得注1 在用条件极值方法证明不等式时, 设置合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键. 本例来说 , 也可把上面的条件极大值问题改述为 条件极小值问题: (,,)f x y z x y z=++23x y z a =在条件 约束之下的极小值. 一个问题的这两种处理形式 , 俗称为目标函数与约束条件在形式上的对偶性.p.180 上的例3 同样也是对偶问题. 题的确切提法, 请参阅后面复习思考题的第 5 题. 对于求目标函数前面例5 和教材下册 有关对偶性问注2 如何判断所得稳定点是条件极大 (小) 值点? 这有多种方法可供选用. 用的说理方式; 矩阵, 用极值的充分条件去判别, 只是计算过程十 分繁琐, 不如例5 的做法更加理性 ( 这是利用对偶 性带来的好处 ). 际意义说明所作判断的合理性. 例5 与例6 提供了两种常 教材下册 p.180 例3 通过计算黑赛 此外, 很多实际问题还可借助实1. 例3 的解法对例2 是否适用? 请实践一下, 并作出分析.2. 把例4 关于光滑封闭曲线的命题推广至关于光滑封闭曲面的情形, 并加以证明.3. 例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用于例5 ? 请说出理由.4. 模仿例1, 例5 和例6, 用条件极值方法证明几个以前熟知的重要不等式; 或者创立几个新不等式.5. 以二元函数为例, 证明一个条件极值问题与它的对偶问题是等价的. 即若函数(,)(,)f x y g x y 与000(,)P x y 在点近旁满足连续可微性条件, 且0010020000(,),(,),(,)0,(,)0,y y f x y c g x y c f x y g x y ==≠≠则有如下命题:02(,)P f g x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.01(,)P g f x y c =为目标函数在约束条件之下的稳定点.⇔。

第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。

计算条件极值的常用方法
1. 求导法：对给定函数求导，令导函数为0，解出极值点，然后代入原函数求解极值。

2. 二次函数法：对给定函数进行平移、旋转等变换，使其化为标准形式，再根据经验判断极值点的位置。

3. 图像法：通过画出函数图像，找出极值点的位置。

4. 辅助线法：通过添加一条线，将函数分为两个区域，然后寻找边界点，并判断边界点是否为极值点。

5. 自变量代换法：对给定函数进行自变量代换，将其化为已知函数的形式，然后用已知函数的极值点求解原函数的极值点。

数学分析函数的极值奇异点
以下是我整理的有关于数学分析函数的极值奇异点，仅供参考：
1. 极值点定义
设f(x)在x0的某个邻域U(x0)内有定义，如果对去心邻域U ˚ {U}U˚内任一x0，有f(x)&lt;f(x0) (或f(x)&gt;f(x0)),那么称f(x0)是f(x)的一个极大值(极小值)。

2. 求极值点步骤
1)求出导数f ˙ \dot{f}f˙(x)2)求出全部驻点（f ˙ \dot{f}f˙(x)=0的点）与不可导点3）判断这些驻点与不可导点中哪些是极值点判断依据：若左右邻域内导数异号，则是极值点；若左右邻域内导数不是异号，看满不满足极值点定义，满足则是极值点，否则不是。

如下这个跳跃间断点也是极大值点。

1. 拐点定义
y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点，如果曲线y=f(x)在经过点（x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称(x0,f(x0))为这个曲线拐点。

二者比较
拐点要求所在区间I内连续，极值点则不要求
2、左右领域内f ˙ ( x ) \dot{f}(x)f˙(x)异号⇒极值点（充分不必要）左
右领域内f ¨ ( x ) \ddot{f}(x)f¨(x)异号⇔拐点（充要）。