摘要条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用.本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用.关键词：条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法AbstractConditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions.In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induction and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean Value Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary quadratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale plan and other practical problems through examples.Key words:Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (4)第1章基础知识 (5)1.1 隐函数的概念 (5)1.2隐函数定理 (5)1.3极值 (6)1.3.1 无条件极值 (6)1.3.2 条件极值 (7)第2章条件极值的解法 (8)2.1拉格朗日乘数法 (8)2.2 不等式法 (14)2.2.1 均值不等式 (14)2.2.2 柯西不等式 (15)2.3 梯度法 (16)2.4 三角函数法 (18)2.5 对称函数法 (19)2.6 数形结合法 (20)2.7 比较法 (21)第3章条件极值的应用 (23)3.1 在物理学中的应用 (23)3.2 在不等式证明中的应用 (24)3.3 在渠道设计中的应用 (24)3.4 在生产销售中的应用 (25)3.4.1 生产成本最小化方案 (26)3.4.2 利润最大化方案 (26)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)绪论条件极值问题是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究. 拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一种重要方法，对拉格朗日乘数法的研究可以为相关理论应用到集值分析、优化等领域奠定理论基础. 另一方面，对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.国内外，有许多学者在研究条件极值，取得了丰硕的成果. 在国内，2000年，王延源[1]阐述了解决条件极值问题的几种有效方法. 2003年，查中伟[2]介绍了在生产中利用条件极值理论的经济意义. 2009年，侯亚红[3]通过例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法. 2010年，赵德勤、殷明[4]讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式. 2011年，孙海元、孙永妃[5]结合具体实例介绍了几种特殊的求解条件极值问题的方法，并给出了各方法的适用范围.在国外，2000年，E.M.Safro[6]介绍了条件极值理论在最优化方面的相关应用. 2007年，Karamzin与D.Yu[7]讨论了条件极值的必要条件在优化领域中的应用. 2008年，Tikhomirov[8]简单地叙述了解决条件极值问题的几种常见方法. 2011年，V.A.Samgin[9]阐述了如何求解在一定条件下的极值问题.本文主要研究条件极值及其应用. 第一章对条件极值的理论作简单的介绍，为下文奠定理论基础. 第二章重点对条件极值的解法进行探讨，本部分将结合具体实例，采用由易到难，归纳总结的方法. 针对不同问题的特点给出求不同类型条件极值问题的常用方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并通过对方法的比较研究，总结各方法的优缺点与适用范围. 第三章主要阐述如何应用函数的条件极值理论解决一些实际问题，分别介绍条件极值在数学、物理学等学科中的应用，及在优化方面的实际应用.第1章 基础知识1.1 隐函数的概念隐函数是表示函数f 变量间对应关系的一种方法，它与我们平时接触的函数有所区别，也就是对应关系不明显地隐含在方程中. 由于隐函数在条件极值问题中占有非常重要的地位，因此，这一节将简略地介绍隐函数的相关概念.定义 1.1[10] 设有两个非空数集A 与B . 若A x ∈∀，由二元方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈，则称此对应关系f （或写成)(x f y =）是二元方程0),(=y x F 确定的隐函数.例如，二元方程448),(+-=y x y x F 在R 上确定一个隐函数.类似地将二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数推广到含1+n 个变量y x x x n ,,,,21 的方程0),,,,(21=y x x x F n中.若存在点),,,(002010n x x x Q =的邻域N ，N x x x Q n ∈∀),,,(21 ，通过上面的方程存在唯一一个y 与之对应，假设),,,(21n x x x f y =，则有0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F就可称n 元函数),,,(21n x x x f y =是由方程0),,,,(21=y x x x F n 确定的隐函数.1.2 隐函数定理在上一节中介绍了隐函数的概念，那么给定一个方程0),(=y x F ，满足什么条件时，此方程才存在隐函数呢？在本节我们将继续讨论隐函数的存在性.定理 1.1[11] 若二元函数),(y x F z =在以点),(00y x 为心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1) ),(y x F x 与),(y x F y 在D 连续(从而),(y x F 在D 连续)，2) 0),(00=y x F ，3) 0),(00≠y x F y ，则 ⅰ) 0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =(隐函数)，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且ββ+<<-00)(y x f yⅱ) )(x f y =在区间∆连续.ⅲ) )(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()(y x F y x F x f y x -=' 其中，我们用),(y x F x 、),(y x F y 表示),(y x F 关于x 、y 的偏导数，也可简记为x F 、y F .类似地，我们可以推出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的含有1+n 个自变量的隐函数.定理 1.2[11] 若函数),,,,(21y x x x F z n =在以点),,,,(000201y x x x P n 为心的矩形区域G 满足下列条件：ⅰ) 1x F ,2x F ,…,n x F ,y F 在G 连续(从而F 在G 连续)，ⅱ) 0),,,,(000201=y x x x F n ， ⅲ) 0),,,,(000201≠y x x x F n y ，则存在点),,,(00201n x x x Q 的邻域U ，在U 内存在唯一一个有连续偏导数的n 元(隐)函数),,,(21n x x x f y =，使0)],,,(,,,,[2121≡n n x x x f x x x F),,,(002010n x x x f y =且yx k F F x y k -=∂∂ ),,2,1(n k =1.3 极值极值的概念源自于日常生活中的最值问题，可根据自变量是否受到其它条件的限制，把条件极值问题分为无条件极值与条件极值两类. 本节我们将分别介绍无条件极值与条件极值的基础知识.1.3.1 无条件极值定义 1.2[12] 设n 元数值函数),,,()(21n x x x f x f =在点),,,(21n a a a a =邻域有定义. 如果存在0>η，使得)()(a f x f ≥,))()((a f x f ≤, ),(ηa U x ∈∀那么我们就说函数f 在点a 取得极小值(极大值). 极小值和极大值统称极值.1.3.2 条件极值然而在计算函数的极值时，所求函数的自变量往往要受到一些条件的限制. 如求曲面0),,(=z y x F 与原点的距离时，就可转化为求函数222),,(z y x z y x f ++=的最小值，而其中的自变量x 、y 、z 并不是独立存在的，要满足0),,(=z y x F 这一条件，这种问题称为条件极值问题.定义1.3[13] 实值函数),,,()(21n x x x f x f y ==在满足以下函数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(...),,,(),,,(21212211n m n n x x x x x x x x x ϕϕϕ n m ≤ (1-1) 的极值称为条件极值. 式(1-1)称为函数f 的约束条件，函数f 常称为约束条件下极值问题的目标函数.第2章 条件极值的解法条件极值的求解方法有很多种，本章采用结合具体例子的方法，归纳总结出几种求解条件极值的方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并比较得出各方法的难易程度、适用条件以及注意事项.2.1 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题时常用的方法. 我们先从最简形式的二元函数说起，即求目标函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下取得极值，如果目标函数),(y x f g =在),(00y x 取到极值，那么就应该满足0),(00=y x ϕ. 若),(y x f 、),(y x ϕ在),(00y x 的某领域内都有一阶连续偏导数，且0),(≠y x y ϕ，根据满足隐函数存在的条件,可设由方程0),(=y x ϕ所确定的隐函数是)(x q y =，则点0x 成为函数))(,(x q x f g =的极限点，因此有0)(),(),(000000='+==x q y x f y x f dxdgy x x x 根据隐函数的求导公式可得 ),(),()(00000y x y x x q y x ϕϕ-=' 则有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ 即0=-x y y x f f ϕϕ，故 0),(),(=-⋅x y y x f f ϕϕ由此可见，向量),(y x f f 与向量),(x y ϕϕ-正交，而向量),(y x ϕϕ与向量),(x y ϕϕ-也正交，可得向量),(y x f f 与向量),(y x ϕϕ相性相关，故可知存在实数λ，使得0),(),(=+y x y x f f ϕϕλ即⎩⎨⎧=+=+00y y x x f f λϕλϕ由以上的讨论我们可以得出，函数),(y x f g =在约束条件0),(=y x ϕ下的条件极值点是以下方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.由上述讨论产生一个重要的思想：通过引入辅助函数的方法，把条件极值的相关问题转化为关于所构建函数的一般极值问题.对目标函数),,,(21n x x x f y =和约束函数).,,2,1)(,,,(21n m m k x x x n k <= ϕ，我们可以引入辅助函数∑=+=mk n k k n m n x x x x x x f x x x G 121212121),,,(),,,(),,,,,,,( ϕλλλλ上述函数称为拉格朗日函数，m λλλ,,,21 称为拉格朗日乘数.定理 2.1[14] 设),,,(21n x x x f y =，),,,(21n k x x x ϕ).,,2,1(n m m k <= ，在以点),,,(00201n x x x P 为内点的区域D 内连续可微，P 是满足条件)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ且使函数),,,(21n x x x f 取得极值的点，若矩阵p x x x x x x x x x n m m mn n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ212221212111 的秩为m ，则存在m 个常数01λ，02λ，…，0m λ，可使),,,,,,,(0020100201n n x x x λλλ 是拉格朗日函数G 的稳定点，则),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 为以下m n +个方程组的解⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x fx x x f ϕϕϕλϕλϕλϕλ (2-1) 以上求解条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，用它求解条件极值问题的一般步骤是：1) 根据上述拉格朗日乘数法，构建辅助函数m m f G ϕλϕλϕλ++++= 22112) 求辅助函数的稳定点，即方程(2-1)的解. 设解是),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ，在求解的过程中可以消去k λ，从而求得满足方程组的稳定点),,,(00201n x x x . 3) 根据问题的实际意义，如果条件极值存在，且方程组只有唯一的一个稳定点， 则该点一定是函数的极值点.例2.1抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离.解 本问题实际为求函数222),,(z y x z y x f ++=在约束条件z y x z y x -+=22),,(ϕ，1),,(-++=z y x z y x γ下的最值问题.根据拉格朗日乘数法，构建函数)()1(2221222z y x z y x z y x G -++-+++++=λλ其中1λ、2λ为参数，令函数G 的每个一阶导数均为0. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-++=∂∂=-+=∂∂=++=∂∂=++=∂∂001020220222221212121z y x G z y x G z z G y y yG x x x G λλλλλλλλ 前两个方程作差，可求得0)1)((2=+-λy x ，那么y x =或12-=λ. 如果12-=λ，则可知01=λ，21-=z ，不满足方程组. 所以y x =，把y x =代入方程组中，得 ⎩⎨⎧=+=1222z x x z 解出两个稳定点为)32,231,231(+----和)32,231,231(-+-+-. 根据本题的实际意义可知，必存在最短距离与最长距离，所以上述两点即为所求的极值点，从而求得距离函数222z y x d ++=的最小值359-和最大值359+.在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取得条件极值的必要条件. 上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点. 那么在求解没有赋予实际意义的函数的条件极值时，应该如何来判断稳定点的极值性，是一个需要解决的问题. 下面就来给出证明条件极值的一个充分条件，方便我们快速、有效地处理在做题过程中所遇到的各种问题.定理2.2[15] 设)(x f 与),,,(21n k x x x ϕ，)(,,2,1n m m k <= 都在),,,(00201n x x x 的某邻域)(0x U 内有二阶连续偏导数，记)),,,()(()(),(121∑==+=mk m k k x x f x G λλλλϕλλ ，如果ⅰ) ),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ 是方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂0),,,(0),,,(00212111111111n m n n m m n n m m x x x x x x x x x f x x x fϕϕϕλϕλϕλϕλ的解；ⅱ) 函数)()()(10x x f x k mk k ϕλ∑=+=Φ关于n x x x ,,,21 在0x 处的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂∂∂Φ∂=n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x H )()()(.........)()()()()()()(0220210220222021202102210211020其中j i ji ij x x x x x ∂∂Φ∂=Φ=Φ)()()(0200，则有：(1) 当)(0x H 正定时，)(0x f 为条件极小值； (2) 当)(0x H 负定时，)(0x f 为条件极大值； (3) 当)(0x H 不定时，)(0x f 非极值.证明 )(),...,,()(002021010x U g x g x g x g x n n ∈+++=+∀)),...,,((21n g g g g =，根据多元函数的泰勒公式可知∑∑∑===+Φ+Φ+Φ=+Φnj n i nj j i ij j j g g g x g x x g x 1110000)(!21)()()(θ)10(<<θ (2-2)由ⅰ)可知∑==mk kk x 1000)(ϕλ，0),()(000==Φλx G x j j因此可以得到)()()()(001000x f x x f x k m k k =+=Φ∑=ϕλ，0)(01=Φ∑=j nj j g x然后，把(2-2)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x )(!21)()(01100θ+Φ+=+Φ∑∑== (2-3)如果g x +0满足方程0)(=x k ϕ，根据ⅱ)可知)()()()(001000g x f g x g x f g x mk k k +=+++=+Φ∑=ϕλ把(2-3)化为：j i n i nj ij g g g x x f g x f )(!21)()(01100θ+Φ+=+∑∑== (2-4)因为函数)(x f 、)(x k ϕ在)(0x U 均存在二阶连续偏导数，所以函数j i ni nj ij g g x x Q )()(11∑∑==Φ=在)(0x U 内连续.(1) 当)(0x H 正定时，0≠∀g ，有0)(0>x Q 恒成立，根据连续函数的性质，知0x ∃的某邻域)()(001x U x U ⊆，使得在满足)(01x U x ∈且0≠g 的条件下，有0)(>x Q 恒成立. 对于满足约束方程的任意一点)0)(()(010≠∈+g x U g x ，根据(2-4)可得0)(!21)()(000>+=-+g x Q x f g x f θ 所以)()(00x f g x f >+. 根据条件极值的定义，得出)(0x f 为)(x f 的极小值.(2) 当)(0x H 负定时，同理可证.(3) 当)(0x H 不定时，j i ni nj ij g g x x Q )()(0110∑∑==Φ=即为不定，所以在0x 的某邻域内)(0g x Q θ+内的符号不能确定，即)()(00x f g x f -+的符号不能确定，因此)(0x f 不是极值. 证毕.根据条件极值的必要条件与充分条件，可总结下列求解条件极值的步骤：1) 求拉格朗日函数的稳定点),,,,,,,(0020100201m n x x x λλλ ；2) 构建函数∑=+=Φmk k k x x f x 10)()()(ϕλ，求出)(x G 在0x 处的Hessian 矩阵)(0x H ；3) 利用定理2.2判断函数的极值，当)(0x H 为半定时，采用其它方法.例 2.2 求函数z y x z y x u 22),,(-+=在约束条件36),,(222-++=z y x z y x ϕ下的极值.解 构建拉格朗日函数)36(22),,,(222-+++-+=z y x z y x z y x G λλ令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=+=∂∂036022021022222z y x G z zGy y Gx x Gλλλλ解得两个稳定点)41,4,2,4(1--=P ，)41,4,2,4(2--=P ，),,(λy x G 的Hessian 矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ20020002),,(y x H 因为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21000210021)(1p H 是负定的，所以),4,2,4(1-=P 为条件极大值点，且最大值为18；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=210002100021)(2p H 是正定的，所以)4,2,4(2--=P 为条件极小值点，且最小值为18-；2.2 不等式法不等式的应用非常广泛，灵活运用不等式的相关知识，可以解决一些比较困难的问题. 下面就均值不等式、柯西不等式来说明它在条件极值问题中的应用.2.2.1 均值不等式定理 2.3[16] 设n a a a ,,,21 是n 个正数，我们把na a a n+++ 21和n n a a a 21分别叫做这n 个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为)(a A n ，)(a G n . 对于上述n 个正数n a a a ,,,21 ，有nn n a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时，等号成立.这个不等式称为均值不等式.证明 证明均值不等式的方法有很多种，下面我们以逐次调整法来加以说明.n a a a ,,,21 中一定存在最小值与最大值，那么设1a 、2a 分别为n 个正数中的最小值与最大值. 易得21221)2(a a a a ≥+，用221a a +，221a a +取代1a ，2a . 可以发现)(a A n 不变，但)(a G n 增大，也就是∑==++++++ni i n a n a a a a a a n 1321211)22(1 nn nn a a a a a a a a a 321212122+⋅+≤ 对于每个n ，最多进行1-n 次有限次的代换. 即n n n n n n n n n n A A A A a a a a a a a a G =≤≤+≤= ...)2()(322121 故)()(a A a G n n ≤，当且仅当n a a a === 21时，等号成立. 证毕.在利用均值不等式求解函数的条件极值时，有时需要把函数进行变形，然后再利用“和定”求积的极大值或“积定”求和的极小值来求解. 也就是要满足条件“一正二定三相等”.例2.3 已知71111=++z y x )0,0,0(>>>z y x ，求z y x z y x f ++=),,(的极小值. 解 因为0,0,0>>>z y x ，所以71)(7),,(⋅++=++=z y x z y x z y x f)111()(7z y x z y x ++⋅++=)3(7xz z x y z z y x y y x ++++++= 63)2223(7=+++≥当且仅当21===z y x ，等号成立，所以z y x z y x f ++=),,(的最小值为63.2.2.2 柯西不等式数学家柯西在研究“流数”问题时，得到了非常重要的柯西不等式，它对一些函数的最值、极值问题有更简便的解决方法.定理2.4[17] 如果n a a a ,,,21 ，n b b b ,,,21 为两组实数，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++当且仅当k b a b a b a nn ==== 2211(常数)时，等号成立，这个不等式称为柯西不等式.可以简述为“方和积不小于积和方”.证明 采用数学归纳法证明 当1=n 时，结论显然成立. 当2=n 时，))((2)(22212221222221222221212122222211212122211b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++=+++≤++=+当且仅当1221b a b a =时等号成立.假设当k n =时，等式成立，即∑∑∑===≤ki ki ki iii i bab a 111222)(，当且仅当i j j i b a b a =等号成立，这里k j i ,,2,1, =.因此，当1+=k n 时，))((21122112112112+=+=+=+=++=∑∑∑∑k ki i k ki i k i ik i ib b aa ba∑∑∑∑=+++=+==+++=ki k k i k ki ik ki iki ib a baabba1212122112211212212112121112122++==++==++≥∑∑∑∑k k ki i ki i k k ki iki lb a ba b a ba211212111121)(2)(∑∑∑+=++=++==++≥k i i i k k ki i i k k ki i i b a ba b a b a b a当且仅当jji i b a b a =，k j i ,,2,1, =时，等号成立. 即定理2.4成立. 证毕.例2.4 已知9)1()2()4(222=-+-++z y x ，求z y x z y x f 22),,(-+=的最值. 解 将z y x z y x f 22),,(-+=变形为2)1(2)2(2)4(),,(----++=z y x z y x f设)1(2)2(2)4(),,(---++=z y x z y x q根据上述柯西不等式和已知条件，有81])1()2()4][()2(21[)]1(2)2(2)4[(2222222=-+-++-++≤---++z y x z y x即9)1(2)2(2)4(9≤---++≤-z y x当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-+-++=--=-=+9)1()2()4(212214222z y x k z y x 时，等号成立. 解当1,4,3,1-==-==z y x k 时，),,(z y x q 取得最大值9；当3,0,5,1==-=-=z y x k 时，),,(z y x q 取得最小值9-.所以),,(z y x f 的最大值为7，最小值为11-.2.3 梯度法定义2.1[18] 设2R D ⊂为开集，D y x ⊂),(00为定点. 如果函数),(y x f z =在),(00y x 点可偏导，则称向量)),(),,((0000y x f y x f y x 为f 在点),(00y x 的梯度，记为j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=采用梯度法求解目标函数),,,(21n x x x f y =在约束条件0),,,(21=n k x x x ϕ限制下的条件极值，其中n m m k ≤=,,,2,1 .首先，应求出目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量),,,(21nx f x f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 假设m m ϕλϕλϕλϕ+++= 2111是m 个约束条件相交部分的方程，这样就可以把多个条件转化为一个条件. 曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的法向量是),,,(21nx x x n ∂∂∂∂∂∂=→ϕϕϕ 其中im m i i i x x x x ∂∂++∂∂+∂∂=∂∂ϕλϕλϕλϕ2211再设曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的切平面的切向量是),,,(21n p p p p =→则02211=∂∂++∂∂+∂∂=⋅→→nn x p x p x p n p ϕϕϕ 然后令0132====-n p p p ，得n m mnmm nn p x x x x x x p 112211122111∂∂++∂∂+∂∂∂∂++∂∂+∂∂-=ϕλϕλϕλϕλϕλϕλ 从而得到一个向量),,0,(1n n n p x p x ∂∂∂∂-ϕϕ 消去n p ，于是得到),,0,(1x x n ∂∂∂∂-ϕϕ 类似地，可得到另外2-n 个向量，),0,,0,,0(2x x n ∂∂∂∂-ϕϕ ，…，),,0,,0,0(1-∂∂∂∂-n n x x ϕϕ 最后，把这1-n 个向量与),,,(21nx fx f x f gradf ∂∂∂∂∂∂= 作内积，就可得到如下1-n 个方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂--n n nn n n nn x x x f x f x x x f x f xx x f x f ////////////112211ϕϕϕϕϕϕ 再将上述方程与m 个约束条件联立，通过解该方程组，就可以求出稳定点.例2.5 求平面0=++c b a 与椭球面142222=++=c b a ϕ相交的椭圆的面积. 解 椭圆的面积是mn π，这里m 、n 是椭圆上的点与原点的最小与最大距离. 所以本题可转化为求222),,(c b a c b a f ++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++140222c b a c b a下的最小值与最大值.令c b a ++=1ϕ，142222-++=c b a ϕa a f 2=∂∂，b b f 2=∂∂，c c f 2=∂∂ 11=∂∂a ϕ，11=∂∂b ϕ，11=∂∂c ϕa a 22=∂∂ϕ，b b 22=∂∂ϕ，c c82=∂∂ϕ代入方程组可以得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=++⋅+⋅+=⋅+⋅+=01408222822222221212121c b a c b a cbc b cac a λλλλλλλλ 解方程组得)32,62,62(),,(111-=c b a ，)32,62,62(),,(222--=c b a )0,21,21(),,(333-=c b a ，)0,21,21(),,(444-=c b a容易得出f 在前两个点的值均为31，在后两个点的值均为1，因此可知31=m ，1=n . 所以求得的椭圆面积为3ππ=mn .2.4 三角函数法三角函数法，即是用三角函数或三角函数式代替原函数解析式中的变量，进而借助三角函数求出极值的一种方法.在作代换时，应从函数解析式中变量的允许值与解题的需要去考虑，选择最恰当的三角函数或三角函数式去替换.例2.6 已知实数x 、y 满足方程9922=+y x ，求函数y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值.解 设t x cos 3=，t y sin =，其中t 为参数且π20≤≤t ，代入),(y x f 的表达式中，得t t t t t t t f sin 3cos 3sin 9cos sin 9cos 9)(22++++=即t t t t t t t f sin cos 9)sin (cos 3)sin (cos 9)(2-+++=因为]1)sin [(cos 29sin cos 92-+=t t t t所以有29)sin (cos 29)sin (cos 3)sin (cos 9)(22++-+++=t t t t t t t f即29)sin (cos 3)sin (cos 29)(2++++=t t t t t f 又由于2)4sin(2sin cos ≤+=+πt t t所以232272923)2(29)(2+=+⨯+⨯≤t f 即y x y xy x y x f 393),(22++++=的最大值为23227+.2.5 对称函数法定义2.2[19] n 元函数),,,(21n x x x f u =，若存在),(n j n i j i ≤≤≠，使),,,,,,(),,,,,,(11n i j n j i x x x x f x x x x f =则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量i x 与j x 的对称函数.定义 2.3[19] 若对任意的),(n j n i j i ≤≤≠，n 元函数),,,(21n x x x f u =都是关于自变量i x 与j x 的对称函数，则称函数),,,(21n x x x f u =是关于自变量n x x x ,,,21 的对称函数(简称对称函数).在求解多元函数的条件极值时，只要所求的目标函数),,,(21n x x x f u =与其约束函数),,,(21n x x x ϕ都是对称函数，则可通过解方程组⎩⎨⎧====n n x x x x x x 21210),,,(ϕ 求出可能的极值点，从而求出极值.例2.7 求函数)(2yz xz xy f ++=在条件xyz =ϕ下的最小值.解 很明显能够看出约束条件xyz =ϕ是对称函数，而目标函数)(2yz xz xy f ++=仅是关于x 、y 对称，令z g 2=，那么目标函数与约束条件分别为yg xg xy f ++=，xyg =ϕ2f 与ϕ2均是对称函数，则可解方程组⎩⎨⎧===g y x xygϕ2 得32ϕ===g y x223ϕ=z 即当x 、y 、z 分别为32ϕ、32ϕ、223ϕ时，函数f 取到最小值为32256ϕ.2.6 数形结合法数形结合法是借助于函数图像的性质解决实际问题的一种方法，因此，我们可以依据所求目标函数的几何意义，如点到直线的距离、圆的直径等性质来求得目标函数的极值.例2.8 求22y x +在922=++y xy x 下的最值. 解 设n m x +=，n m y -=，则932222=+=++n m y xy x故13)3(2222=+n m 由于)(22222n m y x +=+所表示的是坐标原点到椭圆上点的距离平方的2倍，所以最小值为短轴长平 图 2-1 转化图 方的2倍6，最大值为长轴长平方的2倍18.m2.7 比较法在给出了几种求条件极值的方法后，能够选择最恰当的方法解决问题是关键，下面我们将依次用朗格朗日乘数法、均值不等式法、梯度法、三角函数法求解例 2.8，以说明这一问题.解法一 拉格朗日乘数法设拉格朗日函数)9(),,(2222-++++=y xy x y x y x G λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=++=∂∂=++=∂∂090)2(20)2(222y xy x G x y y yG y x x x G λλλ 解得22y x =，当y x =时，3±==y x ，此时22y x +取到最小值6；当yx -=时，3=-=y x 或3==-y x ，此时22y x +取到最大值18.解法二 均值不等式法(1) 当0>x ，0>y 时，有222y x xy +≤，当且仅当y x =时，等号成立. 所以有 9290222222-+++≤-++=y x y x y xy x 即9)(2322≥+y x ，所以622≥+y x ，当取到最小值6时，3==y x . (2) 当0>x ，0<y 时，设m y -=，此问题则可转化为求在条件922=+-m xm x 下22y x +的最值，因为222m x xm +≤，所以有 2222222222m x m m x x m xm x +=++-≥+- 所以18)(22222=+-=+m xm x m x ，即最大值是18，此时3=x ，3-=y .(3) 当0<x ，0<y 时，设m x -=，n y -=，问题转化为(1)进行求解.(4) 0<x ，0>y 时，问题转化为(2)进行求解.解法三 梯度法令22y xy x ++=ϕ，22y x f +=x xf 2=∂∂，y y f 2=∂∂ y x x+=∂∂2ϕ，x y y +=∂∂2ϕ 代入方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=9)2()2(2222y xy x x y y x y x λλ解得22y x =，以下同拉格朗日乘数法.解法四 三角函数法设t a x cos =，t a y sin =，则有9)2sin 211(222=+=++t a y xy x t a y x 2sin 2119222+==+ 所以当12sin =t 时，即3±==y x 时，22y x +取到最小值6；当12sin -=t 时，即3=-=y x ，3==-y x 时，22y x +取到最大值18.通过对该题的分析，我们发现采用拉格朗日乘数法、均值不等式法与梯度法解题时，其过程都比较复杂，而用三角函数法与数形结合法可以很快速的求出结果，所以说每一种方法都不是万能的，都有属于自己的适用条件.拉格朗日乘数法是求解条件极值的一种通用方法，同时也是众多方法中最常用的一种方法，特别是在遇到约束条件比较多的问题时，采用拉格朗日乘数法更为方便.除了拉格朗日乘数法与梯度法，其它几种为初等数学的方法，在运用的过程中技巧性比较强，同时也存在一定的局限性. 但是掌握好初等数学的几种方法，对于求解条件极值问题有时会更加方便，所以在求解条件极值问题时，要根据题目的特点选择最优的解决方法，从而达到快速解决问题的目的.第3章 条件极值的应用条件极值在科学研究、工程设计、经济管理、工农业生产等领域都有广泛的应用，下面着重介绍条件极值在物理、不等式证明、渠道设计、生产销售方面的应用.3.1 在物理学中的应用条件极值问题在物理学中有很大的作用，以光的折射定律的证明为例.例 3.1 假设定点M 和N 在以平面分开的两种不同的光介质中，从M 点射出的一条光线通过折射到达N 点，光在两种介质中的传播速度为u 与v ，问怎样使传播的时间最短？解 设M 点与平面的距离为m ，N 点与平面的距离为n ，如下图所示令l AB =，光线从M 射到O 点需要的时间是au m cos ， 同理，从N 到O 点的时间是βcos v n ，且BO AO l +=， 所以可以得到l n m =+βαtan tan ，可将问题转化为关于α，β的一个函数βαβαcos cos ),(v n u m g += 在约束条件l n m =+βαtan tan 下的最小值. 图 3-1 光的折射图 构建拉格朗日函数)tan tan (cos cos ),,(l n m v n u m G -+++=βαλβαλβα， 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂0tan tan 0cos cos sin 0cos cos sin 2222l n m G n v n G m u m G βαλβλβββαλααα 解得vu βαλsin sin -=-= βαA O M B N所以光线入射角和折射角需要满足条件：vu =βαsin sin 时，光线的传播时间为最短. 此公式即为光的折射定律.3.2 在不等式证明中的应用对于不等式的证明，有时采用常规的方法，其证明过程很复杂，而且不容易推导出结果. 但在证明过程中，如果能利用条件极值的知识，找到适当的目标函数与约束条件，利用最优化的原理去证明不等式，则可使问题变得简单易证.例3.2 3216333=++c b a ，其中0>a ，0>b ，0>c ，证明：8222≤++c b a . 证明 本题可转化为求函数222),,(c b a c b a g ++=在约束条件3216333=++c b a 下的最大值问题，可采用拉格朗日乘数法进行求解.首先，构造辅助函数：)3216(),,(333222-+++++=c b a c b a c b a G λ 令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂03216032032032333222c b a G c c c G b b b G a a a G λλλλ 解得唯一的稳定点38000===c b a ，因为222),,(c b a c b a g ++=在约束条件下有最大值，所以8)38(32222=≤++c b a ，因此不等式成立. 3.3 在渠道设计中的应用在渠道设计中，对水力最佳断面的研究是很重要的. 水力最佳断面为渠道过水断面面积、糙率、底坡确定时，通过流量最大的断面；或是渠道的底坡、流量、糙率确定时，过水断面面积最小的断面[19].例 3.3 如图所示，h 表示水的深度，a 表示底的宽度，b 表示边坡系数，A 表示湿周，S 表示过水断面的面积，G 表示流量，R 表示水力半径，i 表示糙率，d 表示底坡.分析 明渠均匀流的公式为21322132)(d A S i S d R i S G ==，由上述公式可知，渠道的底坡d 、过水断面的面积S 、糙率i 确定时，在使过水断面的湿周A 为最小值时，渠道通过的流量G 为最大. 过水断面的面积h bh a S )(+=，梯形的断面湿周212b h a A ++=.解 此问题即是求212b h a A ++=在条件h bh a S )(+=下取最小值时a 、h 、b 所要满足的条件.根据h bh a S )(+=得出，bh h S a -=，代入212b h a A ++=中，有212b h bh h S A ++-= 要保证A 取到最小值，则有 图 3-2 最佳断面示意图012)(122222=++-+-=++--=b b hh bh a b b h S dh dA 整理可得宽深比为b b ha 2122-+= 同时有02322>=hS dh A d 因此渠道水力的最佳断面的宽深比即是满足断面最小湿周的条件，宽深比为b b ha 2122-+=3.4 在生产销售中的应用生产与销售是厂商常讨论的问题，销售价格的上涨，虽然能够增加单品上的利润，但同时可使消费者的购买欲望大大降低，造成销量减少，最终致使厂家的产量减少. 在生产过程中，单品的生产成本是随着产量的增加而降低的，所以，在生产销售中成本、销售量、售价是相互关联的，因此选择合理的销售方案对获得最大利润是至关重要的. 下面就利用条件极值理论设计生产销售中的最优方案.3.4.1 生产成本最小化方案例 3.4 设某地某家工厂一件商品的生产函数是21214K L P =，及相应地成本函数是K L K Q L Q D K L 82+=+=，若产量64=P 时，请设计使成本最低的投入组合以及最低成本是多少？解 本题属于在使成本最低的情况下，如何投入两种生产要素的问题，即成本函数作为目标函数，生产函数作为约束条件的条件极值问题.首先，构造拉格朗日函数)464(82),,(2121K L K L K L G -++=λλ 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂=-=∂∂--0464028022212121212121K L G K L K G K L L G λλλ 解得32=L ，8=K ，因为所求的稳定点是唯一的，且根据本题的实际意义，可以得出此稳定点即为极值点.因此，当32=L ，8=K 时，可使成本最低，最低成本为12888322=⨯+⨯=D .3.4.2 利润最大化方案例 3.5 某家工厂想在两个不同的市场销售同种产品，已知两个市场对产品的需求可用以下两个函数表示11218P C -=，2212P C -=，并且生产该产品的成本函数可表示为52+=P D ，其中1P 与2P 表示产品在两个市场的需求量，1C 与2C 表示两种商品的价格，且销售总量为21P P P +=.(1) 如果企业实行销售价格有差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的售价与销量.(2) 如果实行销售价格无差别策略，问为了保证该企业的利润最大，如何确定该产品在两个市场内的统一售价与销量.并比较两种策略中哪个能使利润最大.解 (1) 根据题意，利润D P C P C G -+=2211整理得521016222121---+=P P P P G令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂021*******11P P G P P G 解得唯一的稳定点为)5,4(，又由于4212-=∂∂P G ，2222-=∂∂P G ，0212=∂∂∂P P G ，由此可知08)(2222122212<-=∂∂⋅∂∂-∂∂∂P G P G P P G ，且04212<-=∂∂P G ，所以)5,4(为极大值点，此时两种商品的价格101=C ，72=C ，最大利润52)5,4(=G .(2) 实行无差别价格策略，即21C C =，则有6221=-P P .于是构造拉格朗日函数)62(521016),,(2122212121--+---+==P P P P P P P P Q λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂=+-=∂∂062021002416212211P P Q P P Q P P Q λλλ 得51=P ，42=P ，2=λ，由于)5,4(是唯一的可能极值点，由问题的实际意义，最大值一定存在，)5,4(即为所求的最大值点，此时821==C C ，总利润达到最大，且利润最大值为49)4,5(=G .综上所述，该企业实行有差别价格策略利润最大.例3.6 某地一家电冰箱厂要根据下面的数据确定某种电冰箱的价格.(1) 根据对市场的调查，当地对这种电冰箱的年需求量是400万台；(2) 在去年该厂一共销售40万台，每台的售价是3000元；(3) 只生产一台电冰箱时的成本是3000元，但是在生产1万台以上时，成本降为每台1500元.解 根据题意可建立如下函数：设这种电冰箱的总销量是x ，销售价格是a ，生产每台的成本是b ，那么利润可表示为x b a x a b g )(),,(-=依据市场的相关分析，销售量和销售价格存在如下关系ra Qe x -=，0>Q ，0>r其中Q 表示市场的最大需求量，r 价格系数，从公式中可以看出，销售量随着销售价格。
