(完整word版)北京理工大学数学专业离散数学期末试题(MTH17068,MTH17175)

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。

答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

课程编号：MTH07034 北京理工大学2015-2016学年第二学期2015级离散数学期末试题（A卷）班级学号姓名成绩1.选择题（共10题, 每题1分）1)设p：我有时间，q：我去旅游，下面哪个命题可以符号化为p→q？( )A. 除非我有时间，我才去旅游.B. 除非我去旅游，否则我没时间.C. 只有我有时间，我才去旅游.D. 我去旅游仅当我有时间.2)设C(x)表示x是运动员，G(x)表示x是强壮的，则命题“没有运动员不是强壮的”符号化为哪个公式？( )A. ¬∀x(C(x)∧¬G(x))B.¬∀x(C(x)→¬G(x))C. ¬∃x(C(x)∧¬G(x))D.¬∃x(C(x)→¬G(x))3)设F(x)表示x是火车，G(y)表示y是汽车，H(x,y)表示x比y快，则命题“有的汽车比所有的火车快”符号化为下面哪个公式？( )A. ∃y(G(y)→∀x(F(x)∧H(x,y)))B. ∃y(G(y)∧∀x(F(x)→H(y,x)))C. ∀x∃y(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))D. ∃y(G(y)→∀x(F(x)→H(x,y)))4)下列推理哪个是不正确的？( )A. 前提：⌝p∨ (q→r), ⌝s∨p, q结论：s→rB. 前提：(p∨q)→ (r∧s), (s∨t)→u结论：p→uC. 前提：(p∧q) →r, r→s, ⌝s∧p结论：qD. 前提：p→ (q→r), p , q结论：r∨s5)下面哪个命题公式是永真式？( )A. (p∨q) →⌝rB. (q→p)∧q→pC. ⌝(⌝p∨q)∧qD. ⌝(p→q)↔r6)下列命题中错误的是哪个？( )A. x∈{x}⋃{{x}}；B. {x}⊆{x}-{{x}}；C. 若A={x}⋃x，则x∈A且x⊆A；D. A-B=∅⇔ A=B.7)下列命题中正确的是哪个？( )A. 若A⋂B=A⋂C，则B=C；B. 若A⋃B=A⋃C，则B=C；C. 若A⊕B=A⊕C，则B=C；D. 若A⊂B且C⊂D，则A⋂C⊂B⋂D.8)集合A={1,2,3,6}，A上的整除关系具有的性质是下面的哪个？( )A. 自反的、对称的、可传递的；B. 反自反的、对称的、可传递的；C. 自反的、反对称的、可传递的；D. 反自反的、反对称的、可传递的.9)设<A, ≼>为偏序集, B⊆A,下面描述错误的是哪个？( )A. B的下界、上界一定存在；B. B的下确界、上确界不一定存在；C. B的下确界、上确界如果存在，则惟一；D. B的最小元是其下确界.10)自然数集合N与下述哪个集合不等势？( )A. 有理数集合Q；B. {0,1}N；C. N×N；D. N-{1,2,3}.2.判断题（共10题, 每题1分，真为"T", 假为"F"）1)在命题逻辑中，公式((⌝p∧q) →r) ↔(⌝r∨s)的层次是4. ( )2)在命题逻辑中，公式q∧⌝(p→q) 是可满足式. ( )3)每一个极小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1，在其余2n-1 种指派情况下均为0. ( )4)C1∧C2与Res(C1,C2)是等值的. ( )5)∀x∃yG(x,y)⇒∃y∀xG(x,y) ( )6)A、B、C是任意三个集合，则(A×B)×C=A×(B×C). ( )7)设F是任意的关系, 则ran F -1= dom F.( )8)恒等关系确定的自然映射是双射. ( )9)设R为A上的关系, 则R 在A上反对称当且仅当R∩R-1 = I A. ( )10)任何实数区间都与实数集合R等势. ( )3.填空题（共10题, 每题3分）1)在命题逻辑中，公式A = (p∨q) →⌝r的成假赋值为_____________________.2)设C1= ⌝p∨q∨r,C2= p∨q∨⌝s, 则Res(C1, C2)= _____________________.3)给定解释I 如下:(a) 个体域为实数集合; (b) a=0(c) f(x,y)=x- y (d) F(x,y):x=y, G(x,y):x<y则公式∀x∀y(G(x,y) →⌝F(f(x,y), a))在I下的真值为_____________________.4)设个体域D={a,b}, 消去公式∀x∃y(F(x)∧G(y))→H(y)中的量词后得到的公式为（要求使用不超过四个联结词）_____________________.5)公式(∀xF(x,y) →∃yG(y))→∀xH(x,y)的前束范式为_____________________.6)令S={100,101,102,…,999}，在S中有个数，它们都至少含有数字3或7.7)已知A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>}，则A/R=_____________________.8)偏序集<A, R>，其中A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，R是A上的整除关系，则A的极大元是_____________________.9)R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}, 则R↾{1，3} = ____________________.10)已知A={3n|n∈N}, 则card A =_____________________.4.（10分）某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。

离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。

12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。

一、选择题：1．命题公式 )()(P Q Q P ∨⌝→→⌝ 中极小项的个数为（ ）。

A ．0B ．1C ．2D ．32．设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。

A ．3B ．6C ．7D ．83．设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为，则R 具有（ ）性质。

A ．自反性、对称性、传递性B ．反自反性、反对称性C ．反自反性、反对称性、传递性D ．自反性4．设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A P t s t s R =∧∈><=，则R A P |)(=（ ）A ．AB ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}C ．P(A)D ．{[{1}]，[{1，2}]，[{1，2，3}]，[{1，2，3，4}]}5．下列函数是双射的为（ ）A ．f : I →E , f (x) = 2xB ．f : N →N ⨯N, f (n) = <n , n+1>C ．f : R →I , f (x) = [x]D ．f :I →N, f (x) = | x |（注：I —整数集，E —偶数集， N —自然数集，R —实数集）6．在下列代数系统中，不是环的只有（ ）A ．>•+<,,Z ，其中Z 为整数集，+，• 分别为整数加法和乘法。

B. >•+<,,Q ，其中Q 为有理数集，+，• 分别为有理数加法和乘法。

C . >•+<,,R ，其中R 为实数集，+为实数加法，b a b a 2+=•。

D. >•+<,),(R M n ，其中)(R M n 为n 阶实数矩阵集，+，• 分别为矩阵加法和乘法。

7．设 * 是有理数集Q 上的运算，定义为ab b a b a -+=*，则*的单位元为：（ ）A ．1 B.2 C .0 D. -18．设群>⊕=<}),,({b a P G ，其中⊕为集合的对称差运算，则方程}{},{b b a X =⊕的解为：（ ）A. },{b a B . }{a C. Φ D.}{b9．极大平面图G 中有r 个面，n 个顶点，m 条边，则它每个面的次数为：_________A. rB. nC. m D . 310．一棵树有7片树叶，3个3度顶点，其余的都是4度顶点，则该树有_________个4度顶点。

离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，空集表示为：A. {0}B. {1}C. {}D. Ø答案：D2. 命题逻辑中，下列哪个是合取命题的真值表？A. P | Q | P ∧ QB. P | Q | P ∨ QC. P ∧ Q | P ∨ QD. P ∧ Q | ¬(P ∨ Q)答案：A3. 函数f: A → B是单射的，那么f的逆函数：A. 一定存在B. 一定不存在C. 可能存在D. 以上都不对答案：C4. 关系R是自反的，那么对于所有a∈A，以下哪个命题一定为真？A. (a, a) ∈ RB. (a, a) ∉ RC. (a, a) ∈ R或(a, a) ∉ RD. (a, a) ∈ R且(a, a) ∉ R答案：A5. 在图论中，下列哪个不是图的基本术语？A. 顶点B. 边C. 子集D. 路径答案：C6. 命题p: “如果x是偶数，则x能被4整除”的否定是：A. 如果x是偶数，则x不能被4整除B. 如果x不是偶数，则x不能被4整除C. 如果x不是偶数，则x能被4整除D. 如果x是偶数，则x不能被4整除或x不是偶数答案：A7. 有向图G中，如果存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称v是u 的：A. 祖先B. 后代C. 邻居D. 连接点答案：B8. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P ∧ ¬P) ∨ (P ∨ ¬P)B. (P ∧ ¬P) ∧ (P ∨ ¬P)C. (P ∨ ¬P) ∧ (¬P ∨ P)D. (P ∧ ¬P) ∧ (¬P ∧ P)答案：C9. 以下哪个选项是等价命题？A. P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)B. P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)C. P ∨ ¬P ≡ ¬P ∧ PD. P ∧ ¬P ≡ ¬P ∨ P答案：A10. 树是无环连通图，以下哪个是树的属性？A. 至少有一个环B. 至少有两个顶点C. 至少有一个顶点D. 至少有一个边答案：B二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集含有__个元素。

（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。

证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。

⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。

证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。

三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。

四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。

证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。

注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。

证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。

六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。

证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。

七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。

证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。

离散数学期末考试试题及答案离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

下面是小编整理的离散数学期末考试试题及答案，欢迎阅读参考！一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。

[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。

[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X是Y的子集，则一定有( )。

[A]X不属于Y [B]X∈Y[C]X真包含于Y [D]X∩Y=X4、下列关系中是等价关系的'是( )。

[A]不等关系 [B]空关系[C]全关系 [D]偏序关系5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是( )。

[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象[C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为( )。

[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有( )。

[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点( )。

[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( )。

[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( )[A] p→┐q [B] p∨┐q[C] p∧q [D] p∧┐q11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是( )。

离散期末考试题及答案离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 有限集合A和B的并集，其元素个数最多是A和B元素个数之和，这个性质称为：A. 德摩根定律B. 幂集C. 并集原理D. 子集原理答案：C3. 命题逻辑中，以下哪个命题是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p ∨ q) ∧ ¬pD. (p ∧ q) ∨ ¬p答案：B4. 在图论中，一个无向图的边数至少是顶点数的多少倍才能保证图中至少存在一个环？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 以下哪个算法用于生成一个集合的所有子集？A. 欧拉回路B. 哈密顿回路C. 深度优先搜索D. 子集生成算法答案：D6. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D7. 以下哪个是有限自动机的状态？A. 初始状态B. 终止状态C. 转移状态D. 所有选项答案：D8. 以下哪个是图论中的一个基本定理？A. 欧拉定理B. 哈密顿定理C. 狄拉克定理D. 所有选项答案：D9. 在命题逻辑中，以下哪个是德摩根定律的逆命题？A. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qC. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∨ ¬qD. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬q答案：B10. 在集合论中，以下哪个操作表示集合的差集？A. ∩B. ∪C. -D. ×答案：C二、填空题（每空3分，共30分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含________个元素。

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示“属于”？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 如果A和B是两个集合，那么A∪B表示什么？A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 以下哪个命题是真命题？A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案：C4. 在图论中，一个无向图的边数为E，顶点数为V，那么这个图的生成树的边数是多少？A. EB. V-1C. VD. E-1答案：B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题（TSP）的？A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案：D6. 在逻辑中，以下哪个符号表示“蕴含”？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C7. 以下哪个是二进制数？A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案：A8. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的行？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案：D10. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系？A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案：D二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案：ABCD12. 在图论中，以下哪些是图的基本类型？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：ABCD13. 在逻辑中，以下哪些是命题逻辑的基本连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 蕴含（→）答案：ABCD14. 在关系数据库中，以下哪些是SQL的基本操作？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：ABCD15. 在离散数学中，以下哪些是组合数学的基本概念？A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案：ABC三、填空题（每题3分，共30分）16. 如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B=______。

课程编号：MTH17068 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级离散数学试题A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列不是命题的是A.7能被3整除B.5是素数当且仅当太阳从西边升起C.x+7<0D.北京理工大学位于北京市西城区2.设p ：王平努力学习，q ：王平取得好成绩。

命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为A.p q →B.p q ⌝→C.q p →D.q p ⌝→3.下列4个推理定律中正确的是A.A A B ⇒∨（附加律）B.()A B A B ∨∧⌝⇒（析取三段论）C.()A B A B →∧⇒（假言推理）D.()A B B A →∧⌝⇒（拒取式）4.设解释I 如下：个体域{}()()()()1,2,1,12,20,1,22,11D F F F F =====。

在此解释下，下列各式真值为1的是A.(),x yF x y ∀∃B.(),x yF x y ∃∀C.(),x yF x y ∀∀D.(),x yF x y ⌝∃∃ 5.下列4个命题为真的是 A.Φ∈Φ B.{}a Φ∈ C.{}{}Φ∈Φ D.Φ⊆Φ 6.设{},,A a b c =上的二元关系{},,,,,R a a b b a c =<><><>，则关系R 的对称闭包()s R 为A.A R IB.RC.{},R c a <>D.A R I7.设{},,A a b c =，则下列是A 的划分的是A.{}{}{},,b c cB.{}{}{},,,a b a cC.{}{},,a b cD.{}{}{},,a b c8.下列编码是前缀码的是A.{1,11,101}B.{1,001,0011}C.{1,01,001,000}D.{0,00,000}9.下列图既是Euler 图又是Hamilton 图的是 A.9K B.10K C.2,3K D.3,3K 10.下列图一定是平面图的是A.5KB.,,9,22G V E V E =<>==C.3,3KD.,,10,8G V E V E =<>==二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若对命题P 赋值1，对命题Q 赋值0，则命题P Q ↔的真值为_______________。