学案7 直线的标准参数方程及一般参数方程互化及应用 教学目标：
1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；
3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 教学重点：熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化
教学难点：理解参数的几何意义
教学过程
1、参数方程与普通方程的互化
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.
解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－3
3 设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-
=t y t x 21231 （t 为参数）
∣t ∣是定点M 0（1，0）到动点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.
点拨：（1）求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
（2）你还能写出其他的参数方程吗？
例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t
313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t ∣的几何意义.
解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t
31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x
t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.
∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半. 提问;你能直接写出直线斜率吗？
例3: 将直线的参数方程⎩
⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）化为标准形式
变式：13x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
及13x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
及13x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩如何化为标准形式
例4：直线⎩⎨⎧-=+=
20
cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4
和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为343
4 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532（t 为参数）* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中， 整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个
根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝4
25- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝2
21t t + ＝1615 ∵中点M 所对应的参数为t M =16
15,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧=∙==∙+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43） 例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；
(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π,∴直线l 的标准参数方 程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππ
t y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：
32-=x y 得032)2
333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几 何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23.
(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程
22y x +＝16，得16)2
333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， x
Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12
根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |,
所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 课下作业
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是2
3的直线l 的标准参数方程. 2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=
25
cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率是( ) 4、直线l 的方程： ⎩
⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣
B 22b a +∣t 1－t 2∣ C
2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 5、已知直线l ：⎩⎨⎧
+-=+= t 351y t x (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点 M(1,－5)到点P 的距离.
6、直线⎩⎨⎧+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) A 22 B
334 C 2 D 3
6 7、过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 .
8、直线⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( ) A |t 1+t 2| B |t 1|＋|t 2| C |t 1－t 2| D 22
1t t +
9、 直线⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-=t 21 1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐 标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
学案7 直线的标准参数方程及一般参数方程互化及应用 教学目标： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 教学重点：熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化 教学难点：理解参数的几何意义 教学过程 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－3 3 设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=- =t y t x 21231 （t 为参数） ∣t ∣是定点M 0（1，0）到动点M(y x ,)的有向线段M M 0的长. 点拨：（1）求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. （2）你还能写出其他的参数方程吗？ 例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t 31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ， 得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半. ∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半. 提问;你能直接写出直线斜率吗？ 例3: 将直线的参数方程⎩ ⎨⎧+=+= t 331y t x （t 为参数）化为标准形式 变式：13x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 及13x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 及13x t y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩如何化为标准形式
2019-2020年高考数学一轮复习参数方程教学案 1. 了解参数方程的概念； 2. 能够进行参数方程与普通方程的互化； 3. 掌握常用曲线的参数方程方程，并能应用. 三、 重点难点 参数方程与普通方程的互化，常用曲线的参数方程及应用。 四、 知识导学 1. 参数方程的含义： . 2. 直线的参数方程及参数的几何意义: 3. 圆的参数方程及参数的意义: 4. 椭圆的参数方程及参数的意义: 五、课前自学 1．参数方程2 x y ⎧⎪⎨⎪=⎩1=t+t （为参数） ，表示的曲线是 . 2．曲线（为参数）的长为 . 3．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为 . 4．经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 . 5．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为 . 六、合作、探究、展示 例1．已知直线()11cos :sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，圆()2cos :sin x C y θθθ =⎧⎨=⎩为参数 。 （1） 当时，求与的交点坐标；
（2）过坐标原点O作的垂线，垂足为A，P为OA的中点。当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（xx全国） 例2．在椭圆上有动点和定点不同于，以为边作正三角形，求面积的最大值及此时点的坐标. 例3．已知曲线 2 2 () 2 x pt t p y pt ⎧= ⎨ = ⎩ 为参数,为正常数上的两点对应的参数分别为，，求
例4．圆M 的参数方程为03sin 4cos 42 22=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）. (1) 求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径； （2）当R 固定，变化时，求圆心M 的轨迹.并证明此时不论取什么值，所有的圆M 都外切 于一个定圆. 七、当堂练习 1．直线（t 为参数）的倾斜角是 . 2．参数方程（为参数）所表示的曲线是 . 3．直线（为参数）截抛物线所得的弦长为 .
三 直线的参数方程 互动课堂 重难突破 本课时重点是对直线参数方程的理解，关键是理解参数t 的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题。 一、直线参数方程的意义 相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征。判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷. 用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养。 二、直线参数方程的形式 对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程。例如，对于直线普通方程y =2x +1，如果令x =t 即可得到参数方程⎩⎨⎧+==12,t y t x （t 为参数)；如果令x =2t 则得到参数方程⎩⎨⎧+==1 4,2t y t x （t 为参数）。这样 随便给出的参数方程中的参数t 不具有一定的几何意义，但是在实际应用中也能简化某些运算. 而过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为⎪⎩⎪⎨ ⎧+=+=a t y y a t x x sin ,cos 00 (t 为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ,y ）为终点的有向线段 −−→−M M 0的数量且cos 2α+sin 2α=1是标准参数方程的基本特征. 三、直线参数方程中参数的几何意义 1。对于一般的参数方程,其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义. 过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为x =x 0+t cos α，y =y 0+t sin α（t 为参数），其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y ）为终点的有向线段M 0M 的数量,也就是: （1）直线l 上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值,即|M 0M ｜=|t ｜。 （2)若t 〉0，则M 0M 的方向向上；若t <0,则M 0M 的方向向下；若t =0，则点M 与点M 0重合. 2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角. 根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x =2+t cos20°,y =-4+t sin20°(t 为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°。 但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。例如判断直线x =t sin20°+3,y =-t cos20°（t 为参数）的倾斜角，有两种方法： 第一种方法:化为普通方程,求倾斜角. 把参数方程改写成⎩ ⎨⎧︒=︒=-,20cos 20sin 3t y t x －， 消去t ，有y =-（x -3)co t 20°， 即y =(x -3)ta n110°, 所以直线的倾斜角为110°.
直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方 程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出 方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x
直线的参数方程 直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式 来表示。另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。参数方 程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。 x=x₀+a·t, y=y₀+b·t, 其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相 关的参数。 参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任 意一点的坐标。另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。 下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的 方法。 1.斜率-截距形式的直线方程 假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数： x=t, y = mt + c. 这样，我们就得到了直线的参数方程。其中，t是参数，(x,y)是直 线上的任意一点。参数方程的参数a和b分别为1和m。 2.两点间的直线方程
首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。该向量的分量为： a=x₂-x₁, b=y₂-y₁. 然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值： x₀=x₁, y₀=y₁. 最后 x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t, y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t. 3.一般直线方程的参数方程 假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数： x=x₀+a·t, y=y₀+b·t. 在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为： a=-B, b=A. 其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。
直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量， P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的 参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对 应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝2 2 1t t +,∣P 0P 3∣=2 2 1t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0， t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数 方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P| ＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参 数分别为t 1、t 2 ， 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝ t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上 的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 2 1t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2 ⎩⎨⎧+= +-= t 313y t x （t . 2中，参数t 的1l 的参数方程 例301，3），倾斜角 y x ,
三直线的参数方程 1．直线的参数方程 （1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)． （2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离． 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程． 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α， 则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!. 又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为 错误!(t为参数）． 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上． 由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5. 理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键． 1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离． 解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。 2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角． 解:将参数方程化成另一种形式错误! 若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程； (2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积． （1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解． (1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!， ∴直线的参数方程为错误! 即错误!(t为参数)为所求．
直线的参数方程 一、直线的参数方程（标准形式） ? ? ?+=+=αα sin cos 00t y y t x x ，其中t 表示参数t 对应的动点（x,y ）与直线上的定点(00,y x )之间的距离， α为直线的倾斜角。当要解决与距离有关的几何问题时，常用直线方程的这一形式，若A 对应参数 t 1，B 对应参数t 2，则2 1t t AB -= 二、直线的参数方程（一般形式） ?? ?+=+=mt y y lt x x 00，其中，向量),(m l 与直线平行 巩固练习 1、直线的参数方程标准形式，t 的意义 设直线1l 过点 )4,2(-A ，倾斜角为 6 5π： （1）求1l 的参数方程； （2）设直线2l ：01=+- y x ，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离。 解：（1）??? ??? ?+-=-=t y t x 214232（t 为参数） （2）)13(7||-=AB 2、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合.直线l 的 参数是??? ???? +-=+-=t y t x 5415 31为参数）t (，曲线C 的极坐标方程为).4sin(2πθρ+= （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求N M ,两点间的距离。 解：（1）2 1 )21()21(:22=-+-y x C
（2） 5 41 3、直线过点)3,1(A ，且与向量)4,2(-共线： （1）写出该直线参数方程； （2）求点)1,2(--P 到此直线的距离。 解：（1）?? ?-=+=t y t x 4321（t 为参数） （2）52 4、极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为? ? ?+=+=t y t x 231（t 为参数），圆的极坐标方程为θθρsin 4cos 2+= （1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程； （2）求直线被圆截得的弦长 解：（1）5)2()1(,01222 =-+-=+-y x y x （2） 5 30 4 5、设直线的参数方程为? ? ?-=+=t y t x 41035（t 为参数） （1）求直线的直角坐标方程； （2）把一般形式参数方程化成标准形式参数方程。 解：（1）05034=-+y x （2）??? ???? +=-=t y t x 5410535（t 为参数） 课后提高 1、 （倾斜角）已知直线l 的参数方程为??? ????+=--=t y t x 22222 1（t 为参数）则直线l 的倾斜角为_____4 3π______ 2、 标准方程中21t t -的意义 直线??? ????--=+=t y t x 531541（t 为参数）被曲线)4cos(2πθρ+=所截得弦长为_ 57_________
《直线的参数方程》教学设计 一、教学目标 知识与技能：通过分析质点在匀速直线运动中时间与位置的关系，了解直线参数方程，体 会参数的意义；通过直线的点斜式方程及向量法推导直线参数方程的标准形式与一般形式，理解标准形式中参数t 的几何意义，会初步利用参数的几何意义解决问题，体会直线参数方程在解决问题中的作用。 过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，进 一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。 情感态度与价值观：通过建立直线参数方程的过程，培养学生数学抽象、数学建模以及逻 辑推理的能力。 二、教学重、难点 教学重点：建立直线的参数方程。 教学难点：理解参数t 的几何意义及其应用。 三、学情分析 学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题中的一些应用。但是，由于学生刚刚接触参数方程的概念，所以对于直线参数方程中参数的选定还是比较困难的，根据确定直线的几何条件联想到向量进而建立联系也是难点。 四、教学过程 复习引入： 问题：选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程. 【师生活动】教师提问，学生回答 【设计意图】本问题是教材上一节课2.1中的例题，通过学生的回忆，既节省了时间，又让学生体会到直线参数方程对于大家来说是不陌生的，让学生认识到直线参数方程的形式不是唯一的。 探究一：把直线看作质点的匀速运动曲线，建立直线的参数方程 问题：设质点从点00(,)M x y 出发，沿着与x 轴成α角的方向作匀速直线运动，其速率为0v .（1）写出质点在x 轴、y 轴上的速度分量；（2）设(,)M x y 为t 时刻质点所在位置，试用t 表示,x y 【师生活动】教师提问，学生思考并回答 【设计意图】从物理的角度引出直线的参数方程，选取时间t 为参数，这样可以使学生更深刻且自然的理解参数的意义，若不顾及t 的物理意义，则可以在参数t 与质点位置(,)x y 之间建立一个一一对应的关系。
2.2.1直线的参数方程 【教学重点】 理解直线参数方程的形式。 直线参数方程的应用。 【教学难点】 直线参数方程的应用 一.课前预习 阅读教材P35—37，理解下列问题： 1 将直线的普通方程化为参数方程 过点M0(x0, y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=αα 直线的参数方程（标准形式）中参数t 的绝对值几何意义是： 当t>0时， M M 0的方向向上 ；当t<0时，M M 0的方向向下；当t=0时，点M 与点0M 重 合 ①设直线上的任意两点21P P 和 对应的参数分别为21t t 和，则｜｜21P P ＝12t t -（弦长公式） ②位于直线上的三点P ，21P P 和所对应的参数分别为t, 21t t 和,若P 是线段21P P 中点，则有t ＝12 2t t +
2.用向量法推导直线参数方程 设直线l过点M0(x0, y0),且与向量e=（l，m）平行，则直线l的参数方程为 二.课上学习 直线的参数方程为x=5+3t, y=10-4t, （1）求直线的直角坐标方程； （2）化为参数方程的标准形式。 直线l1过点A(2，-4)，倾斜角为150度， 求l1的参数方程； 设直线l2；x-y+1=0, l2与l1的交点为B,求点B与点A的距离。 直线过点A（1，3），且与向量（2，-4）共线: 写出该直线的参数方程； (2 ) 求点P(-2，-1)到此直线的距离。
三.课堂小结 四、课后练习 o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A - )( 9 )( 221.222截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x t t y t x 1059.D 529.C 5512.B 512. A )(22,3)( )( 2322.3的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎪⎩⎪⎨⎧+=--=P t t y t x )1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或----- ) ( )( sin cos .421对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程M BC t t C B t t b y t a x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2. A 21212121t t t t t t t t +-+- 到该直线的距离是，则点设直线的参数方程)6,3(421.5⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t y t x ？ )( )( 60 sin 330cos 2.1o o 等于的倾斜角为参数直线αt t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=
直线的参数方程学案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第06课时 2、2、3 直线的参数方程 学习目标 ．了解直线参数方程的条件及参数的意义； 2.初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。 学习过程 一、学前准备 复习： 、若由共线，则存在实数，使得 ， 2、设为方向上的 ，则=︱︱； 3、经过点，倾斜角为的直线的普通方程为 。 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P35～P39，找出疑惑之处） 、选择怎样的参数，才能使直线上任一点m的坐标与点
的坐标和倾斜角 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，与可以用距离或线段数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。 如图，在直线上任取一点，则= ， 而直线 的单位方向 向量 =（ ， ） 因为，所以存在实数，使得= ，即有，因此，经过点 ，倾斜角为的直线的参数方程为： 2.方程中参数的几何意义是什么？ ◆应用示例 例1．已知直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A，B两点的距离之积。（教材P36例1）解： 例2．经过点作直线，交椭圆于两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.（教材P37例2）
解： ◆反馈练习 .直线上两点A，B对应的参数值为，则= A、0 B、 c、4 D、2 2.设直线经过点，倾斜角为， （1）求直线的参数方程； （2）求直线和直线的交点到点的距离； （3）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。 三、总结提升 ◆本节小结 ．本节学习了哪些内容？ 答：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义； 2.初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。 学习评价 一、自我评价 你完成本节导学案的情况为（
3.1直线的参数方程（第一课时） 教学目标： 通过探究直线参数方程的过程，使学生体会直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义，及参数t 的含义。 通过练习使学生加深对直线参数方程的理解。 教学重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。 教学难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα= 教学方法：学案，问题教学 教学环节： 一、复习引入 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件有哪些？如果直线L 过定点),(000y x M ， 倾斜角为α，∈α ，当2π α≠时，上面直线L 的普通方程是 。 那么怎样建立这条直线的参数方程呢？ 【设计意图】复习α范围（为后面讨论e 的范围做基础），引入课题“建立这条直线的参数方程” 二、直线的参数方程 （一）直线的参数方程的推导 【设计意图】从点1M 到向量1OM ，到最后的单位方向向量e ，通过从特殊到一般的过渡，使学生理解直线的单位方向向量的含义。从研究2M 与1M 的关系到2OM ∥1OM 再到 12OM d OM =，最后设出1OM OM λ=,学生通过逐步解决这些问题具体理解λ及λ的含义。 1.直线L 过O （0，0），倾斜角为4 3π， （1）1M 在L 上，11=OM ， 写出1M 的坐标与 43π的关系 【预设问题】点1M 与4 3π的关系通过什么知识建立练习？（三角函数定义） (2) 2M 在L 上，d OM =2，写出2M 的坐标与4 3π的关系 【预设问题】2M 与1M 有什么关系？如何列式表达2M 与1M 的坐标的关系？ 【学生回答】2M 与1M 在直线L 上，且2OM ∥1OM ，所以12OM d OM ±= （3）M 在L 上，确定适当的参数，写出M 坐标与参数的关系。
§2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.1 直线的参数方程 1．掌握直线参数方程的标准形式，理解参数t 的几何意义． 2．能依据直线的几何性质，写出它的两种形式的参数方程，体会参数的几何意义． 3．能利用直线的参数方程解决简单的实际问题． 1．经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程 经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为________________． 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是______________，可以用有向线段PM → 的数量来表示． 【做一做1－1】经过点M (－2,3)，倾斜角为3π 4 的直线l 的参数方程是__________． 【做一做1－2】直线⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝－2＋t cos 30°， y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )． A ．30° B ．60° C ．－45° D ．135° 2．经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程 经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为_________________． 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP → 的数量比QM MP . 当______时，M 为内分点； 当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时， ____________. 直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1 ＋λx 2 1＋λ， y ＝y 1 ＋λy 2 1＋λ (λ为参数，λ≠－1)可以表示点Q (x 1，y 1)(λ ＝0时)，但不能表示点P (x 2，y 2)．如果遇到与点P (x 2，y 2)有关的问题时，可对点P 进行单 独检验． 【做一做2】经过点Q (1,2)，P (3,7)的直线的参数方程为( )． A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋3λ1＋λ，y ＝1＋7λ 1＋λ (λ为参数，λ≠－1)
第10课时 参数方程的应用 一、要点讲解 1．参数方程的应用： 二、知识梳理 1．直线参数方程的常见形式：过定点00(,)P x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为：______________（t 为参数）．其中参数t 的几何意义是_________________________________，且t 表示0P P 的长度． 2．圆的参数方程的常见形式：圆心在（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为： _________________（θ为参数）．其中参数θ的几何意义是 ______________________________________________ ___________________________________． 3．椭圆的参数方程常见形式：椭圆的中心在原点，半长轴长为a ，半短轴长为b 的参数方程 为：____________________（θ为参数）． 三、例题讲解 例1 已知M 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上在第一象限的点，A （a ，0）和B (0，b )是椭圆上的两个顶点，O 为原点，求四边形MABO 的面积的最大值． 例2 已知RT ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，P 为它内切圆I 上的动点，求点P 到顶点A 、B 、C 的距离的平方和的最大值与最小值．
例3 已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹方程． 四、巩固练习 1．求直线 sin203 cos20 x t y t =︒+ ⎧ ⎨ =-︒ ⎩ （t是参数）的倾斜角． 2．椭圆 22 22 1 x y a b +=的内接矩形的最大面积是__________．
教学设计案例：专题参数方程 知识与技能1.了解直线的参数方程以及参数t的几何的意义． 2. 熟练掌握参数方程和普通方程的互化． 3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题． 4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题. 过程与方法：通过专题专练培养学生把参数方程化为普通方程解决问题的能力，培养转化的思想方法。 情感、态度、价值观：培养学生客观地分析问题和解决问题的能力。 学习重点: 高考中重点考查参数方程的识别，与普通方程的互化，以及参数思想的应用． 学习难点:参数方程与普通方程的互化．直线参数方程中参数的几何意义的应用。 学习重难点突破：把参数方程化为普通方程更有利于在一个熟练的环境下解决问题，要重视把极坐标问题化为直角坐标问题、把参数方程化为普通方程的思想意识的形成，这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误． 学习过程 二.学习过程：
： (二)、教学情境设计导学案 Ⅰ、课前学案基础盘点： 1、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧ x ＝f (t ) y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数x ，y 的 叫做参变数，简称 参数 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 ． 2、参数方程和普通方程的互化 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过 消参 而从参数方程得到普通方程． 2．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如 x=f （t ） ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y=g （t ） ，那么⎩⎨⎧ x ＝f (t ) y ＝g (t )就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化 中，必须使x ，y 的 取值范围 保持一致． 3、圆的参数方程 圆心在坐标原点半径为r 的圆x 2 +y 2 =r 2 的参数方程为 ⎩ ⎨⎧ x ＝r cos θ y ＝r sin θ(θ为参 数)．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2 的参数方程为：
课时教案 一、课题 直线的参数方程（第一课时，共两课时） 二、教学目的 1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质 2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程 3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三 级目标。 三、课型与教法 新授课引导—发现模式 四、教学重点 直线参数方程的构建 五、教学难点 从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程 六、教学过程 探究一建立已知直线的参数方程 1.复习引入 （1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为； （2）已知两个向量),则共线的充要条件是； （3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。 2. 讲授新课 问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量 行走时间t到达点M，求M点的坐标。 借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到 ，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。 借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。 可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。 问题4 你能写出具体推导过程吗？ 指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。 探究二直线参数方程中t的几何意义 问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？ 很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。 问题6 参数的几何意义是什么？为什么？ 结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到 ，也可由 。 由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。 问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？ 由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。由此可得。 问题8 直线l与曲线交于两点，对应的参数分别是，则曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？ 学生考虑了不同方向上的变化后不难得出统一答案弦长为，中点M对应的参数t为
参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ ) (2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( √ ) (3)方程⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ ) (4)已知椭圆的参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原 点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编 2．[P25例3]曲线⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．[P37例2]在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ， y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 2 4 ＝1， ∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.
直线的参数方程及其应用(学案)
直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α x
直线的参数方程 【学习目标】 1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】 要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式： 经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为： 00cos sin x x t y y t α α=+⎧⎨ =+⎩ 〔t 为参数〕； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义： 参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。 当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =； 要点注释：假设直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=0 0y y t x x . 要点二、直线的参数方程的一般形式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ⎩⎨ ⎧+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。假设a 2 +b 2 =1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；假设a 2 +b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ⎩⎨ ⎧+=+=bt y y at x x 00 〔t 为参数〕， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2 2 b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当2 2 b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义. ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(222202 2220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧' ++='++=t b a b y y t b a a x x 2202 20 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用 1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨ ⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 〔t 为参数〕 假设P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 〔1〕P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜ 2 2 1t t +｜ (4) 假设P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0. 2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： 〔1〕有关弦长最值题型 过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。则A 、B 两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A 、B 都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大〔小〕值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。 (2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12 = 2 t t t +中；假设定点恰为AB 为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。 〔3〕有关两线段长的乘积〔或比值〕的题型 假设F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|， 由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积〔或商〕的问题，用直线的标准参数方程