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第1讲 不等关系与不等式1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的________条件．解析：由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝________． 解析：T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 答案：(－∞，1]3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 15．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y2－4y －3<0，解得－12<y <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 6．(2018·信阳模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________．解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y，则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a ，故有b <ax ＋by x ＋y<a . 答案：b <ax ＋by x ＋y<a 7．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a 5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1，2，3，4，则4≤ a 5＜5， 所以80≤a ＜125.答案：[80，125)8．(2018·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5，即实数a 的取值范围是(1，5]．答案：(1，5]9．(2018·盐城模拟)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，13210．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________． 解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6.答案：611．若k ∈R ，求解关于x 的不等式x 22－x <（k ＋1）x －k 2－x. 解：不等式x 22－x ＜（k ＋1）x －k 2－x 可化为 x 2－（k ＋1）x ＋k 2－x＜0， 即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.当k ＜1时，x ∈(k ，1)∪(2，＋∞)；当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1＜k ＜2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；当k ≥2时，x ∈(1，2)∪(k ，＋∞)．12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n (n ∈N *)人，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。
教学资料范本【2019-2020】高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式教师用书理编辑：__________________时间：__________________第一节不等关系与不等式☆☆☆20xx考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
20xx，北京卷，5,5分(不等式的性质)20xx，浙江卷，8,5分(不等式的综合应用)20xx，天津卷，7,5分(不等式的性质)20xx，山东卷，7,5分(不等式的性质)主要以客观题形式考查不等式性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合。
微知识小题练自|主|排|查1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0。
2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(双向性)(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(单向性)(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；(双向性)(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(单向性)(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(单向性)(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(单向性)(8)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)；(单向性)(9)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b ；(双向性)(10)有关分数的性质：若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①b a ＜b＋m a＋m ；b a ＞b－m a－m (b －m ＞0) ②a b ＞a＋m b＋m ；a b ＜a－m b－m(b －m ＞0)。
微点提醒1．在应用不等式性质时，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性”中的c 的符号等都需注意。
2．当判断两个式子大小时，对错误的关系式举反例即可，对正确的关系式，则需推理论证。
