下载文档原格式
七宝中学高三模拟数学试卷 2019.05 一. 填空题 1. 不等式2log 1x <的解是2. 若圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线280Dx Ey F +++=对称，则该圆的半径为3. 某校高三科创班共48人，为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系 统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为4. 函数2sin 2cos2()cos 32x x f x x=的最小正周期是 5. 若函数2lg 0()()0x x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是偶函数，则(10)g -= 6. 二项式291()x x-的展开式中的常数项为 （用数字作答） 7. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是8. 设实数x 、y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22x y +的最大值为9. 已知向量(1,3)a =r ，(3,)b m =r ，且b r 在a r 上的投影为3，则向量a r 与b r 夹角为10. 若函数()sin()6f x x πω=-（0ω>，[0,]x π∈）的值域为1[,1]2-，则ω的最小值为11. 若函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有21[()]213x f f x +=+，则 2(log 3)f =12. 设n abc =表示一个三位数，记()()()f n a b c a b b c c a a b c =+++⋅+⋅+⋅+⋅⋅，如(123)(123)(122331)12323f =+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，则满足()f n n =的三位数个数是二. 选择题13. 已知a 、b 、c 是复数，且0a ≠，则“240b ac ->”是“方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 若1a b >>，01c <<，则（ ）A. c c a b <B. b a c c <C. log log c c a b <D. log log a b c c <15. 方程2||13(2)y x -=--所表示的曲线的长度是（ ）A. 6πB. 23πC. 2343π+D. 612π+16. 已知整数数列{}n a 共5项，其中11a =，54a =，且对任意14i ≤≤，都有1||2i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为（ ）A. 24B. 36C. 48D. 52三. 解答题17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2sin cos cos b C a C c A =+， 23B π=，3c =. （1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r ，求BE 的长.18. 如图，已知正四棱锥P ABCD -的高为2，底面边长为2，M 是棱PC 的中点.（1）求直线AM 与平面PAB 所成角的大小；（2）求点M 到平面PAB 的距离.19. 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB 、AD 的长分别为23米 和4米，上部是圆心为O 的劣弧CD ，23COD π∠=. （1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示，设BC 与地面水平线l 所成的角为θ，若拱门上的点到地面的最大距离恰好为D 到地面的距离，试求θ的取值范围.20. 已知一列函数()n n f x x x=+（*n ∈N ，0x >），设直线2n x =与()n f x 的交点为n A ， 点n A 在y 轴和直线y x =上的射影分别为n B 、n C ，记△n n n A B C 的面积为n a ，△n n OB C 的 面积为n b .（1）求2019()f x 的最小值，并指出此时x 的取值；（2）在1()f x ，2()f x ，⋅⋅⋅，2019()f x 中任取一个函数，求该函数在[7,9]上是增函数或 在[17,44]上是减函数的概率；（3）是否存在正整数n ，使得2144n n n n n b a +-=⋅成立，若存在，求出n 的值，若不存在， 请说明理由.21. 对于曲线C 所在的平面上的定点P ，若存在以点P 为顶点的角α（0απ<<），使 得APB α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点A 、B 恒成立，则称角α为曲线C 的“P 点视角”，并称其中最小的“P 点视角”为曲线C 相对于点P 的“P 点确视角”，已知 曲线22:1412x y Γ-=（0x >）和圆22:1C x y +=，(,0)P p （p ∈R ）是x 轴上一点. （1）对于坐标原点O ，写出曲线22:1412x y Γ-=（0x >）的“O 点确视角”的大小； （2）若Q 在曲线22:1412x y Γ-=（0x >）上，求||PQ 的最小值； （3）若曲线22:1412x y Γ-=（0x >）和圆22:1C x y +=的“P 点确视角”相等，求P 点坐标.参考答案一. 填空题1. (0,2)2. 23. 64. 2π5. 10256. 84-7. 568. 89.6π 10. 23 11. 12 12. 9二. 选择题13. D 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）6π；（2）1. 18.（1）2）23. 19.（1）5；（2）[0,]6π. 20.（1）x =（2）1332019；（3）不存在. 21.（1）23π；（2）min |2|8||8p p PQ p -≤⎧=>；（3）(或.。
上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题 文 沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有 够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）（Ａ） （Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是 （ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 （ ）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（ ） （A ）至少有一个 （B ）有两个 （C ）只有一个 （D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点． （1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ； （2）求n a ； （3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称； （3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20． （1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分 （2）23AOB π∠=， …… 12分 所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分 （2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+， 所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分 用代入法求解酌情给分。
2021届高三上海七校联考〔第二次〕数学试卷〔华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北〕一、填空题：1、全集IR，假设Axy1，那么A,0。
x2、平面向量a0,1,b x,y，假设a b，那么实数y0。
3、f x x22x 2，那么其反函数f1x x2x0。
4、假设定义运算a b bc，那么符合条件i12i的复数z为22i。
cad24d z5、角的终边经过点Pm,3，且cos4m4。
，那么56、4名女生和2名男生参加文艺汇演，每人表演一个节目，那么2名男生的节目不能排在一起的概率为2。
37、在极坐标系中，圆4cos上的点到直线sin442上的点的最短距离为322。
2 8、假设二项式xx n的展开式的第五项是常数项，那么此常数项为1120。
9、等比数列a n中，a1a2a38,a1a2a69，记S n a1a2a n，那么limS n64。
n7 10、用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，那么此纸箱容积的最小值为2。
411、自然数列按如图规律排列，假设数2006在第m行第n个数，那么n53。
m6312、定义：假设存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2x1x2，均有fx1f x2kx1x2成立，那么称函数f x在定义域D上满足利普希茨条件。
假设函数f x xx1满足利普希茨条件，那么常数k的最小值为1。
2二、选择题：13、同时满足三个条件：①有反函数：②是奇函数：③其定义域与其值域相等的函数是〔B〕A fx xB fx x3C fx e x e xD fx ln1x21x14、点A(1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，假设ACB90，这样的点C的个数为〔C〕A1B2C3D415、等差数列a n和等比数列b n各项都是正数，且a1b1，a2n1b2n1，那么，一定有〔D〕A an1bn1B a n1bn1C a n1bn1D a n1bn116、假设函数f(x)2xx1，那么函数y f(2x)的图象可以是〔A〕log1xx12三、解答题：17、函数f(x)sin(x)cos(x)sinxa〔a R，且a为常数〕，假设函数f(x)在2,上的632最大值与最小值的和为2，求实数a的值。
2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一填空题1．不等式的解集是．2．已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．3．函数f（x）=的最大值是．4．i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第象限的角．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．6．从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．7．命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是．8．函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是．9．若平面向量满足，，则的取值范围为．10．已知数列{a n}，a1=1，，n∈N*，则=．11．已知函数f（x）=x+（a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是．=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．13．已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．15．已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞017．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为．3．函数f（x）=的最大值是5．【考点】三角函数的最值．【分析】f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），即可得出结论．【解答】解：f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），∴函数f（x）=的最大值是5，故答案为5．4．i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第一、三象限的角．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用共轭复数的意义可得z==cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，可得cos2θ＜0，sin2θ＞0，解出θ即可得出结论．【解答】解：z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴＜2θ＜2kπ+π，k∈Z．解得kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜θ＜2nπ+，θ为第一象限角．k=2n﹣1（n∈Z）时，2nπ﹣＜θ＜2nπ﹣，θ为第三象限角．综上可得：θ是第一、三象限的角．故答案为：一、三．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．6．从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．【考点】二项式系数的性质．=x r，（r=0，1，2，…，11）．其【分析】二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+1中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．即可得出．=x r，（r=0，1，2，…，【解答】解：二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+111）．其中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．∴系数为奇数的概率==．故答案为：．7．命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由x的范围求出tanx的范围，再由tanx＜m恒成立求出m的范围，结合补集思想求得命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题的m的取值范围．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．8．函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】反函数．【分析】由反函数性质得函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，由此能求出m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，∴函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，∵函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴m∈（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．9．若平面向量满足，，则的取值范围为[2，6] ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用≤4||+，及≥﹣4||，求出||的取值范围．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2•2•||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2，故答案为：[2，6]．10．已知数列{a n }，a 1=1，，n ∈N *，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】先根据数列关系式得到a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1）=1+++…+，再根据等比数列的求和公式计算，最后求极限．【解答】解：∵，n ∈N ，∴a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1），=1+++…+，=1+，=1+﹣，=﹣，∴=（﹣）=，故答案为：11．已知函数f （x ）=x +（a ＞0），若对任意的m 、n 、，长为f （m ）、f （n ）、f （p ）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是 （，）∪[1，） ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出f （x ）的导数，讨论当≥1即a ≥1时；当≤＜1且f （）≤f （1）即≤a ≤时；当≤＜1且f （）＞f （1）即＜a ＜1时；当＜，即0＜a ＜时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：函数f（x）=x+（a＞0）的导数为f′（x）=1﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．当≥1即a≥1时，[，1]为减区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为1+a．由题意可得只要满足2（1+a）＞+3a，解得1≤a＜；当≤＜1且f（）≤f（1）即≤a≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为1+a；最小值为2．由题意可得只要满足1+a＞4，解得0＜a＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f（）＞f（1）即＜a＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f（x）的最大值为+3a；最小值为2．由题意可得只要满足+3a＞4，解得0＜a＜，不成立；当＜，即0＜a＜时，[，1]为增区间，即有f（x）的最小值为+3a；最大值为1+a．由题意可得只要满足2（+3a）＞1+a，解得＜a＜．综上可得，a的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0 12．已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．【分析】依题意，可得a n+2=k（a n+2），再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是+1a1≠﹣2时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+2k﹣2，【解答】解：∵a n+1+2=k（a n+2），∴a n+1∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．二.选择题13．已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．14．将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出设这个盖圆锥形底面半径r=，母线长l=R，高h==，由此能求出这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．15．已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用数列求和，推出m，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π•25=100π（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）先根据弦切之间的关系对tan进行化简，再由二倍角公式可得到sinB的值，结合cosA的值可判断B为锐角，进而由sinC=sin（A+B）根据两角和与差的正弦公式和（1）中的sinB，sinA，cosB，cosA的值可求得sinC 的值．（2）再由正弦定理可求得a的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．【解答】解：（1）由tan==，得sinB=，∵cosA=，∴sinA=＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．（2）∵c=21，∴a===20，=acsinB=×20×21×=126．∴S△ABC19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据f（x）在[﹣1，1]上单调递减且存在零点可得f（﹣1）f（1）≤0，从而解出a的范围；（2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∵函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，∴f（﹣1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．（2）a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设g（x）在[1，4]上的值域为M，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是增函数，∴M=[5﹣b，5+2b]，∴，解得0＜b≤．当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是减函数，∴M=[5+2b，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b＜0．综上，b的取值范围是．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx （k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P 满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，可得抛物线Γ的标准方程；（2）求出A，B的坐标，利用动点P满足，求出动点P的轨迹C的方程；（3）根据方程，可得结论．【解答】解：（1）由题意，3+=4，∴p=2，∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x；（2）设P（x，y），则y=kx，与抛物线方程联立，可得x=，y=，即A（，），与x=﹣1联立，可得B（﹣1，﹣k），∵，∴（x，y）=（+1， +k），∴x=+1，y=+k，消去k可得；（3）由，可得①关于x轴对称；②x∈（1，+∞），y∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；③渐近线x=1；④在（1，2]上递减，在[2，+∞）上递增．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和；（2）讨论x=1，2，3，…，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值；（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；a1=1，a2=2，则a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，a9=a10=1．∴数列前10项和S10=1+2+6=9．（2）当x=1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x=2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项；当x=5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；当x=﹣1141或x=﹣1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；（3）证明：假设数列{a n}中不存在a k（k∈N*），使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1（k=1，2，3，…）．由无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*，可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．。
2018年高考数学模拟练习3一、填空题.1. 向量在向量方向上的投影为____________.【答案】.【解析】【分析】根据投影的计算公式进行计算.【详解】向量在向量的投影为，填.【点睛】一般地，向量在向量的投影为，而的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积.2. 已知正数满足，则行列式的最小值为____________.【答案】3.【解析】【分析】行列式为，利用基本不等式可求最小值.【详解】.又，所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当取最小值，即的最小值为，填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间，内，则输入的实数的取值范围是____________.【答案】.【解析】试题分析：流程图表示函数，因为输出的函数值在区间内，所以考点：流程图4. 设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.5. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________.【答案】.【解析】【分析】由是充分条件得，故可求的取值范围.【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，故.填.【点睛】在充分条件和必要条件的判断中，注意数学语言叙述上的差异，比如：是的充分条件指若则是真命题，而的充分条件是则是若则是真命题.6. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_____________.【答案】.【解析】试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.考点：椭圆的标准方程.7. 在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8. 已知数列的首项，其前项和为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】先求出的通项，再求的通项.【详解】因为，所以.因为，故，所以，是等比数列，公比为，首项为，故，所以.填.【点睛】一般地，与之间的关系是，我们常常用这个关系实现与之间的转化.9. 某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为____________ (精确到0.01)【答案】6.21.【解析】【分析】先根据北纬的纬线长为得到地球仪的半径及的长度，再利用余弦定理算出球心与连线的夹角的余弦值，利用弧长公式可求球面距离.【详解】设地球仪的球心为，因为北纬的纬线长为，纬线所在的小圆的半径为，所以.又地球仪的半径为，所以，所以之间的球面距离为.【点睛】对于球面上两点间的球面距离的计算，关键是球心与两点的连线的夹角的大小计算，可利用纬线长、纬度及两点所在的经度计算的长度，再利用余弦定理算出的大小.10. 已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数____________.【答案】.【解析】【分析】直线过点，抛物线的准线为，根据抛物线几何性质可知到准线的距离与到准线的距离之比为，故而为的中点，设，则可求的坐标，从而得到的值.【详解】设，为抛物线的准线方程，过点分别作准线的垂线，垂足为，则，，所以，所以.设，则，故，解得，故.填.【点睛】圆锥曲线中与焦点或准线有关的问题，可以考虑利用其几何性质来处理.如抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，椭圆上的点到一个焦点的距离可以转化到另一个焦点的距离，也可以转化到相应准线的距离.11. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为____________. 【答案】.【解析】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式.12. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个.【答案】224.【解析】【分析】中有1和6，分同在或和不同在或两种情况分类讨论即可.【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种，如果中有1，有6，则共有种，如果中有6，有1，则共有种，综上，共有种，填.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．二、选择题.13. 函数的反函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对给定的函数反解（用表示）即可得到反函数．【详解】令，因，故且，因，故，所以反函数为，其中，故选D．【点睛】求给定函数的反函数，只需反解后互换即得反函数，注意反函数的定义域就是原函数的值域且反解时注意自变量的范围．14. 直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为，由知，因此可用反三角函数表示倾斜角．【详解】直线的方向向量为，所以其斜率为．设其倾斜角为，则．又，所以，故且，故选B．【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围：如，，，也要注意所要表示的角的范围，如本题中直线的方向向量若为且，因倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为．15. 已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是( )A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．考点：向量的数量积．16. 已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题.17. 在直三棱柱中，，，.求:(1)异面直线与所成角的大小；(2)直线到平面的距离.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18. 已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用可计算的值.（2）可证为上的增函数.【详解】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.【点睛】求奇函数或偶函数中参数的取值，我们可以利用恒等式或来求.特别地，如果奇函数处有定义，则可利用来求参数的值（注意检验）.19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】(1)，.(2) 时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】【分析】（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.20. 已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:.【答案】(1).(2).(3)见解析.【解析】【分析】（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程.（2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.【详解】(1)设的坐标分别为,因为点在双曲线上,所以,即,所以，在中,,,所以，由双曲线的定义可知:，故双曲线的方程为:.(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.设双曲线上的点,设的倾斜角为，则，又，所以，故，所以的夹角为，且.点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上,所以，所以.(3)由题意,即证:,设,切线的方程为:.时,切线的方程代入双曲线中,化简得:(，所以，.又，所以.时,易知上述结论也成立.所以.综上,,所以.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于，则（通径）. （2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21. 等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2) 所有的符合题意的.(3) .【解析】试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．试题解析：（1）对等比数列，公比．因为，所以．２分解方程，４分得或．因为，所以．６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．8分证: 由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．10分当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中。
上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3． 【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。
上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， ∴最小正周期T =2π2=π．故选：C ．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x +π3)，利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2. 二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件是( )A. 系数行列式D ≠0B. 比例式a 1a 2≠b1b 2 C. 向量(a 2a 1),(b 2b1)不平行 D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解当两直线异面，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1无解，故直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行是二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件．故选：D ．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A ，B ，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( )A. 110B. 120C. 140D. 1120【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A 1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A 33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A 66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A 72种方法．根据分步计数原理(乘法原理)，共有A 33⋅A 66⋅A 72种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P =A 33⋅A 66⋅A 72A 1010=120．故选：B ．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A 1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果． 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4. 对于函数f(x)，若存在区间A =[m,n]，使得{y|y =f(x),x ∈A}=A ，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①f(x)=sin(π2x)；②f(x)=2x 2−1； ③f(x)=|1−2x |； ④f(x)=log 2(2x −2)．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ②③④【答案】B【解析】解：①函数f(x)=sin(π2x)的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A =[0,1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A =[−1,0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[−1,1]时，f(x)∈[−1,1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[−1,1]一个．③A=[0,1]为函数f(x)=|2x−1|的“可等域区间”，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，函数单调递增，f(0)=1−1=0，f(1)=2−1=1满足条件，∴m，n取值唯一.故满足条件．④∵f(x)=log2(2x−2)单调递增，且函数的定义域为(1,+∞)，若存在“可等域区间”，则满足{log2(2n−2)=nlog2(2m−2)=m，即{2n−2=2n2m−2=2m，∴m，n是方程2x−2x+2=0的两个根，设f(x)=2x−2x+2，f′(x)=2x ln2−2，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，∴f(x)=2x−2x+2=0不可能存在两个解，故f(x)=log2(2x−2)不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：∵z(1+i)=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.已知集合A={x||x−1|<2,x∈R}，B={x|2x≥1,x∈R}，则A∩B=______．【答案】[0,3)【解析】解：A={x||x−1|<2,x∈R}={x|−1<x<3}，B={x|2x≥1,x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)故答案为：[0,3)求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.已知f(x)=x+12x，其反函数为f−1(x)，则f−1(0)=______．【答案】−1【解析】解：f(x)=x+12x，∴f−1(x)=12x−1，∴f−1(0)=−1故答案为：−1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8. 已知a ，b >0，2a =3b =m ，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 【答案】√6【解析】解：∵a ，b >0，2a =3b =m ≠1， ∴a =lgmlg2，b =lgm lg3．∵a 、ab 、b 成等差数列，∴2ab =a +b ，∴2×lgm lg2×lgm lg3=lgm lg2+lgmlg3.∴lgm =12(lg2+lg3)=12lg6=lg √6． 则m =√6．故答案为：√6．a ，b >0，2a =3b =m ≠1，利用对数换底公式化为a =lgmlg2，b =lgm lg3.根据a 、ab 、b 成等差数列，可得2ab =a +b ，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若二项式(x +ax )6展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【解析】解：二项式(x +ax )6展开式的通项公式：T r+1=∁6r x 6−r(ax)r =a r ∁6r x 6−2r ， 令6−2r =0，解得r =3．∴常项数为20=a 3∁63，则a =1． 故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是______．【答案】−6【解析】解：约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3对应的平面区域如下图示：当直线z =2x +4y 过(3,−3)时，Z 取得最小值−6． 故答案为：−6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.长方体ABCD−A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2√2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=π3，∴A，B两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则|PF1−PF2|PF1的取值范围是______．【答案】[0,2]【解析】解：|PF1−PF2|PF1=|PF1−(8−PF1)|PF1=|PF1−(8−PF1)PF1|=|2−8PF1|，因为2≤PF1≤6且函数y=2−8x在x∈[2,6]上单调递增，所以−2≤2−8PF1≤23，故|2−8PF1|∈[0,2]．故答案为：[0,2]．利用椭圆的定义，化简|PF 1−PF 2|PF 1，再利用函数的单调性，即可求出|PF 1−PF 2|PF 1的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，若a 1=0，a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)，则满足a i +a 2i ≥100的i 的最小值为 ______． 【答案】128【解析】解：∵a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)， ∴a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100， 故k ≥7；故i 的最小值为27=128， 故答案为：128．由题意可得a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，从而解得． 本题考查了数列，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可．14. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【答案】18+12√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2√3，以外接圆圆心O 为原点建立平面直角坐标系，设A(2√3,0)，B(−√3,3)． 设M(2√3cosθ,2√3sinθ)， 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3cosθ−2√3,2√3sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18cosθ+6√3sinθ+18=12√3sin(θ−π3)+18．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是18+12√3． 故答案为18+12√3．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成θ的三角函数，求出最.大值 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15. 已知函数f(x)={x 2−3tx +18,x ≤3(t −13)√x −3,x >3，记a n =f(n)(n ∈N ∗)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(53,4)【解析】解：要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t >53；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t <13． 又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)=27−9t >f(4)=(t −13)⋅√4−3，解得t <4．故t 的取值范围是(53,4)． 故答案为：(53,4)．要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t ，解得t ；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t ；又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)>f(4)，解得t.联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16. 设整数n ≥3，集合P ={1,2，…，n}，A ，B 是P 的两个非空子集.则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为：______． 【答案】(n −2)⋅2n−1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3， 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，故A 的个数为：C k−10+C k−11+⋯+C k−1k−1=2k−1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n−k 1+C n−k 2+⋯+C n−k n−k =2n−k −1，从而集合对(A,B)的个数为2k−1⋅(2n−k −1)=2n−1−2k−1，∴a n =∑k =1n −1(2n−1−2k−1)=(n −1)⋅2n−1−1−2n−11−2=(n −2)⋅2n−1+1．故答案为：(n −2)⋅2n−1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中.由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．(1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−ADE 的体积．【答案】解：(1)取BC 的中点，连接EF 、AF ， 因为EF//BC 1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成角， 又AE =√AC 2+CE 2=3，EF =√2，AF =√5， 所以cos∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22×AE×EF=√22， 又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4， 故答案为π4(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH//AD ，则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=13×12×1×2×2=23，故答案为：23．【解析】(1)由异面直线所成角的求法得：∠AEF(或其补角)为所求，又AE=√AC2+CE2=3，EF=√2，AF=√5，即cos∠AEF=AE2+EF2−AF22×AE×EF =√22，即异面直线AE与BC1所成角的大小为π4，(2)利用等体积法求三棱锥的体积得：则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=1 3×12×1×2×2=23，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n⃗=(√3cosx,−12)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)=1，求1tanA +1tanC的值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ −2=(sinx+√3cosx,−32)⋅(sinx,−1)−2=sin2x+√3sinxcosx−12=1−cos2x2+√32sin2x−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．故f(x)max=1，此时2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π3,k∈Z．所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.(Ⅱ)由f(B)=sin(2B−π6)=1，又∵0<B<π2，∴−π6<2B−π6<56π．∴2B−π6=π2，∴B=π3．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)sin2B =1sinB=√32=2√33．【解析】(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x−π6)，直接由2x−π6=2kπ+π2,k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；(Ⅱ)由B为锐角，利用f(B)=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，其中所有奇数项之和为S n ′，所有偶数项之和为S n ″.(1)若{a n }是等差数列，项数n 为偶数，首项a 1=1，公差d =32，且S n ″−S n ′=15，求S n ；(2)若数列{a n }的首项a 1=1，满足2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)，其中实常数t ∈(35,3)，且S n ′−S n ″=52，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列．【答案】解：(1)若数列{a n }项数n 为偶数，由已知，得，解得n =20，Sn =1×20+20×192×32=305．(2)在2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)中，令n =1，得a2=3(t−1)2t，∵2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)①可得2tS n −3(t −1)S n−1=2t(n ∈N ∗,n >1)② ①减去②得：a n+1a n=3(t−1)2t，且a 2a 1=3(t−1)2t，∵t ∈(35,3)， ∴0<|3(t−1)2t |<1，.(当t =1时，数列为1，0，0…，显然不合题意)所以，{a n }是首项a 1=1，公比q =3(t−1)2t的等比数列，且公比0<|q|<1，设项数n =3，，∴1−q +q2=52∴q2−q −32=0，解得q =1−√72或q =1+√72(舍)，由1−√72=3(t−1)2t解得，t =√7−2∈(35,3)，所以，当t =√7−2时，对应的数列为1，1−√72，(1−√72)2． 设数列{a n }为无穷数列， 由题意，得，S″=q1−q 2，，∴11+q =52， ∴q =−35，由3(t−1)2t=−35解得t =57∈(35,3)，∴当t =57时，对应的数列为：1，−35，(−35)2，…(−35)n−1….【解析】(1){a n }是等差数列，则S″−S′=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)…(a 2n −a 2n−1)=d +d +⋯d =d ×n2求出n ，再利用等差数列前n 项和公式计算． (2)根据S n 与a n 的固有关系a n ={sn −sn −1 n ≥2s1 n=1，得出a n+1a n=3(t−1)2t，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的圆心．(1)求抛物线的方程与其准线方程；(2)直线l 与圆C 相切，交抛物线于A ，B 两点；①若线段AB 中点的纵坐标为4√3，求直线l 的方程；②求FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2−4x +3=0配方可得：(x −2)2+y 2=1，可得圆心C(2,0)．∴抛物线的焦点F(2,0)． ∴p2=2，解得p =4．∴抛物线的准线方程为：x =−2．(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). ∵直线l 与圆C 相切， ∴√1+m 2=1，化为：(t −2)2=m 2+1≥1．∴t ≥3，或t ≤1．联立{y 2=8x my+t=x，化为：y 2−8my −8t =0，△=64m 2+32t >0.∴t >−2m 2． ∴t ≥3，或−2m 2<t ≤1． ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ． ①∵线段AB 中点的纵坐标为4√3， ∴4m =4√3， ∴m =√3，∴(t −2)2=m 2+1=4， 解得t =0或t =4，故直线l 的方程为x −√3y =0或x −√3y −4=0②FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(t −2)(y 1+y 2)+(t −2)2=−8t(m 2+1)+8m 2(t −2)+(t −2)2=−8t(t −2)2+8[(t −2)2−1](t −2)+(t −2)2=−15t 2+52t −44，=−15(t −2615)2+1615∈(−∞,−7]． ∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−∞,−7]．【解析】(1)由圆C：x2+y2−4x+3=0配方可得：(x−2)2+y2=1，可得圆心C(2,0).可得抛物线的焦点F(2,0).因此p2=2，解得p，即可得出．(2)设直线l的方程为：my+t=x，A(x1,y1)，B(x2,y2).由直线l与圆C相切，可得：(t−2)2=m2+1≥1.t≥3，或t≤1.联立，化为：y2−8my−8t=0，△>0.进而得到t≥3，或−2m2<t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域 D上是“k−利普希兹条件函数”．(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．【答案】解：(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)=log212−log214=−1−(−2)=1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0,2]内f(a)=M，f(b)=m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【解析】(1)根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；(2)令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)=M，f(b)=m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。
2025届上海市闵行区七宝中学高三下学期第五次调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A ．10B ．23C ．3D ．42．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 3．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --4．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．165．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg107．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e --=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．68．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能9．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24eD ．21e10． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件11．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ） A ．224B ．72-C ．52-D ．12-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)一､填空题(第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，满分54分)1. 已知i 为虚数单位，且3(1)i z i +=，则复数z 的虚部为___________. 【答案】12-【解析】 【分析】根据题意先求得复数z 后再求出复数的虚部即可．【详解】∵3(1)i z i +=， ∴()()()1i 11z 111222i i i i i i i -----====--++-， ∴复数z 的虚部为12-． 故答案为：12-. 【点睛】易错点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z 是解题的关键，另外还要注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部是b ，而不是bi ，这是解题中常出现的错误．2. 已知集合A R =，B =∅，则AB =___________. 【答案】R【解析】【分析】根据交集定义计算．【详解】由已知AB R =，故答案为：R ． 3. 已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左､右焦点，点P 在C 上，则12PF F △的周长为___________. 【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的定义计算．【详解】由椭圆方程知3a =，2c ==，P 在椭圆上， 所以121222232210PF PF F F a c ++=+=⨯+⨯=．故答案为：10．4. 如果1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为___________. 【答案】3【解析】 【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．【详解】因为1x ，2x ，3x ，4x 的方差是13，则13x ，23x ，33x ，43x 的方差为21333⨯=． 故答案为：3． 5. 计算行列式101021213--的值为___________.【答案】3-【解析】【分析】根据三阶行列式的定义计算． 【详解】101021600(4)103213-=-++----=--．故答案为：3-．6. 已知正整数数列{}n a 满足131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,则当18a =时，2021a =___________. 【答案】4【解析】【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列{}n a 从第二项起是周期数列，从而可得结论．【详解】由题意24a =，32a =，41a =，54a =，62a =，71a =，…，数列{}n a 从第二项起是周期数列，周期为3，所以20212367324a a a +⨯===．故答案为：4．7. 为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为___________.【答案】0.78【解析】【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．【详解】解：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A ，B ，C ，则()()()()()()()0.930.851P A P B P A P C P A P B P C ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得()()()0.780.150.07P A P B P C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以抽到一等品的概率为0.78.故答案为：0.78.8.已知二项式2n⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为___________. 【答案】112【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求出n ，然后通过二项式定理的通项公式求出常数项即可．【详解】二项式2n ⎛ ⎝的展开式的二项式的系数和为256，可得2256n =，解得8n =，则822n ⎛⎛= ⎝⎝展开式的通项832182r rr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎝⎭()()()388228120,1,2,3,,8r r r r r C x r ---=-⋅=⋅⋅⋅， 令()38022r r --=，解得6r =， 可得常数项为6282112C =.故答案为：112.9. 已知函数()sin 2cos f x x x =-，设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=___________.【答案】 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简为()sin 2cos )f x x x x ϕ=--，其中cos 5ϕ=，sin ϕ=x θ=时，()f x 取得最大值，从而22k πθϕπ-=+，进而求得cos θ.【详解】()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-，其中cos ϕ=，sin ϕ=则())f θθϕ-=22k πθϕπ-=+，k Z ∈，则cos cos(2)sin 2k πθϕπϕ=++=-=故答案为： 10. 在正方形ABCD 中，O 为对角线的交点，E 为边BC 上的动点，若(,0)AE AC DO λμλμ=+>，则21λμ+的最小值为___________. 【答案】92【解析】【分析】由向量的线性运算得,λμ的关系式，然后由基本不等式得最小值．【详解】由题意2AE AC DO OC OB λμλμ=+=+，2AE AO OE OC OE OC OB λμ=+=+=+，(21)OE OC OB λμ=-+，因为E 在线段BC 上，所以211λμ-+=，22λμ+=，10,2μλ>>， 所以21λμ+1211229(2)()(5)222λμλμλμμλ=++=++≥，当且仅当22λμμλ=，即23λμ==时等号成立． 故答案为：92． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．11. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【答案】8π【解析】【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H =，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，12B K =，1KP =，设外接球半径为R ， 则212OK R =--，在直角三角形OPK 中，2222(12)1R R =--+，解得2R =．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径． 12. 已知234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，q 为非零实数，则q 取值范围是___________.【答案】(,2](0,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】对q 分类讨论，去绝对值，从而解得q 的取值范围.【详解】①当1q ≥时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≤≤≤≤，当1q ≥时恒成立；②当11q -<<，0q ≠时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，即2345q q q q q ≥≥≥≥，解得01q <<；③当1q ≤-时，条件等价于234511111q q q q q -≤-≤-≤-≤-，由211q q -≤-知，220q q +-≥，解得2q ≤-，此时，2321(1)(1)20q q q q ---=+-<恒成立，即2311q q -<-，同理证得345111q q q -<-<-，则2q ≤-；综上所述，q 的取值范围为(,2](0,)-∞-⋃+∞故答案为：(](),20,-∞-⋃+∞【点睛】关键点点睛：对q 分类讨论，去掉绝对值号，从而将不等式转化为不等式组，一一解得即可求得解集. 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1(1)1-=-n n a q S q ，若01q <<，则lim n n S →+∞存在， 若lim n n S →+∞存在，则lim 0nn q →+∞=，则01q <<， 因此“lim n n S →+∞存在”是“0||1q <<”成立的充分必要条件．故选：C ．14. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(50)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）(参考数据：ln193≈)A. 60B. 62C. 66D. 63 【答案】D【解析】 【分析】根据**0.23(50)()0.951t KI t K e--==+可解得*t 的值，即可得答案； 【详解】0.23(50)()1t K I t e --=+，所以**0.23(50)()0.951t KI t K e --==+，所以()*0.2350ln193t -=≈，解得*350630.23t ≈+≈. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，考查阅读理解能力.15. 对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列两个命题：①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，则()0g x ≥；②若()1g f t =，则()y g x =为单调函数；则下列说法正确的是（ ）A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误【答案】B【解析】【分析】根据新定义通过方程的个数判断命题真假即得．【详解】①设()|()|h x g x =，若()()h g f t f t =，设存在0x R ∈，0()0g x m =<，即()1g f m ≥， 则()()()()1h g g g f m f m f m f m -=+-≥-+与已知()()h g f m f m -=-矛盾，所以假设不成立，即对任意x ∈R ，()0g x ≥．①正确，设1,0(),0x g x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则对任意t R ∈，()g x t =有唯一解，即()1g f t =，但()g x 在R 上不是单调函数，②错误，故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为()g x t =的解的个数问题．利用方程的解个数确定关于新定义函数命题的．16. 关于x的方程22x a x a a b ++--=有三个不同的实根，则2a b +的最小值为（ ） A. 4916- B. 3- C. 116-D. 0 【答案】A【解析】【分析】首先去绝对值，问题转化为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-，有三个实数根，当0a <时，画出函数2y x a x a =++-的图象，利用数形结合求得2302b a a =+≥，再代入求2a b +的最小值. 【详解】由条件可知0b ≥，方程化简为22x a x a a b ++-=+或22x a x a a b ++-=-，当0a <时，3,22,23,2x x a a x a x a x a x a a x x ⎧⎪≥-⎪⎪++-=-<<-⎨⎪⎪-≤⎪⎩， 如图，若方程有三个不同的实根，则2y x a x a =++-与直线2y a b =+和2y a b =-共有3个交点，画出函数的图象，当2a x =时，32y a =-，232a a b ∴-=-，得2302b a a =+≥，解得：32a ≤-，或0a ≥（舍）， 222377492222416ab a a a a a a ⎛⎫+=++=+=+- ⎪⎝⎭，32a ≤-， 当74a =-时，2a b +取得最小值4916-， 当0,0a b >>时，492016a b +>>-， 综上可知2a b +的最小值是4916-. 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 内接于半径为2的圆O ，AB 为圆O 的直径，//AB CD ，2DC AB =，E 为AB 上一点，PE ⊥平面ABCD ，ED AB ⊥，PE EB =.求：（1）四棱锥P ABCD -的体积；（2）锐二面角C PB D --的余弦值.【答案】（1）33（23105【解析】【分析】（1）首先求得求得60AOB BOC COB ∠=∠=∠=︒，从而求得四棱锥中线段长，得底面积和高，然后可得体积；（2）建立如图的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】解：（1）连接OD ，OC ，易得ODC △是正三角形∵//AB CD ，∴60AOD ODC ∠=∠=︒∵ED AB ⊥∴3ED =，1EO =，∴3PE EB == ∴1(24)3332ABCD S =⨯+⨯= ∴1333333P ABCD V -=⨯⨯= ∴四棱锥P ABCD -的体积为33．（2）如图建立空间直角坐标系E xyz -则(0,3,0)B ，(3,2,0)C ，(3,0,0)D ，(0,0,3)P∴(3,3,0)BD =-，(0,3,3)PB =-，(3,1,0)BC =- 设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =由1100BD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111330330x y y z -=-=⎪⎩，取11y =得1(3,1,1)n = 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =由2200BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222230330x y y z -=-=⎪⎩，取21y =得233n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设锐二面角C PB D --的大小为θ 则12123105cos n n n n θ⋅== ∴锐二面角C PB D --的余弦值为310535． 【点睛】方法点睛：本题考查求棱锥体积，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=.求：（1）BD 的长度；（2）三角形ABD 的面积.【答案】（1）2BD =；（231.【解析】【分析】（1）在BCD △中，根据cos BCD ∠的值结合余弦定理求解出BD 的长度；（2）在ABD △中，先根据正弦定理求解出AD 的长度，然后根据三角形的面积公式1sin 2AD BD ADB ⋅∠求解出结果.【详解】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得： 2222cos 14221144BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 则2BD =；（2）在ABD △中，1803045105BAD ∠=︒-︒-︒=︒，()sin sin105sin 45602212BAD ∠=︒=︒+︒=+=， 由正弦定理可得sin sin AD BD ABD BAD=∠∠，所以)2sin 4521sin105BD AD ⨯⋅︒===︒，则)1sin 212sin 301122ABD S AD BD ADB =⋅∠=⨯⨯⨯︒=. 19. 业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A (A 为常数)元，n 年后总投入资金记为()f n ，经计算发现当010n ≤≤时，9()nA f n p qa =+，其中232,,a p q -=为常数，(0)f A =,(3)3f A =（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.【解析】【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求得,p q 的值，得到()f n 的解析表达式，然后令()8f n A =,解方程即可；（2）求得第n 年的投入资金()()1f n f n --的解析表达式，并通分化简，适当转化，然后利用基本不等式探究取得最大值的条件即可.【详解】解：（1）由题意知(0),(3)3f A f A ==． 所以99314A Ap q A A p q ⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩，解得18p q =⎧⎨=⎩,∴9()18n A f n a =+⋅ 令()8f n A =，得9818n A A a =+⋅，解得164n a =，即231264n-=，所以9n =． 所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．（2）由（1）知9()18nA f n a =+⋅ 第n 年的投入资金199()(1)1818n n A A f n f n a a-=--=-=+⋅+⋅()()9972(1)72(1)1881888(1)64n n n n n n nA a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅---==+⋅+⋅+⋅+⋅+++，≤== 当且仅当64n n a a a =，即2(26)31264n --=等号． 所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及利用基本不等式研究最值问题，属中档题，关键是准确运算，并注意适当转化，以便利用基本不等式研究最值.20. 已知点F 为抛物线21:4C y x =的焦点，点(0,4)D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线:l y t =(t 为常数)截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求焦点F 的坐标；（2）求实数t 的值；（3）若点(0,3)E ，过点A 的直线y x m =+交抛物线于另一点B ，AB 的中垂线过点D ，求m 的值和ABE △的面积.【答案】（1）(0,1)F ；（2）3t =；（3）0m =，面积为6.【解析】【分析】（1）由抛物线标准方程求焦点坐标；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得圆半径，由勾股定理求得弦长，利用弦长与0x 无关，求得t 值； （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点M 坐标，由1DG k =-得参数m 值，然后求得点E 到AB 的距离，弦长AB 得三角形面积．【详解】解：（1）∵24x y =， ∴(0,1)F ；（2）设点200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，直径2r AD == 设截得得弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ， 则2221||2GH r d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22222000444442x x x t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 得222013||444t GH x t t -=+-与0x 无关，所以3t =， （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为G ，联立224404y x m x x m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∵0∆>，∴16160m +>， ∴1m >-，∵124x x +=，124x x m =-，1242y y m +=+，∴(2,2)G m +， ∴2102DG m k m -==-⇒=， 符合1m >-，∵12||AB x =-==，点E 到AB=，∴162ABE S =⋅=． 【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的定值问题，三角形面积问题，解题方法是设而不求的思想方法，在求面积时，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1222,x x x x +，然后代入条件计算求得参数值，从而可得弦长，得三角形面积．21. 已知数列{}n a ()n a ∈N ，记12n n S a a a =+++，首项100a n =>，若对任意整数2k ，有01k a k -，且k S 是k 的正整数倍．（1）若121a =，写出数列{}n a 的前10项；（2）证明：对任意2n ，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定；（3）证明：对任意正整数0n ，数列{}n S 从某一项起为等差数列．【答案】（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5；（2）答案见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意，即可得出结果.（2）当2k =时，可得2a 由1a 唯一确定. 接下来用反证法，即可证明.（3）由+11++k k k k S S a S k +=≤，可得+1+1+11k k k k S S S k S k k k k <≤=++， 进而可得+11k k S S k k ≤+.因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n为常数. 即可证明. 【详解】（1）21，1，2，0，1，5，5，5，5，5.（2）当2k =时，根据题意122a a b +=为偶数，并且201a ≤≤，若1a 为偶数，20a =，若1a 为奇数，21a =，从而2a 由1a 唯一确定.接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值.假设第1k +项是第1个可以有两种不同取值的项，即前面k 项12...k a a a ，，，由1a 唯一确定. 记第1k +项的两种取值为1k a +和111k k k c a c +++≠（）， 根据题意存在b c ∈N ，使得：121...(1)k k a a a a k b +++++=+……①且121...(1)k k a a a c k c +++++=+……②并且满足110k k a c k ++≤≤，. 由①②两式作差可知+1+1k k a c -是1k +的倍数， 又因为+1+1k k a c k -≤，可知11k k a c ++=，矛盾.从而对任意2n ≥，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定.（3）因为+11++k k k k S S a S k +=≤，所以+1+1+11k k k k S S S k S k k k k<≤=++.因为+11k k S S k k+，都是正整数，由整数的离散性有+11k k S S k k ≤+. 因此，存在0m ，当0n m ≥时，n S n 为常数. 不妨记为=n S c n，从而当0n m ≥时，有n S cn =. 所以{}n S 从第0m 项起为等差数列.【点睛】关键点点睛：利用反证法证明：对任意2n ≥，数列{}n a 的第n 项n a 由1a 唯一确定是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）方程cos x＝sin的解为x＝．2．（3分）设{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则a2+a8＝．3．（3分）求值：＝．4．（3分）函数y＝arccos（sin x），的值域是．5．（3分）设数列{a n}的前n项和S n，若a1＝﹣1，S n＝0（n∈N*），则{a n}的通项公式为．6．（3分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边增加了项．7．（3分）若f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，则b﹣a的最小值为．8．（3分）设数列{an}的通项公式为a n＝，则（a1+a2+…+a n）＝．9．（3分）已知数列{a n}中，其前n项和为S n，，则S9＝10．（3分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．11．（3分）△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为．12．（3分）关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝．13．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin，（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos，则S2014＝．14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n＝；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k＝．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论序号都填上）二.选择题15．（3分）已知{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，且＝2，S n＝a1+a2+…+a n，则的值为（）A．2B．﹣1C．1D．不存在16．（3分）设{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a2n﹣1}是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或﹣的等比数列D．公比为或﹣的等比数列17．（3分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．18．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，则下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）数列{S n}是递增数列的充要条件是数列{a n}的各项均为正数；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…S k＝0的充要条件是a1•a2…a k＝0．（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题19．已知函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a n，0），n＝1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C＝．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；21．已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．对任意a∈R，求y＝g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝，b n＝a2n﹣2；（1）求a2、a3、a4；（2）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项公式；（3）求和T n＝a2+a4+…+a2n；23．已知{a n}，{b n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，a i，b i均为有理数），{d n}为一无理数列（即对任意的i∈N*，d i为无理数）．（1）已知b n＝﹣2a n，并且（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{d n}的通项公式．（2）若{d n3}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝1恒成立的充要条件为．（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），d n＝，试计算b n．2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）方程cos x＝sin的解为x＝2k（k∈Z）．【解答】解：因为方程cos x＝sin＝cos＝cos（﹣），所以x＝2kπ±（k∈z），故答案为：2kπ±（k∈z）．2．（3分）设{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π，则a2+a8＝．【解答】解：∵a1+a5+a9＝π＝3a5，∴a5＝，∴a2+a8＝2a5＝，故答案为：3．（3分）求值：＝．【解答】解：由题意，sin[arccos（﹣）]＝＝．故答案为：．4．（3分）函数y＝arccos（sin x），的值域是．【解答】解：当时，＜sin x≤1，由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos（﹣）＝，arccos1＝0，所以值域为故答案为：．5．（3分）设数列{a n}的前n项和S n，若a1＝﹣1，S n＝0（n∈N*），则{a n}的通项公式为a n＝．【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣，化为：a n+1＝3a n．n＝1时，﹣1＝a1＝a2，解得a2＝﹣2．不满足上式．∴数列{a n}在n≥2时成等比数列．∴n≥2时，a n＝﹣2×3n﹣2．∴a n＝．故答案为：a n＝．6．（3分）利用数学归纳法证明不等式“1+++…+（n≥2，n∈N*）”的过程中，由“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边增加了2k项．【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为，∴由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了2k+1﹣（2k+1）+1＝2k，故答案为：2k．7．（3分）若f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，则b﹣a的最小值为．【解答】解：根据f（x）＝2sin x﹣1＝0，即sin x＝，故x＝2kπ+，或x＝2kπ+，∵f（x）＝2sin x﹣1在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，∴不妨假设a＝（此时，k＝0），则此时b的最小值为28π+，（此时，k＝14），∴b﹣a的最小值为28π+﹣＝，故答案为：π8．（3分）设数列{an}的通项公式为a n＝，则（a1+a2+…+a n）＝．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n＝，则a1+a2+…+a n＝1+2+3+＝6+，则（a 1+a2+…+a n）＝[6+]＝．故答案为：．9．（3分）已知数列{a n}中，其前n项和为S n，，则S9＝377【解答】解：，则S9＝（1+4+16+64+256）+（3+7+11+15）＝+36＝341+36＝377．故答案为：377．10．（3分）对于正项数列{a n}，定义为{a n}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+na n＝∵∴a1+2a2+…+na n＝①∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1＝②①﹣②得﹣＝∴故答案为：11．（3分）△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则A的取值范围为（0，60°]．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，又A为三角形的内角，则A的取值范围是（0，60°]．故答案为：（0，60°]12．（3分）关于x的方程x2﹣4 arctan（cos x）+π•a2＝0只有一个实数根，则实数a＝±1．【解答】解：设f（x）＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4arctan（cos （﹣x））+π•a2＝x2﹣4arctan（cos x）+π•a2＝f（x）∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，又依题意f（x）只有一个零点，故此零点只能是x＝0，所以0﹣4arctan（cos0）+π•a2＝0，∴﹣4arctan1+π•a2＝0，∴﹣4×+π•a2＝0，∴a2＝1，∴a＝±1，故答案为：±113．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin，（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos，则S2014＝4028．【解答】解：（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）＝sin＝，①（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝cos＝﹣，②①+②得，（a2﹣2）3+2013（a2﹣2）+（a2013﹣2）3+2013（a2013﹣2）＝0，即（a2﹣2+a2013﹣2）[（a2﹣2）2﹣（a2﹣2）（a2013﹣2）+（a2013﹣2）2]+2013（a2﹣2+a2013﹣2）＝0，∴a2﹣2+a2013﹣2＝0，即a2+a2013＝4，∴S2014＝＝1007×（a2+a2013）＝4028，故答案为：4028．14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n＝；④若存在正整数k，使S k＜10，S k+1≥10，则a k＝．其中正确的结论是①③④．（将你认为正确的结论序号都填上）【解答】解：①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，…，，，，∴a24＝，故①正确；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…，由等差数列定义＝（常数）所以数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，故②不正确．③∵数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知：Tn＝，故③正确；④由③知S k＜10，S k+1≥10，即：，，∴k＝7，a k＝．故④正确．故答案为：①③④．二.选择题15．（3分）已知{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，且＝2，S n＝a1+a2+…+a n，则的值为（）A．2B．﹣1C．1D．不存在【解答】解：因为{a n}和{b n}都是公差不为零的等差数列，所以设b n＝b1+（n﹣1）d1a n＝a1+（n﹣1）d2故＝＝2，可得d1＝2d2又因为a1+a2+…+a n＝na1+和b2n＝b1+（2n﹣1）d1代入则＝（2×）＝＝1．故选：C．16．（3分）设{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列{a2n﹣1}是（）A．公比为的等比数列B．公比为的等比数列C．公比为或﹣的等比数列D．公比为或﹣的等比数列【解答】解：根据题意，若{a n}的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则S n＝2S4，又由{a n}是公比为q（0＜|q|＜1）的无穷等比数列，则＝2，变形可得q4＝，则q＝±，数列{a2n﹣1}为{a n}的奇数项组成的数列，则数列{a2n﹣1}为公比为q2＝的等比数列；故选：B．17．（3分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数图象的对称轴方程为：x＝k∈Z，函数图象的一条对称轴在内，所以当k＝0 时，φ＝故选：A．18．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，则下列命题：（1）若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}也是递增数列；（2）数列{S n}是递增数列的充要条件是数列{a n}的各项均为正数；（3）若{a n}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…S k＝0的充要条件是a1•a2…a k＝0．（4）若{a n}是等比数列，则S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）的充要条件是a n+a n+1＝0．其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，故S n＝a1+a2+a3+…+a n，若数列{a n}是递增数列，则数列{S n}不一定是递增数列，如当a n＜0 时，数列{S n}是递减数列，故（1）不正确．由数列{S n}是递增数列，不能推出数列{a n}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，满足{S n}是递增数列，但不满足数列{a n}的各项均为正数，故（2）不正确．若{a n}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…S k＝0不能推出a1•a2…a k＝0，例如数列：﹣3，﹣1，1，3，满足S4＝0，但a1•a2•a3•a4≠0，故（3）不正确．若{a n}是等比数列，则由S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N）可得数列的{a n}公比为﹣1，故有a n+a n+1＝0．由a n+a n+1＝0可得数列的{a n}公比为﹣1，可得S1•S2…S k＝0（k≥2，k∈N），故（4）正确．故选：B．三.解答题19．已知函数f（x）＝x2+（2﹣n）x﹣2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a n，0），n＝1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有b n+1＞b n？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设f（x）＝0，x2+（2﹣n）x﹣2n＝0得x1＝﹣2，x2＝n．所以a n＝n（4分）（2）b n＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，若存在λ≠0，满足b n+1＞b n恒成立即：3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，（6分）恒成立（8分）当n为奇数时，⇒λ＜1（10分）当n为偶数时，⇒（12分）所以（13分），故：λ＝﹣1（14分）20．已知函数f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2，x∈R；（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）＝2，C＝．，c＝2，求△ABC的面积S△ABC的值；【解答】解：（1）因为f（x）＝2sin x cos x+3sin2x+cos2x﹣2＝sin2x+2sin2x﹣1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，又x∈（0，π），所以0＜x≤或≤x＜π，所以函数f（x）在（0，π）上的递增区间为：（0，]，[，π），（2）因为f（A）＝2，∴2sin（2A﹣）＝2，∴sin（2A﹣）＝1，∴2A﹣＝+2kπ，k∈Z，∴A＝+kπ，k∈Z，∵0＜A＜π，∴A＝．∴B＝，在三角形ABC中由正弦定理得＝，∴a＝＝＝，S△ABC＝ac sin B＝×2×sin＝．21．已知函数f（x）＝2sin（ωx），其中常数ω＞0．（Ⅰ）令ω＝1，判断函数的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．对任意a∈R，求y＝g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x，F（x）＝f（x）+f（x+）＝2sin x+2sin（x+）＝2（sin x+cos x），F（）＝2，F（﹣）＝0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）＝2sin2x，将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）＝2sin2（x+）+1．令g（x）＝0，得x＝kπ+或x＝kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．22．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝，b n＝a2n﹣2；（1）求a2、a3、a4；（2）求证：数列{b n}为等比数列，并求其通项公式；（3）求和T n＝a2+a4+…+a2n；【解答】解：（1）a1＝1，a n+1＝，可得a2＝1+a1＝1+＝；a3＝a2﹣4＝﹣，a4＝3+a3＝；（2）证明：b n＝a2n﹣2＝a2n﹣1+2n﹣1﹣2＝（a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣1﹣2＝（a2n﹣2﹣2）＝b n﹣1，可得数列{b n}为公比为，首项为﹣等比数列，即b n＝﹣（）n；（3）由（2）可得a2n＝2﹣（）n，T n＝a2+a4+…+a2n＝2n﹣（++…+）＝2n﹣＝2n﹣1+（）n．23．已知{a n}，{b n}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，a i，b i均为有理数），{d n}为一无理数列（即对任意的i∈N*，d i为无理数）．（1）已知b n＝﹣2a n，并且（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{d n}的通项公式．（2）若{d n3}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（a n+b n d n﹣a n d n2）（1+d n2）＝1恒成立的充要条件为．（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），d n＝，试计算b n．【解答】解：（1）∵，∴，即，∴，∵a n≠0，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵{a n}，{b n}，为有理数列，{d n}为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴25tanθ＝12+12tan2θ．∵，∴，当n＝2k（k∈N*）时，∴当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵{a n}，{b n}，为有理数列，{d n}为无理数列，∴，∴，∴当n＝2k（k∈N*）时，∴当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴，∴．。
