高一必修4三角恒等变换练习题及答案

高一必修4三角恒等变换测试题及答案2一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0B 12C 3 D12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 、3365-B 、6365C 、5665 D 、1665-3. tan 20tan 40320tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3 C 3 D34. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47 C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、56653D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425D 、7257. 函数44sincos y x x=+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B1010-C10103 D10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将xx y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 322xxy =+的图像的一条对称轴方程是4（ ）A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则xtan 的值为（ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43- 12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2（ ）A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。

3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2＝－cos α2. 2．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105B.105C ．－155D.155[答案] D[解析] ∵π2<α<π，∴π2<α2<π2，则sin α2＝1－cos α2＝155. 3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2αtan2α.4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )A.13 B.23 C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63. 5．化简cos2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin2αD ．1－sin2α[答案] D[解析] 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－sin2α. 6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )A.12－32sin2x B.12＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x[答案] A[解析] f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋12－12cos2x ＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x＝12－32sin2x . 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( ) A ．2 B.32 C.2＋12D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12.8．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sinπ4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C. 9．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D 。

一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．143．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1B ．或1C ．34-或1 D ．1或-14．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-5．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-6．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数8．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]39．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．566510．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-711．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ） A．BC．9-D．9二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.14．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．16．()sin 5013tan10︒+︒的值__________. 17．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 18．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 19．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 20．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离29AB π=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．已知函数21()3cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x=-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.23．已知3sin 5α=-，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值．24．先将函数2sin 23sin 26y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足42()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设232sin()sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 25．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 26．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-， 故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．C解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.3．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴αα=sin()4πα-=1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．4．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.5．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题.【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值.22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π4f a ⎛⎫==⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确； 对于选项D：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.8．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））12222222223sin x x sin x cos x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，9．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.11．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+==故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．15．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.16．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析：2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】 方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）1a ≤-，（2）6π 【分析】（1）先对函数()f x 化简变形，然后求出函数()f x 在,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最小值，则可得到实数a 的取值范围；（2）根据题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，先得到()g x 的解析式，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，再根据正弦函数图像的对称性得到结论 【详解】解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像，函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++= 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换、正弦函数的定义域和值域，函数恒成立问题，函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，第2问解题的关键是运用正弦函数的对称性进行求解，属于中档题 23．（1）45；（2）34-. 【分析】（1）先求出4cos 5α=，再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.（2）先求出3tan 4α=-，再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.【详解】（1）因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-. （2）由（1）得4cos 5α=，故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.24．（1）()2cos f x x =；（2）4.【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值【详解】（1）原函数化简得到2sin 2cos cos 2sin 2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦， 将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x =所以()2cos f x x =.（2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=，解得sin sin 6αβ=-()g x =.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos cos x x x x x⎤⎛++⋅⎥ ⎥⎝⎭⎣⎦= 22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-， 则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==. 【点睛】 关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题25．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈，又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.26．（1）2-；（2）详见解析.【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos x x x =，代入后化简证明. 【详解】 （1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅ ⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x --==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin x x-=- 【点睛】 思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.。

三角恒等变换班别 _________________ 姓名 _____________________ 学号 __________ 成绩 一、选择题（每小题5分，共50分）2.在 ABC 中，cosA ・ cosB sin A-si nB 0,则这个三角形的形状是（） A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形13.已知sin cos ，则sin 2的值为（）36.已知等腰三角形顶角的余弦值等于彳，则这个三角形底角的正弦值为 ()10 、10C3.10D3、10AB101010107.要得到函数y 2sin 2x 的图像，只需将y 3sin2x cos2x 的图像（A、向右平移-个单位B 、向右平移12个单位C 向左平移云个单位D 向左平移一个单位 128.函数y sin^ .3cos-的图像的一条对称轴方程是（）2 21.已知tan3,tan 5，则tan2的值为（A. B.C. D.A . 8 94. 1 的sin 10sA 、115.若函数 f （x ） sin 2x （x R ），则A.最小正周期为丄的奇函数2 C.最小正周期为2 n 的偶函数.1C 、4Df (x)是(B.最小正nD.最小正n312.在 ABC 中，已知tanA ,tanB 是方程3x 2 7x 20的13. 已知 tanx 2，则 3sin2x 2cos2x的值为14. 在下列四个命题中:把你认为正确的命题的序号都填在横线上 三、解答题（共6小题，满分80分）1 715. （本题满分 12分）已知 cos -，sin （ ） 一，且 （0,-）392求cos 的值。

A 11 5 5A 、xB 、 xC 、x —33 3 9.已知 1 cosx sinx2， 则tanx 的值为 1 cosx sin xDD3 - 4、C4 -3、B10.函数y .4sin x cos x 的值域是（A 0,11,12’ 21'1、填空题（每小题 5分，共20分. 请把答案填在题中的横线上） 11. sin347 0cos1480 sin32 0 cos130 =cos2x 3sin 2x①函数y tan (x —）的定义域是x x4②已知sin 且 [0,2 ]，则的取值集合是-;③函数y sin(2x -）sin （2x -）的最小正周期是 ；④函数y 2cos x sin x 的最小值为—1.16・（本题满分12分）化简：黯（1 tanxt吨）17. （本题满分14分）求t严J迅sin 12°(4COS212°18. （本题满分14分）已知a为第二象限角，且Sin a =—15 ,求4sin(sin24cos2 1的值.20.（本题满分14分）已知函数y sin 2 x sin2x 3cos 2 x ，求 （1） 函数的最小值及此时的x 的集合。

三角恒等变换(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______． 2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________.3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)＝__________. 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是________．5．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为______． 6．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a ＝________. 8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是______． 9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于______．10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为________．11．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线________上． 12．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________. 13．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．14．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的所有θ的集合为______．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos(2α－3π4)的值．16．(14分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．17．(14分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．18．(16分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角．(1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．19．(16分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2. (1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求sin (α＋π4)cos (4π＋2α)的值．20．(16分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．三角恒等变换1.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)] ＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2. 2．1解析 原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.3.17解析 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35， ∴cos α＝－45， tan α＝sin αcos α＝－34. ∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17. 4．[－π6，0] 解析 f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)． 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )， 令k ＝0得－π6≤x ≤5π6. 由此可得[－π6，0]符合题意． 5.32解析 原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32. 6．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.7. 3解析 f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x ) ＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ) ∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2. 解得a ＝ 3.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 解析 y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ， ∴－1≤sin(2x －π4)≤1， ∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9.75解析 ∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13. cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75. 10．－4解析 3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4. 11．24x －7y ＝0 解析 cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43， ∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247. ∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．12.429解析 cos β＝－13，sin β＝223， sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223， 故cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)×(－13)＋223×13＝429. 13．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°，∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)．∴y max ＝1.14.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝2k π＋2π3，k ∈Z 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )． ∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3) ＝2sin(2x ＋k π)．当k 为偶数时，f (x )＝2sin 2x ，不合题意；当k 为奇数时，f (x )＝－2sin 2x ，函数在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数． ∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3＋2k π，k ∈Z . 15．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π) ⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13. (2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45， cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 16．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x ) ＝2(sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3) ＝2sin(2x ＋π3)． ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2. 当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2. (3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )． 17．解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32. ∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. 18．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12. 又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－35， ∴sin θ＝45. ∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 19．解 (1)由题意，得m ·n ＝0，所以 f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326. 解得cos α＝513. 因为α是第一象限角，故sin α＝1213. 所以sin (α＋π4)cos (4π＋2α)＝sin (α＋π4)cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝22(cos α－sin α)＝－13214. 20．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)， 所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1， 又0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)， 因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈[－π3，2π3]， 故－12≤cos(4x －π3)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。

5山东省莱州一中高一数学试题-三角恒等变换测试题第I 卷、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分）4.已知 tan 3,tan44A-B — C775.,都是锐角，且sin513 3316 A 、 B— 65651 3A 0,1B 1,1C 丄,32 21、cos 24 cos36 cos66 cos54 的值为(3 2. cos 5 ,，sin 212 13是第三象限角，则 cos （33 6563 6556 6516 653. tan 20 tan 40 • 3tan20 tan 40 的值为(5，则 tan 2的值为（)11— D — 8 4 8则sin 的值是（55663 C 、 D 、 — 6565C - 3D .3)6., x (34 ,)且 cos x 3 —则cos2x 的值是 54 472424A 、 —B 、 —C 、25 2525251,144 7.函数y sin x cos x 的值域是（8.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4,则这个三角形底角的正弦值为（）J10 V10 3J10 3J10AB C D10 10 10 109.要得到函数y 2sin 2x的图像，只需将y , 3sin 2x cos2x的图像（）A、向右平移一个单位B、向右平移一个单位C向左平移—个单位D向左平移—个单位6 12 6 12 10. 函数y .x sin 、3 cos的图像的一条对称轴方程是( )2 2A、1 5 5x B 、x C 、x D 、x —3 3 3 311. 已知1cosx sin x2，则tanx的值为( )1 cosx sin xA、4B4 3 3、-- C 、 D 、3 34 412若0,—0, 且ta n 「tan -,则2 ( )4 2 7A、5 2 7 3B 、C 、D 、6 3 12 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上）13. .在ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2 7x 2 0的两个实根，则tanC _______________3sin 2x 2cos 2x 砧14. 已知tanx 2，贝U 的值为_____________________cos2x 3sin 2x15. 已知直线IJ/12, A是"J之间的一定点，并且A点到「J的距离分别为0山2 , B是直线I?上一动点，作AC AB，且使AC与直线|1交于点C,则ABC面积的最小值为___________________ 。

一、 填空题1. 若cos 2α2sin （α＋135°）＝－12，则sin α＋cos α的值为__________．2. 已知sin 2α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜2α＜π，tan (α－β)＝12，则tan (α＋β)＝________．3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4的值为__________．4. 已知tan (3π－α)＝2，则2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝________．5. 若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝__________．6. 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值是__________．7. 若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝__________．8. 函数f(x)＝cos 2x －3sin x ＋1(0<x<2π)的零点是__________．9. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(cos θ，－2)，θ为第二象限角．若a ∥b ，则5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝________．10. 已知α，β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．二、 解答题 11. 求值：(1) (tan 10°－3)cos 10°sin 50°；(2) ⎝⎛⎭⎫1cos 280°—3cos 210°·1cos 20°.12已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，求2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1的值．13已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22·sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(3) 当0≤x ≤π2时，求函数f(x)的最大、最小值．1. －12解析：由已知得cos 2α－sin 2α－sin α＋cos α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝－12.2. －2 解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－2.3. 210 解析：由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin (2θ＋π4)＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×(45－35)＝210.4. －3 解析：由诱导公式得tan (3π－α)＝－tan α＝2，故2cos 2α2－sin α－1sin α＋cos α＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1＝－3.5. 3 解析：sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.6. －155 解析：∵ 5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴ cos θ<0，cos θ＝－15.∵ 5π4<θ2<32π，∴ sin θ2<0.又sin 2θ2＝1－cos θ2＝35，∴ sin θ2＝－155.7. －12 解析：∵ α是第三象限角，cos α＝－45，∴ sin α＝－35.∴ 1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.8. π6或5π6解析：令f(x)＝0，得1－2sin 2x －3sin x ＋1＝0，2sin 2x ＋3sin x －2＝0，(sin x ＋2)(2sin x －1)＝0，∵ －1≤sin x ≤1，sin x ＋2≠0，∴ 2sin x －1＝0，即sin x ＝12.又0<x<2π，∴ x ＝π6或5π6.9. 7 解析：∵ a ∥b ，∴ －2sin θ－cos θ＝0，∴ tan θ＝－12.又5－cos 2θ1－cos 2θ＋3tan 2θ＝2＋sin 2θsin 2θ＋6tan θ1－tan 2θ＝3sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－4＝3＋2tan 2θ－4＝7. 10. 24解析：由已知得sin α＝cos (α＋β)sin β＝cos αcos βsin β－sin αsin βsin β，两边同除以cos α，并整理得tan α＝sin βcos β1＋sin 2β＝sin 2β3－cos 2β＝0－（－sin 2β）3－cos 2β，∵ α，β均为锐角，∴ 0－（－sin 2β）3－cos 2β可以看成是单位圆的下半圆上的动点(cos 2β，－sin 2β)与定点(3，0)连线的斜率，其最大斜率为132－1＝24.11. 解：(1) 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°cos 10°·cos 10°sin 50°＝－2cos 40°sin 50°＝－2.(2) ∵ 1cos 280°－3cos 210°＝cos 210°－3cos 280°cos 280°cos 210°＝（cos 10°＋3sin 10°）（cos 10°－3sin 10°）cos 210°sin 210°＝4（sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°）（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）cos 210°sin 210°＝4sin 40°sin 20°14sin 220°＝16sin 40°sin 20°＝32cos 20°，∴ 原式＝32.12. 解：∵ tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，∴ 2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋1＝2sin αcos αsin 2α－sin αcos α＋sin 2α＋cos 2α＝2tan α2tan 2α－tan α＋1＝47. 13. 解：f(x)＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－ 2.(1) 函数f(x)的最小正周期为π.(2) 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝12k π＋π8(k ∈Z )． 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8，所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(12k π－π8，－2)(k ∈Z )． (3) 当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，所以当x ＝π2时，f(x)取最小值－322，当x ＝π8时，f(x)取最大值为1－ 2.。

一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D2．已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=3．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-4．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ）A ．()f x 的最小值为B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.C ．函数()y f x =的图象可由函数y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称.5．在ABC 中，cos A =，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．26．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．168．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-79．已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-711．已知直线524x π=是函数21()sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知cos()6πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） A．3B ．13C ．13-D．3-二、填空题13．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．已知sin α=，()1cos 3αβ+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin β=_____.17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 18．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 19________.20．已知x 是第二象限的角.化简：1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+---+的值为____________. 三、解答题21．已知函数()()23sin cos 3cos 02f x x x x ωωωω=⋅-+>图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()y f x =的解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为1x 、2x ，求()12cos x x -的值． 22．已知函数()3sin 2cos 2f x x x =-，[,]34x ππ∈-．（1）求函数()f x 的周期和值域； （2）设()3a g x x x =+，若对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知5sin2α=，()5cos 13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.25．已知02πα<<，02πβ-<<，310cos α=3cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.3．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.8．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.9．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．10．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解：∵∴∴∴又∴则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析：9【分析】由已知分别求得cos α，()sin αβ+，再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，展开两角差的正弦得答案.【详解】解：∵sin α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 3α==， ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈，又()1cos 3αβ+=-，∴()sin αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为：9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题.17．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.18．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.19．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题解析：4【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】=4==，由于342ππ<<=故答案为：4 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.20．【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析：2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <进行化简即可得到结果． 【详解】因为x 是第二象限的角，所以cos 0x <，==1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为：2tan x -. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．三、解答题21．（1）()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈；（2）13. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的最小正周期，可得出函数()f x 的解析式，解方程()232x k k Z πππ-=+∈可解得函数()y f x =图象的对称轴方程；（2）求得121sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分析得出点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称，可得出1256x x π+=，再利用诱导公式可求得()12cos x x -的值.【详解】 （1）())221sin cos sin 22cos 12f x x x x x x ωωωωω=⋅+=--1sin 2cos2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由于函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，0ω>，所以，222Tπω==，解得1ω=. 所以，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由()232x k k Z πππ-=+∈，解得()5122k x k Z ππ=+∈， 所以，函数()y f x =图象的对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈； （2）由题意可得()1111sin 20333f x x π⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，则11sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，同理可得21sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当0πx <<时，则52333x πππ-<-<， 若()20,3x ππ-∈，设232x ππ-=，解得512x π=. 因为()()1213f x f x ==，所以，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称. 所以，1256x x π+=. 所以，()12111155cos cos cos 2cos 26632x x x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11sin 233x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换思想化简正弦型函数解析式的步骤如下： （1）利用两角和与差的正弦、余弦公式展开；（2）利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式将二次式降幂，并合并同类项； （3）利用辅助角公式化简.22．（1）T π=，[-；（2）14a ≥. 【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-，代入周期公式，可求得周期T ，根据x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得min max ()()g x f x ≥，由（1）可得max ()f x =0a <，0a =，0a >三种，()3ag x x x=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）1()2cos 2)2sin(2)26f x x x x π=-=-， 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-，则52[,]663x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-，即6x π=-时，()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=，即4x π=时，()2sin(2)6f x x π=-有最大值2，所以1sin(2)62x π-≤-≤，所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x 的值域为[-（2）对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，只需当min max ()()g x f x ≥由（1）知，max ()f x =当0a <，()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数，值域为R ，不满足题意； 当0a =，()3g x x =为(0,)+∞上增函数，值域为(0,)+∞,不满足题意；当0a >，()3ag x x x=+为对勾函数，所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =，当且仅当3ax x=，即x =.由题意，即可，所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥，分别根据12,x x 的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题. 23．（1）2425；（2）1665．【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由已知223cos 12sin 12255αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==， ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=，∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=． 【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解．24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ （2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可.【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.25．（1；（2）15. 【分析】（1）根据02πα<<，cos 10α=10sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()4+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos α=所以sin α= 所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，1021025=⋅-=. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()45+=πα， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα， sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，535315=-=. 【点睛】 方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 26．（1）b =2）． 【分析】()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->，又3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos1cos sin6θθθθ⨯+==--.【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cosθθ+和cos sinθθ的表达式，再结合()2sin cos12sin cosθθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。

三角恒等变换单元测试题（含答案）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、cos 24cos36cos66cos54的值为（）A 0B 12C 32 D122.3cos5，,2，12sin13，是第三象限角，则)cos(（）A 、3365B 、6365C 、5665D 、16653. tan 20tan 403tan 20tan 40的值为（）A 1B 33C －3D34. 已知tan 3,tan5，则tan 2的值为（）A 47 B47C18D185.,都是锐角，且5sin 13，4cos5，则sin的值是（）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(x且3cos45x 则cos2x 的值是（）A 、725B 、2425C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y xx 的值域是（）A0,1B1,1C 13,22 D1,128. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（）A1010 B1010 C10103 D101039.要得到函数2sin 2y x 的图像，只需将x xy2cos 2sin 3的图像（）A 、向右平移6个单位B 、向右平移12个单位C 、向左平移6个单位D 、向左平移12个单位10.函数sin3cos22x x y 的图像的一条对称轴方程是（）A 、x113B、x53C、53xD、3x 11.已知1cos sin 21cos sin x xx x，则x tan 的值为（）A 、34 B、34 C、43 D 、4312.若0,40,且1tan2,1tan7,则2（）A 、56B 、23C、712D 、34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）13. .在ABC 中，已知tanA ,tanB 是方程23720xx 的两个实根，则tanC14. 已知tan 2x，则3sin 22cos 2cos23sin 2x x xx的值为15.已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作ACAB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC 面积的最小值为。

三角恒等变换（必修4第三章）巩固练习一、选择题1．设212tan13cos 66,,221tan 13a b c =-==+ 则有------------（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<2．函数221tan 21tan 2x y x-=+的最小正周期是 --------------------------------------------------- ( ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．sin163sin 223sin 253sin313+= -------------------------------------------------（ ）A ．12-B ．12C ．D 4．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为 -------------------------------------------------（ ） A .1925 B .1625 C .1425 D .7255．若(0,)απ∈，且31sin cos -=+αα，则cos2α= ------------------------------ ( )A ．917B ．C ．D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 ---------------------------------------------（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 二、填空题7．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．8．计算：00000080cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin -+的值为_______． 9．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 10．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．11．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题12. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ；（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++．13．已知4A B π+=，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=14．求值：+9coslog 2π+92cos log 2π94cos log 2π15．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++（1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[0,]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值．参考答案及解析一、选择题1.C 00000sin 30cos6cos30sin 6sin 24,sin 26,sin 25,a b c =-=== 2.B 221tan 22cos 4,1tan 242x y x T x ππ-====+ 3.B 0sin17(sin 43)(sin 73)(sin 47)cos17cos 43sin17sin 43cos60-+--=-= 4.D 27sin 2cos(2)cos 2()12sin ()24425x x x x πππ=-=-=--= 5.A 214(cos sin ),sin cos sin 0,cos 099αααααα+==-><，而cos sin αα-==221cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )(3ααααααα=-=+-=-⨯ 6.B 2222222213(sin )cos (sin )sin 1(sin )24y x x x x x =+=-+=-+ 21313cos 2(1cos 4)4484x x =+=++ 二、填空题 7.6π 22(3sin 4cos )(4sin 3cos )37,2524sin()37A B B A A B +++=++= 11sin(),sin 22A B C +==，事实上A 为钝角，6C π∴=22cos(),32363x T πππ=-==，相邻两对称轴的距离是周期的一半11．()2sin(3)2f x x π=-222,,,3,sin 1,2332T A T ππππωϕϕω======-=-可取 三、解答题12.解：（1）原式0000000000sin 6cos6cos12cos 24cos 48sin 6cos12cos 24cos 48cos6== 000000000000000011sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 4824cos6cos6111sin 48cos 48sin 96cos6181616cos6cos6cos616====== （2）原式00001cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-+=++- 0001111(cos100cos 40)sin 70224=+-+- 000313sin 70sin 30sin 70424=-+= 13.证明：tan tan ,tan()1,41tan tan A B A B A B A Bπ++=∴+==- 得tan tan 1tan tan ,A B A B +=-1tan tan tan tan 2A B A B +++=(1tan )(1tan )2A B ∴++=14.解：原式224log (cos cos cos ),999πππ=即原式21log 38==- 15.解：1cos 21()sin 2sin(2)22242x a f x a a x b x b π+=⋅+⋅+=+++ （1）3222,,24288k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+ 3[,],88k k k Z ππππ-+∈为所求 （2）50,2,sin(2)1244424x x x πππππ≤≤≤+≤-≤+≤，min max 1()3,()4,2f x a b f x b +=+===2,4a b ∴=-=。

三角恒等变换（必修4第三章）巩固练习一、选择题10= ----------------------------------------------------------------（ ）A ．1B ．2CD 2．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于 --------------------------（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．3．函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是 --------------------（ ）A .2(,3π B .5(,6π C .2(3π- D .(,3π4．△ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况 -----------------（ ）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值5．0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是 ----------------- ( )A . 16B . 8C . 4D . 26．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 ------------------------（ ）A ．4B ．12C ．2D ．14二、填空题7．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；③函数2sin()32y x π=+是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象．其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）8．函数xx y sin 12tan-=的最小正周期是___________________。

三角恒等变换（必修4第三章）基础练习一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan --------------------------------------（ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是 --------------------------------------（ ）A .5πB .2πC .πD .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为 ------------------------（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是--------------------------------------------（ ）A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为 -------------------------------------（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题7．求值：0tan 20tan 4020tan 40++=_____________.8．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= .9．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________.10．已知sincos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 .11．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 .三、解答题12．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.13．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

三角恒等变换一、选择题1．求值cos200<）cos350 1 sin 200A ．1B ．2C ．2D ．32．函数 y2sin(x) cos(6 x)( xR ) 的最小值等于 <）3． 3 B． 2C ． 1D ． 5A3．函数 ysin x cosx3cos 2 x 3 的图象的一个对称中心是< ）A.(2 ,3)B.(5,3)C.(2,3)D.(,3)3 2623234．△ ABC 中，C900 ，则函数 y sin 2 A 2sin B 的值的状况 <）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D．无最大值且无最小值5． (1tan210 )(1 tan220 )(1 tan230 )(1 tan240 ) 的值是 (>A. 16B.8 C.4 D.26．当 0x时 , 函数 f ( x)cos 2 x的最小值是 <）cos x sin x sin 24xA ．4B ．1C ．2D ．124二、填空题1．给出以下命题：①存在实数x ，使 sin x cos x3；2②若 , 是第一象限角，且，则 coscos ；③函数 ysin( 2x) 是偶函数；32④函数 ysin 2x 的图象向左平移个单位，获得函数ysin(2 x) 的图象．44此中正确命题的序号是 ____________． <把正确命题的序号都填上）2．函数 y tanx1 的最小正周期是 ___________________ 。

2sin x3．已知sin cos 1cos1) =__________。

， sin，则 sin(324．函数y sin x 3 cos x 在区间0,上的最小值为．25．函数y(a cos x b sin x)cos x 有最大值 2 ，最小值1，则实数a____， b ___三、解答题1．已知函数 f ( x)sin( x)cos( x) 的定义域为 R ，<1）当0 时，求 f ( x) 的单一区间；<2）若(0,) ，且 sin x0 ，当为什么值时， f (x) 为偶函数．2．已知△ ABC的内角B知足2cos 2B 8cos B 5 0, ，若BC a，CA b且a, b知足：a b9 ，a3,b 5 ，为 a, b 的夹角.求sin( B) 。

三角恒等变换班别姓名学号成绩一、选择题〔每题5分，共50分〕1.tan 3,tan5，那么tan2的值为〔〕A.44C.1D.1 7B.8872．在ABC中，cosA·cosB sinA·sinB 0,那么这个三角形的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形3.sin cos1，那么sin2的值为〔〕3A．8 B.8 C.17 D.17 999913的值是〔〕4．sin80sin10A、1B、2C、4D、145．假设函数f(x)sin2x1(x R)，那么f(x)是〔〕2A．最小正周期为πB．最小正周期为π的奇函数的奇函数2C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数16.等腰三角形顶角的余弦值等于4,那么这个三角形底角的正弦值为5〔〕A 10B10C310D310 101010107.要得到函数y2sinx2的图像，只需将y3sin2xcos2x的图像〔〕A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左6126平移个单位128.函数y sin x3cosx的图像的一条对称轴方程是〔〕22A、11B、5、5D、xx x C x3 3339.1cosx sinx2，那么tanx的值为〔〕1cosx sinxA、4B、4C、3D、3 334410.函数y sin4xcos4x的值域是〔〕A0,1B1,1C1,3D 1 ,1222二、填空题〔每题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上〕11.sin3470cos1480sin320cos130=____________12.在ABC中，tanA,tanB是方程3x27x20的两个实根，那么tanC213．tanx2，那么3sin2x2cos2x的值为cos2x3sin2x14.在以下四个命题中：①函数y tan(x)的定义域是xx k,kz；44②sin 1，且[0,2]，那么的取值集合是；26③函数y sin(2x) sin(2x)的最小正周期是；33④函数y cos2x sinx的最小值为－1.把你认为正确的命题的序号都填在横线上_____________________.三、解答题〔共6小题，总分值80分〕15.〔此题总分值12分〕cos1,sin()7,且(0,)(,)，3922求cos的值。

三角恒等变换测试题参考答案及评分标准学校：斗鸡中学 命题人：张力珺 胡亚睿一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)13.212m - 14.4π3 15.]65,3[ππ16.[解析]①②．③中π45=x 是)252sin(π+=x y 的对称中心． 17.[解析]sinA ＋cosA ＝2cos(A －45°)＝22， ∴cos(A －45°)＝12． ∵0°＜A ＜180°，∴A －45°＝60°，A ＝105°，∴tanA ＝tan(60°＋45°)＝―2―3， sinA ＝sin(60°＋45°)＝6＋24， ∴S △ABC ＝12AC ·AB ．s5inA ＝12×2×3×6＋24＝34(6＋2)．三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)四． 18.[解析]因为12cos 13α=>0,且cos α≠1,所以α是第一或第四象限的角. 当α是第一象限的角时,sin α>0.5sin ,13sin 5135tan .cos 131212αααα=====⨯=当α是第四象限角时,sin 0.α<5s i n ,13sin 5tan .cos 12αααα==-==-(参考评分说明:写对角所在象限得2分,分两中情况每种得6分.)19.[解析]：∵α＋β2＝(α―β2)―(α2－β)．∵α∈(π2,π)β∈(0, π2)．∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2．∴由cos(α－β2)＝－19得sin(α－β2)＝459，由sin(α2－β)＝23．得cos(α2－β)＝53．∴cos α＋β2＝cos[(α―β2)―(α2―β)]＝…＝7527．∴cos(α＋β)＝2×(7527)2－1＝－239729．(参考评分说明:把角分解得2分,求出角的范围的2分,求出三角函数值的6分,求出数值的2分)20.[解析]：依题知α≠π2，cos α≠0．方程可化为6tan 2α＋tan α－2＝0．⇒tan α＝－23或12 (舍)．∴sin(2α＋π3)＝sin2αcos π3＋cos2α·sin π3＝sin αcos α＋32(cos 2α－sin 2α)＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋32·cos 2α－sin 2α cos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α＋32×1－tan 2α1＋tan 2α＝－613＋5326． (参考评分说明:求出正切值得5分,两角和公式求值共7分,可按步骤给分)21.[解析]：如图作PE ⊥AD 于E ．设BP ＝X ． 则x ＋a ＝(2a －x)2＋a 2，∴x ＝2a 3，∴AE ＝BP ＝2a 3，DE ＝PC ＝43a ，∴tan ∠APD ＝tan(∠1＋∠2)＝23＋431－23×43＝18．(参考评分说明:作出辅助线的1分,设出未知角得1分,列方程得3分,求出未知角得2分,求出正切值得5分.)22.[解析]（1）2239()2cossin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-(2) 22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--2273(cos ),,33x x R =--∈23c o s 4c o s 1x x =-- 因为cos [1,1],x ∈-所以当cos 1x =-时,()f x 取最大值6;当2cos 3x =时,()f x 取最小值73- (参考评分说明:第一问5分; 第二问7分解析式5分,,最值2分.)第三章学校：斗鸡中学 命题人：张力珺 胡亚睿第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,满分60分) 1.277sin 16812π-的值为（ ）7.16A 7.32BCD 2.若sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β） .B C 3．在△ABC 中，已知A ．直角三角形D ．正三角形4．2cos10°－sin20°sin70°的值是A ．12 B ．32 C 5．已知x ∈(－π2,0)，A ．724 B ．－724 C 3．53 D ．53- 7＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是 ( )A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]8．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的是 ( )(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9．已知α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为 ( )A ．－43B ．－43 或－34C ．－34D ．43 或－3410．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为( ) A.21+ B.12- C.2 D.211.将函数212sin 22y x x =+-的图象进行下列哪一种变换就变为一个奇函数的图象 ( （ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位cos 2x x a +=- 15.22A a ≤≤ 12-二．填空题(本题共5小题13.已知sin cos ,x x m -=14．函数x x f 32sin()(+= 15.若x ＝π3是方程2cos(x16.个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图其中正确命题的序号是． 17．在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝22，AC ＝2，AB ＝3，则tanA= ，△ABC 的面积为 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.已知12cos ,13α=求sin α和tan α19．设cos(α－β2)＝－19，求cos （α＋β）．20．已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．21．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝2a ，在BC 上取一点P ，使得AB ＋BP ＝PD ，求tan ∠APD 的值．22.已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-(1)求()3f值的；(2)求()f x的最大值和最小值。