11.2三角形的外角

课 题：11.2.2三角形的外角
学习内容：
1、三角形的外角的概念 2、三角形外角的性质 3、三角形外角性质的应用
1.什么是三角形的内角？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角
2.如图，指出△ABC的内角，它们有什么关系。
∠A、∠B、∠C ∠A+∠B+∠C = 1800
定义
如图，把△ABC的一边BC延长， 得到∠ACD，像这样，三角形的
成。心无所依，必无所获。自己的路只有自己去走，自己的心还须自己去度。能抓住希望的只有自己，能放弃自己的也只有自己。能怨恨嫉妒的是自己，能智慧温暖的还是自己。心中有岸，才会有渡口，心有所持，才能行之安然。
每个人都会有自己的想法、做法、活法。理念不同，做法不同，活法就不同，我们没必要去干涉别人，影响别人，甚至攻击别人。他好，不会嫉妒，不会报复；他不好，不去打击，不去鄙视。人人都有自尊，人人都有苦衷，生活中
5
相邻 内角
互为邻补角
6
算一算
1.如图，在△ABC中，∠A=40°、∠B=60°能由∠A、∠B得到∠ACD的 度数吗？∠ACD与∠A、∠B有什么关系？ 2如图，在△DCE中, ∠D=50°、∠E=70°能由∠D、∠E得到∠ECF的 度数吗？如果能，∠ECF与∠D、∠E有什么关系？
3.任猜意想一:三个角三形角的形外的角外等角于与与它它不不相相邻邻的的两两个个内内角角是的否和都。有这种关系？
一边与另一边的延长线组成的角， 叫做三角形的外角.
判断∠1是不是△ABC的外角
(1)
(2)
E
F
(3)
三角形的外角的三个特征: 1.顶点在三角形的一个顶点上; 2.一条边是三角形的一条边; 3.另一条边是三角形的某条边的 延长线

外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
底角为_3_0__或__7_5_°_.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 ∠BDC=_1__2_0_外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
∠1= 90º ∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.图中∠1与 ∠A、 ∠B 、∠C度 数有什么关系？
课堂巩固:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形外角的性质和与相邻内角的关系这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形外角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角形外角随内角变化的原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形外角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对三角形外角的概念和性质的理解程度参差不齐。在导入新课的时候，通过日常生活中的例子来引发学生的兴趣，这个方法似乎效果不错，大家都很积极地参与到课堂讨论中来。但在讲授理论知识时，我注意到有些学生对外角的定义和性质还是感到有些困惑。
在讲解重点难点时，我尽量通过图示和演示比单纯的语言解释更能帮助学生理解。在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们有了亲身体验，这种互动式学习让学生们更加投入，也更容易理解和记住知识点。
11.2.2：三角形的外角（教案）
一、教学内容
11.2.2：三角形的外角
1.三角形外角的定义及其性质；
2.三角形外角与相邻内角的关系；
3.利用三角形外角性质解决问题；
4.三角形外角的应用案例分析。
二、核心素养目标
1.培养学生空间观念和几何直观能力，通过观察和操作，理解三角形外角的概念及其与内角的关系；

外角
小试牛刀
下列各图中，∠1 是△ABC 的外角的是( D )
1 C
A
B
A
C
1 AB B
C 1
A
B
C
B
1
A
C
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
探究 要知道传球传给谁，就要知道外角∠ACD，内角∠B的度数
大小，你能比较外角∠ACD，内角∠B的度数大小吗？
解法二：延长BD交AC于点E.
A
(
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
51 °
F
E
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 方法总结
=51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
30 ° C
解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须 是三角形另一边的延长线
三角形 的外角
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360 °
下节课，再见！
∠2 +∠CBF = 180°，
E
∠3 +∠ACD = 180°，
A
得∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540°， 1
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，

A
已知∠ACD是△ABC 的外角，求证： ∠ACB=∠A+∠B
证明： ∵ ∠ACD+∠ACB＝180° ∠A+∠B+∠ACB＝180°
B C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
∴ ∠ACD＝ ∠A+∠B
你还有其 他方法来 证明吗？
∴ ∠ACD ＞ ∠A
∠ACD ＞∠B
例1： ∠BAE ∠CBF ∠ACD 是 △ABC的三个外角，他们的和是多少？
因为 ACB > ∠D 所以应把球传给在C处的球员
问题4：已知如图：P是△ABC内的一 点，求证：∠BPC＞∠A A
证明：延长BP交AC于E
∵∠BPC是△ABC的外角 （外角定义） ∴∠BPC＞∠PEC（外角定 理） 同理可证：∠PEC＞∠A ∴∠BPC＞∠A(不等式性质）
B P E
C
外角定理：
E 解：∵ ∠BAE ∠CBF ∠ACD 是△ABC
的三个外角（已知） 1 2 3 C A
∴ ∠BAE =∠3 + ∠2 三角形一个 ∠CBF =∠1+∠3 外角等于和 ∠ACD =∠1+∠2
= 2（∠3 + ∠2 +∠1）
∴ ∠BAE +∠CBF + ∠ACD
它不相邻的 两个内角的和
B F
D
(等式性质）
B C A 1 D
∵AD平分∠EAC (已知）
∴∠EAC=2∠1（角平分线定义） ∴ 2∠1 =2∠C （等量代换） ∴ ∠1 =∠C （等式性质） ∴ AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
在绿茵场上，球员在 P处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在C处的球员还是D处的球员，其射 门不易射偏。（不考虑其他因素）

（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.
判定下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（×）
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（×）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （×）
（4）三角形的外角和等于360°.
（√ ）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角. （2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角. （3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
C
D
小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ B）
A.180°
B.210°
C.360°
D.270°
解：∵∠α、∠β是三角形的外角， ∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F. ∵∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F =∠3+∠4+∠D+∠F =210°.
A
F B
GE
C
D
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
F B
GE
C
D
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角， ∴∠AGF=∠B+∠D.
∵在△CFE中，∠AFG是它的外角， ∴∠AFG=∠C+∠E.
∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.

B
CD
三角形外角定理：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和．
课堂练习
练习 ； （2）∠2 = ∠3 + ∠4 ．
A
3
B4
12
D
C
课堂练习
练习2 如图，说出图形中∠1 的度数．
（1）
1 60°
（2）
60°
30°
35°
1
1
（3）
45°
（4）
∠ACD（外角）+ ∠ACB（相邻的内角）=180°．
A
B
CD
探索与证明三角形的外角的性质
问题2 如图，∠ACD 与∠A，∠B 的位置是怎样
的？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？你能证明
你的结论吗？
A
如图，
∵ ∠ACD +∠ACB =180°，
∠A +∠B +∠ACB =180°
∴ ∠ACD =∠A +∠B．
50°
15° 30° 1
图中∠1的度数依次为：90°，85°， 95°，45°．
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是E△ABC 的 三个外角，它们的和是多少？
A
1
B2 F
3
CD
课堂检测
1．如图，∠A的外角等于120°，∠B等于
40°，则∠C的度80数°是
．
2．把一副三角板按如图所示的方式放置，则两条 斜边所形成的钝角∠α＝ 165 度．
11.2.2 三角形的外角
• 学习目标：
1．理解三角形的外角的概念． 2．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和．
三角形的外角的概念

关键是：利用外角的性质将不同位置上 的角集中到一个三角形中。
再见
B
能力提升 思考：你能从本题中发现什么结论？如何证明？
证法一：延长BE交AC于点D
结论：如图：∠A+∠B+∠C=∠BEC
能力提升 思考：你能从本题中发现什么结论？如何证明？
证法一：延长BE交AC于点D 证法二：连接AE并延长至点M M
结论：如图：∠A+∠B+∠C=∠BEC
能力提升 思考：你能从本题中发现什么结论？
11.2.2 三角形的外角
第十一章 三角形
情景引入
B
1
3
A
M
.
C 2
探索新知
B
1
C
3
2 A
三角形外角的定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的 角，叫做三角形的外角。 操作：画出一个三角形的所有外角，并用 数字标出来。
探索新知
不相邻的内角 A 三角形的外角
B
C
相邻的内角
D
思考：上图的四个角有哪些 数量关系？
探索新知
A
B C D
数量关系：①∠A+∠B+∠ACB=180° ② ∠ACB+∠ACD=180°
③∠ACD=∠A+∠B
探索新知 三角形外角的性质
三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
A
证明：你还有其它的证明方法吗？
B C D
探索新知 三角形外角的性质
A
E
1
2
E
A
1
1
E
A
A
50°
F B 1
M
30°

第十一章
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
1.掌握三角形外角的定义和三角形
外角定理； 2.运用三角形外角定理解决问题。
三角形的外角：三角形的一边与另一边的反 向延长线组成的角,叫做三角形的外角。 A
B
C
D
三角形的一个顶点位置有两个外角，这两个 外角是对顶角。
C
5 3 6 1 2 9 4
＝ ∠EFG+∠EGF+∠E =180°.
B
F
E
C
D
问题探究
已知：如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC
的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 证明：∵∠BAE=∠2+∠3， E A
1
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠2+∠1， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3) ， F B
E
A
> ∠ACB. > ∠BAC；∠FBC____ (3)∠FBC____
讨论归纳
三角形外角的性质：
三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个内角。
1.已知，∠BAC=55°，∠B=60 °.
试求∠ACB、 ∠ACD、 ∠CAE. A
55°
E
解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180 °， ∴∠ACB=180 °-∠B-∠BAC ∵∠BAC=55°，∠B=60 °. ∴∠ACB=65°.
数. 解：根据三角形外角的性质可得： ∠ 1=∠A+ ∠B ， ∠2=∠C+ ∠D ， ∠3= ∠E+ ∠F， 1 C 3 F B A