三角形外角和

三角形的内角和外角的计算三角形是几何学中的基本图形，它由三条边和三个角组成。

本文将讨论三角形的内角和外角的计算方法。

一、三角形的内角和在三角形中，三个角的和为180度。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下计算公式：A +B +C = 180°二、三角形的外角和三角形的任意一个外角等于其对应内角的补角（即互补角）。

即一个外角的度数等于其对应内角的度数与90°的差值。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的外角分别为A'、B'、C'，则有以下计算公式：A' = 180° - AB' = 180° - BC' = 180° - C三、示例假设有一个三角形ABC，已知其内角A=40°，B=60°，C=80°，我们可以通过以上计算公式来计算三角形的外角。

计算内角和：A +B +C = 40° + 60° + 80° = 180°计算外角：A' = 180° - 40° = 140°B' = 180° - 60° = 120°C' = 180° - 80° = 100°四、三角形的内角和外角的性质1. 三角形的内角和始终为180°，无论三角形是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形。

2. 三角形任意两个内角的和大于第三个内角，即A + B > C，B + C > A，A + C > B。

3. 三角形的外角和始终为360°，无论三角形是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形。

五、总结本文介绍了三角形的内角和外角的计算方法。

通过计算内角和可以判断三角形是否是一个有效的三角形，而外角则与内角存在互补关系。

三角形外角和的概念三角形外角和的概念，听起来好像挺高大上的一个数学题目，其实一点都不难，放心！咱们今天就来聊聊这事儿。

先说了，三角形其实就像是个老朋友，咱们已经很熟悉了，三条边，三条角。

大家都知道，三角形的内角加起来永远是180度。

可是，说到外角，很多小伙伴就一头雾水了。

那外角到底是什么呢？别着急，跟着我来，包你一看就懂。

外角，说白了，就是一个角和它相邻的内角连成的角的外部部分。

你想啊，咱们正常看的三角形，肯定都是在三角形的三条边和三个角上转悠。

但如果你把其中一条边延长，就会在边的延长线上出现一个新角，这个新角就是外角啦。

外角就像是那个“插队”的小伙伴，站在外面瞅着，不跟内角一个阵营，却又跟它关系密切。

外角和内角有什么关系呢？说来有趣了！三角形的每一个外角，其实和它邻边的两个内角之间有一种神奇的关系。

这是啥意思呢？简单来说，就是这个外角的度数等于那个邻角的两个内角的和。

举个例子就更清楚了。

比如咱们看三角形ABC，边AB延长一下，角C就是外角。

角C的度数，恰好等于角A和角B的度数之和。

是不是挺神奇的？一旦知道了这个规律，三角形外角就变得不再神秘了。

可是，你知道吗？这条规律可不止对一个外角有效。

对三角形的每一个外角都成立。

就是说，角A延长后对应的外角，等于角B和角C的和；角B延长后，等于角A和角C的和；角C延长后，等于角A和角B的和。

数学的世界就像是玩拼图一样，每个部分都紧密联系，外角跟内角的关系更是微妙得不行。

好了，来点更厉害的内容。

大家是不是听说过三角形外角和的公式？说白了，三角形外角的和，永远都是360度！这个公式好像有点逆天，对吧？别急，咱们一起来理解一下。

三角形一共有三个外角，你可以理解为它们分别“站”在三条边的外面。

由于它们的度数跟内角有直接关系，而且内角的和是180度，所以外角和加起来就变成了360度。

咋一听，是不是很简单？但背后是有深刻的道理的。

就像咱们做人，虽然看似很多事都很复杂，其实很多时候也有着不言而喻的道理，只不过你得用心去体会，慢慢琢磨。

§7.2.2三角形的外角【教学重点与难点】教学重点：1．了解三角形外角的概念及性质．2．能利用三角形外角的性质解决简单问题．教学难点：1．能够证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”．2．了解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的应用范围，并能解决简单问题．【教学目标】1．了解三角形外角的概念．毛2．探索并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．运用三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角解决简单问题．【教学方法】在学生自主探索的基础上加以引导，培养学生的逻辑思维及发现问题和解决问题的能力．【教学过程】一、回顾旧知提出问题（设计说明：利用问题回顾三角形内角和定理，并利用旧知识，发现新知识．）问题1：如图，已知BD // CE，∠A=45°，∠C=65°，求∠1和∠2的度数．学生回答：由BD // CE可知，∠1=∠C=65°，由三角形内角和等于180°可得，∠2的邻补角等于70°，所以∠2=110°．问题2：在问题1中，∠2被称为三角形的外角，根据∠2的构成，你能说明什么叫三角形的外角吗?学生讨论回答，教师归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（教学说明：在回顾旧知的问题1中，教师不仅要让学生得到正确的结论，还要说明每个结论的理论根据，最好能让学生写出证明过程．而问题2中，要强调“一边”与“另一边的延长线”所组成的角，为找三角形外角个数打基础．）二、探索新知解决问题1．根据定义探索三角形外角的个数（设计说明：根据三角形外角的定义，找出三角形所有的外角，并探索这些角的特点．在探索的过程中，使学生加深印象．）问题1：根据定义，画出三角形的外角．你能画出多少个?学生回答：如图，可以画出6个外角．问题2：这6个角有什么关系?（位置关系和数量关系）学生回答：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角，∠5和∠6是对顶角，所以有∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．教师说明：由于三角形这6个外角是三对对顶角，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，所以当我们说三角形的外角时，一般是从这三对对顶角的每一对中取出一个，组成三个角．因此，我们说三角形有三个外角．（教学说明：在教科书中并没有这个环节，但在教学时，这个环节是必不可少的，因为这是为探索外角的性质及外角和打基础．所以，在问题2中，首先要强调的是图形之间的关系．图形与图形之间的关系有两种，一种是位置关系，一种是数量关系．所以，当问题中只问到两个图形之间有什么关系时，学生要从两方面回答．而对于三角形的外角，教师要说明，虽然三角形一共有6个外角，但我们只取其中的三个，而这三个外角必须分别从三对对顶角中取，且每对只取一个，不能重复．）2．手脑并用探索三角形外角的性质及外角和（设计说明：学生通过计算、讨论、证明的方式探索三角形外角的性质及外角和，培养学生合作交流及逻辑思维能力．）问题1：如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB=40°，求∠BAC的度数及三角形的外角∠1，∠2，∠3的度数．学生回答：∠BAC=75°，∠1=105°，∠2=115°，∠3=140°．问题2：观察你的结论，你能发现三角形的三个内角及它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?学生讨论回答，教师总结：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和等于360°．问题3：试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．学生回答：已知：在△ABC中，∠1是三角形的一个外角．求证：∠1=∠A＋∠B．证明：∵∠ACB＋∠A＋∠B=180°，（三角形的内角和等于180°）∴∠ACB=180°-∠A-∠B．∵∠1与∠ACB是邻补角，∴∠1＋∠ACB=180°．∴∠1=180°-∠ACB=180°-（180°-∠A-∠B）=∠A＋∠B．问题4：试证明三角形的外角和等于360°．学生回答：已知：在△ABC中，∠1，∠2，∠3都是三角形的外角．求证：∠1＋∠2＋∠3=360°．证明：∵∠1，∠2，∠3都是三角形的外角，∴∠1=∠ABC＋ACB．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）同理，∠2=∠BAC＋ACB，∠3=∠BAC＋∠ABC ．∴∠1＋∠2＋∠3=∠ABC＋ACB＋∠BAC＋ACB ＋∠BAC＋∠ABC=2（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，（三角形的内角和等于180°）∴∠1＋∠2＋∠3=2×180°=360°．（教学说明：在学生的自主探究过程中，教师要关注学生之间的交流合作，并适时加以引导，同时对学生所得出的正确结论要给肯定．同时还要强调定理证明的基本步骤，并要求学生独立完成证明过程．）三、巩固训练熟练技能（设计说明：通过基础练习，加深对三角形外角的认识，熟练基本技能．）练习1：说出下列图中∠1和∠2的度数．练习2：如图，是外角，＋，是外角，= ＋，是外角，= ＋，> ，> ．学生：△ACD，∠A，∠ACD，△BCF，∠BCF，∠FBC，△BDF（△CEF），∠BDF（∠CEF），∠DBF（∠ECF），∠BDF（∠CEF…），∠A．练习3：如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CD交BA的延长线于点E，证明∠ABC﹥∠B．学生：证明：∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠DCE．（角平分线定义）∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠DCE﹥∠B．（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）∴∠ACE﹥∠B ．（等量代换）∵∠BAC是△ACE的外角，∴∠BAC﹥∠ACE．（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）∴∠ABC﹥∠B．练习4：如图，点D是△ABC内的一点，连接BD和CD，证明∠BDC﹥∠A．学生：证明：延长BD交AC于E．∵∠BEC是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角，∴∠BEC﹥∠A，∠BDC﹥∠BEC．（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）∴∠BDC﹥∠A．（教学说明：练习的设计有一定的阶梯性，尽量让学生独立完成．对于练习3和练习4，如果学生没有思路，教师要给予是所学知识的一个应用，要让学生有利用面积求高的意识，开阔思路．）四、反思总结情意发展（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。

三角形的边长与角度关系知识点总结三角形是平面几何中的重要概念，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形时，我们常常关注三角形的边长与角度之间的关系，这对于解决各种三角形相关问题有着重要的指导作用。

本文将对三角形的边长与角度关系进行总结和介绍。

一、三角形的内角和与外角和三角形的内角和为180度，这个我们在学习初中几何时就已经学过。

对于任意一个三角形，三个内角相加等于180度。

而三角形的外角和等于360度，外角是指以三角形的一条边为边的角，与这条边不相邻。

三角形的每个外角都与与之相对的内角互补，即外角=180°-内角。

二、三角形的边长关系1. 角平分线和边的关系对于任意一个三角形，如果从一个顶点引一条角平分线，这条角平分线将把对边分为两个相等的部分。

即，角平分线将对边分为一对等分线段。

2. 三角形两边和大于第三边三角形两边之和大于第三边，这是三角形的基本性质。

对于任意一个三角形ABC，边AB、BC、CA的长度分别为a、b、c，那么有以下关系成立：a+b>c，b+c>a，c+a>b。

3. 等边三角形的边长关系等边三角形的三条边长均相等。

设等边三角形的边长为a，则有a=a=a。

等边三角形的内角均为60度，外角均为120度。

4. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两边长相等，设等腰三角形的边长为a，顶角为A，则有a=a不等于a，两个底角为B。

等腰三角形的底角相等。

三、三角形的角度关系1. 直角三角形的边长关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

设直角三角形的两个直角边长为a、b，斜边长为c，则有勾股定理成立：a^2 + b^2 = c^2。

2. 锐角三角形的边长关系对于任意一个锐角三角形ABC，边长a、b、c的平方与对应角A、B、C的正弦值、余弦值等相关关系如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC其中cosA、cosB、cosC分别代表角A、B、C的余弦值。

三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。

三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。

1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。

对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。

这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。

数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。

2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。

外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。

对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。

这一性质也是几何学中的基本定理之一。

3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。

根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。

这也被称为"三角形内外角和关系定理"。

通过数学的证明，可以得到这个结论。

4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。

例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。

此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。

如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。

总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。

它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。

在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。

三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的夹角称为三角形的内角。

而与每个内角相对的外角则是与之相补的角度。

本文将探讨三角形的内角和与外角和的相关性质。

一、三角形的内角和在一个三角形中，三个内角的和总是等于180度。

这个性质被称为三角形内角和定理。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有以下关系成立：A +B +C = 180度这个定理有时也可以通过三角形内角和的定义来理解。

根据定义，三角形的每个内角都是由两个边所形成的夹角。

因此，三角形的三个内角将形成一条直线，而直线角度总和为180度。

二、三角形的外角和在三角形中，每个内角的补角称为外角。

即与内角相对的直线之间的夹角。

我们可以推论出，三角形的三个外角的和总是等于360度。

这个性质被称为三角形外角和定理。

三、内角和与外角和的关系我们可以通过三角形的内角和与外角和的关系来推导出三角形的外角和定理。

我们知道三角形的三个内角和为180度。

以一个内角为例，假设该内角的度数为x度，则其补角的度数为180减去x度。

由于三角形的三个内角的补角的度数总和等于360度，因此有：(180 - A) + (180 - B) + (180 - C) = 360度化简得：540 - (A + B + C) = 360度由于A + B + C = 180度，代入上式得：540 - 180 = 360度因此，我们可以得出结论，三角形的外角和总是等于360度。

这一结论也可以通过实际验证来证明。

我们可以通过绘制一张三角形的示意图，并在每个内角旁边标记其补角的度数。

通过测量这些度数，我们可以发现三个补角的度数总和为360度。

总结：三角形的内角和与外角和的关系是：1. 三角形的内角和等于180度。

2. 三角形的外角和等于360度。

这些性质在解决三角形相关问题时非常有用。

对于任意的三角形，我们都可以利用这些性质计算其内角和与外角和，从而帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和性质。

三角形的外角和是多少度
360°。

三角形的外角是三角形的一边与另边的反向延长线组成的角，三角形的外角之和为360°。

多边形都会有内角，与之对应的是外角，即将其中一条边延长后，延长线与另一条边成的夹角，称为外角。

多边形外角的总和叫做外角和。

任意多边形的外角和都为360°，与边数无关。

这就是说多边形的外角和和边数无关。

解答有关多边形内角和外角和的问题时，通常利用公式列方程来解答问题。

并且，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。

三角形的内角和与外角和1. 引言三角形是几何学中的基本图形之一，在研究三角形性质时，内角和与外角和起到了重要的作用。

本文将探讨三角形的内角和与外角和之间的关系。

2. 内角和内角和是指三角形内部三个角的和。

根据三角形的性质，任何一个三角形的内角和总是等于180°。

这是因为三角形的内角和可以分解为三个内角的和，而每个内角又是以直线为边界的两个角的和，每个直线上的两个角相加为180°。

因此，无论三角形的形状和大小如何，其内角和始终为180°。

3. 外角和外角是指三角形的一个内角的补角。

外角和是指三角形所有外角的和。

根据三角形的性质，三角形的外角和等于360°。

这是因为每个三角形的外角可以分解为其对应内角的补角，而三角形的内角和是180°，故每个三角形的外角和为360°。

4. 内角和与外角和的关系根据内角和与外角和的定义，我们可以得出以下结论：- 对于任何一个三角形，其内角和为180°，外角和为360°。

- 三角形的内角和与外角和之间存在着关系：内角和加上与之对应的外角和等于180°。

这是因为每个三角形的内角和外角和之和等于一周角的度数，而一周角的度数为360°，故内角和和外角和之和等于180°。

5. 结论在三角形的研究中，了解三角形的内角和与外角和的性质是至关重要的。

通过研究可得知，三角形的内角和为180°，外角和为360°，且内角和与外角和之和为180°。

这些性质可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。

6. 参考文献。

三角形的内角和与外角和总结三角形是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质对我们理解和应用几何学具有重要的作用。

在三角形中，我们经常遇到两个重要的概念，即内角和与外角和。

本文将对三角形的内角和与外角和进行总结和探讨。

一、三角形的内角和在任意一个三角形中，三个内角的和是多少呢？让我们来一起探寻。

假设我们有一个任意三角形，其中的三个内角分别为A、B、C。

我们可以通过以下步骤来计算这三个内角的和：1. 将三个内角的度数相加：A + B + C = S其中，S表示三角形内角和。

顺着这个思路，我们可以得出如下结论：结论一：三角形的内角和等于180度。

对于任意一个三角形，无论这个三角形的形状和大小如何，其内角和始终为180度。

这个结论在几何学中被广泛应用，对于求解三角形相关性质问题具有重要意义。

二、三角形的外角和接下来，让我们一起来研究三角形的外角，以及它们的和是多少。

在一个三角形中，三个内角的补角被称为外角。

我们记三角形的外角为：α、β、γ。

我们可以通过以下步骤来计算这三个外角的和：1. 每个外角等于它相应内角的补角，即α = 180° - A，β = 180° - B，γ = 180° - C。

2. 将三个外角的度数相加：α + β + γ = T其中，T表示三角形的外角和。

根据这个过程，我们可以得出如下结论：结论二：三角形的外角和等于360度。

对于任意一个三角形，无论其形状和大小如何，其外角和始终为360度。

这个结论在解决三角形相关问题时具有重要意义，比如在实际测量和建筑设计中的应用。

结论总结：通过上述分析，我们可以得出如下总结：1. 三角形的内角和等于180度，无论其形状和大小如何。

2. 三角形的外角和等于360度，无论其形状和大小如何。

这两个结论是我们理解和应用三角形性质的基础，对于解决几何学中的相关问题具有重要意义。

结尾：综上所述，三角形的内角和与外角和是几何学中的重要概念。

第二讲：三角形内角和、外角和【知识要点】1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.2．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．5．三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.【注意】1 ①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．2外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角。

三角形的内角和与外角和关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质和特点。

其中，三角形的内角和与外角和的关系是我们需要重点研究的内容之一。

本文将围绕这一主题展开讨论，并探究其背后的数学原理。

一、三角形的内角和首先，我们需要明确三角形的定义。

三角形是由三条线段所围成的封闭图形，它的内部恰好包含了一个平面。

每个三角形都有三个内角，即三个顶点之间的角度。

我们将分别以A、B、C表示三个顶点，其对应的内角分别为∠A、∠B、∠C。

根据三角形的性质，任意一个三角形的内角和等于180度。

也就是说，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

这一性质在数学上被称为三角形内角和定理，是三角形研究的基础。

二、三角形的外角和接下来，我们将探讨三角形的外角和。

三角形的外角是指一个三角形内部一条边所呈的对外角度。

对于每个顶点，都可以得到一个对应的外角。

根据几何学原理，三角形的外角和等于360度。

也就是说，三角形的外角和与内角和之间存在以下关系：外角和 = 360° - 内角和。

三、内角和与外角和的关系根据前面的讨论，我们可以得出以下结论：对于任意一个三角形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 = 外角和的补角这是因为补角是指两个角度和为90度的两个角度，所以内角和与外角和的和应该等于90度。

换句话说，内角和加上外角和等于90度。

总结：通过本文的分析，我们了解到了三角形的内角和与外角和的关系。

三角形的内角和等于180度，外角和等于360度，而内角和与外角和的和为90度。

这些关系恰如其分地描述了三角形内外角度的特点，为我们深入理解三角形的性质和推导相关的数学定理奠定了基础。

通过对这一关系的研究，我们能够更好地理解三角形的性质，并在解决几何问题时灵活运用。

三角形的内角和与外角和的关系是几何学中的重要内容，值得我们在学习和应用中予以深入思考。

太奇教育深圳分校沙井校区三角形的内角和与外角和（A）一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系． 二、三角形的外角和 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． （3）三角形的外角和为360°． 例1、 如图， 直线 DE 交△ABC 的边 AB、 AC 于 D、 E， 交 BC 的延长线于 F． 若∠B=67°， ∠ACB=74°，∠AED=48°．求∠BDF 的度数．提示： 由已知条件∠B＝67°，∠ACB＝74°可求出∠A，然后用三角形的外角与内 角关系∠BDF＝∠A＋∠AED 求解． 答案：87° 例2、如图所示，将三角形纸片 ABC 的一个角折叠，折痕为 EF，若∠A=80°， ∠B=68°，∠CFE=78°，求∠CEF 的度数．1太奇教育深圳分校沙井校区提示： 利用三角形内角和求出∠C 的度数，而∠C 又为图中两个三角形的公共角， 已知∠CFE＝78°，即可得出∠CEF 的度数． 答案：70°例3、在△ABC 中，∠A=∠B= ∠C，试判断△ABC 的形状．解、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， x+2x+3x=180°, x=30°, ∴ ∠C=90°,△ABC 是直角三角形．例4、如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC=∠C，∠4=∠5．求∠5的度数．2太奇教育深圳分校沙井校区 提示： 由已知条件得出：△ABC、△BDC 为等腰三角形，∠C 为△ABC、△BDC 的公 共角，∠4＝∠5＝∠1＋∠2，由此等量关系，设未知数列出方程可求得. 答案：72°例5、 如图， 在△ABC 中， AD⊥BC 于 D， AE 平分∠BAC （∠C>∠B） ． 试说明∠EAD= （∠C－∠B） ．答案：∵AE 平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°－∠B－∠C） ．∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°－∠C， ∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝（180°－∠B－∠C）－（90°－∠C）＝（∠C－∠B） ．例6、如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，求∠ADC 的度数．3太奇教育深圳分校沙井校区解：延长 AD 交 BC 于 E，则∠AEC＝∠A+∠B， 所以 ∠ADC＝∠AEC+∠C＝∠A+∠B+∠C＝30°+45°+25°＝100°． 例7、如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，P 为 BC 上一动点，若点 P 在 BC 上运动， 则∠CDP＋∠CPD 的和一定等于∠B，试说明理由．解：∵DC//AB， ∴∠C＋∠B=180°， 又∵∠C＋∠CDP＋∠CPD=180°， ∴∠CDP＋∠CPD=∠B． 例8、如图(1)所示，有一个五角形 ABCDE 图案，你能说明∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E=180°吗？如果 B 点向下移动到 AC 上[如图(2)所示]或 AC 的另一侧[如图 (3)所示]，上述结论是否依然成立？请说明理由．4太奇教育深圳分校沙井校区解、连接 DE，则∠B+∠BDA+∠ADE+∠CED+∠BEC＝180°． 又∵∠ADE+∠CED＝∠C+∠A， ∴ ∠A+∠B+∠C+∠BDA+∠BEC＝180°． 当点 B 的位置变化时结论不变，理由同上．例9、如图，已知 DE 分别交 AB、AC 于 D、E，交 BC 的延长线于 F，∠B=67°， ∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF 的度数．解：因为∠A+∠B+∠ACB＝180°， 所以∠A＝180°－∠B－∠ACB＝39°， 又 ∠AED=48°，所以∠BDF＝∠A+∠AED＝39°+48°＝87°．5。

三角形外角和的定义
说起这个三角形外角和啊，咱们四川人得整点接地气的说法。

你想啊，就像咱们吃串串香，把三根签签儿（就当成三角形的三条边）一摆开，围成一个尖尖的三角形，那味道，巴适得板！但今儿个我们不聊吃的，聊点数学上的门道。

三角形嘛，它有三个角，每个角都有个外角，就像是每根串串儿外面还围着个“空气罩”，这个“空气罩”就是外角了。

现在问题来了，这三个“空气罩”加起来好多度呢？嘿，告诉你个秘密，不管这三角形是胖是瘦，是直的还是弯的，它的外角和都是固定的——360度，整得巴巴适适的。

为啥子呢？因为数学里头有规矩，就像是咱四川人做事有讲究一样。

你想嘛，你站在三角形的一个角上，朝外看一圈，是不是感觉就像是看了一圈360度的风景？这外角和，就是让你这么感觉的。

不管三角形怎么变，你看外面的风景总是那么完整，不多也不少，刚刚好360度。

所以嘞，三角形外角和的定义，简单说，就是不管三角形咋个变形，它的三个外角加起来总是等于360度。

这就像咱们四川人的性格，不管走到哪儿，那份热情和耿直，都是满满当当的，不会少一分，也不会多一分。

三角形的内角和与外角和在几何学中，三角形是研究的基本形状之一。

一个三角形由三条边和三个内角组成。

本文将介绍三角形的内角和与外角和的性质及相关定理。

一、三角形的内角和一个三角形的内角和是指三个内角的总和。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ，则有以下定理：定理1：一个三角形的内角和等于180度。

证明：假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ。

根据角度的定义可知，α+β+γ=180度。

定理2：等边三角形的三个内角都是60度。

证明：设等边三角形的三个内角的度数分别为α、β、γ。

由于三角形的三边相等，根据三角形内角和的定理可得：α+α+α=180度，解方程得α=60度。

同理可得β=60度，γ=60度。

定理3：直角三角形的两个锐角之和等于90度。

证明：设直角三角形的一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数为β。

根据三角形的内角和的定理可得：α+β+90度=180度，化简得α+β=90度。

二、三角形的外角和一个三角形的外角是指三个内角的补角。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ，则有以下定理：定理4：一个三角形的外角和等于360度。

证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ。

根据角度的定义可知，α+β+γ=360度。

定理5：三角形的一个内角等于其与相对外角的补角。

证明：设三角形的一个内角的度数为α，其相对外角的度数为β。

根据角度的定义可知，α+β=180度。

综上所述，三角形的内角和等于180度，外角和等于360度。

三角形是几何学中非常重要的概念，它具有丰富的性质和定理，对于解题和理解空间关系具有重要作用。

通过研究三角形的内角和与外角和，我们可以深入理解三角形的性质及其应用。

9.1.2 三角形的外角和知识回顾1.三角形外角的性质(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.2.三角形的外角和定理：在三角形的每一个顶点取一个外角，所得的和是三角形的外角和，三角形的外角和等于360 °.典例讲解考点1.利用三角形的外角性质进行计算例1：一个零件如图所示，按规定∠A等于90°，∠B和∠C应分别等于32和21°，检验工人量得∠BDC等于148°，就断定这个零件不合格，这是为什么？解：连结AD并延长则∠1=∠3+∠C ,∠2=∠4+∠B∴∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠B =∠C+∠B+∠CAB∵工人测得∠BDC=148o而∠A+∠B+∠C按规定为143o即∠BDC=143o∴不合格。

考点2.利用三角形的外角进行大小比较例2.如图，CE为ΔABC的外角平分线，交BA的延长线于E，求证：∠BAC>∠B解析∵CE为ΔABC的外角平分线∴∠ACE＝∠ECD ∵∠BAC>∠ACE∴∠BAC>∠ECD ∵∠ECD>∠B ∴∠BAC>∠B规律与方法：有关三角形中角的大小比较常用方法是利用三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角这一性质.考点3.利用三角形的外角和进行计算例3. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+ ∠6等于( )A.180°B.240°C.360°D.540°解析C规律与方法：利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，将多个内角的和进行转化，再利用三角形的外角和求解.课堂演练1. （2011潼南）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B=.70○2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且︒=∠110A，则=∠D__35°．3.（2011怀化）如图1所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ) BA. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠14.(2011绵阳) 将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）．CA．75︒B．95︒C．105︒D．120︒5．如图，已知△ABC中，BE，CF分别是△ABC的两条高且相交于点D，(1)若∠A=70°，求∠BDC的度数；(2)若∠BDC=120°，求∠A的度数．答案：110°，60°6. （2011济南）（1）如图1，△ABC中，∠A = 60°，∠B︰∠C = 1︰5．求∠B的度数．∠B = 20°课外延伸一、选择题1. （2011新疆生产建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于O点，∠A=40°,∠AOB=75°．则∠C等于( ) BOD BC A CBAA ．40°B ． 65°C ．75°D ．115°2. 一个三角形的两个内角是55°和65°，这个三角形的外角不可能是( D ) A.115° B.120° C.125° D.130°3. （2011崇左）如图所示BC //DE ，∠1=108°，∠AED =75°，则∠A 的大小是（ ）A ．60°B ．33°C ．30°D ．23°4. （2011济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ）B A . 直角三角形 B . 锐角三角形[来源:] C . 钝角三角形 D . 等边三角形5. （2011菏泽）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于( )DA ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题6. （2011上海）如图， 点B 、C 、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A ＝_________．54°7. 如图，把∠1，∠2，∠3按由小到大的顺序排列是__∠1<∠2<∠3 ．8. 三角形的一个外角等于邻内角的4倍，等于一个不邻内角的2倍，则此三角形各角度数分别是__36°、72°、72°_. 9、（2011鄂州）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．50°10.如图，AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,EDC BA30°45°α垂足为P ，若∠PEF=30°,则∠PFC=_______60___°.三、简答题11. 如图，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是多少？180°12. 如图，已知D 为ABC ∆内一点，求证：A D ∠>∠．延长BD 交AC 于E ，∠BDC>∠BEC >∠A13. 如图所示，已知CE 是∠ACD 的角平分线，∠ECD=50°，∠ABC=40°，求∠A 的度数．答案：60°(1)一变：如图所示，CE 是∠ACD 的角平分线，AF ∥CE ，∠ECD=50° ∠ABC=40°，求∠BAF 的度数．(2)二变：如图所示，CE 是∠ACD 的角平分线，F 是CA 延长线上的一点，FG ∥CE 且交AB 于点G ，已知∠ECD=50°，∠ABC=40°，求∠FGA 的度数．答案：(1)10°，(2)10°14. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B=80°，∠C=40°； (1)求∠BAE 的度数；(2)求∠DAE 的度数； (3)如果只知道∠B –∠C= 40°，你能得出∠DAE 的度数吗？如果能求出∠DAE 的度数(1)30°，(2)20°、(3)能，20°探究创新15. （2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图11-1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12A ∠,理由如下:∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 0000000111=222112()21801112(180)9022180(12)180(90)1902ABC ACBABC ACB ABC ACB AA ABOC A∴∠∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠+∠=-∠∴∠+∠=-∠=-∠∴∠=-∠+∠=--=+∠，又探究2：如图11-2中,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由.探究3：如图11-3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： .图11-1BCOA图11-2DOCBA图11-3EO DABC(1)探究2结论：∠BOC=12A ∠理由如下：图11-2B∵ BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACD 的角平分线∴111,222112()12221121(1)122ABC ACDACD A ABC A BOC BOC A A∠=∠∠=∠∠∆∴∠∠∠∴∠=∠+∠=∠+∠∠∆∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠又是A B C 的一外角A C D =A +A B C 是的一外角（2）探究3：结论∠BOC=90°－12A ∠。

三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基础的图形之一，它由三条边连接的三个顶点组成。

在研究三角形的性质时，内角和与外角和是重要的概念。

本文将探讨三角形内角和与外角和的定义、性质以及它们之间的关系。

1. 三角形内角和的定义与性质在任何一个三角形中，三个内角的度数之和总是等于180度。

这个定理被称为三角形的内角和定理。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为a、b、c，则有以下关系：a +b +c = 180度根据内角和定理，我们可以得出一些性质：- 三角形的一个内角的度数小于180度，并且大于0度。

- 三角形的两个内角的度数之和总是大于第三个内角的度数。

2. 三角形外角和的定义与性质在三角形中，每个内角对应一个外角。

外角是指位于三角形的一个内角所延长的直线上，与该内角不相邻的角。

对于每个内角而言，它所对应的外角与该内角的度数之和总是等于360度。

这个性质被称为三角形的外角和定理。

假设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的外角为α、β、γ，则有以下关系：A + α =B + β =C + γ = 360度与内角和类似，我们也可以得出一些关于外角的性质：- 三角形每个外角的度数小于360度，并且大于0度。

- 三角形的两个外角的度数之和总是等于第三个外角的度数。

3. 内角和与外角和的关系在一个三角形中，三个内角和三个外角之间存在一定的关系。

我们可以通过内角和和外角和的差值来推导这个关系。

首先，我们可以将三角形的内角和与外角和的关系表示为方程：(a + b + c) + (α + β + γ) = 180度 + 360度 = 540度将内角和与外角和的定义带入上述方程，可以得到：180度 + 360度 = 540度由此可见，三角形的内角和与外角和的差值恰好等于360度。

这个关系对于任何三角形都成立。

4. 实际应用举例三角形的内角和与外角和不仅仅是数学中的概念，它们在实际应用中也具有一定的意义。

三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。

本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，让我们来看一下三角形内角和定理。

三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。

对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。

这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。

那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。

首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。

因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。

又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。

同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。

因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。

接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。

一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。

例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。

对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。

这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。

同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。

假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。

因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。

又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。

同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。

三角形的三个角度数之和三角形的三个角度数之和如下：三角形三个角度数之和是180°。

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

在平面上三角形的内角和等于180°。

扩展资料：三角形性质定理：1、三角形的内角和为180度；2、三角形三外角和为360°（三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角）；3、直角三角形两个锐角相加等于90度；4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；5、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；6、在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；7、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；8、三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边；9、三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和；10、一个三角形最少有2个锐角；11、等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边；12、等底等高的三角形面积相等；13、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比；14、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；15、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；16、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；17、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；18、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2；19、等腰三角形两底角相等；两条腰相等；20、等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；21、中位线：任意两边中点的连线。

中位线平行且等于底边的一半。