《三角形外角的性质》导学案

第4课时三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质班级：小组：姓名：学习目标：1、学会应用推论2、推论3、解决实际问题，发展符号意识。

2、经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达。

3、培养演绎推理的思维方法，感受几何知识的实际应用价值。

学习重点：领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式学习难点：对逻辑推理思想的理解和运用学习过程：一、知识回顾：1、如图所示，已知在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A=50°，求∠D的度数。

2、已知：如图在△ABC中，若∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC，D E∥BC交AB于点E，求∠BDE与∠BDC的度数。

二、自主学习1、三角形的外角思考：∠1有三个特征（1）（2）（3）三角形的外角：2、三角形内角和定理的推论2、推论3思考并探究：∠1与图中的其它几个角之间有什么关系？能证明你的结论吗？结论：（1）∠ACB+∠1=180°（2）∠1=∠A+∠B（3）∠1>∠A、∠1>∠B推论2、推论3、3、证一证：已知：如图∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角求证：∠1+∠2+∠3=360°结论：4、自我展示（1）已知：如图所示，在△ABC中，∠DBF是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE，求证：∠DBF>∠EDC（2）已知：如图（甲）所示，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，求∠ADC的大小解：解法一：解法二：解法三：三、学习小结：这节课你学到了什么知识？四、达标检测1、填空：（1）如图∠ABC=_______∠1=________（2）在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是_________2、如图，点P是△ABC内任一点，连接BP，并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“>”或“<”表示∠A、∠1、∠2的大小关系，并说理由3、已知：如图所示，已知△ABC的外角∠ABD的角平分线与∠C的角平分线CF的延长线交于E，若∠A=70°，求∠E的度数。

《三角形的外角》教案
曹风海
课题：三角形的外角
教学目标：
1、总体目标：学习三角形的外角性质及外角和定理，结合实例，在实际背景中理解
图形的性质，运用三角形的外角性质和外角和定理，经历探索图形的过程。

2、知识目标：掌握三角形的外角性质和外角和定理及其说理。

通过足球中的数学问题的解析，会运用三角形外角性质和外角和定理解题和简单说理
3、能力目标：让学生经历观察、思考、猜想、归纳、推理的活动过程；通过分析问
题、解决问题、证实结论，从而通晓数学知识的发生与形成过程。

通过合作研究三角形的内、外角之间的关系及钉子板上的五角星游戏，以提高学生的合作意识和沟通、表达能力。

4、创新性目标：在体验一题多变、一题多解的过程中发散思维，提高空间想象能力。

5、情感态度与价值观：通过课前序曲《生命之杯》及短片《小罗的射门集锦》欣赏，
增强学生对学习本课的兴趣；同时让学生体验数学课堂中的激情气氛。

运用三角形内外角知识与足球比赛之间的联系，让学生体验生活中团队协作、力争上游、奋勇拼搏的精神。

教学重点：三角形外角性质及外角和定理的探索。

教学难点：灵活应用三角形的外角性质解决问题。

学法选择：合作学习法、归纳总结法
教学准备：ppt课件、三角尺、钉子板
2014.4.22。

BACDE 《三角形的外角》导学案编写人:陈平儒审核人：陈宗玉编写时间：2013-9-2班级：组别：组名：姓名：【学习目标】1.三角形外角的两条性质2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

【教学重、难点】重点：三角形外角的两条性质难点：找三角形的外角【学法指导】学生通过自主探索、合作交流的学习方式学习。

【知识链接】1、三角形三个内角的和为_______.2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的(3)另一条边是三角形某条边的．【学习过程】问题一：1）如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它的两个内角的和．2）任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？归纳得出：推论2：三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角．问题二：已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°问题三：已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．基础达标：①已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC②想一想，还有没有其他的证明方法呢？A B C D E 1F2 AB A CDE③ 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．【课堂小结】收获：疑惑：【当堂检测】1) 已知:如图所示,在△ABC 中,外角∠DCA=1）00°,∠A=45°.求:∠B 和∠ACB 的大小. 2)如图，求证：（1）∠BDC >∠A .（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A . 如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？ 3）已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. 【课后反思】。

7.2.2三角形的外角学习目标：1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质。

学习重点、难点：重点：三角形外角的性质。

难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题。

自主探究：1、三角形的内角和定理是：。

2、如图1，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形的角。

思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有个；所以，△ABC共有个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为角。

【归纳1】①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；②每一个三角形都有个外角；③每一个顶点相对应的外角都有个；④每个外角与它相邻的内角互为。

⑤一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角。

3、如图3，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角。

能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？认真思考，完成下面的填空：（1）∠ACB= 度；∠ACD= 度；∠A+∠B= 度；∠ACD ∠A+∠B（填“＞，＜或=”）。

（2）∠ACD ∠A（填“＞，＜或=”）；∠ACD ∠B（填“＞，＜或=”）。

4、任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？5、聪明的你，能用一句话概述你的发现吗？【归纳2】①三角形的一个外角等于与它不相邻的的和。

②三角形的一个外角大于任何一个内角。

成果展示：你能用学过的定理证明上面这些定理的正确性吗？已知：如图4，∠ACD是△ABC的外角；求证：（1）∠ACD=∠A+∠B；（2）∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。

证明：因为∠ACB+ + =180°(三角形内角和定理)，∠ACB+∠ACD=180°(平角的意义)，所以∠ACD= + (等量代换)，又因为∠A＞0°，∠B＞0°，所以∠ACD ∠A，∠ACD ∠B (和大于部分)。

《三角形的外角的定义及性质》学历案一、学习目标1、理解三角形外角的定义。

2、掌握三角形外角的性质，并能运用其解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）三角形外角的定义。

（2）三角形外角的性质及其应用。

2、难点三角形外角性质的推导及灵活应用。

三、知识回顾1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。

2、邻补角的定义：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。

四、新课导入在日常生活中，我们经常会看到三角形的形状。

比如，自行车的车架、三角形的屋顶等。

当我们观察这些三角形时，会发现除了三角形的内角，还有一些与内角相关的角。

那么，这些角有什么特点和性质呢？今天，我们就来学习三角形的外角。

五、三角形外角的定义1、观察下面的三角形 ABC，延长 BC 到点 D，∠ACD 就是三角形的一个外角。

2、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

3、思考：一个三角形有几个外角？在三角形中，每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形共有 6 个外角。

但在通常情况下，我们研究的是每个顶点处的一个外角。

六、三角形外角的性质1、探究一（1）如图，在△ABC 中，∠A ＝ 70°，∠B ＝ 60°，求∠ACD 的度数。

因为∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACB ＝ 180° 70° 60°＝ 50°。

又因为∠ACD ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACD ＝ 180° 50°＝ 130°。

（2）通过计算发现，∠ACD ＝∠A ＋∠B。

2、探究二（1）在△ABC 中，∠ACD 是外角，∠A ＝ x°，∠B ＝ y°，用含 x 和 y 的式子表示∠ACD。

因为∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝ 180°，所以∠ACB ＝ 180° x° y°。

第5课时 《三角形的外角》导学案 学习目标：1、 会在图形中识别、作出三角形的外角；2、 会证明“三角形的外角”定理及推论；3、 会应用“三角形的外角”定理及推论。

一、三角形外角定义。

1、如图，△ABC 的内角有 个，分别是 2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

3、根据三角形外角的定义，在右图中画出三角形的一个外角，这个外角是 。

4、 通过画图，可以知道：三角形的外角有 个。

同一个顶点的外角互为 角。

5、如图， 是△ABD 的外角， 是△BCE 的外角； 第4题图 第5题图6、 如图，△BFD 的外角有以∠AEB 为外角的三角形是 二、三角形外角定理及推论1、如图，若∠A=600，∠B=700，则∠ACB= ，∠ACD= 。

通过计算发现：∠ACD=∠ +∠而∠ACD 是△ABC 的外角，由此，说明： 2、上题中，若∠A=x 0，∠B=y 0，则∠ACB= ，∠ACD= 。

通过计算发现：∠ACD=∠ +∠而∠ACD 是△ABC 的外角，由此，说明：学法解法指导5、6两题是在复杂的图形中寻找三角形的一个或几个外角，你有什么办法，让它变得更简单。

B CA BCAB C A D E FB CA E D DB AC 通过定义，可以知道作三角形外角的方法是：3、证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

已知：如图，△ABC 中，∠ACD 是外角 求证：∠ACD=∠A+∠B 证明： 方法一：方法二：推论：三角形的一个外角大于它不相邻的任何一个内角。

请简要说明推论的正确性。

4、下列说法中，正确的是（ ）A 、三角形的一个外角等于两个内角的和；B 、三角形的一个外角小于它的一个内角；C 、三角形的一个外角大于和它相邻的内角；D 、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、三角形外角定理及推论的应用 1、在三角形中，一个外角是与 它相邻内角的3倍，则这两个角 的度数分别为：2、如图，若∠ACD=1100，∠B=700，则∠A= 第2题图 3、根据下图中所提供的信息，求出x 的值：解：通过第2题，可以探得一种 证明方法。

第十一章三角形）三角形外角的性质：如图，∠A+∠B+∠ACB=______第1题图抓住这个角是由哪个三角形的一边与另一边的延长线组成的即可，对于比较复杂的图形，一个角可能同时是几个三角形的外角.例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．（提示：延长BP 交AC 于点E ）【变式题】如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC 的度数.（提示：连接AD ）方法总结：关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.例3 (1)如图①，试比较∠2 、∠1的大小；(2)如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.（提示：利用三角形的外角性质）图① 图② 解： (1)∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.方法总结：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：探究点3：三角形的外角和例3 如图，∠BAE, ∠CBF, ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ， ∠CBF +∠2=180 °，∠ACD +∠3=180 ° ，解法三：如图，过A 作AN 平行于BC.要点归纳：三角形的外角和等于360°. 二、课堂小结的外角,也是________, ∠BCE=20 °12.2对应相等的两个三角形全等边角边：和它们的对应相等的两个三角形全等.二、新知预习1.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？（1）以①为模板，画一画，能还原吗？（2）以②为模板，画一画，能还原吗？（3）以③为模板，画一画，能还原吗？（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________.猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________B=∠C,求证：AD=AE.证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来CBE.探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，ABC≌△DEF.例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()二、课堂小结“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等1.△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A＝∠D D ．∠C ＝∠F2. 在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°， 且AC ＝A′C′，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB ，判别下面的 两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，那么应补充一个条件 ， 才能使△ABC ≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD 、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD ＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘或网站下载：(无须登录，直接下载)。

(2)FEDC AB(1)E D C B A DC BA11.2.2三角形的外角 导学案主备人：张伟 班级：________ 使用人：________ 时间9月2日【学习目标】1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质 2利用学过的定理论证这些性质3能利用三角形的外角性质解决实际问题 【重点】 （1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理 【难点】 三角形外角的定义及定理的论证过程 一、【温故而知新】1、三角形的内角和定理是什么？ 二、【预习检测】知识点1：三角形的外角做一做：把ABC ∆的一边AB 延长到D ，得ACD ∠，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？定义：三角形一边与另一边的____________组成的角，叫做三角形的外角 想一想：三角形的外角有________个？。

知识点二：外角与内角有什么关系？议一议：ACD ∠与ABC ∆的内角有什么关系？画三角形ABC 的外角试一试，（1）B A ACD ∠+∠∠_________（2）A ACD ∠∠______，B ACD ∠∠_______ 同学用语言叙述这个性质：三角形的一个外角等于它_______________两个内角之和； 三角形的一个外角大于_________________任何一个内角。

你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？ 结合下面图形给予说明知识点三：三角形外角和自学课本15页例4如图，3,2,1∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，则=∠+∠+∠321结论：三角形的外角和为 . 三、【新知应用】课本P15 练习 四、【畅谈收获】今天我们学会了哪些内容，有哪些易错点，用到了哪些数学思想？ 五、【达标检测】1观察图形(1)，回答问题：（1）∠AED 是 的外角 ∠ACD 是 的外角. （2）∠AED = + ，∠ACD = + .（3）∠AED ＞ . ∠ACD ＞ .2．三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角3．ABC ∆的两个内角的一平分线交于点E ，52=∠A ，则=∠BEC4．已知ABC ∆的C B ∠∠,的外角平分线交于点D ，40=∠A ，那么D ∠= 5．如图（2），AB ∥CD ，∠A=45°, ∠C=∠E ，则∠C = .6．如图，已知 ∠ACD =150°， ∠A=2∠B ，求∠ B 的度数.六、布置作业：必做：课本P16 5、6、 选作：课本P17 11题 七、课后反思：。

三角形的外角学习目标1.在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质.2.利用学过的定理论证这些性质.3.能利用三角形的外角性质解决实际问题.重点：三角形的外角及其性质.活动1 自主学习知识提炼阅读教材P74-75 回答下列问题：1. 如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做________________.如图2，一个三角形有___个外角. 每个顶点处有___个外角，这两个外角是_______.2.如图1，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝___°.试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是__________________________.任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个外角是否都有这种关系？试结合图3写出证明过程.证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D .则∠ACM=∠A，( )∠MCD=∠B.( )所以∠ACM+ ∠MCD=∠A+∠B.即∠ _____=∠A+∠B.一般地，有下面的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.由图3，易知：∠ACD_____∠A，∠ACD_____∠B.也就是说：三角形的一个外角大于与它不相邻的_________________ .活动2 简单应用1.写出下列图形中∠1、∠2的度数：2.如图4，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，求∠1+∠2+∠3的度数.归纳：三角形的外角和等于_______.(每个顶点处取一个外角)活动3 课堂小结这节课我的收获是：活动4 课堂练习1.如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“<”表示∠1，∠2，∠A之间的关系为__________________ .2.如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC=_______，∠BFD=_______ .3.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=∠E，求∠C.4.如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.拓展延伸1.图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于______ .2.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，试探究∠A与∠BPC之间的关系.答案：活动1 1. 三角形的外角. 6,2，对顶角. 2. 120，∠ACD=∠A+∠B.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同位角相等. ACD. 两个内角的和. > ， >. 任何一个内角. 活动2 1. 50°，140°；60°，30°；80°，40°；70°，40°. 2. 360°.活动4 1. ∠1>∠2>∠A. 2. 97°，63°. 3. 22.5°.4. 24°.拓展延伸1. 180°2. ∠A=2∠BPC.角的平分线的性质一、学习目标1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。