全国高中数学联赛江苏赛区2009年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分，要求直接将答案写在横线上。

）1.已知点P(4,1)在函数$f(x)=\log_a(x-b)$（$b>0$）的图像上，则$ab$的最大值是______。

解：由题意知，$\log_a(4-b)=1$，即$a+b=4$，且$a>0$，$a\neq 1$，$b>0$，从而$ab\leq 4$。

当$a=b=2$时，$ab$的最大值是4.2.函数$f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{4})$在$x=\frac{3\pi}{4}$处的值是______。

解：$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，所以$f(\frac{3\pi}{4})=3\sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=-\frac{3}{\sqrt{2}}$。

3.若不等式$|ax+1|\leq 3$的解集为$\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则实数$a$的值是______。

解：设函数$f(x)=|ax+1|$，则$f(-2)=f(1)=3$，故$a=2$。

4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是______。

解：有两类情况：同为白球的概率是$\frac{3}{25}\times\frac{10}{25}=\frac{6}{125}$，同为红球的概率是$\frac{7}{25}\times\frac{6}{25}=\frac{42}{625}$，所求的概率是$\frac{6}{125}+\frac{42}{625}=\frac{72}{625}$。

5.在平面直角坐标系$xOy$中，设焦距为$2c$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$有相同离心率$e$，则$e$的值是______。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x ya b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 22222a b a b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a bOP OQ+=+． 于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥． (ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯ ……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯． 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分 由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nn a n n α=+-=+． 于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+； (5)分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-． (15)分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---． (10)分(Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y ==当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r . 解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41-提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11,.OEPC 1B 1A 1CBA设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. 当且仅当20202249y y -=+，即0y =,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设ba ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l与椭圆C：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．yOPAB2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅.３．设,,[0,1]x y z ∈，则||||||M x y y z z x =-+-+-的最大值是 .解:不妨设01,x y z ≤≤≤≤则.M y x z y z x =-+-+-因为2[()()]2().y x z y y x z y z x -+-≤-+-=-所以2()(21)2 1.M z x z x z x ≤-+-=+-≤-当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 2 1.M =+ 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ． 解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥ 所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯= 131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛2009年全国高中数学联赛江苏赛区分为初赛、复赛与决赛（即全国高中数学联赛）。

初赛与复赛由江苏省数学学会普及工作委员会、江苏省高中数学联赛专家委员会领导并主办，由江苏省数学学会高中数学联赛专家委员会邀请专家组成“高中数学联赛命题组”。

命题组负责人是南京师范大学余红兵等教授。

初赛试题以《全日制普通高中（新）课程标准》的内容和要求为依据；复赛试题以全国高中数学联赛竞赛大纲为依据，以全国高中数学联赛的题型、试卷为模式，分为一试与加试，考试时间也与全国高中数学联赛相同，在方法和能力的考察上有所提高，一方面起选拔作用，从参赛者中选出参加全国高中数学联赛的学生；另一方面也为参加全国高中数学联赛作一次赛前准备。

初赛于2009年5月3日8：00－11：00，由各大市自行组织，选出5％，连同名单、试卷一同交到省联赛专家委员会。

复赛于2009年7月23日8：00 — 12：10，在江苏省高中数学奥林匹克夏令营中统一进行，选出70％左右参加全国高中数学联赛。

决赛于2009年10月11日8：00 —12：10，在全省的4个考点举行，派专人送试卷到考点，考试结束后将试卷密封带回南京统一阅卷、统一评分。

从参加决赛人员中选出全国一等奖（55名）、江苏省一等奖（200名左右）、江苏省二等奖（600名左右）、江苏省三等奖（900名左右），以资鼓励。

试 题一、填空题（每小题7分，共56分）1．已知数列{}n a 的前n 项和234n S n n =++()*n ∈N，则13521a a a a ++++= ．2. 若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是 ．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是 ．4. 设1F 、2F 分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k = ．5. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D 的重叠部分的体积等于 ．6. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，则 3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++= ．7. 设方程21221221100n n n n n xa x a x a x a +-------= 的根都是正数，且其中1a =()21n -+，则0a 的最大值是 ．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格． 二、解答题（第9题14分，10、11题各15分） 9. 求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．10. 如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A 、B 、C 、D ．证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．11. 设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--．加 试12.（本题满分50分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ADE 的内切圆与DE 切于点M ，△ABC 的BC 边上的旁切圆切BC 于点N ，点P 是BE 与CD 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.13. （本题满分50分）设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C . 求Q C 的最大值.14.（本题满分50分）设12222s nn n M =+++ ，12,,,s n n n 是互不相同的正整数，求证：(122222221sn n n +++<+15. （本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x 、y ：（1）x 与1y -互素； （2）231x x y -+=.解 答1. 2682. 11(,)(,)36-∞-+∞ 3. 95-4.25. 366. 9327. 18. 38719.因为()44662sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 32sin 22sin 2xx f x x x xxx xx x xx=⋅+⋅+=-=.令sin 2t x =，则[)(]1,00,1t ∈- ，()2322322t f x t t t -==-. 易知函数()232g t t t =-在区间[)1,0-与(]0,1上都是减函数，所以()g t 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ ，故()f x 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ .10. 设1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，由题设知α、()0,βπ∈. 易知直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩， 代入抛物线方程可化得()22sin 2sin cos 10t t ααα+--=.设上述方程的两根为1t 、2t ，则 1221sin t t α-=. 由参数t 的几何意义, 得21sin AP BP α⋅=. 同理21sin CP DP β⋅=.若A 、B 、C 、D 四点共圆，则 AP BP CP DP ⋅=⋅，即 22sin sin αβ=.因为α，()0,βπ∈，所以 sin sin αβ=.又由1l 、2l 不重合，则αβ≠. 所以αβπ+=.反过来，若αβπ+=，则因α、()0,βπ∈，故s i n s i n αβ=，且0α≠，0β≠. 所以2211sin sin αβ=，即AP BP CP DP ⋅=⋅.故A 、B 、C 、D 四点共圆.11. 因为54324321111a a a a a a a a a -++++=-+++，且()()()4323281511a a a a a a a a ++++-++++43232223a a a a =---+()()42432121a a a a a =-++--+()()()222212110a a aa =-+-++> （1a ≠），所以()4323215118a a a a a a a a ++++>++++，即()5415118a a a ->+-.同理可证5415(1)18b b b ->+-. 于是，()55441125(1)11164a b a b a b --⋅>++--.12. 设BE 与MN 交于点'P .因为DE ∥BC ，所以BP BC PE DE=，''BP BNP E EM =.故只需证明BCBNDE EM =，或BN EMBC DE =. 如图, 设1O 、2O 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，F 、G 、H 、I 为切点，则()12EM AE DE AD =+-，AH AB BH AB BN =+=+，()12AH AI AB BC AC ==++，()12BN AH AB AC BC AB =-=+-.又因为ADE ∆∽ABC ∆，故可设AB BC AC k ADDEAE===，则1()2AC BC AB BN BC BC+-=()2()2k AE k DE k AD k DEAE DE AD EM DEDE⋅+⋅-⋅=⋅+-==故结论成立．13. Q C 的最大值为kn C .因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ n C C ≤.下面指出，对集合2{2, 2, , 2}n P = ，相应的Q C 等于kn C ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k rrrA = ，12{2,2,,2}k s s s B = ，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M +++=+++= （设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.14. 对s 归纳.（1） 当1s =时，结论显然成立.（2） 假设s k =时结论成立，当1s k =+时，不妨设121k k n n n n +>>>> .由归纳假设可知，122222(1k n n +++<+，则1121222222222(12kk n n n n n +++++<+ .所以只要证明12(12(1n +<+ 此即1>.因为正整数121k k n n n n +>>>> ，所以 122231211222221222.k n n n n n n n ++-≥>++++≥+++ .故==所以1>=，即1s k =+时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数s 成立.15. 显然 1x =，1y =满足要求. 对于1x >，1y >， 方程可化为()()()2111y y y x x -++=-.显然x y >. 因为(),11x y -=，故x 一定是21y y ++的一个因子. 设21y y kx ++=（k为正整数），从而()11x k y -=-. 由x y >可知2k ≥.消去x ，得()2211y y k y k ++=-+，即()()()221113yy k y k -+-=-+-.由此推得 ()13y k --.若3k >，则13y k -≤-，即2k y ≥+，从而()()2221121k y k y y k k -+=++<+-+，故必有10y -=，矛盾.所以 3k ≤，从而2k =，3. 验证知7y =，19x =. 综上，()(),1,1x y =，()19,7.。

全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。

2009年全国高中数学联赛一试 试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x =， ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x =．故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =--- 212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ． 【答案】2009 【解析】 设()1111221f n n n n =++++++ ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 22222a b a b +【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22222a b a b +．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当 0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根．又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 【答案】981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD += ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① (4)分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-= ，， (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n = ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=． 所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n = ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n = ，，． ①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n = ，，变为11n n n a a αα++=+()12n = ，，．整理得，111n n n n a a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n = ，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n = ，，． 所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-． (10)分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-． (15)分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+= ，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+= ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为1．…………………………………………………………………………………15分。

2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。

2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。

答卷时间为80分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。

答卷时问为150分钟。

一 试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数且，则 ．()f x ()()()n n f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()991f =2．已知直线和圆，点在直线上，，:90L x y +-=22:228810M x y x y +---=A L B 为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围C M ABC ∆45BAC ∠=︒AB M A 为 ．3．在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由M N M 02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤N t 不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数1t x t +≤≤t 01t ≤≤M N ()f t = ．4．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数1111200712213a n n n +++<-+++ n 的值为 ．a 5．椭圆上任意两点，，若，则乘积的最22221x y a b+=()0a b >>P Q OP OQ ⊥OP OQ ⋅小值为 ．6．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ．()lg 2lg 1kx x =+k 7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的100数是 （可以用指数表示）8．某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随800~900∶∶900~1000∶∶机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．820∶二、解答题1．（14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点:l y kx m =+k m 2211612x y +=，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量A B 221412x y -=C D l ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．0AC BD +=2．（15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列p ()0q q ≠20x px q -+=αβ满足，，{}n a 1a p =22a p q =-()1234n n n a pa qa n --=-= ，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；{}n a αβ(Ⅱ)若，，求的前项和． 1p =14q ={}n a n 3．（15分）求函数的最大和最小值．y =++加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的M N ABC ∆A B ∠<∠Γ BC AC 中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．C PC MN ∥ΓP I ABC ∆PI ΓT ⑴求证：；MP MT NP NT ⋅=⋅⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内 AB C Q Q A ≠T B AQC ∆QCB △心分别为，，1I 2IB求证：，，，四点共圆．Q 1I 2I T 10．求证不等式：，，2，…2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤1n =11．设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．k l m k ≥C km l12．在非负数构成的数表39⨯ 111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，1728390x x x ===27x 37x 18x ，，均大于．如果的前三列构成的数表38x 19x 29x P 111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个()O P 123k k k x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1k =使得{}123i ∈，，⑶．求证：{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．{}123min i i i i u x x x =，，1i =S （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表P ***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭*1k ≠33⨯***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质．()O\。

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。

2009年全国高中数学联赛一 试一、填空（每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题1． （14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2． （15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a pq =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3． （15分）求函数y 的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记A Q C ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素． 12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．\。