山西省怀仁县2016_2017学年高二数学下学期第二次月考试题理实验班

阳高一中2016—2017学年第二学期月考考试高二年级数学试卷（理）（时间：120分 满分：150分）一、选择题：（本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.下面是关于复数i z 2321+-=的四个命题，其中真命题为（） A. z 的虚部为i 23B. z 为纯虚数C. 2||=zD.z z =2 2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 ( ) A . 74y x =+ B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-4.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个5.函数()f x =5123223+--x x x 在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ） A.5，15- B.5， C. ，15- D.5，16-6.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．37.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B. 1225 C. 1024 D.13788.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( )9.dx x ⎰=2123a ，函数()a x e x f x -+=32的零点所在的区间是( )A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10.若函数3()f x ax x =+在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ） A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．]0,(-∞ D ．),0[+∞ 11.6883+被49除所得的余数是（ ）A ．0B ．14C ．14-D ．3512.()f x 是定义在上的偶函数，当0x <时/()()0f x x f x +⋅<，且(4)0f -=则不等式()0xf x >的解集为（ ）A.),4()0,4(+∞⋃-B.)4,0()0,4(⋃-C.),4()4,(+∞⋃--∞D.)4,0()4,(⋃--∞二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13、两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________．14、如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有________条．15、某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,有三级以上风的概率为215,既有三级以上风又下雨的概率为110，则该地区在有三级以上风的条件下下雨的概率为.16、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件； ⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男女相间；（4）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．18.（12分）已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ， 求（1）各项二项式系数和的值；（2）6420a a a a +++。

2016-2017学年山西省朔州市怀仁八中实验班高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）的展开式中x6y2项的系数是（）A．56B．﹣56C．28D．﹣282．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.85B．0.819 2C．0.8D．0.753．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种4．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．565．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16B．24C．32D．486．（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（）A．B．C．D．7．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12B．24C．30D．368．（5分）若（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，则实数m的取值为（）A．1或﹣3B．﹣1或3C．1D．﹣39．（5分）设随机变量X服从，则P（X＝3）的值是（）A．B．C．D．10．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种11．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）A．B．C．D．12．（5分）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为．14．（5分）我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a ＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有人．15．（5分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝．16．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知（+）n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b（其中a+b ＝1）．（1）如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益（投资收益＝回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及均值（数学期望）E（ξ）；（2）如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．21．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．22．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K2＝．2016-2017学年山西省朔州市怀仁八中实验班高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）的展开式中x6y2项的系数是（）A．56B．﹣56C．28D．﹣28【解答】解：由题意，，故选：A．2．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.85B．0.819 2C．0.8D．0.75【解答】解：∵该射击运动员射击4次恰好击中3次的概率为•0.83•0.2＝，该射击运动员射击4次恰好击中4次的概率为•0.84＝，∴该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为+＝＝0.8192，故选：B．3．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42＝6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33＝6种情况，则共有6×6＝36种不同的报名方法，故选：C．4．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．56【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴n＝8，展开式的通项公式为T r+1＝＝•（﹣1）r•x8﹣2r，令8﹣2r＝2，则r＝3，∴展开式中含x2项的系数是﹣＝﹣56．故选：A．5．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16B．24C．32D．48【解答】解：根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C21＝2种情况，前2次测试，即一次正品、1次次品，有C81×A22＝16种情况，则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况，故选：C．6．（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（）A．B．C．D．【解答】解：设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，因为E（X）＝0×①又p+q＝，②由①②得，p＝，q＝，∴D（X）＝，故选：A．7．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12B．24C．30D．36【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33＝6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21＝4种方法，此时，故不同的涂法有6×4＝24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21＝6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6＝30 种．故选：C．8．（5分）若（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，则实数m的取值为（）A．1或﹣3B．﹣1或3C．1D．﹣3【解答】解：在（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9中，令x＝﹣2可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9＝m9，即[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]＝m9，令x＝0，可得a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9＝（2+m）9，∵（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，∴（a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9）[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]＝39，∴（2+m）9•m9＝（2m+m2）9＝39，可得2m+m2＝3，解得m＝1，或m＝﹣3故选：A．9．（5分）设随机变量X服从，则P（X＝3）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X服从，∴P（X＝3）＝＝＝故选：B．10．（5分）八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种【解答】解：第一步分步：由题意把8人分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为C81C73++＝280+210+280＝770种，第二步，分配，每一种分法都有A33＝6种，根据分步计数原理，共有770×6＝4620种，故选：C．11．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故．故选：B．12．（5分）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X＝1）＝p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X＝2）＝p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X＝3）＝（1﹣p）2，则Ex＝p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2＝p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为209．【解答】解：（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为++…+＝4+10+20+35+56+84＝209，故答案为：209．14．（5分）我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a ＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有200人．【解答】解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x＝90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）＝，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故答案为：200．15．（5分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝2．【解答】解：设P（ξ＝1）＝P（ξ＝3）＝a，P（ξ＝2）＝b，则2a+b＝1，Eξ＝a+2b+3a＝2（2a+b）＝2，故答案为2．16．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【解答】解：直线ρsinθ＝a即y＝a，（a＞0），曲线ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2＝4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2＝4，可得（a）2+（a﹣2）2＝4，∵a＞0，∴a＝3．故答案为：3．三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知（+）n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得n＝10，∴，（0≤r≤10，且r∈N），要求该展开式中的有理项，只需令，∴r＝0，2，4，6，8，10，∴有理项的项数为6项；（Ⅱ）设第T r+1项的系数最大，则，即，解不等式可得，∵r∈N，∴r＝7，∴展开式中的系数最大的项为18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C44种；②取3个红球1个白球，C43C61种；③取2个红球2个白球，C42C62种，∴C44+C43C61+C42C62＝115种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61＝186种（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C43C62＝60种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32＝72，其中3个红球排在一起的有A33A22＝12根据分步计数原理可得，60×（72﹣12）＝3600种．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）＝＝．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，EX＝0×+1×+2×＝．20．（12分）“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b（其中a+b ＝1）．（1）如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益（投资收益＝回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及均值（数学期望）E（ξ）；（2）如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．【解答】解（1）依题意知ξ的可能取值为20，0，﹣10，ξ的分布列为E（ξ）＝20×+0×+（﹣10）×＝10．（2）设η表示把100万投资“低碳型“经济项目的收益，则η的分布列为E（η）＝30a﹣20b＝50a﹣20，依题意得50a﹣20≥10，∴≤a≤1，∴a的取值范围是[，1]21．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E ξ．【解答】解：令A k ，B k ，∁k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比 赛还未停止的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且，．．，，故有分布列从而（局）．22．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K2＝．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表…（2分）＜6.635…（4分）所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（5分）（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列是所以ξ的期望值是．…（12分）。

2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．给出下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③2．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对4．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣5．某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表，可得回归直线方程中的=﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个6．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%7．已知a＞0，函数y=x3﹣ax在区间C．hslx3y3h，π）D．（，π）12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程为．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为．15．观察下列不等式：①＜1；②；③；…则第5个不等式为．16．若函数f（x）=x3﹣12x在（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．18．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到如下的统计结果．表1：男生上网时间与频数分布表：上网时间（分钟）hslx3y3h30，40）hslx3y3h40，50）hslx3y3h50，60）hslx3y3h60，70）人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表：上网时间（分钟）hslx3y3h30，40）hslx3y3h40，50）hslx3y3h50，60）hslx3y3h60，70）人数1020402010完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？19．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f'（x）的图象如图所示，且经过点（1，0），（2，0）．（1）求x0的值以及f（x）的解析式；（2）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，求m的值．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．21．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：千元）对年销量y （单位：）和利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i （i=1，2，…，8）和年销售量y i 数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣） 46.6563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i =， =w i（1）根据散点图判断，哪一个更适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y ﹣x ，根据（2）的结果回答下列问题；①当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=， =﹣．22．已知函数f （x ）=x 2+ax +b ，g （x ）=e x （cx +d ）若曲线y=f （x ）和曲线y=g （x ）都过点P （0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x +2． （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥﹣2时，f （x ）≤kg （x ），求k 的取值范围．2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．给出下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】BK：线性回归方程．【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．【解答】解：①一般不能用残差图判断模型的拟合效果，故①不正确；②相关指数R2可以刻画回归模型的拟合效果，R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好，正确；③可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故③正确故选：B．2．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．3．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A4．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：C．5．某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表，可得回归直线方程中的=﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算平均数，利用b=﹣4，可求a的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为15元时的销量；【解答】解：=17.5，=39∵b=﹣4，=bx+a∴a=39+4×17.5=109∴回归直线方程为=﹣4x+109∴x=15时，=﹣4×15+109=49件；故选B．6．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%【考点】B8：频率分布直方图．【分析】本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．【解答】解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，男生喜欢理科的占60%，显然性别与喜欢理科有关，故选为C．7．已知a＞0，函数y=x3﹣ax在区间1，+∞）是所求区间的子集可得结论．法二：由题意a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断．【解答】解：法一∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a=3（x﹣）（x+）∴f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，∵函数f（x）=x3﹣ax在1，+∞）上是单调函数，根据二次函数的性质，显然是递增函数，∴在1，+∞）上恒成立，∴a≤3，故选：D．8．在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】I3：直线的斜率；63：导数的运算．【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率，求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数．【解答】解：∵切线倾斜角小于，∴斜率0≤k＜1．设切点为（x0，x03﹣8x0），则k=y′|x=x0=3x02﹣8，∴0≤3x20﹣8＜1，≤x02＜3．又∵x0∈Z，∴x0不存在．故选D9．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．10．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】利用导数与函数之间的关系，函数的递增区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案．【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B．11．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，，π）D．（，π）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】63：导数的运算．【分析】先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．【解答】解：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程为x﹣y+2=0，或4x﹣y ﹣4=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．【解答】解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，x03+），则切线的斜率k=y′|x=x0=x02，∴切线方程为y﹣（x03+）=x02（x﹣x0），即y=x•x﹣x+∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02﹣x03+，即x03﹣3x02+4=0，∴x03+x02﹣4x02+4=0，∴（x0+1）（x0﹣2）2=0解得x0=﹣1或x0=2故所求的切线方程为4x﹣y﹣4=0或x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0，或4x﹣y﹣4=0．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为﹣e．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，即有曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=，由于切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则a•=﹣1，解得a=﹣e，故答案为：﹣e．15．观察下列不等式：①＜1；②；③；…则第5个不等式为．【考点】F1：归纳推理；F4：进行简单的合情推理．【分析】前3个不等式有这样的特点，第一个不等式含1项，第二个不等式含2项，第三个不等式含3项，且每一项的分子都是1，分母都含有根式，根号内数字的规律是2；2，6；2，12；由此可知，第n个不等式左边应含有n项，每一项分子都是1，分母中根号内的数的差构成等差数列，不等式的右边应是根号内的序号数．【解答】解：由①＜1；②+；③；归纳可知第四个不等式应为；第五个不等式应为．故答案为．16．若函数f（x）=x3﹣12x在（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围为（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有导函数的零点2或﹣2，即k ﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，解之即可求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意可得f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个零点，而f′（x）=3x2﹣12的零点为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x﹣y﹣1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x 的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；（2）由直线l1的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到直线l的斜率为﹣，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可．【解答】解：（1）由y=x3+x﹣2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=﹣4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l 的斜率为﹣，∵l过切点P0，点P0的坐标为（﹣1，﹣4）∴直线l的方程为y+4=﹣（x+1）即x+4y+17=0．18．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到如下的统计结果．表1：男生上网时间与频数分布表：上网时间（分钟）hslx3y3h30，40）hslx3y3h40，50）hslx3y3h50，60）hslx3y3h60，70）人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表：上网时间（分hslx3y3h30，40）hslx3y3h40，50）hslx3y3h50，60）hslx3y3h60，70）钟）人数1020402010完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）根据所给数据完成表1、2的2×2列联表；（2）利用公式求出K2，与临界值比较，可得结论．【解答】解：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200K2=≈2.20，∵K2≈2.20＜2.706．∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”．19．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f'（x）的图象如图所示，且经过点（1，0），（2，0）．（1）求x0的值以及f（x）的解析式；（2）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，求m的值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；63：导数的运算．【分析】（1）结合图象求出函数的单调区间，从而求出x0的值以及f（x）的解析式；（2）结合（1）求出函数的极大值和极小值，求出m的值即可．【解答】解：（1）由题意得，在（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）递增，在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减，在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）极大值=f（1）=af（x0）=5，故x0=1，f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5，得，解得：a=2，b=﹣9，c=12，故f（x）=2x3﹣9x2+12x；（2）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，即m=f（x）有2个交点，由（1）得：f（x）=2x3﹣9x2+12x，f（x）极大值=f（1）=5，f（x）极小值=f（2）=4，故m=5或m=4．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=0，即可求出a；（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣1+的导数f′（x）=1﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，∴a=e；（2）导数f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；②当a ＞0时，e x ＞a 时即x ＞lna ，f′（x ）＞0； e x ＜a ，即x ＜lna ，f′（x ）＜0，故x=lna 为f （x ）的极小值点，且极小值为lna ﹣1+1=lna ，无极大值． 综上，a ≤0时，f （x ）无极值；a ＞0时，f （x ）有极小值lna ，无极大值．21．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x （单位：千元）对年销量y （单位：）和利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i （i=1，2，…，8）和年销售量y i 数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣） 46.6563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i =， =w i（1）根据散点图判断，哪一个更适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y ﹣x ，根据（2）的结果回答下列问题；①当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由散点图成线性分布，即可得出判断；（2）先建立y关于w的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；（3）①由（2）计算x=49时年销售量y的预报值和年利润z的预报值，②根据（2）的结果，利用二次函数的图象与性质即可得出x为何值时z取得最大值．【解答】解：（1）根据散点图即可得出判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于===68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68；（3）①由（2）知，当x=49时，年销售量y的预报值为=100.6+68=576.6，年利润z的预报值为=576.6×0.2﹣49=66.32；②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值=0.2﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8，即x=46.24时z取得最大值，故宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．22．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在1，e2hslx3y3h．2017年6月22日。

山西省怀仁县2016-2017学年高二数学下学期第二次月考试题 理（实验班）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1． 8()x 的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ．0.85 B ．0.819 2C ．0.8D ．0.753某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有 A 12种 B 24种 C 36种 D 72种 4在二项式1()nx x-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含2x 项的系数是（ ).A ．－56 B ．－35 C ．35 D ．565. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们 进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次 就结束测试的方法种数是（ ）A. 48B. 32C. 24D. 166．已知随机变量X 的取值为0,1,2,若1(0)5P X ==,1EX =,则DX =（ ） A ．25 B ．45 C ．23 D ．437. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是（ ）A 12B 24C 30D 368.若9922109)1(...)1()1()2(+++++++=++x a x a x a a m x ，且9293128203)...()...(=+++-+++a a a a a a 则实数m 的值为（ ）A. 1或-3B. -1或3C. 1D. -39.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )A.316B.516C.716D.5810. 八人分乘三辆小车,每辆小车至少载1人最多载4人,不同坐法共有（ ） A ．770种 B ．1260种 C ．4620种 D ．2940种11.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ）A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．67024312. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止。

山西省怀仁县2016—2017学年高二数学下学期期中试题 理（实验班）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分,共60分.) 1．已知复数z 满足，那么的虚部为（ ）A ．1B ． -iC ．1-D ．i ［学+科2．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．观察下列各式：222255-=，33331010-=，44441717-=，…．若99m mn n -=，则n m -=( )A ．43B ． 73C ．57D ．914．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型的O 型，则父母血型的所有可能情况有（ ） A ．12种 B ．6种C ．9种D ．10种5．曲线与坐标轴所围成图形面积是（ ）A ．4B ．2C ．D ．36．的展开式中常数项是（ ）A ． 160B ．-20C ．20D ．—1607．用数学归纳法证明“(1)(2)()212(21)()n n n n n n n N *+++=⋅⋅-∈，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是 （ ） A ．21k + B ．23k + C. 2(21)k +D ．2(23)k +8．设随机变量X 的概率分布列为则(|3|1)P X -==（ ） （A ）712 （B ）512(C ）14 (D ）169．若2()2(1)f x xf x '=+,则(0)f '等于（ ） A ．－2 B ． 4 C ．2 D ．-410．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ )A ．12B ．24C ．36D ．3011． 某人射击一次击中目标的概率为0。

6,经过3次射击，设X 表示击中目标的次数，则(2)P X ≥等于（ ） Ａ．81125 Ｂ．54125 Ｃ．36125 Ｄ．2712512。

山西省怀仁县2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题 理 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知命题:0,21x p x ∀≥≥，命题:q 若x y >，则22x y >，则下列命题中为真命题的是A. p q ∧B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧⌝D.p q ⌝∧ 2.已知椭圆2215x y m+=的离心率为105，则m 的值为 A. 3 B. 5153或15 C. 5 D.253或3 3.曲线sin x y x e =+在点()0,1处的切线方程为A. 330x y -+=B. 220x y -+=C. 210x y -+=D. 310x y -+=4.已知双曲线()221mx y m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A. 3y x =± B. 33y x =± C. 13y x =± D. 3y x =± 5.已知抛物线()220x py p =>的准线与椭圆22164x y +=相切，则p 的值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 16.直线1:10l ax y +-=与()2:3210l x a y +++=平行，则a 的值为A. 1B. 3-C. 0或12-或-3 7.已知抛物线2:8C y x =-的焦点为F,准线l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则FQ =A. 72B. 3C. 52D.2 8.设,a b 是两条不同的直线，,αβ为两个不重合的平面，下列命题中的真命题的是A. 若,a b 与α所成的角相等，则//a bB. 若//,//,//a b αβαβ，则//a bC. 若,,a b αβαβ⊂⊂⊥，则 a b ⊥D. 若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则//a b9.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值是 A. 1 B. 2 C.22D.3 10.已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是A. 12a -<<B. 36a -<<C. 1a <-或2a >D. 3a <-或6a >11.已知抛物线()211:02C y x p p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限内一点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =A. 3B. 3C. 23D. 43 12.已知函数()()22,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是A. (],0-∞B. (],1-∞C. []2,1-D.[]2,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭ . 14.已知函数()x f x e ax =-在(),0-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 .15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点，连接AF,BF ，若310,6,cos 5AB AF FAB ==∠=，则C 的离心率为 .16.若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ∀∈,()()(),,f a f b f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为422，过点()2,1P -斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求弦AB 的长.18.（本题满分12分）若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数有极值4.3- （1）求函数的解析式；（2）若方程()f x k =有3个不同的实根，求实数k 的取值范围.19.（本题满分12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --的大小为60，1,3AP AD ==E ACD -的体积.20.（本题满分12分）设函数()()330.f x x ax b a =-+≠（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值点.21.（本题满分12分） 在直角坐标xoy 中，曲线2:4x C y =与直线():0l y kx a a =+>交于,M N 两点. （1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPM OPN ∠=∠？并且说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()()22,,.xf x e ax x R a R =--∈∈ （1） 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.。

2016-2017学年山西省朔州市怀仁八中普通班高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）的展开式中x6y2项的系数是（）A．56B．﹣56C．28D．﹣282．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.85B．0.819 2C．0.8D．0.753．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种4．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．565．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16B．24C．32D．486．（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（）A．B．C．D．7．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12B．24C．30D．368．（5分）若（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，则实数m的取值为（）A．1或﹣3B．﹣1或3C．1D．﹣39．（5分）设随机变量X服从，则P（X＝3）的值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．＝0.4x+2.3B．＝2x﹣2.4C．＝﹣2x+9.5D．＝﹣0.3x+4.411．（5分）有一对夫妻有两个孩子，已知其中一个是男孩，则另一个是女孩的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 13．（5分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为．14．（5分）我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a ＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有人．15．（5分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝．16．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．三、解答题：本大题6个小题，共75分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17．（10分）已知（+）n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b（其中a+b ＝1）．（1）如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益（投资收益＝回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及均值（数学期望）E（ξ）；（2）如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．21．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．22．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K2＝．2016-2017学年山西省朔州市怀仁八中普通班高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）的展开式中x6y2项的系数是（）A．56B．﹣56C．28D．﹣28【解答】解：由题意，，故选：A．2．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.85B．0.819 2C．0.8D．0.75【解答】解：∵该射击运动员射击4次恰好击中3次的概率为•0.83•0.2＝，该射击运动员射击4次恰好击中4次的概率为•0.84＝，∴该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为+＝＝0.8192，故选：B．3．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42＝6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33＝6种情况，则共有6×6＝36种不同的报名方法，故选：C．4．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．﹣56B．﹣35C．35D．56【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴n＝8，展开式的通项公式为T r+1＝＝•（﹣1）r•x8﹣2r，令8﹣2r＝2，则r＝3，∴展开式中含x2项的系数是﹣＝﹣56．故选：A．5．（5分）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16B．24C．32D．48【解答】解：根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C21＝2种情况，前2次测试，即一次正品、1次次品，有C81×A22＝16种情况，则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况，故选：C．6．（5分）已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，EX＝1，则DX＝（）A．B．C．D．【解答】解：设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，因为E（X）＝0×①又p+q＝，②由①②得，p＝，q＝，∴D（X）＝，故选：A．7．（5分）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12B．24C．30D．36【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33＝6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21＝4种方法，此时，故不同的涂法有6×4＝24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21＝6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6＝30 种．故选：C．8．（5分）若（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，则实数m的取值为（）A．1或﹣3B．﹣1或3C．1D．﹣3【解答】解：在（x+2+m）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9中，令x＝﹣2可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9＝m9，即[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]＝m9，令x＝0，可得a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9＝（2+m）9，∵（a0+a2+…+a8）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝39，∴（a0+a2+…+a8+a1+a3+…+a9）[（a0+a2+…+a8）﹣（a1+a3+…+a9）]＝39，∴（2+m）9•m9＝（2m+m2）9＝39，可得2m+m2＝3，解得m＝1，或m＝﹣3故选：A．9．（5分）设随机变量X服从，则P（X＝3）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X服从，∴P（X＝3）＝＝＝故选：B．10．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．＝0.4x+2.3B．＝2x﹣2.4C．＝﹣2x+9.5D．＝﹣0.3x+4.4【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数＝3，＝3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．11．（5分）有一对夫妻有两个孩子，已知其中一个是男孩，则另一个是女孩的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设事件A为：有一个是男孩，事件B为：有一个是女孩，则P（AB）＝××2＝，P（A）＝+＝，∴P（B|A）＝＝．故选：B．12．（5分）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X＝1）＝p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X＝2）＝p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X＝3）＝（1﹣p）2，则Ex＝p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2＝p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 13．（5分）（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为209．【解答】解：（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）9展开式中，x3项的系数为++…+＝4+10+20+35+56+84＝209，故答案为：209．14．（5分）我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a ＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有200人．【解答】解：∵成绩ξ～N（90，a2），∴其正态曲线关于直线x＝90对称，又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的（1﹣）＝，∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：．故答案为：200．15．（5分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝2．【解答】解：设P（ξ＝1）＝P（ξ＝3）＝a，P（ξ＝2）＝b，则2a+b＝1，Eξ＝a+2b+3a＝2（2a+b）＝2，故答案为2．16．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【解答】解：直线ρsinθ＝a即y＝a，（a＞0），曲线ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2＝4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2＝4，可得（a）2+（a﹣2）2＝4，∵a＞0，∴a＝3．故答案为：3．三、解答题：本大题6个小题，共75分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17．（10分）已知（+）n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得n＝10，∴，（0≤r≤10，且r∈N），要求该展开式中的有理项，只需令，∴r＝0，2，4，6，8，10，∴有理项的项数为6项；（Ⅱ）设第T r+1项的系数最大，则，即，解不等式可得，∵r∈N，∴r＝7，∴展开式中的系数最大的项为18．（12分）已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C44种；②取3个红球1个白球，C43C61种；③取2个红球2个白球，C42C62种，∴C44+C43C61+C42C62＝115种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61＝186种（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C43C62＝60种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32＝72，其中3个红球排在一起的有A33A22＝12根据分步计数原理可得，60×（72﹣12）＝3600种．19．（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）＝＝．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，EX＝0×+1×+2×＝．20．（12分）“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器，某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a和b（其中a+b ＝1）．（1）如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益（投资收益＝回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及均值（数学期望）E（ξ）；（2）如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a的取值范围．【解答】解（1）依题意知ξ的可能取值为20，0，﹣10，ξ的分布列为E（ξ）＝20×+0×+（﹣10）×＝10．（2）设η表示把100万投资“低碳型“经济项目的收益，则η的分布列为E（η）＝30a﹣20b＝50a﹣20，依题意得50a﹣20≥10，∴≤a≤1，∴a的取值范围是[，1]21．（12分）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ．【解答】解：令A k，B k，∁k分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且，．．，，故有分布列从而（局）．22．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K 2＝．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表…（2分）＜6.635…（4分）所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（5分）（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列是所以ξ的期望值是．…（12分）。

2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除2．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣3．如图，在矩形OABC内：记抛物线y=x2+1与直线y=x+1围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．4．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜5．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对6．如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．3﹣1 B．4﹣2 C．D．27．甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的v乙=t2（如图），当甲乙行走的速度相同（不为零）时刻（）时间分别为v甲=，A．甲乙两人再次相遇B．甲乙两人加速度相同C．甲在乙前方D．乙在甲前方8．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）9．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④10．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．（，π）11．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）﹣f （x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）12．若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，且函数在区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程为．14．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则a=bcosC+ccosB，类比到空间图形：在三棱锥P﹣ABC中，三个侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ，相应的结论是．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．18．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=B有代入③得．（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：；（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A﹣cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）19．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？20．已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．21．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．22．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】FC：反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．2．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．﹣e C．D．﹣【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=；故选：C．3．如图，在矩形OABC内：记抛物线y=x2+1与直线y=x+1围成的区域为M（图中阴影部分）．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率．=（）=，【解答】解：阴影部分面积S阴影=矩形部分面积S矩形=2，∴所投的点落在阴影部分的概率P==，故选：B．4．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选A．5．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A6．如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．3﹣1 B．4﹣2 C．D．2【考点】6G：定积分在求面积中的应用；H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．【分析】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=（cosx ﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：由y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]），可得交点坐标为（，），（，），∴由两曲线y=sinx（x∈[0，]）和y=cosx（x∈[0，]）所围成的封闭图形的面积为S=（cosx﹣sinx）dx+（sinx﹣cosx）dx+（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）﹣（sinx+cosx）+（sinx+cosx）=4﹣2．故选：B．7．甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的v乙=t2（如图），当甲乙行走的速度相同（不为零）时刻（）时间分别为v甲=，A．甲乙两人再次相遇B．甲乙两人加速度相同C．甲在乙前方D．乙在甲前方【考点】68：微积分基本定理．【分析】速度时间图象中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系．t=0（舍），或t=1．【解答】解：由V甲=V乙，得，解得由=．=．所以当甲乙行走的速度相同（不为零）时刻甲在乙前方．故选C．8．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个y′恒大于0，就是哪个选项．【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈（，）时，恒有xcosx＞0．故选C．9．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】利用导数与函数之间的关系，函数的递增区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案．【解答】解：根据f′（x）＞0时，f（x）递增；f′（x）＜0时，f（x）递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B．10．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，π）D．（，π）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．11．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）﹣f （x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数F（x）=，求导可判函数F（x）为R上单调递减的函数，结合a＜x＜b可得，由题意结合选项分析，可得答案．【解答】解：由题意构造函数F（x）=则其导函数F′（x）=＜0，故函数F（x）为R上单调递减的函数，∵a＜x＜b，∴F（a）＞F（x）＞F（b），即，又f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，对式子的后半部分两边同乘以g（b）g（x）可得f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选C12．若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，且函数在区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集求出a，c的值，求出函数y的解析式，根据区间（，1）上不是单调函数，可得y′=3x2+2mx+m=0在区间（，1）上有解，且不是重解；构造函数，求导函数，确定函数的值域，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴对应方程x2+ax﹣c=0的实数根为﹣2和1，由根与系数的关系知a=﹣（﹣2+1）=1，c=﹣（﹣2）×1=2；∴函数=x3+mx2+x+1，∴y′=3x2+2mx+1；又函数y=x3+mx2+x+1在区间（，1）上不是单调函数，∴y′=3x2+2mx+1在区间（，1）上有正有负，可以转化为3x2+2mx+1=0（*）在区间（，1）上有解，且不是重解∴由3x2+2mx+1=0，可得2m=﹣3x﹣；令f（x）=﹣3x﹣，其中＜x＜1，且f'（x）=﹣3+，令f'（x）=0，得x=，∴x∈（，）时，f'（x）＞0，f（x）递增，x∈（，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）max=f（）=﹣2；∵f（1）=﹣4，f（）=﹣，∴f（x）的值域为（﹣4，﹣2]，∴2m∈（﹣4，﹣2]，∴m∈（﹣2，﹣]；又当m=﹣时，（*）中△=0，有2个相等的根，不合题意，∴m的范围是（﹣2，﹣）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程为x﹣y+2=0，或4x﹣y ﹣4=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．【解答】解：设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，x03+），则切线的斜率k=y′|x=x0=x02，∴切线方程为y﹣（x03+）=x02（x﹣x0），即y=x•x﹣x+∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02﹣x03+，即x03﹣3x02+4=0，∴x03+x02﹣4x02+4=0，∴（x0+1）（x0﹣2）2=0解得x0=﹣1或x0=2故所求的切线方程为4x﹣y﹣4=0或x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0，或4x﹣y﹣4=0．14．直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间，然后画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况．【解答】解：先求函数f（x）的单调区间，由f′（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，∴在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上，f（x）=x3﹣3x是增函数，在（﹣1，1）上，f（x）=x3﹣3x是减函数，由此可以作出f（x）=x3﹣3x的草图（如图）．由图可知，当且仅当﹣2＜a＜2时，直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点．15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则a=bcosC+ccosB，类比到空间图形：在三棱锥P﹣ABC中，三个侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成的二=S△PAB cosα+S△PBC cosβ+S△PAC cosγ．面角分别为α，β，γ，相应的结论是S△ABC【考点】F3：类比推理．【分析】本题是在结构形式上的类比．平面三角形获得的是线段之间的关系，类比到空间获得的则是面积之间的关系．【解答】解：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则a=bcosC+ccosB，利用面积射影法，类比到空间图形：在三棱锥P﹣ABC中，三个侧面PAB，PBC，PAC与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ，相应的结论是S△ABC=S△PAB cosα+S△cosβ+S△PAC cosγ．PBC=S△PAB cosα+S△PBC cosβ+S△PAC cosγ．故答案为：S△ABC16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是2．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0∵对任意实数x都有f（x）≥0∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac≤0即≥1则==1+，而（）2=≥≥1，∴==1+≥2，故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x﹣y﹣1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；（2）由直线l1的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到直线l的斜率为﹣，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可．【解答】解：（1）由y=x3+x﹣2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=﹣1时，y=﹣4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为﹣，∵l过切点P0，点P0的坐标为（﹣1，﹣4）∴直线l的方程为y+4=﹣（x+1）即x+4y+17=0．18．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=B有代入③得．（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：；（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A﹣cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）【考点】F3：类比推理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α﹣β=B有，即可证明结果．（Ⅱ）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判断三角形的形状．解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A﹣cos2B=2sin2C，以及A+B+C=π，推出2sinAcosB=0.．得到△ABC为直角三角形【解答】满分．解法一：（Ⅰ）因为cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，①cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②…①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）=﹣2sinαsinβ．③…令α+β=A，α﹣β=B有，代入③得．…（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A﹣cos2B=2sin2C可化为1﹣2sin2A﹣1+2sin2B=2sin2C，…即sin2A+sin2C=sin2B．…设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2+c2=b2．…根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．…解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A﹣cos2B=2sin2C可化为﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin2C，…因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，所以﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2（A+B）．又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，所以sin（A+B）+sin（A﹣B）=0．从而2sinAcosB=0．…又因为sinA≠0，所以cosB=0，即．所以△ABC为直角三角形．…19．请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】设出顶点O到底面中心o1的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．【解答】解：设OO1为xm，（1＜x＜4）．则由题设可得正六棱锥底面边长为：（m）．（求解过程为：）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）．可得：求导数，得令V'（x）=0解得x=﹣2（不合题意，舍去），x=2．当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．所以当x=2时，V（x）最大．答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．20．已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=．由直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，知ax2+（b+1）x﹣4=0中△=（b+1）2+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值．【解答】解：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，，所以=（）=+=（1）…又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点由方程组，得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式△必须为0，即△=（b+1）2+16a=0，于是，…代入（1）式得：，．令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；当0＜b＜3时，S′（b）＞0；当b＞3时，S′（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．…21．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f （x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．22．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．2017年6月5日。

山西省怀仁县2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理（普通班）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0)2.设P =Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（ ） A P Q R >> B P R Q >> C Q P R >> D Q R P >>3. 在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x x B．⎪⎩⎪⎨⎧=y x //⎩⎨⎧==//23y y x x D ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 4．若直线的参数方程为12x t=+⎧ （ ）．32D ．32-271x y++的最小值是（ ）．6 D ．7 θ＝r 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定7．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5－32tB ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t y ＝5－32tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝5＋32t8．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫－5，5π3 9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4(ρ∈R )关于( )A ．直线θ＝π3成轴对称B ．直线θ＝3π4成轴对称⎛⎪⎫，π( )sin θ＝2 ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3）(4,7]C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-12.设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是（ ）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点 。

投稿兼职请联系：2355394692 2016—2017学年第二学期高二年级期中考试数学试题（实）（时长120分钟，满分150）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位)，b 是实数，则b 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－23．分析人的身高与体重的关系，可以用( ) A ．残差分析 B ．回归分析 C ．等高条形图D ．独立性检验4．分类变量X 和Y 的列联表如下：A ． ad －bc 越小，说明X 与Y 关系越弱B ．ad －bc 越大，说明X 与Y 关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强5．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ∧＝b x ＋a 必过点是( ) A ．(2,2) B ．(1.5,0) C ．(1,2)D ．(1.5,4)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝t ＋2(t 为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为( )A ．(1,0)，(0，－2)B ．(0,1)，(－1,0)投稿兼职请联系：2355394692 2C ．(0，－1)，(1,0)D ．(0,3)，(－3,0)7．设有一个回归直线方程y ∧＝2－1.5x ，则变量x 每增加1个单位时( )A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位8．将曲线C按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，变换得曲线方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．x 24＋y 29＝1B ．x 29＋y 24＝1C ．4x 2＋9y 2＝36D ．4x 2＋9y 2＝19．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)10．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，11π6，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为( )A ．(－33，－3)B ．(33，－3)C ．(－33，3)D ．(33，3)11．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ12．直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π6B ．θ＝76πC ．θ＝π6和θ＝76πD ．θ＝56π二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．根据如图所示的等高条形图回答，吸烟与患肺病________关系．(“有”或“没有”)314．在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 作用下，点P (1，－2)变换为P ′的坐标为________．15．已知点M 的坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．16．已知F 是曲线⎩⎨⎧x ＝22cos θy ＝1＋cos 2θ(θ∈R )的焦点，A (1,0)，则|AF |的值等于________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．18．(本小题满分12分)求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程． 19．(本小题满分12分)将曲线ρ2(1＋sin 2θ)＝2化为直角坐标方程 20．(本小题满分12分)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值．21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．22．(本小题满分12分) 把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 1－k 2，y ＝4k21－k2(k 为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．投稿兼职请联系：2355394692 4实班1-6 DABCDD 7-12 CDDACC 13 有14解析： 根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式，∵x ＝1，y ＝－2，∴x ′＝2x ＝2，y ′＝2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(1y ＝－1，所以P ′(2，－1)．15解析： ∵tan θ＝－3\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(4，2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(π<θ<π，∴cos θ＝－5\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(3，sinθ＝5\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(4，∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4，∴点M 的直角坐标为(－3,4)． 16解析： 曲线的参数方程y ＝1＋cos 2θ\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(2cos θ，即y ＝2cos2 θ\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(2cos θ，曲线的普通方程为x 2＝4y . 焦点F (0,1)，由于A (1,0)，则|AF |＝. 17解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有32＋42 \* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(|3×1＋4×0＋a|＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.18解：由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)， 即2x －y ＋7＝0.设M (ρ，θ)为直线上任意一点，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直角坐标方程2x －y ＋7＝0， 得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程． 19解析： ∵ρ2(1＋sin 2θ)＝2， ∴ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝2，∴ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ＝2，即x 2＋2y 2＝2，5∴2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x2＋y 2＝1. 20解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos 6\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(π， ∴ρ2＝12ρ6\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(π，∴x 2＋y 2－6x －6y ＝0， ∴(x －3)2＋(y －3)2＝36. ∴|PQ |max ＝6＋6＋＝18.21解：(1)将y ＝ρsin θ\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x ＝ρcos θ， 代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由x2＋y2－2y ＝0，\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x2＋y2－8x －10y ＋16＝0，解得y ＝1\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x ＝1，或y ＝2.\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(x ＝0，所以C 1与C 2交点的极坐标分别为4\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(π，2\* jc0 \* "Font:宋体" \* hps21 \o(\s\up 9(π.。