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第3讲圆的方程一、知识梳理1．圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a,b)半径为r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件:D2＋E2－4F＞0圆心:⎝⎛⎭⎪⎫－D2－E2半径:r＝12D2＋E2－4F2.点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．二、教材衍化1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________,半径________．答案:(1,－2)112．若圆的圆心为(－8,3),且经过点(－5,0),则圆的标准方程为________．答案:(x＋8)2＋(y－3)2＝183．在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________．答案:x2＋y2－2x＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0,B ＝0,D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视方程表示圆的条件D 2＋E 2－4F ＞0; (2)错用点与圆的位置关系判定．1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析:选B ．由(4m )2＋4－4×5m ＞0,得m ＜14或m ＞1.2．点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内,则实数a 的取值范围是________． 解析:因为点(1,1)在圆的内部, 所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4, 所以－1＜a ＜1. 答案:(－1,1)考点一 求圆的方程(基础型)复习指导| 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程．核心素养:数学运算(1)圆心在x 轴上,半径长为2,且过点A (2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2－3)2＋y 2＝4 B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4 C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)圆心在直线x －2y －3＝0上,且过点A (2,－3),B (－2,－5)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4,因为圆过点A (2,1),所以(2－a )2＋12＝4,解得a ＝2±3,所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一:设点C 为圆心,因为点C 在直线x －2y －3＝0上,所以可设点C 的坐标为(2a ＋3,a )．又该圆经过A ,B 两点,所以|CA |＝|CB |, 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2,解得a ＝－2, 所以圆心C 的坐标为(－1,－2),半径r ＝10, 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二:设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2a －2b －3＝0解得a ＝－1,b ＝－2,r 2＝10,故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三:设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2－E 2,由题意得⎩⎨⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝04＋9＋2D －3E ＋F ＝04＋25－2D －5E ＋F ＝0解得D ＝2,E ＝4,F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质．1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中,点O (0,0),A (2,4),B (6,2),则三角形OAB 的外接圆方程是________．解析:设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,由点O (0,0),A (2,4),B (6,2)在圆上可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝04＋16＋2D ＋4E ＋F ＝036＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0D ＝－6E ＝－2故三角形的外接圆方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.答案:x 2＋y 2－6x －2y ＝02．若圆C 经过坐标原点与点(4,0),且与直线y ＝1相切,则圆C 的方程是________． 解析:因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,m ),又因为圆与直线y ＝1相切,所以22＋m 2＝|1－m |,解得m ＝－32,所以圆C的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案:(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254考点二 与圆有关的最值问题(综合型)复习指导| 求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想． 角度一 借助几何性质求最值已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值;(2)求y －x 的最大值和最小值; (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距,当直线y ＝x ＋b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2－0＋b |2＝3,解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2,所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43,x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二 建立函数关系求最值设点P (x ,y )是圆:(x －3)2＋y 2＝4上的动点,定点A (0,2),B (0,－2),则|P A →＋PB →|的最大值为________．【解析】 由题意,知P A →＝(－x ,2－y ),PB →＝(－x ,－2－y ),所以P A →＋PB →＝(－2x ,－2y ),由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4,故y 2＝－(x －3)2＋4,所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4,易知1≤x ≤5,所以当x ＝5时,|P A →＋PB →|的值最大,最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．(2020·厦门模拟)设点P (x ,y )是圆:x 2＋(y －3)2＝1上的动点,定点A (2,0),B (－2,0),则P A →·PB →的最大值为________．解析:由题意,知P A →＝(2－x ,－y ),PB →＝(－2－x ,－y ),所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4,由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1,故x 2＝－(y －3)2＋1,所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4,所以,当y ＝4时,P A →·PB →的值最大,最大值为6×4－12＝12.答案:122．已知实数x ,y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1,则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析:由题意,得y ＋1x 表示过点A (0,－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点P (x ,y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1,即kx －y －1＝0,则|2k －2|k 2＋1＝1,解得k ＝4±73,所以z max ＝4＋73,z min ＝4－73. 答案:4＋73 4－73考点三 与圆有关的轨迹问题(综合型)已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点,B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ ＝90°,求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ), 在Rt △PBQ 中,|PN |＝|BN |,设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2, 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt △ABC 的斜边为AB ,且A (－1,0),B (3,0)．求:(1)直角顶点C 的轨迹方程;(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解:(1)法一:设C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ,所以k AC ·k BC ＝－1, 又k AC ＝y x ＋1,k BC ＝y x －3,所以y x ＋1·yx －3＝－1,化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二:设AB 的中点为D ,由中点坐标公式得D (1,0),由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知,动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A ,B ,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点, 由中点坐标公式得x ＝x 0＋32,y ＝y 0＋02,所以x 0＝2x －3,y 0＝2y .由(1)知,点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0), 将x 0＝2x －3,y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4, 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．已知圆C 的圆心为(2,－1),半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析:选C ．根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解,可得半径长为4,故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16.2．(2020·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析:选C ．由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0),则|3m ＋4|32＋42＝2,解得m ＝2或m ＝－143(舍去),故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4,即x 2＋y 2－4x ＝0,故选C ．3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析:选D ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1|x |－1≥0即⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1x ≥1或⎩⎨⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2020·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析:选A ．将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2,故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1,选A ．5．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析:选A ．设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－2＋y 02解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上,所以x 20＋y 20＝4,即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________．解析:已知方程表示圆,则a 2＝a ＋2, 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去． 当a ＝－1时,原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0, 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25, 表示以(－2,－4)为圆心,半径为5的圆． 答案:(－2,－4) 57．过两点A (1,4),B (3,2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________．解析:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上,所以b ＝0,所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1,4),B (3,2)两点,所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2(3－a )2＋4＝r 2解得⎩⎨⎧a ＝－1r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案:(x ＋1)2＋y 2＝208．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称,则圆C 的方程是________． 解析:设C (a ,b ),因为已知圆的圆心为A (－1,0),由点A ,C 关于x ＋y －1＝0对称得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＋1×(－1)＝－1a －12＋b2－1＝0解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2.又因为圆的半径是1,所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1, 即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案:x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0 9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l :x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2); (2)过三点A (1,12),B (7,10),C (－9,2)．解:(1)法一:设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,则有⎩⎨⎧b ＝－4a(3－a )2＋(－2－b )2＝r2|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1,b ＝－4,r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二:过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3,与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1,－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22,所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程．解:(1)由题意知,直线AB 的斜率k ＝1,中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1),即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ,b ),则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410,所以|P A |＝210, 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5,－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．自圆C :(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ,y )引该圆的一条切线,切点为Q ,PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离,则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析:选D ．由题意得,圆心C 的坐标为(3,－4),半径r ＝2,如图．因为|PQ|＝|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2＋r2＝|PC|2,所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2,即6x－8y－21＝0,所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0,故选D．2．设点P是函数y＝－4－(x－1)2的图象上的任意一点,点Q(2a,a－3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A．855－2 B． 5C．5－2 D．755－2解析:选C．如图所示,点P在半圆C(实线部分)上,且由题意知,C(1,0),点Q在直线l:x－2y －6＝0上．过圆心C作直线l的垂线,垂足为点A,则|CA|＝5,|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.故选C．3．(应用型)已知平面区域⎩⎨⎧x≥0y≥0x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________．解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r＝|PQ|2＝5,因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案:(x－2)2＋(y－1)2＝54．(应用型)已知A (0,2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上,点Q 在圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0上,则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析:因为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0,故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ,n ),故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0n －2m －0＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ＝－2故A ′(－4,－2)． 连接A ′C 交圆C 于Q ,由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.答案:2 55．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程．解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0,故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8,解得k ＝－1(舍去),k ＝1. 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3),即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.6．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1,直线l 的方程为2x －y ＝0,点P 在直线l 上,过点P 作圆C 的切线P A ,PB ,切点分别为A ,B .(1)若∠APB ＝60°,求点P 的坐标;(2)求证经过A ,P ,C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标．解:(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4),|PC |＝2,设P (a ,2a ),则a 2＋(2a －4)2＝2,解得a ＝2或a ＝65, 所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65125. (2)证明:设P (b ,2b ),过点A ,P ,C 的圆即是以PC 为直径的圆,其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0,整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0,即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4y ＝0x ＋2y －8＝0解得⎩⎨⎧x ＝0y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85y ＝165所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85165.。
