高中数学第二讲讲明不等式的基本方法学业分层测评8反证法与放缩法新人教A选修4-5

2.3.1 反证法
课前导引
情景导入
有这么一个故事:古时候,希腊国王想把俘虏来的囚犯处死,他决定让囚犯自己选择死法:囚犯可以任意说出一句话来,而且能立即知道这句话是真还是假,如果囚犯说的是真话,就处绞刑;如果说的是假话,就砍头.
结果,有一个囚犯说出了一句异常巧妙的话,使国王左右为难,既不能将他绞死,也不能将他砍头,你知道他说了句什么话吗?
他说:“要对我砍头.”如果真的砍他的头,那么证明他说的是真话,就应该被绞死;如果不砍他的头,说明他说的是假话,就应砍他的头.无论处以绞刑,还是砍头,都没有办法执行国王原来的决定.于是这名囚犯被国王释放了.
反证法不仅用于生活中,它在证明不等式等问题中也应用广泛.
知识预览
假设结论不成立,经过推理,得到矛盾,从而否定假设得出所证的结论一定成立,这种证题方法叫反证法.
反证法是一种肯定题设而否定其结论,从而导出矛盾的一种推理方法,其步骤为:
(1)反设:作出与命题结论相反的假设;
(2)归谬:由作出的假设出发通过正确的推理导出矛盾;
(3)判断:断定产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的,从而肯定原命题是正确的.
反证法不同于“由因导果”的综合法,更不是“执果索因”的分析法,它的主要特征是“导出矛盾”,因此又叫“归谬法”.。

2.3.1 反证法课堂导学三点剖析一,熟悉反证法证明不等式的步骤【例1】 设f(x)、g(x)是定义在［0,1］上的函数，求证:存在x 0、y 0∈［0,1］，使|x 0y 0-f(x 0)-g(y 0)|≥41. 证明:用反证法.假设对［0,1］内的任意实数x,y 均有|xy-f(x)-g(y)|<41，考虑对x,y 在［0,1］内取特殊值:(1)取x=0,y=0时，有|0×0-f(0)-g(0)|<41,∴|f(0)+g(0)|<41; (2)取x=1,y=0时，有|1×0-f(1)-g(0)|<41,∴|f(1)+g (0)|<41; (3)取x=0,y=1时，有|0×1-f(0)-g(1)|<41,∴|f(0)+g(1)|<41; (4)取x=1,y=1时，有|1×1-f(1)-g(1)|<41,∴|1-f(1)-g(1)|<41. ∵1=1-f(1)-g(1)+f(0)+g(1)+f(1)+g(0)-f(0)-g(0),∴1≤|1-f(1)-g(1)|+|f(0)+g(1)|+|f(1)+g(0)|+|f(0)+g(0)|<41+41+41+41=1. ∴1<1，矛盾，说明假设不能成立.故要证结论成立.各个击破类题演练1求证:如果a>b>0，那么n n b a >(n∈N 且n>1).证明:假设n a 不大于n b 有两种情况:n n b a <或者n n b a =.由推论2和定理1，当n n b a <时，有a<b;当n n b a =时，有a=b ，这些都与已知a>b>0矛盾，所以n n b a >. 变式提升1求证:如果a>b>0,那么21a <21b . 证明:假设21a ≥21b , 则21a -21b =2222b a a b -≥0. ∵a>b>0,∴a 2b 2>0.∴b 2-a 2=(b+a)(b-a)≥0.∵a>b>0,∴b+a>0.∴b -a≥0,即b≥a.这与已知a>b 矛盾.∴假设不成立，原结论21a <21b 成立. 二、什么时候用反证法证明不等式 【例2】 设0<a 、b 、c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数不可能同时大于41. 思路分析:此命题为否定式，直接证明比较困难，可以考虑反证法.假设命题不成立，则三个数都大于41，然后从这个结论出发，推出与题设矛盾的结果来.证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 三个数都大于41,即(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>41.以上三式相乘得(1-a)b5(1-b)c5(1-c)a>641,亦即(1-a)a5(1-b)b5(1-c)c>641.①又∵0<a<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(aa +-］2=41.同理,0<(1-b)b≤41,0<(1-c)c≤41.以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴假设不成立，故命题获证.类题演练2已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:x y +1与y x+1中至少有一个小于2.证明:假设x y +1、y x +1都不小于2，则x y+1≥2,y x+1≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y,2+x+y≥2(x+y).∴x+y≤2，这与已知x+y>2矛盾.故假设不成立，原题得证.变式提升2设a,b,c 均为正数且a+b+c=1,求证:a 2+b 2+c 2≥31.证明:∵ab≤222b a +,bc≤222c b +,ca≤222a c +,三式相加得ab+bc+ca≤a 2+b 2+c 2.假设a 2+b 2+c 2<31,由1=a+b+c,∴1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≤a 2+b 2+c 2+2(a 2+b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)<3×31=1, 即1<1,显然不成立.三、体会反证法证明不等式的优越性【例3】 若△ABC 三边a,b,c 的倒数成等差数列,则∠B<2π. 证明:假设∠B≥2π,则b 边最大,有b>a,b>c. ∴a 1>b 1,c 1>b1. 两式相加得a 1+c 1>b2, 这与题设a 1+c 1=b2相矛盾. 因此,假设是错误的, ∴∠B<2π. 温馨提示证明过程就那么简单,推出矛盾也这般容易!用反证法证明不等式思路清清爽爽,有化难为易的功效.类题演练3若|a|<1,|b|<1,求证:|ab b a ++1|<1. 证明:假设|ab b a ++1|≥1,则|a+b|≥|1+ab|. ∴a 2+b 2+2ab≥1+2ab+a 2b 2.∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0.∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0.∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-1,11,1.01,01010122222222b a b a b a b a 或即或 即a 2≥1,b 2≤1或a 2≤1,b 2≥1,与已知矛盾. ∴|abb a ++1|<1. 变式提升3 已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:用反证法.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21.。

2.3.1 反证法课后导练基础达标1实数a,b,c不全为0的意义为（）A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0答案:D2设a,b,c都是正数，则三个数a+,b+,c+…（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2解析:(反证法)设三者都小于2,即a+<2,b+<2,c+<2,∴(a+)+(b+)+(c+)<6.但(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥=6.推出矛盾,故原假设不成立,即这三个数不都小于2.答案:C3设a,b,c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的… ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析:∵a,b,c∈R+,∴P+Q=2b>0,P+R=2a>0,Q+R=2c>0,当PQR>0时,P,Q,R中正数个数为1或3;当有一个为正时,假设P>0,是Q,R<与R+Q>0矛盾.故P,Q,R同时大于零.若P,Q,R>0,则PQR>0.故选C.答案:C4已知α,β∈(0,),且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β.证明:假设α<β不成立,则α≥β.(1)若α=β,由sin(α+β)=2sinαα=2sinα,从而cosα=1,这与α∈(0,)矛盾.(2)若α>β,则sinα·cosβ+cosα·sinβ=2sinα,即cosα·sinβ=sinα(2-cosβ),.∵α>β,∴sinα>sinβ.从而>1,即cosα>2-cosβα+cosβ>2,这是不可能的,表明α>β不成立,由(1)(2)知结论成立.综合应用5已知a,b,c,d∈R且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数，∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.又∵(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,∴ac+bd≤1，这与已知ac+bd>1矛盾.∴a,b,c,d中至少有一个是负数.6设a,b,c,d是正数,有下列三个不等式:①a+b<c+d;②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d).求证:①②③中至少有一个不正确.证明:假设①②③式都正确,因为a,b,c,d都是正数,所以①式与②式相乘得(a+b)2<ab+cd.④(a+b)cd<ab(c+d)≤()2·(c+d).又∵a+b>0,∴4cd<(a+b)(c+d)<ab+cd,∴cd<ab.∴由④得(a+b)2<ab,即a2+b2<-ab,矛盾.∴不等式①②③中至少有一个不正确.7已知a,b,c>0,a+b>c.求证:.证明:假设则1-,1+,。

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309教育资源库 2.3反证法与放缩法
一、教学目标
1．掌握用反证法证明不等式的方法．
2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握用反证法证明不等式的方法．
四、教学难点
了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
五、教学过程
（一）导入新课
若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x
<2中至少有一个成立． 【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x
<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x
≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，
得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，
所以x ＋y ≤2，
这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x
<2中至少有一个成立． （二）讲授新课
教材整理1 反证法
先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性
质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
教材整理2 放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
（三）重难点精讲
题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题。

2.3 反证法与放缩法自主广场1.设M=,则（）A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定思路解析:分母全换成210.答案:B2.设a,b,c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的…（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的；当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:C3.已知a,b∈R+,下列各式中成立的是（）A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb<lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb>lg(a+b)C.=a+bD.>a+b思路解析:cos2θ·lga+sin2θ·lgb<cos2θ·lg(a+b)+sin2θ.lg(a+b)=lg(a+b).答案:A4.A=1+与(n∈N+)的大小关系是____________.思路解析:A=.答案:A≥5.lg9·lg11与1的大小关系是___________.思路解析:因为lg9>0,lg11>0.所以=1.所以lg9·lg11<1.答案:lg9·lg11<16.设x>0,y>0,A=,B=,则A,B的大小关系是_________.思路解析:A==B.答案:A<B7.求证:(1++…+)>(++…+)(n≥2).证明:∵=,>,,…,,又>,将上述各式的两边分别相加,得1+++…+>(++…+)·.∴(1++…+)>(++…+).8.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数.因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立,即a,b,c,d中至少有一个为负数.9.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.我综合我发展10.已知函数f(x)满足下列条件:(1)f()=1;(2)f(xy)=f(x)+f(y);(3)值域为［-1,1］.试证:不在f(x)的定义域内.思路解析:假设在f(x)的定义域内,则f()有意义,且f()∈［-1,1］.又由题设,得f()=f(·)=f()+f(［-1,1］,此与f()∈［-1,1］矛盾,故假设不成立.所以不在f(x)的定义域内.11.已知a,b,c∈R+,且a+b>c,求证:.证明:构造函数f(x)=(x∈R+),任取x1,x2∈R+,且x1<x2,则。

第二讲 讲明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理． 答案：B2．已知a >2，b >2，则有( ) A ．ab ≥a ＋b B ．ab ≤a ＋b C ．ab >a ＋b D ．ab <a ＋b解析：作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12＝1. 答案：C3．用反证法证明命题“如果a <b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD ．3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 的大小关系包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b ， ∴应假设的内容为3a ＝3b 或3a <3b . 答案：D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 由题中两式相减，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案：A5．已知a >b >c >0，A ＝a 2a b 2b c 2c，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b，则A 与B 的大小关系是( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：∵a >b >c >0，∴A >0，B >0.∴A B ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a cb ＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c .∵a >b >0，∴a b>1，a －b >0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b >1. 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b cb －c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c >1.∴A B>1，∴A >B . 答案：A6．若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：∵y ＝3x在R 上是增函数，且0<x <y <1， ∴3x<3y，故A 错误．∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 3x <log 3y <log 3 1＝0，∴0>1log 3x >1log 3y ，∴log x 3>log y 3，故B 错误．∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 4x <log 4y ，故C 正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上是减函数，且0<x <y <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故D 错误． 答案：C7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是( )A ．a ，b ，c 全为正数B ．a ，b ，c 全为非负实数C ．a ＋b ＋c ≥0D ．a ＋b ＋c >0解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0.∴a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 答案：C8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．243解析：3a＋3b≥23a·3b＝2·3a ＋b＝2×3＝6(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．答案：B9．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 解析：3a －3b <3a －b⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b ⇔3ab 2<3a 2b ， ∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a . 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 答案：D10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.则ac ＋bd 的X 围为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,2) C ．(－1,3]D ．(1,2]解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数， 所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.所以－1≤ac ＋bd ≤1. 答案：A11．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则B 适合的条件是( ) A ．0<B ≤π4B ．0<B ≤π3C ．0<B ≤π2D ．π2<B <π解析：∵b ＝a ＋c2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2－2ac ＋3c 28ac＝3a 8c ＋3c 8a －14≥2·38－14＝12， ∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0<B ≤π3，选B.答案：B12．若a ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|， Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M ，排除A 、B 、C ，故选D 项．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________． 解析：a －b ＝3－2－6＋5＝3＋5－(2＋6)， 而(3＋5)2＝8＋215，(2＋6)2＝8＋212， ∴3＋5>2＋ 6.∴a －b >0，即a >b . 同理可得b >c .∴a >b >c . 答案：a >b >c14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________． 解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．答案：三角形中至少有两个内角是钝角 15．已知a ，b ，c ，d 都为正数，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值X 围是________． 解析：由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 答案：(1,2)16. 请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①______________________________________________________________， 只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2， 即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②________________________________________________________________. 解析：对于①只有当ac ＋bd ≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可． 答案：①因为当ac ＋bd ≤0时，命题显然成立，所以当ac ＋bd ≥0时 ②∵(ab －bc )2≥0，∴a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴命题成立三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． 证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ；将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．18．(12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 19．(12分)已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．解析：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0. 又∵a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a ＋ba 2＋b 2a －b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 20．(12分)若0<a <2,0<b <2,0<c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a ，不能同时大于1. 证明：假设三数能同时大于1， 即(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1那么2－a＋b2≥2－a b>1，①同理2－b＋c2>1，②2－c＋a2>1，③由①＋②＋③得3>3，上式显然是错误的，∴该假设不成立，∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.21．(13分)求证：2(n＋1－1)<1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N＋)．证明：∵1k>2k＋k＋1＝2(k＋1－k)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n>2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)] ＝2(n＋1－1)．又1k<2k＋k－1＝2(k－k－1)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n<1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)] ＝1＋2(n－1)＝2n－1<2n.故原不等式成立．22．(13分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设＝a2n·b n，证明当n≥3时，＋1<.解析：(1)∵S n＝2n2＋2n，∴当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋2(n－1)，∴a n＝S n－S n－1＝4n(n≥2)．当n ＝1时，S 1＝4，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .又∵T n ＝2－b n ，∴当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n ＋b n －1－2， 即2b n ＝b n －1. ∴b n b n －1＝12. 而T 1＝b 1＝2－b 1，∴b 1＝1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)证明：由(1)，知＝(4n )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝16n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴＋1＝16(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴＋1＝16n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 16n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴＋1<12×(2)2＝1，又由＝a 2n ·b n 可知，＋1和均大于0， ∴＋1<.。

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反证法与放缩法课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1。

（2016·泰安高二检测）证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除,那么a，b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是（)A.a，b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a不能被5整除D。

a,b有一个不能被5整除【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a，b中有且只有一个能被5整除或a，b 都能被5整除",其反面为“a，b都不能被5整除”。

【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A。

三个内角中至少有一个钝角B。

三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】选B.“至多有一个"即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”。

2。

已知a+b+c〉0,ab+bc+ac>0,abc〉0，用反证法求证a>0,b〉0,c>0时的假设为（）A.a〈0,b〈0,c<0 B。

a≤0，b〉0,c>0C.a，b,c不全是正数D。

三反证法与放缩法学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一反证法思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二放缩法思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一 反证法证明不等式 命题角度1 证明“否定性”结论例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b，证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾． 跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 证明 假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 都大于1， 即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1， 则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1. ①∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2， ∴(2－a )·a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1， ∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ≤1，这与①式矛盾． ∴(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能都大于1. 命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2，而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾． 跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32(x ＋y ＋z )．证明x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )． 反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)．证明 ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)(k ∈N ＋且k ≥2)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2,3，…，n ，得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…， 1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n ，将这些不等式相加，得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜12＋13＋…＋1n ＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…1n 2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是( ) A.1a ＋x ＞1aB.b a ＜b ＋ma ＋mC ．x 2＋x ＋3＞x 2＋3 D ．|a ＋1|≥|a |－1 答案 D解析 对于A ，x 的正、负不定；对于B ，m 的正、负不定；对于C ，x 的正、负不定；对于D ，由绝对值三角不等式知，D 正确．2．用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，其假设为( ) A ．a ，b ，c 全不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至少有一个不为0 D ．a ，b ，c 至多有一个不为0 答案 C3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 答案 a ≥0，b ≥0，a ≠b 解析 由a 及b 知a ≥0，b ≥0， 又a a ＋b b ＞a b ＋b a ， 即(a －b )2(a ＋b )＞0. ∴a ≠b ，∴a ≥0，b ≥0，a ≠b .4．已知0＜a ＜3,0＜b ＜3,0＜c ＜3.求证：a (3－b )，b (3－c )，c (3－a )不可能都大于92.证明 假设a (3－b )＞92，b (3－c )＞92，c (3－a )＞92.因为a ，b ，c 均为小于3的正数， 所以a (3－b )＞92，b (3－c )＞92， c (3－a )＞92， 从而有a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )＞92 2.①但是a (3－b )＋b (3－c )＋c (3－a )≤a ＋(3－b )2＋b ＋(3－c )2＋c ＋(3－a )2 ＝9＋(a ＋b ＋c )－(a ＋b ＋c )2＝92.② 当且仅当a ＝b ＝c ＝32时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤a ＋b2，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ＋c 3≥3abc (a ，b ，c ＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题 1．P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋cc ＋1(a ，b ，c 均为正数)与3的大小关系为( )A ．P ≥3B ．P ＝3C ．P ＜3D ．P ＞3答案 C 解析 P ＝a a ＋1＋b b ＋1＋c c ＋1＜a a ＋b b ＋cc＝3. 2．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6， 又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥6，与a ＋b ＋c ＜6矛盾． 所以a ，b ，c 至少有一个不小于2.A 、B 、D 可用特殊值法排除．故选C.3．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a 2＋b 2＝c 2，则a n ＋b n 与c n(n ≥3，n ∈N ＋)的大小关系为( ) A ．a n＋b n＞c nB ．a n ＋b n ＜c nC ．a n ＋b n ≥c nD ．a n ＋b n ＝c n答案 B解析 ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x 均为减函数．∴当n ≥3时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴a n＋b n＜c n.4．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＝BC ．A ＞BD ．A ＜B 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y＝B .5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 对于①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0，故①正确；对于②，假设a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立，这时a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立，故②正确； 对于③，显然不正确．6．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0， 则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的， 假设其中有两个负的成立，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0，因为P ＜0，Q ＜0， 即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a .所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立． 二、填空题7．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________．答案 A ＜1解析 A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误． ②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC 有两个直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序是________． 答案 ③①②解析 由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为________．答案12a＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1解析 因为a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，所以2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1， 所以12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1.10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12，那么它的反设应该是________．答案 存在x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2满足|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，使|f (x 1)－f (x 2)|≥12成立 三、解答题11．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数，证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知，a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd ＞1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n ，当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…，当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．13．设a ，b ∈R,0≤x ≤1,0≤y ≤1，求证：对于任意实数a ，b 必存在满足条件的x ，y ，使|xy －ax －by |≥13成立．证明 假设对一切0≤x ≤1,0≤y ≤1，结论不成立， 则有|xy －ax －by |＜13.令x ＝0，y ＝1，得|b |＜13；令x ＝1，y ＝0，得|a |＜13；令x ＝y ＝1，得|1－a －b |＜13.又|1－a －b |≥1－|a |－|b |＞1－13－13＝13，这与上式矛盾．故假设不成立，原命题结论正确． 四、探究与拓展14．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…·(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数． ①因为7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为________． ②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝________. ③②与③矛盾，故p 为偶数．答案 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0解析 由假设p 为奇数可知，(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知，1a n ＝23n －1，因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教A版选修4_51．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．已知求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p ＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列，∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d为公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.。