第1章-质点运动学s (1)

z A
• 平均速度(average velocity)
B 设质点作一般曲线运动 tA时刻位于A点 tB时刻位于B点 y 在∆t时间内发生位移
rA A
o x
v v ∆r
v rB B
v v v ∆r = rB − rA
v v ∆r −1 m ⋅s 平均速度： v = ∆t
平均速度的方向与∆t时间内位移的方向一致
m ⋅ s −2
加速度的矢量式：
dv x d 2 x ax = = 2 dt dt
v v v v a = axi + a y j + az k
dv z d 2 z = 2 az = dt dt
d2y ay = = 2 dt dt
dv y
加速度的大小： 加速度的方向：
v 2 2 a = ax + ay + a z2
2 2 x = 2 t , y = 19 − 2 t (1) 解： 1 2 y = 19 − x 2 消去时间参数 2
(
)
v v v v v 2 2 （2） r = 2 × 2i + 19 − 2 × 2 j = 4i + 11 j 2 2 v v v v v v v dr −1 v = 2 i − 8 j m ⋅ s v= = 2i − 4tj 2 dt
大学物理学教案
同济大学
第一章
质点运动学
机械运动（mechanical motion）
一个物体相对于另一个物体的空间位 置随时间发生变化； 或一个物体的某一 部分相对于其另一部分的位置随时间而发 生变化的运动。
力学（mechanics）
研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学：
研究物体在空间的位置随时 间的变化规律以及运动的轨道问 题，而并不涉及物体发生机械运 动的变化原因。
v v v v v v 2 2 r ⋅ v = 2ti + 19 − 2t j ⋅ (2i − 4tj )
2 2 = 4t − 4t (19 − 2t 2 ) = 4t (2t 2 − 18)
[
(
)]
= 8t (t + 3)(t − 3) = 0
t1 = 0 (s) , t2 = 3 (s)
两矢量垂直
v v − −1 1 v = 100 i m ⋅ s 例 2 设某一质点以初速度 作直 0 v v 0 − −1 1 a = − 10 v i m ⋅ s 线运动，其加速度为 。问：质
点在停止前运动的路程有多长？ 解：
dv a= = −10 v dt
v v
dv = −10dt v
tt dv v = −10 ∫ dt , ln = −10t 两边积分： ∫ 0 0 v v0 0 v v0 0
−10 t
)
) = 10(1 − 1) = 0 ) = 10(1 − 0) = 10 m
x∞ = 10(1 − e
∆ x = x ∞ − x 0 = 10 m
例 3 路灯距地面高度为h，身高为l的人以速度v0在 路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度。 （2）影长增长的速率。
解： （1） x2 − x1 = x2 l h
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
§1-1 质点、参考 系、坐标系
1-1-1 质点
质点（particle） ：具有一定质量的几何点 两种可以把物体看作质点来处理的情况:
• 作平动的物体，可 以被看作质点。 • 两相互作用着的物 体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度， 可以把这两物体看作质 点。
行星
太阳
可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。 可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。
1-1-2 参考系和坐标系
• 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性 参考系（reference system） ：
为描述物体的运动而选取的参考物体。
坐标系（coordinate system） ：
v 当∆t趋向零时，速度增量 ∆v的极限方向
运动学的两类问题
运动方程是运动学问题的核心
1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
v v r = r (t )
v v dr v= dt
v 2v v dv d r = 2 a= dt dt
2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以 及初始条件求质点的运动方程
ω
R
∆s
A
∆θ
θ
角加速度：
O
x
∆ω d ω α = lim = rad ⋅ s − 2 dt ∆t →0 ∆t
角量表示匀速圆周运动的基本公式：
ω = ω0 + α t
1 2 θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 2 2 ω = ω0 + 2α (θ − θ 0 )
2 2 2
x
位矢的大小为：
位矢的方向：
X cos α = r y cos β = r z cos γ = r
r= x +y +z
运动方程：
矢量形式 参数形式
v v r = r (t )
v v v v r = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
x = x(t ) y = y (t ) z = z (t )
B
x 在直角坐标系中
v v v v ∆r = rB − rA = A B
v v v v ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
v 2 2 2 ∆ r = ∆x + ∆ y + ∆z
在直角坐标系中
z
v v v v ∆r = rB − rA = A B
v v v v ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk
规定：
v eτ
s o
P
v ∆s en
v eτ
Q
v eτ
v v
质点位置： s = s(t ) 路程： ∆s = s P − sQ
r v ds v 速度： v = vet = et dt
速率：
ds v= dt
质点的加速度：
v v v de t r dv d( ve t ) dv v = et + v a= = dt dt dt dt dv v et dt
2 2 2 2 − −1 1
(
)
v2 2 + (− 8) = 8.25 m ⋅ s 2 =
−8 = −75°58′ α = tg 2
− −1 1
（ 3）
v v v v dr v= = 2i − 4tj dt
−1
v v v dv = −4 j a= dt
a = 4 m ⋅s
（ 4）
方向沿y轴的负方向
• 瞬时速度(instantaneous velocity) z
质点在某一时刻所具有的速度
A
v v
v rA A
o
v ∆r
B
v v ∆r dr v −1 = v = lim m ⋅ s ∆t →0 ∆t dt
v rB
y
x 速度的方向: 为轨道上质点所在处的切线方向。
在直角坐标系中 速度的矢量式：
v v v v v = v x i + v y j + vz k
v v dv = adt ,
∫
v v
v v dr =adt
t0
v r0
t v v dr = ∫ vdt t0
v v v 2 例 1 已知质点的运动方程为 r = 2ti + 19 − 2t j
求： （1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度 以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
§1-2 描述质点运动的物理量
1-2-1 位置矢量与运动方程
上海
热带风暴
位置矢量 (position vector) （位矢）
从坐标原点o出发，指向质点 所在位置P的一有向线段 位矢用坐标值表示为： o
α
z
γ
v r
P(x,y,z) y
β
v v v v r = xi + yj + zk
y
o
v v v ∆v = v2 − v1
x
v v1 v v2
平均加速度
v v ∆v −1 a= m ⋅s ∆t
v ∆v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致
当∆t→0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
v v ∆v dv d 2 r v = = 2 瞬时加速度： a = lim dt dt ∆t → 0 ∆ t
(h − l ) x2 = hx1
两边求导：
h l
dx2 dx1 x1 x2 x o (h − l ) =h dt dt dx2 dx1 其中： =v , = v 0 v = hv 0 dt dt h−l
（ 2） 令
b = x2 − x1 为影长
db l dx2 v′ = = dt h dt
代入
l b = x2 h
速度的三个坐标分量：
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt
速度的大小：
v 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
• 速率
在∆t时间内，质点所经过路程∆s对时间的变化率
平均速率：
∆s −1 v= m ⋅s ∆t
∆s ds v = lim = dt ∆t → 0 ∆ t
：
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：