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四川省泸县第九中学高中数学《1.3.2函数的基本性质》学案 新人教A 版必修1使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”7分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”8分钟，组长负责，组内点评。
“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
能力展示5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:1.理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值．2.借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想．3.渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点．重点.难点：1.函数的最大（小）值及其几何意义．2.利用函数的单调性求函数的最大（小）值学习过程：（一）自主学习1、增函数与减函数:2.函数的单调性与单调区间3. 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：（1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ，]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x （5）x 2=y （6）x2=y ]2,0(02[⋃-∈），x 1).说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2).指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？3).怎样理解函数图象最高点？4).请给出最大值的定义.5).函数32)(+-=x x f ，),1(+∞-∈x 有最大值吗？为什么？6).函数最大值的几何意义是什么？7).类比函数最大值的定义，给出函数最小值的定义及几何意义．8).讨论函数最小值应注意什么？（二） 合作探讨例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。
制造时一般是期望再它达到最高点时爆裂。
如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式187.149.4)(2++-=t t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？例2．求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．（三）巩固练习1.设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数。
1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减.由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1.解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减. 综上，k ≤0.温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-a b 2）上是增函数. 证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab 2), ∴x 1+x 2<-ab ，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0.∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-a b 2］上单调递增. 变式提升1若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性.综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21) 变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).类题演练3已知函数f(x)=x x x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x 21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0, 又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1;当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.综上，f(x)在［0,2］上的最大值为 g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.(2)y min =3.变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax =221)2(+-++x a x a =a+221+-x a . ∴y-a=221+-x a 与y ′='x k 比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n +型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。
《1.3.1正弦函数的图像与性质》导学案（第一课时）学校：班级：小组：姓名：组长：学科长：责任人：教师：学习目标：1、知识与技能目标：(1)了解作正弦函数图像的三种方法。
(2)重点掌握五点作图法，并会利用此方法作出[]π20，上的正弦曲线。
(3)结合图像掌握正弦函数的性质。
2、过程与方法目标：通过亲自动手作图，体会正弦函数图像的变化，并培养学生根据图像研究函数性质的能力。
3、情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，进一步增强从通法研究到特殊再到一般的思想方法。
学习重、难点：重点：正弦函数图像的作法及由图像总结正弦函数的性质。
难点：理解弧度制下角度与x轴上点的对应和以此为自变量的正弦函数。
学习过程：一、基本概念的自主学习【知识回顾】1、谈谈在弧度制下，自己对“角的集合与实数集R之间对应关系”的理解？2、什么叫三角函数？正弦函数又怎么理解？3、在以前的学习中，我们是通过什么方法作出某一函数图像的？【作图方法】1、通用方法（作图像常规方法）——描点作图法：2、特殊方法（利用正弦函数线）——几何作图法：3、常用方法（利用图像关键点）——五点作图法：二、知识升华的指导探究【生生交流】1、利用通用方法作出正弦函数在[]π20，上的图像。
2、根据所学的函数知识，从图像中解读出正弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的基本性质。
【师生交流】1、在上面图像的基础上，你能否快速作出正弦函数的图像？怎么作？2、通过这种方法，体会三角函数图像的周期性。
【指导探究】1、利用单位圆中的正弦线，作出x y sin =的图像。
2、观察[]π20，上的图像，找出确定图像形状的关键点。
3、概括总结利用确定图像形状关键点做三角函数图像的五点作图法。
三、学以致用的巩固练习例1：【作图】用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]π20，上的简图。
【变式反思】用“五点法”作函数x y 2cos 1-=在[]ππ22，-上的简图。
【新教材】3.1.2函数的表示法(人教A版)1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象.一、预习导入阅读课本67-68页，填写。
1.函数的表示法2.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ;各段函数的定义域的交集是.［点睛］(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.1, — 2w x w 0)(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如y= 其“段”是不等x, 0<x<3,长的.1.判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示. ( )(2)函数f(x) = 2x+ 1不能用列表法表示. ( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线. ( )(4)分段函数由几个函数构成. ( )x+ 1, x< 1,(5)函数f(x)= 是分段函数.( )-x+ 3, x>12.函数y = f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )A.RB.( —8, 1) U (1 , +OO)C.( —8, 0) U (0 , +OO)D.(― 1,0)3.已知反比例函数 f (x)满足f(3) =—6, f (x)的解析式为题型一函数的定义例1某种笔记本的单价是5元，买x (x C {1 , 2, 3,4, 5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x).跟踪训练一1 .已知函数f(x) , g(x)分别由下表给出.123£(X)321则f( g(1)) 的值为；当g ( f (x)) =2 时，x=题型二分段函数求值|x-1|-2, |x|<1,例2 已知函数f (x) = 1寸x|>1.(1)求f(?N??)的值；(2)若f(x) =1 ，求x的值 3跟踪训练二x2+2, x<2,1. 函数f(x)= 4 若f(x o) = 8,则x0= .二x , x> 2.5题型三求函数解析式例 3 (1)已知f(x+1)= ??-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x)的解析式；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 求f(x).跟踪训练三1.已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=2x-1, 求f(x)的解析式；2.已知f( vx+1)=x+2 vx,求f(x)的解析式；3.设函数f(x)满足f(x)+2f (-) =x(x w 0),求f(x). x题型四函数的图像及应用例4 1.函数f(x) = |x - 1|的图象是( )B C D2.给定函数 f(x) = x + 1,g(x) = (x + 1)2,x CR(1)在同一直角坐标系中画出函数 f (x ) ,g (x )的图像；(2) ?x CR,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为 M(x) = max{f(x) ,g(x)}.请分别用图像法和解析法表示函数M(x).跟踪训练四1 .已知函数f(x)的图象如右图所示，则 f(x)的解析式是 .b, a>b,2.若定义运算 aOb=则函数f(x) =xO(2—x)的值域为 ______________ .a, a< b.题型五 函数的实际应用例5下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表:A 次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次王伟 98 87 91 92 88人 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88. 278. 385. 480. 375. 782. 6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.堂检测2.已知 f(W)=x,贝Uf(x)=()1+x1.若 f(x)={x-3, x >10, ，f(f(x+ 6)), x<则f(5)的值为(10 ,A.8B.9C.10D.11B二1+x D.M x x+13.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1, 则f(x)=( A.x+1 B.x-1C.2x+1D.3x+34.函数f(x)=2x , 0 < x < 1,{2, 1 < ??< 2,的值域是( ) 3, x >2A.RB.[0,+ 8)C.[0,3]5.已知函数D.[0,2] U {3}f(x)6.已知f(x) 为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点，求f(x)的解析式.7.某商场新进了10台彩电，每台单价3 000元，试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来答案小试牛刀1 . (1) X (2) ，(3) X (4) X (5 )，2. C一183. y =——x自主探究例1【答案】见解析【解析】这个函数的定义域是数集{1,2, 3,4, 5}.用解析法可将函数y=f (x)表示为y=5x, x C {1 , 2, 3,4, 5}用列表法可将函数y=f(x)表示为用图像法可将函数 y=f(x)表示为25 -g20 -•15 -*10 -■5 - •1I1K 1 ."(7] |2~3~4~5^跟踪训练一【答案】1 1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知 g (1) =3,，f ( g(1)) =f (3) =1.由于g (2) =2,，f (x)=2, ■. x = 1.例2 【答案】(1) A (2)±\211,3 【解析】(1)因为f 2 = 2-1 -2=-2,=；,若 |x| < 1,则 |x - 1| —2=；,得 x=；或 x=一：. 3 3 3 3因为|x| < 1,所以x 的值不存在；若|x|>1 ,则彳导 x =±\2,符合 |x| >1.I i- x 3所以若f(x) =1, x 的值为士 \2.3跟踪训练二【答案】—m 或10【解析】解析：当 xo<2时，f(x o)=x0+2=8,即x2=6,xo= 一 \ 6或 xo= 6(舍去)；~ ,1所以f f 2 =f3 14— = -------------- = ---23 2131 +— -2-(2)f(x), , 4当Xo>2 时，f(x 0)= -Xo , Xo= 10. 5综上可知，Xo=—{§或Xo= 1 0.例3【答案】见解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1 代入f(x+1)= ?%3x+2,得f(t尸(?? 1)2-3(t-1)+2= /5t+6, f(x)= ??-5x+6.(方法二)「f(x+1)= ?f -3x+2= ?f+2x+1-5x-5+6= (?4 1)2-5(x+1)+6, • . f(x户?f-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=a ?5+bx+c(a w。
教学准备
1. 教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的
纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发
学生学习的积极性．
2. 教学重点/难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什
么特征？
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？。
函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例】证明函数在(∞)上单调递增.思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意、∈(∞)且<,则()()()()()()().∵<<,∴<>>.因此（）()<,∴()()<,即()<().∴()在（，∞）上单调递增.温馨提示.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明..利用定义证明单调性，一般要遵循：()取值(任取给定区间上两个自变量);()作差变形〔将()()进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有()的因式〕;()判断符号(根据条件判断差式的正负);()得出结论..有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例】 ()是二次函数，且在处取得最值，又()<(π),试判断()与()的大小.思路分析：解决此题的关键是将()与()置于某一单调区间内再进行比较大小.解：由于()是二次函数，且在处取得最值，因此是二次函数的对称轴.又∵<<π()<(π),可以得()在［∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，()在(∞)上单调递减.由于与关于对称，∴()().∵<,∴()>(),即()>().温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例】求()的最小值.思路分析：该题函数()由与相加构成，与具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于的次数不一致，出现了相当于倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：()的定义域为［∞］,在［∞］上、同时单调递增，因此()在［∞］上单调递增，最小值为().解法二：()的定义域为［∞］，令≥,∴()()()(≥).由于()的对称轴在［∞)的左侧，()的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［∞)上单调递增，当时()，∴()的最小值为.温馨提示.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围..利用单调性求最值，其规律为：若()在［］上单调递增，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为();若()在［］上单调递减，则()≤()≤()，即最大值为(),最小值为(). 三、函数单调性的应用【例】 ()若函数()()在区间(∞］上是减函数，求实数的取值范围；()在［∞)上单调递减，求实数的取值范围.思路分析：()二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.()中的是否为零要注意讨论.解：()()()，其对称轴为，若要二次函数在(∞］上单调递减，必须满足≥,即≤.如图所示.()时，满足题意；>时，抛物线开口向上，在［∞)上不可能单调递减；<时，对称轴<在［∞］上单调递减.综上，≤.温馨提示。
课题：1.2 函数及其表示 （习题课）一、三维目标：知识与技能：对函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，理解函数的三种表示法及其简单应用，掌握函数的图像及其简单应用。
过程与方法：通过本节内容的学习，使学生加深对函数及其应用的理解、初步体会学习函数的方法。
情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养学生合作探究学习的能力。
二、学习重、难点：重点：函数()f x 记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，掌握函数的图像及应用。
难点：函数的图像及其应用。
三、知识链接：1、函数的概念 ：2、函数的三种表示方法：四、学法指导：回顾前几节函数知识的内容，认真学习导学案中的例题，灵活运用函数知识解决问题，并注意方法规律总结。
五、学习过程：A1. 函数()f x 记号的理解与运用：已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[4] g[6].，f[g(x)]，g[f(x)]。
B2.解析式法及应用：例1求函数的解析式：(1)已知f (2x ＋1)＝x 2＋1，求f (x )；解：(1)设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12， ∴f (t )＝(t －12)2＋1.从而f (x )＝(x －12)2＋1.(2)已知f (1x )＝x1－x 2，求f (x )．解法一：设t ＝1x ， 则x ＝1t (t ≠0)，代入f (1x )＝x1－x 2，得f (t )＝1t 1－(1t)2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．解法二：∵f (1x )＝x 1－x 2＝1x (1x)2－1， ∴f (x )＝xx 2－1(x ≠0)．(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. （4）已知)(x f 满足12()()3f x f x x+=，求)(x f . 解：2f (x )＋f (1x)＝3x ①，把①中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x②，①×2－②得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x.方法总结：第(1)题用代入法；第(2)题用配凑法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第(4)题用方程组法。
第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性学习目标①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.合作学习一、设计问题,创设情境众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美…)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y 轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1表2三、信息交流,揭示规律问题3:请给出偶函数的定义.1.偶函数的定义问题4:偶函数的图象有什么特征?问题5:函数f(x)=x2,x∈是偶函数吗?问题6:偶函数的定义域有什么特征?问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.2.奇函数的定义给出偶函数和奇函数的定义后,要指明: (1)(2)(3)(4)(5)四、运用规律,解决问题【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=.【例2】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .【例3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)试比较f(-)与f()的大小.五、变式演练,深化提高1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x4,x∈;(2)f(x)=;(3)f(x)=+;(4)f(x)=.2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+,求f(x).3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.六、反思小结,观点提炼本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.参考答案问题2:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).表1表2问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.问题4:偶函数的图象关于y轴对称.问题5:函数f(x)=x2,x∈的图象关于y轴不对称;对定义域内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x), 所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x),所以函数f(x)=x+是奇函数.(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)===f(x),所以函数f(x)=是偶函数.点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.【例2】解析:当x∈(0,+∞)时,则-x<0.又∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案:-x-x4点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.【例3】解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().∵x2>x1>0,∴>1.∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-)=f().由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f()>f().∴f(-)>f().点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.五、变式演练,深化提高1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x∈既不是奇函数又不是偶函数.(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,所以函数f(x)=既不是奇函数又不是偶函数.(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,∴x=±2,即f(x)=0,其定义域是{-2,2}.∵f(2)=0,f(-2)=0,∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=+===0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.点评:本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-=-x2+.综上所得,f(x)=3.解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).∴f(-1)=0.(2)是奇函数.∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), ∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.。
学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 1.3函数的基本性质【学习目标】1.熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义；2.灵活判断或证明函数的单调性与奇偶性；3.通过对单调性、奇偶性和最值的研究，体验数形结合与分类讨论的思想。
【重点和难点】教学重点：函数单调性、奇偶性和最值的研究。
教学难点：抽象函数问题的研究。
【使用说明及学法指导】1.回顾1.3节的基础知识，然后开始做导学案。
2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案一．知识梳理1.偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 .2.若奇函数在定义域上有最大值M ，则此函数一定有最小值 .3.单调性是函数的 性质，奇偶性是函数的 性质.(填“整体”或“局部”).4.奇偶性实质是图像的对称性，奇函数关于 对称，偶函数关于 对称. 一个函数存在奇偶性的前提条件是 .二．问题导学1.增函数、减函数、最值、奇函数、偶函数分别是如何定义的？2.判断和证明函数的单调性、奇偶性的步骤是怎样的？3.根据奇偶性和函数在（0，+∞）上的解析式，你能否求出函数在（-∞，0）上的解析式？三.预习自测1. 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A .2a ≤-B .2a ≥-C .6-≥aD .6-≤a2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f .3．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =- C．函数()f x x =+ D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数4．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 四.我的疑问：探究案一． 合作探究探究1. 函数性质的综合应用212()()=.125(1)()(2)()(3)(1)()0.t ax b f x f x f x f x f t f t +=+-+<已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数，且求函数的解析式；求证：函数在(-1,1)上是增函数；解不等式思考1：条件中的奇函数如何应用？思考2：怎样证明一个函数在给定区间上的单调性？思考3：第(3)问中如何将函数值的不等式转化为参数的不等式？探究2. 抽象函数的性质问题(),,()()2()(),(0)0.(1)(0)=1(2)()(0)f x x y R f x y f x y f x f y f f f x f ∈++-=≠定义在R 上的函数，对任意的恒有且求证：； 是偶函数；思考1：怎样由给出的条件求？思考2：没有解析式如何证明奇偶性？二．课堂训练与检测1．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-2．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。
1.3 函数的基本性质预习导航一、增函数和减函数在区间D 上是增函数，12，且x 1≠x 2⇔(x 1－x 2)[1(x 2)]>0⇔1212()()f x f x x x -->0.(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔1212()()f x f x x x --<0.自主思考1 对于函数f (x )，若区间[a ，b ]上存在两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)成立，则能否说f (x )在[a ，b ]上是减函数？提示：不能．对于自变量的选取一定是任意的，而不能是特殊值，如函数y ＝x 2，x ∈[－1,1]，－1,0∈[－1,1]，显然－1<0，且f (－1)＝1>0＝f (0)，但并不能由此就说函数y ＝x 2在[－1,1]上是减函数．自主思考2已知函数f (x )在定义域[a ，b ]上是增函数，且f (x 1)<f (x 2)，则x 1与x 2有怎样的关系？若是减函数呢？提示：当f (x )是增函数时，x 1，x 2满足a ≤x 1<x 2≤b ； 当f (x )是减函数时，x 1，x 2满足a ≤x 2<x 1≤b . 二、单调性名师点拨(1) 函数的单调性是函数的一个局部性质，即我们说函数单调性的时候一定要指出是在哪个区间上，而不能笼统地说函数是单调的，有些时候，函数并不一定在整个定义域上单调．(2)并不是所有的函数都具有单调性，例如，分段函数y ＝10x x ⎧⎨⎩，是有理数，，是无理数，它的定义域为R ，但显然不具有单调性．(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接或用“，”隔开．如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(4)函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若在端点处没有定义，必须用开区间．(5)函数的单调性反映了函数值在某个区间上的变化趋势．例如，函数f (x )在区间D 上是增(减)函数，则说明在区间D 上，函数值随自变量的增大而增大(减少)，图象是上升(下降)的．归纳总结 基本初等函数的单调性如下表所示：。
1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减.由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1.解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减. 综上，k ≤0.温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-a b 2）上是增函数. 证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab 2), ∴x 1+x 2<-ab ，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0.∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-a b 2］上单调递增. 变式提升1若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减. 当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性.综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21) 变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).类题演练3已知函数f(x)=x x x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x 21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0, 又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1;当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.综上，f(x)在［0,2］上的最大值为 g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.(2)y min =3.变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax =221)2(+-++x a x a =a+221+-x a . ∴y-a=221+-x a 与y ′='x k 比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n +型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。
