《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课时作业 1-5-2

[基础达标]一、选择题1．(2014·武汉市调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3，故选C. 2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 5＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，故25－d 2＝16，d ＝3，则a 1＝2，a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝6＋99＝105.故选B.3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C.由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：选C.由已知S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选C.二、填空题6．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20.答案：207．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)解析：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＋a 9＋a 10＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋24d ＝4，4a 1＋6d ＝3，解得d ＝778.所以每一等人比下一等人多得778斤金．答案：7788．(2014·河南三市调研)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，即d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.[能力提升]一、选择题1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6，故选C.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1，(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1，则( )A ．S 2 013＝2 013，a 1 008＞a 1 006B ．S 2 013＝2 013，a 1 008＜a 1 006C ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＞a 1 006D ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＜a 1 006解析：选B.由(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1①，得(a 1 006－1)·[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1，所以a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1.由(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1②.得(a 1 008－1)．[(a 1 008－1)2＋2 013]＝－1，所以a 1 008－1＜0，即a 1 008＜1，故a 1 008＜a 1 006.①＋②得(a 1 006－1＋a 1 008－1)[(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2]＝0， 因为a 1 006－1＞0，a 1 008－1＜0，所以(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2＞0. 故a 1 006－1＋a 1 008－1＝0，故a 1 006＋a 1 008＝2.故S 2 013＝2 0132(a 1＋a 2 013)＝2 0132(a 1 006＋a 1 008) ＝2 013.故选B.二、填空题3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n 2，∴n ＝6. 答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d .∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加得：a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.答案：16三、解答题5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n . (2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0， 得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n－1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a n＋2，m)与向量b＝(－a n＋5,3＋a n)垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.(3)∵a n＝2n－1，∴a＝(2a n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a n＋5,3＋a n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1. ∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.。

课时跟踪训练1．已知tan α＝－12，则sin 2α－2 cos 2α－1＝( )A ．－175B ．－174C ．－165D ．－2解析：sin 2α－2cos 2 α－1＝2sin αcos α－2 cos 2α－(sin 2 α＋cos 2 α)＝2sin αcos α－3 cos 2 α－sin 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－3－tan 2 α1＋tan 2α＝－175. 答案：A2．(2014年全国大纲卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝sin 35°，∴b ＞a ；∵b －c ＝cos 55°－sin 35°cos 35°＝cos 55°cos 35°－sin 35°cos 35°＝sin 35°cos 35°－sin 35°cos 35°＝sin 35°(cos 35°－1)cos 35°＜0，∴b ＜c ，∴c ＞b ＞a ，故选C. 答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2 B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：由a cos A ＝b sin B 得，sin A ·cos A ＝sin B ·sin B ，即sin A ·cos A ＝sin 2B ，∴sin A ·cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案：D4．(2014年昆明模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：B5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sinA ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.答案：C6．(2014年洛阳模拟)已知2sin α＋cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.34 B.43 C ．－34D ．－43解析：∵(2sin α＋cos α)2＝3sin 2 α＋2sin 2α＋1＝52，∴52－32cos 2α＋2sin 2α＝52，tan 2α＝34. 答案：A7．(2014年江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6①.由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab ②.所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：C8．在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( ) A ．B ＞30°B ．A ＝2BC ．c ＜bD ．S ≤b 2解析：由三角形的面积公式知S ＝12ab sin C ＝122b ·b sin C ＝b 2sin C ，因为0＜sin C ≤1，所以b 2sin C ≤b 2，即S ≤b 2，故选D.答案：D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3D.17解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ＝13，即cos C ＝－13，所以cos C ＝－13＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－c22×3×2，解得c ＝17.答案：D10．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1D.22解析：在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100·sin 15°sin (45°－15°)＝50(6－2)m.在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD ＝50(6－2)·sin 45°50＝3－1，所以cos θ＝sin ∠BDC＝3－1.答案：C11．已知角α，β，γ构成公差为π3的等差数列．若cos β＝－23，则cos α＋cos γ＝________.解析：由α，β，γ构成公差为π3的等差数列，可得α＝β－π3，γ＝β＋π3，cos α＋cos γ＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝2cos βcos π3＝－23. 答案：－2312．(2014年广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.解析：由已知及余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，则ab ＝2.答案：213．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.解析：由于tan A ＝13，0°＜A ＜180°，∴sin A ＝110，根据正弦定理，得BC sin A ＝ABsin C ，∴AB ＝102. 答案：10214．(2014年沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos Acos B ＝－a b ＋2c，则角A 的大小为________．解析：依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ，(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ，sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，因此A ＝2π3.答案：2π315．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 2。

课时跟踪训练1．已知点P ⎝⎛⎭⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，满足：P A →＋PB →＝λPO →(0＜λ＜4，且λ≠2)．求直线AB的斜率．解：(1)∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，c ＝1.|PF 2|＝22＋⎝⎛⎭⎫322＝52，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P A →＋PB →＝λ PO →得⎝⎛⎭⎫x 1＋1，y 1－32＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1，y 2－32＝λ⎝⎛⎭⎫1，－32， ∴x 1＋x 2＝λ－2，y 1＋y 2＝32(2－λ)．① 又3x 21＋4y 21＝12,3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.②将①式代入②式，可得AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 2．(2014年石家庄模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点．解：(1)依题意e ＝c a ＝32， 过焦点F 与长轴垂直的直线x ＝c 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1联立解得弦长为2b 2a＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设P (1，t )，则k P A ＝t －01＋2＝t 3，直线l P A ：y ＝t 3(x ＋2)，联方⎩⎨⎧ y ＝t 3(x ＋2)x 24＋y 2＝1.得(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，可知－2x M ＝16t 2－364t 2＋9，所以x M ＝18－8t 24t 2＋9， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x M ＝18－8t 24t 2＋9y M ＝12t 4t 2＋9.同理得到⎩⎪⎨⎪⎧ x N ＝8t 2－24t 2＋1y N ＝4t 4t 2＋1.由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上．不妨设这个定点为Q (m,0)，则k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ ＝4t4t 2＋18t 2－24t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，故(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，m ＝4.3．如图，已知O (0,0)，E (－3，0)，F (3，0)，圆F ：(x －3)2＋y 2＝5.动点P 满足|PE |＋|PF |＝4.以P 为圆心，|OP |为半径的圆P 与圆F 的一个公共点为Q .(1)求点P 的轨迹方程；(2)证明：点Q 到直线PF 的距离为定值，并求此值．解：(1)由|PE |＋|PF |＝4＞|EF |及椭圆定义知，点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆．设P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设圆P 与圆F 的另一个公共点为T ，连结QT ，并设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则由题意知，圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20.又Q 为圆P 与圆F 的一个公共点，故⎩⎨⎧(x 1－3)2＋y 21＝5(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2＝x 20＋y 20， 所以(x 0－3)x 1＋y 0y 1－1＝0.同理(x 0－3)x 2＋y 0y 2－1＝0.因此直线QT 的方程为(x 0－3)x ＋y 0y －1＝0.设PF 交QT 于H ，则PF ⊥QT .设|QH |＝d (d ＞0)，则在Rt △QHF 中，|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋y 20. 又x 204＋y 20＝1，故|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋1－x 204＝2×|3(x 0－3)－1|[3(x 0－3)－1]2＝2. 在Rt △QHF 中，d ＝5－|FH |2＝1.所以点Q 到直线PF 的距离为1.4．(2014年浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3 FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3 FM →，分别得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3 FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0 得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43又因为|AB |＝41＋k 2 k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝1615 3m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13＜m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1. 可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数．又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243＞f ⎝⎛⎭⎫43. 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243， 此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135.。

课时跟踪训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当a ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1， 又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)∵a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫43n －1－1.2．(2014年全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110 ＝n 10(10－3n ). 3．已知等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4是a 2与a 8的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1≠a n ，求数列{2n －1·a n }的前n 项和． 解：(1)由a 2＝4，且a 4是a 2，a 8的等比中项可得a 1＋d ＝4，a 24＝a 2a 8， 即(4＋2d )2＝4(4＋6d )，化简得d 2－2d ＝0，则d ＝0或d ＝2，由于a 2＝4，当d ＝0时，a n ＝4；当d ＝2时，a 1＝2，则a n ＝2n .(2)∵a n ＋1≠a n ，∴a n ＝2n ，则2n －1a n ＝2n －1·2n ＝2n ·n ，∵S n ＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，① ①×2得，2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ①－②得，－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 4．(2014年洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1＋2(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a 1＋log 2a 22＋…＋log 2a n n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解：(1)在S n ＝2a n －2n ＋1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝2a 1－22＋2＝a 1，∴a 1＝2. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n ＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－2n ，∴a n ＝2a n －1＋2n ，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1. 又a 12＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项和公差均为1的等差数列． ∴a n 2n ＝n ，∴a n ＝n ·2n . (2)由(1)得a n n＝2n ， ∴b n ＝log 2 a 1＋log 2a 22＋…＋log 2a n n＝1＋2＋…＋n＝n (n ＋1)2. T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1. 5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，n ∈N *.设公差不为零的等差数列{b n }满足：b 1＝a 1＋2，且b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列．(1)求a 的值及数列{b n }的通项公式；(2)设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .求使T n ＞b n 的最小正整数n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∵{a n }为等比数列，∴2－a ＝1，解得a ＝1.∴a n ＝2n －1. 设数列{b n }的公差为d ，∵b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列，∴(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，又b 1＝3，∴(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )，解得d ＝0(舍去)或d ＝8.∴b n ＝8n －5.(2)由a n ＝2n －1，得log 2a n ＝2(n －1)， ∴{log 2a n }是以0为首项，2为公差的等差数列，∴T n ＝n (0＋2n －2)2＝n (n －1)． 由b n ＝8n －5，T n ＞b n ，得n (n －1)＞8n －5，即n 2－9n ＋5＞0，∵n ∈N *，∴n ≥9.故所求n 的最小正整数为9.。

课时跟踪训练1．(2014年福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱解析：圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱． 答案：A2．已知l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m B ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α C ．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ∥α D ．若l ∥α，m ⊥α，则l ⊥m解析：平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交、异面，A 错；若l ⊥m ，m ∥α，则直线l 和平面α可能平行，可能在平面内，也可能相交，B 错；若l ⊥m ，m ⊥α，则直线l 也可能在平面α内，C 错；通过画图可知，D 显然正确，故选D.答案：D3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于( )A ．2 B.23 C.43D ．4解析：由三视图判断几何体为一个三棱柱，其直观图如图，根据数据得底面△ADF 的面积S ＝2，高h ＝2，所以体积V ＝sh ＝2×2＝4，故选D.答案：D4．(2014年安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18解析：由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S ＝6×4－12×6＋2×34×(2)2＝21＋ 3.答案：A5．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( ) A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β解析：依题意，A 、B 、C 均不能得出α⊥β.对于D ，由l ∥m ，m ⊥β得l ⊥β，又l ⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D6．(2014年辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π.答案：B7．在一个仓库里堆积着正方体货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，则这些正方体货箱的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：根据已知三视图，可以画出空间几何体的直观图(如图所示)，因此下层有6个，上层有2个，共有8个，故选C.答案：C8．(2014年全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9πD.27π4解析：如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A.9．(2014年辽宁高考)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥α，C 错误；对于选项D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交，D 错误．故选B.答案：B10．(2014年唐山模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2D.22解析：由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 位于BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.答案：C11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.12．某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π313．(2014年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r 1，r 2，母线长分别是l 1，l 2.则由S 1S 2＝94可得r 1r 2＝32.又两个圆柱的侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32. 答案：3214．(2014年山东高考)三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，三角形P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E －ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：1415．已知某四棱锥的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．(1)若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为________； (2)关于该四棱锥的下列结论中： ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直； ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形； ③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面． 所有正确结论的序号是________．解析：(1)由三视图可知该几何体是底面边长为2的正方形、高为1的四棱锥，如图所示，所以该四棱锥的体积为13×2×2×1＝43.(2)由图可知PQ ⊥平面ABCD ，则有PQ ⊥AB ，又AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ，于是侧面P AB ⊥侧面PBC ，同理可知侧面PDC ⊥侧面PBC ，故①正确；由上述易知AB ⊥PB ，CD ⊥PC ，所以△P AB ，△PCD 为直角三角形，又由于四棱锥的左视图可能为直角三角形，所以△PBC 可能为直角三角形，故②正确；由图易判断平面P AB 与平面P AD 不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．答案：(1)43 (2)①②③。

课时跟踪训练1．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63.所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ ＝－63＋332×⎝⎛⎭⎫－63＝6－326＝2－24.2．函数f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x ＋2sin x .(1)在△ABC 中，cos A ＝－35，求f (A )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．解：(1)由sin x ＋cos x ≠0得x ≠k π－π4，k ∈Z .f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x ＋2sin x＝cos 2x －sin 2xsin x ＋cos x ＋2sin x＝cos x ＋sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，在△ABC 中，cos A ＝－35＜0，所以π2＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45， 所以f (A )＝sin A ＋cos A ＝45－35＝15. (2)由(1)可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.因为函数y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z 又由x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴的方程为x ＝k π＋π4，k ∈Z . 3．(2014年绵阳模拟)已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝a·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝2×1－cos 2x 2＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π (k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋1， 由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，g (x )的最小值为0.4．已知函数f (x )＝23cos 2x ＋2sin x cos x －m (x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上，函数f (x )的最大值为2.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c .若A 为锐角，且满足f (A )＝0，sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为334，求边长a . 解：(1)∵f (x )＝23cos 2 x ＋2sin x cos x －m ＝3(cos 2x ＋1)＋sin 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3－m .∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3. ∴函数f (x )在2x ＋π3＝π2时取得最大值，即2＋3－m ＝2，解得m ＝ 3. (2)∵f (A )＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0，由A 为锐角，解得A ＝π3. ∵sin B ＝3sin C ，由正弦定理得b ＝3c ，①∵△ABC 的面积为334， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝334， 即bc ＝3.②由①和②解得b ＝3，c ＝1.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝32＋12－2×3×1×cos π3， ∴a ＝7.5．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5 m 到3 m 之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130 km 2、水深为10～20 m 的湖．湖东南端有一个宽400 m 的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入湖中进行维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中偶数整点时的水深的近似值如下表：来刻画．(1)根据以上数据画出其近似图象，并求出水深y (m)与时间x (h)的具体函数关系式；(2)若某渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，该船需进湖休息，一天中什么时刻可以进入湖内？解：(1)如图，由图可知该函数的最大值为15，最小值为5，最小正周期为24，即A ＋h＝15，h －A ＝5，T ＝2πω＝24，解得A ＝5，h ＝10，ω＝π12. 又函数的图象过点(16,15)，即y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12×16＋φ＋10＝15，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π，所以φ＝－5π6. 所以水深y (m)与时间x (h)的函数关系式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10. (2)因为该渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，所以要使该渔船进湖休息，需水深不小于7.5 m 时进入，即一天中需y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10≥7.5 h 进入， 解得x ＝0或8≤x ≤24，所以一天中0 h 或8 h 到24 h 可以进入湖内．。

课时跟踪训练1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝e 0＝1. 答案：A2．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解析：∵f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(x )为奇函数，排除B ，D.又当x ＝－π4时，f ′(x )＝22－π8＝42－π8＞0，排除C ，故选A. 答案：A3．(2014年嘉兴二模)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：C4．(2014年惠州二模)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，由题意知y ′＝2x ＋2，则点P 处的切线斜率k ＝tan α＝2x 0＋2∈[0,1]，解得x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 答案：A5．曲线f (x )＝x －3x 上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，则此定值为( )A ．1B ．3解析：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.答案：C6．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝0，得x ＝0或x ＝1. 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y ＝f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)＝f (3×2)＝f (0)＝0，所以y ＝f (x )的图象在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：B7．已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a解析：由于函数为偶函数，故b ＝f (cos 2)＝f (－cos 2)，c ＝f (cos 3)＝f (－cos 3)，由于x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0，即函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数，据单位圆中三角函数线易得0＜－cos 2＜cos 1＜－cos 3＜π2，根据函数单调性可得f (－cos 2)＜f (cos 1)＜f (－cos3)，故选B.答案：B8．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0B ．1解析：设f (x )＝1－xx ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x2.当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0. 答案：A9．函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )解析：因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x ＞0，得cos x ＜14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x ＜0，得cos x ＞14，此时原函数是减函数，并且原函数是奇函数，其极值点有无数多个，只有C 满足．答案：C10．已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )＜3，则不等式f (x )＜3x －15的解集为( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3＜0，所以g (x )在R 上是减函数，又因为g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )＜3x －15的解集为(4，＋∞)．答案：D11．(2014年开封模拟)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析：设y ＝x 2－ln x (x ＞0)，则y ′＝2x －1x ，令y ′＝0，得x ＝22.易知当x ＝22时y取得最小值．∴t ＝22. 答案：2212．(2014年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2①.又y ′＝2ax －bx2，所以在点P处的切线斜率4a －b 4＝－72 ②.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－313．若函数f (x )＝x 3＋3x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x ∈________. 解析：由题意可知f (x )为奇函数，且在定义域内为增函数，∴f (mx －2)＋f (x )＜0可变形为f (mx －2)＜f (－x )，∴mx －2＜－x ，将其看作关于m 的一次函数g (m )＝x ·m －2＋x ，m ∈[－2,2]，可得当m ∈[－2,2]时，g (m )＜0恒成立，若x ≥0，g (2)＜0，若x ＜0，g (－2)＜0，解得－2＜x ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 14．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上单调递减，则4a ＋b 的最大值为________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在区间[－2,2]上单调递减，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在[－2,2]上恒成立，∵a ＞0，∴－2a 2×3＝－a3＜0，∴f ′(x )max＝f ′(2)≤0，即4a ＋b ≤－12，∴4a ＋b 的最大值为－12.答案：－1215．若实数a 、b 、c 、d 满足(b ＋a 2－3ln a )2＋(c －d ＋4)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为________．解析：由题可得b ＝－a 2＋3ln a ，d ＝c ＋4.设g (x )＝x ＋x 2－3ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x ＝(2x ＋3)(x －1)x ，当x ∈(0,1)时，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增，故g (x )≥g (1)＝2.则(a －c )2＋(b －d )2＝(c －a )2＋(－a 2＋3ln a －c －4)2≥(c －a －a 2＋3ln a －c －4)22＝(a ＋a 2－3ln a ＋4)22≥(2＋4)22＝18.答案：18。