2017-2018年青岛版数学八年级上册课件-2.5 角平分线的性质 (共29张PPT)

(2)猜想:
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. ______________________________________________
你能证明你的猜想吗？
(3)证明猜想： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，PM⊥AB于点M,PN⊥AC 于点N 求证: PM=PN 证明：∵AD平分∠BAC （已知）
E A A E P P B O F 图2 B O 图3 F
E
P B
O
图1
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 若P 到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.（ ）
例1.如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 A
证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， ∵BM是△ABC的角平分线， PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD=PE. 同理可证：PE=PF. ∴PD＝PE=PF. B D N P F M C
4. 能灵活运用角平分线的性质与判定解决 有关问题。（重点）
考点
动动手 画一画
请同学们拿出一张纸，在纸上任意画出一个角 BAC , 把它剪下并对折，使角的两边重合，然后展开铺平，你有什么 发现？ （1）思考：角是轴对称图形吗？ 如果是，请找出它的对称轴.
B
A
（2）结论：
C
角是轴对称图形，
角的平分线所在的直线是它的对称轴.
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
判定用于证明两角相等
PD=PE
性质用于证明两线段相等
如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， ∵BM是△ABC的角平分线， PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD=PE. 同理可证：PE=PF. ∴PD＝PE=PF. B D N P
E
点P在∠A的平分线上吗
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
已知BAC, 经过BAC内部任意作直线 l1∥AB, 作直线l2 ∥AC 使l 2与AC之间的距离等于 l1与AB之间的距离 .记l1, l 2的交点为 P
B
l1
C
A
P
l2
由此，你发现了什么？
则P是∠BAC内部一个到∠BAC 的两边AB、AC距离相等 的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折，你发现∠BAP与 ∠CAP重合吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平 B M 分线上.
符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN
A ∴AP平分∠BAC D
1 2
N
P
温馨提示： 该判定主要用于证明两角相等，
C
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C P P
C
已知 条件 结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
符号表达： ∵AD平分∠BAC ∴PM=PN PM⊥AB PN⊥AC M P A D B
温馨提示：
1 2
N
该性质主要用于判断或证明两线段相等，
C
不必再证全等
判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则 PE=PF.（ ） （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分 别在OA、OB上，则PE=PF. （ ） A
1 大于 EF 的长为半径作弧， 2
B
E
P
F C
两弧在∠BAC内部交于点P. 3、作射线AP，射线AP即为所求.
则射线AP即为所求。
思考：你能证明射线AP，就是∠BAC的角平分线吗？
已知： ∠BAC(如图) 求作： ∠BAC的角平分线AP 证明:连结PE,PF， 在△AEP和△AFP中， AE=AF, PE=PF, AP=AP. ∴△AEP≌△AFP(SSS), A ∴∠EAP=∠FAP. 即: AP 是∠BAC的角平分线. E B
AD是∠BAC的平分线，点P是射线AD上的任意一点， (1)实验：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PM⊥AB，PN ⊥AC,垂足分别为点M、N，用圆规比较PM与PN的大小,你有什 么发现？
B M p A N C D
PM与PN的 大小关系
第一次 第二次 第三次 PM=PN PM=PN PM=PN
A
F M C
E
点P在∠A的平分线上吗
结论：三角形的三条角平分线交于 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 一点，并且这点到三边的距离相等.
你会作角的平分线吗？
怎样作一个角的平分线？（不用量角器）
观察领悟作法，探索思考证明方法
E
A
F
已知：∠BAC 求作：∠BAC的平分线AP
作法： 1、以A为圆心，适当长 为半径作弧，交AB于E， A 交AC于F. 2、分别以E、F为圆心，
B M 1 2 N D C
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PM⊥AB，PN⊥AC（已知） ∴ ∠PMA= ∠PNA= 90°（垂直的定义）
P
在△PMA和△PNB中
∠PMA= ∠PNB（已证） ∠1= ∠2 （已证）
A
AP=AP （公共边） ∴ △PMA ≌ △PNB（AAS） ∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）
l1 l2
l3
P2
l1
P1
P3 P4
l3
l2
1.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5， Q是OB上任一点，则（ B ） A. PQ>5 B. PQ≥5 C. PQ﹤5 D. PQ≤5
P
F
C
【学以致用】
三条公路的交叉处是一个三角形区域，现在要在此 区域内建一个加油站，使得该加油站到三条路的距离相 等。试问加油站应建在什么位置,你能帮助设计者确定此 加油站的位置吗？
A
则点A即为所求。
拓展延伸
如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个加油站, 要求它 到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
2.5 角平分线的性质
三条公路的交叉处是一个三角形区域，现在要在此 区域内建一个加油站，使得该加油站到三条路的距离相 等。试问加油站应建在什么位置,你能帮助设计者确定此 加油站的位置吗？
（关键） 1.能探索出并准确叙述出角的轴对称性。 2.能探索出角平分线性质和判定。 （重点）
3. 会用尺规作一个角的平分线。（重点）