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线性代数4.3

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《线性代数》公式大全

《线性代数》公式大全

《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。

线代§4[1].3-4

线代§4[1].3-4
§4.3 向量组的秩
一、最大线性无关向量组
定义1: 设有向量组A, 如果在A中能选出 r 个向量 A0: 1, 2,· · · , r, 满足 (1)向量组A0: 1, 2,· · · , r 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在)都线性相 关. 则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量 组(简称最大无关组). 向量组的秩: 最大无关组所含向量的个数 r , 记作RA. 规定:只含零向量的向量组没有最大无关组, 其秩为0. 说明(1) 最大无关组不唯一. (2) 向量组与它的最大无关组是等价的.
性质1. 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是 Ax = 0的解. 性质2. 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1 也是 Ax = 0的解. 解集S :齐次方程组 Ax = 0 的全体解所构成的集合.
二、基础解系及其求法
1. 定义: Ax = 0的解集的最大无关组S0 ：1, 2, · · · , t 称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系. 若向量组S0：1, 2, · · · ,t 为Ax = 0的一组基础解系, 则 Ax = 0的通解可表示为: x = k1 1 + k2 2 + · · · + kt t 其中k1, k2, · · · , kt为任意常数.
定理2: 向量组B: 1, 2, · · · , s能由向量组A: 1, 2, · · · , m线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, · · · , m)=R(1, 2, · · · , m, 1, · · · , s). 推论: 向量组A: 1, 2,· · · , m与向量组B: 1, 2, · · · , s 等价的充分必要条件是 R(1,2,· · · ,m)=R(1,2,· · · ,s)=R(1,2,· · · ,m,1,2,· · · ,s).

线性代数重点题型总结

线性代数重点题型总结

第四章
4.1 ①求特征值与特征向量，例2、例3
②特征值与特征向量性质考察，例7，习题2
其他：例5
4.2 ①判断某阵能否对角化，并求幂。

例、习题1、2
②两阵相似，求阵中的未知数。

习题1、3、14
4.3 ①将向量正交化or单位化（方法见P185），习题16、17
②已知实对称矩阵，求正交阵使Q−1AQ为对角阵，例4、例5、习题22、23
注意出现多重特征值时要先正交化再单位化
证明类：习题7、3、19、P172 例5
第三章
3.1①线性方程解的情况：无解、唯一解、无穷解、线性方程的非零解时r（A）和r（A|b）的关系。

例1、例2、例3、例4
3.2①向量的4则运算，分配律、结合律。

②某向量能否被另一向量组线性表示，充要条件是
r（α1….αn）＝r（α1…αn,β）。

例5、习题7
③向量组是否等价（能相互表示即可）例6
3.3①判断已知向量组是否线性相关（即r（A）＜n），p130例4、习题10、14、15、
3.4①判断某向量组的一个极大无关组，并用它表示其他向量。

例2，习题16、17
3.5①求方程组的基础解系，分齐次和非齐次的。

例1、2、4
第二章
2.2①加减乘法，习题6、23。

注意6题体现规律，矩阵左乘变列，右乘变行。

②矩阵转置和矩阵行列式的性质，用于判断题。

2.4－2.7①分块矩阵、逆矩阵，矩阵的秩习题33、47、48、51
第一章
重点习题：1.3（例5、例7、例6），
1.4行列式按行列展开（例4）
习题21、22、24、32、35。

高等数学线性代数教材目录

高等数学线性代数教材目录

高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。

这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。

希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。

线性代数4.3

线性代数4.3

A= (α1 α2 α3 ) 为 交 阵， 正 矩 1 β1 = (2α1 + 2α2 −α3 ) , 3 1 β2 = (2α1 −α2 + 2α3 ) , 3 1 β3 = (α1 − 2α2 − 2α3 ) , 3 证 ： = (β1 β2 β3 ) 是 交 阵. 明 B 正 矩
析只 证 分 ：需 明
返回
将X1, X2 正 化： 交
例4 将 α1 = (1, 1, 1) , α2 = (1, 2, 1) ,α3 = (0, −1, 1) 规 正 化. 范 交 解 设β1 =α1 = (1, 1, 1) , 4 (α2, β1) β2 =α2 − β1 = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) 3 (β1, β1)
1 = (−1, 2, −1) , 3 (α3, β1) β (α3, β2 ) β β3 =α3 − 1− 2 (β1, β1) (β2, β2 ) 1 =L= (−1, 0, 1) , 2
返回
1 γ1 = β1 = (1, 1, 1) 3 β1 1 γ2 = β2 = (−1, 2, −1) 6 β2 1 γ3 = β3 = (−1, 0, 1) . 2 β3 1 注 ： β = α 单 化， 需 α 单 化 可. 意将 位 只 将 位 即 k 为什么 ？ k 1 1 1 1 1 γ = β= α= α =± α . β αk α 1 1 k α, α k k
返回
三. 施密特正交化方法 β1 =α1
(α2, β1) β β2 =α2 − (β1, β1) 1 (α3, β1) β (α3, β2 ) β β3 =α3 − 1− 2 (β1, β1) (β2, β2 )
L L L L (αs , β1) β − (αs , β2 ) β −L− (αs , βs−1) β . βs =αs − 1 2 s−1 (β1, β1) (β2, β2 ) (βs−1, βs−1)

线性代数4.3 实对称矩阵

线性代数4.3 实对称矩阵

A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
根据th4.8,对应特征值
i
恰有 ri 个线性无关的特征向量 (i 1,2,, s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量. 由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交 矩阵P, 则
AP P1 AP diag (1, 2 ,n ) P
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵 定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足
A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2)
Ir 幂等矩阵一定相似于形如 0
0 的对称阵. 0
补充：幂零矩阵 定义
m 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A 0 (ｍ为正整数），则称
对称矩阵
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1

线性代数知识点归纳

线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。

它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。

线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。

下面将详细介绍线性代数的相关知识点。

一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。

行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。

1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。

1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。

1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。

1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。

（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。

（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。

（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。

1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。

二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。

矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。

2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。

矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。

线性代数b-4.3相似矩阵-交通物流地理


CHAPTER 06
未来展望与研究方向
人工智能与线性代数的结合
人工智能算法
利用线性代数知识，优化人工智能算 法中的矩阵运算，提高算法效率和准 确性。
深度学习框架
基于线性代数理论，开发更高效的深 度学习框架，降低计算复杂度，加速 模型训练和推理过程。
大数据在交通物流领域的应用
数据处理与分析
利用线性代数对大规模交通物流数据进行处理和分析，挖掘数据中的潜在规律和价值。
随着全球化和区域经济的发展，交通物流地理在现代社会中 发挥着越来越重要的作用，对相似矩阵的研究有助于更好地 理解和应用交通物流地理知识。
线性代数与交通物流地理的关系
线性代数是数学的一个重要分支，为交通物流地理提供了 数学工具和理论基础，相似矩阵作为线性代数中的重要概 念，在交通物流地理中有着广泛的应用。
数学模型建立
交通流预测模型
利用线性代数建立交通流预测模型，通过历史数 据和线性方程组求解未来交通流量。
物流优化模型
利用线性代数构建物流优化模型，通过线性规划 求解货物运输路径、成本和时间最优化问题。
网络流模型
利用线性代数建立网络流模型，描述网络中资源 的最优分配问题，如货物配送、人员流动等。
数据处理与分析
线性代数B-4.3相似矩 阵-交通物流地理
CONTENTS 目录
• 引言 • 相似矩阵的定义与性质 • 相似矩阵在交通物流地理中的应用 • 线性代数在交通物流地理中的重要性 • 案例分析 • 未来展望与研究方向
CHAPTER 01
引言
主题背景
交通物流地理是研究交通网络、物流运输和地理信息系统的 综合性学科，旨在优化物流运输和提高交通网络的效率。
数据降维

《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答

{ } L = x = λ1a1 + λ2a2 +L + λmam λ1, λ2 ,L, λm ∈ R
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠

大一线性代数必考知识点pdf

大一线性代数必考知识点pdf 线性代数是大学理工科类专业中的一门重要课程，它具有广泛的应用领域和实际意义。

对于大一学生而言，线性代数作为入门课程，是为后续学习打下基础的重要一环。

本文将介绍大一线性代数必考的知识点，并提供一个PDF文档供学生们下载参考。

1. 数与向量运算1.1 实数与复数的性质与运算1.2 向量的定义与性质1.3 向量的线性组合与线性相关性1.4 向量的点乘与叉乘2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义与性质2.2 矩阵的运算法则（加法、数乘、乘法）2.3 矩阵的转置与逆矩阵2.4 矩阵的秩与行列式3. 线性方程组3.1 线性方程组的定义与解的存在性3.2 线性方程组解的唯一性与可解性3.3 高斯消元法与矩阵的初等变换3.4 齐次与非齐次线性方程组的解4. 特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的性质4.3 对角化与相似矩阵4.4 对称矩阵的特征值与特征向量5. 线性映射与线性变换5.1 线性映射与线性变换的定义5.2 线性映射与线性变换的基本性质5.3 线性映射与矩阵的关系5.4 线性变换的核与像、线性变换的矩阵表示6. 正交基与正交投影6.1 正交基与正交子空间6.2 向量组的正交化与标准正交化6.3 Gram-Schmidt正交化过程6.4 正交投影的定义与性质以上是大一线性代数必考的知识点的简要概括，希望能对大一学生的学习起到一定的指导作用。

为了方便学生们的复习和查阅，我们特别制作了一个PDF文档，供大家下载使用。

该PDF文档包含了以上所有知识点的详细说明、公式推导以及典型例题的解析，是复习线性代数的必备资料。

大一线性代数必考知识点PDF下载地址：（避免在正文中出现网址链接，请将下载地址通过其他方式提供给读者，如附件、站内私信等方式）总结：线性代数作为大一学生的必修课程，对于后续学习和专业发展具有重要作用。

掌握好线性代数的基本知识点，对于培养学生的逻辑思维和数学分析能力十分重要。

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则原来的方程组可以表示为 Ax=b （2） ） 如果令
a1 j a 2 j ， ( j = 1, 2,⋯ , n) aj = ⋮ amj
则原来的方程组也可以表示为 x1a1+x2a2+…+xnan=b
称方程组 Ax=0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 程组。 一、非齐次线性方程组有解的条件 令 a a … a b
11 a B = 21 … am1
12 1n 1
a22 …
… a2 n … …
am 2 … amn
b2 … bm
称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。
则下面的四种提法是等价的： 则下面的四种提法是等价的： I) 非齐次线性方程组（1）有解； 非齐次线性方程组（ ）有解； II) 向量 能由向量组 1，a2，…an线性表示； 向量b能由向量组 能由向量组a 线性表示； III)向量组 1， a2， …an与向量组a1， a2， …an， 向量组a 与向量组 向量组 b等价； 等价； 等价 IV) R（A）=R（B）。 （ ） （ ） 即有下列定理成立 定理1 非齐次线性方程组（1）有解的充分必要 非齐次线性方程组（ ） 定理 条件是它的系数矩阵 系数矩阵A与 条件是它的系数矩阵 与增广 矩阵B的秩相等 的秩相等。 矩阵 的秩相等。
k1 , k2为任意实数。
例3 求解线性方程组
x1 − 2 x2 + 3x3 − x4 = 1 3x1 − x2 + 5 x3 − 3x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 3 4 1 2
对其增广矩阵B作初等行变换 作初等行变换： 解 对其增广矩阵 作初等行变换：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1r xr = b1 − a1,r +1 xr +1 − ⋯ − a1n xn a x + a x + ⋯ + a x = b − a x − ⋯ − a x 21 1 22 2 2r r 2 2, r +1 r +1 2n n ⋯⋯ ar1 x1 + ar 2 x2 + ⋯ + arr xr = br − ar ,r +1 xr +1 − ⋯ − arn xn
1 λ 1 , B = 1 λ 1 λ A= 2 1 1 λ 1 1 λ λ
由于
λ 1 1 A = 1 λ 1 = (λ − 1) 2 (λ + 2) 1 1 λ
当λ≠1，λ≠-2时，R（A）=R（B）=3， λ≠1，λ≠=R（ =3， 这时线性方程组有唯一解 线性方程组有唯一解； 这时线性方程组有唯一解； 当λ=1时，R（A）=R（B）=1＜3，这时线 λ=1时 =R（ =1＜ 这时线 性方程组有无穷多个解 无穷多个解； 性方程组有无穷多个解； λ==2≠R =3，此时线 当λ=-2时，R（A）=2 R（B）=3，此时线 性方程组无解。 性方程组无解。
若非齐次线性方程组（1）的 非齐次线性方程组（ ） R（A）=R（B）=r＞0， （ ） （ ） ＞ ， 不妨假设其前r行及前 列所构成的r阶主子式 行及前r列所构成的 阶主子式D≠0， 不妨假设其前 行及前 列所构成的 阶主子式 ， 于是可得到非齐次线性方程组（ ） 于是可得到非齐次线性方程组 （ 1） 的一个同 解方程组为
二、非齐次线性方程组解的结构 性质1 性质 设x=η1，x=η2都是非齐次线性方程组 （2）的解，则η1-η2是其对应齐次线性方程组 ）的解， （4）的解。 ）的解。 证 由 A（η1－η2）= Aη1 －Aη2=b－b=0 （ － 即η1－η2满足对应齐次线性方程组 Ax＝0 。 ＝
性质2 是非齐次线性方程组（ ） 性质 设x=η是非齐次线性方程组（2）的 是非齐次线性方程组 解，x=ξ是（2）对应齐次线性方程组 ＝0的 是 ）对应齐次线性方程组Ax＝ 的 仍是非齐次线性方程组（ ） 解，则x=ξ+η仍是非齐次线性方程组（2）的 仍是非齐次线性方程组 解。 证 因A（ξ+η）=Aξ+Aη=0+b=b （ ） 是非齐次线性方程组（ ）的解。 即x=ξ+η是非齐次线性方程组（2）的解。 是非齐次线性方程组
例2 求解线性方程组 x1 − x2 − x3 + x4 = 0 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = 1 x − x − 2 x + 3x = − 1 3 4 1 2 2 对增广矩阵B作初等行变换 作初等行变换： 解 对增广矩阵 作初等行变换：
1 −1 −1 1 0 r − r 1 −1 −1 1 0 2 1 B = 1 −1 1 −3 1 → 0 0 2 −4 1 r3 − r1 1 −1 −2 3 − 1 2 0 0 −1 2 − 1 2
1 −1 0 −1 1 2 r1 − r3 0 0 1 −2 1 → 2 r2 ÷ 2 r3 + r2 0 0 0 0 0 可见 R（A）=R（B）=2，则线性方程组 （ ） （ ） ， 有解， 有解，其同解方程组为
x1 = x2 + x4 + 1 2 x2 = x2 x3 = 2 x4 + 1 2 x4 = x4
第三节 非齐次线性方程组
对非齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x +⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯⋯ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
(1)
令
为何值时， 例1 问λ为何值时，线性方程组 为何值时
λ x1 + x2 + x3 = 1 x1 + λ x2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 3 1 2
有解；有唯一解；有无穷多个解？ 有解；有唯一解；有无穷多个解？ 此线性方程组的系数矩阵 系数矩阵A与增广矩阵B分 解 此线性方程组的系数矩阵 与增广矩阵 分 别 λ 1 1 1 为： λ 1 1
由于 R（A）=2，而R（B）=3，则线性方程组 （ ） ， （ ） ， 无解。 无解。
1 1 λ λ2 0 λ −1 1− λ λ − λ2 0 0 1− λ − λ2 1+ λ − λ2 − λ3 1 1 λ λ2 2 1− λ λ −λ → 0 λ − 1 2 0 0 (λ − 1)(λ + 2) (λ − 1)(λ + 1)
当 λ≠1， － 2时 ， R（ A） =R（ B） =3， 则方程 ≠ ， 时 （ ） （ ） ， 组有唯一解。 组有唯一解。 当λ=1时，R（A）=R（B）=1＜3，则方程组有 时 （ ） （ ） ＜ ， 无穷多个解。 无穷多个解。 当λ=－2时，R（A）=2≠R（B）=3，则方程组 － 时 （ ） ≠ （ ） ， 无解。 无解。
定理3 设η*是非齐次线性方程组（2）的一个解 是非齐次线性方程组（ ） 定理 称为特解） （称为特解），ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次线 ， 性方程组Ax=0的基础解系 ， 则非齐次线性方 的基础解系， 性方程组 的基础解系 程组（ ）的通解（一般解） 可表示为 程组（2）的通解（一般解）x可表示为 x=η*+ k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r 其中k …， 为任意实数。 其中k1，k2，…，kn-r为任意实数。
用克莱姆法则可解此方程组。 用克莱姆法则可解此方程组。 x1=D1/D ，x2=D2/D ，…，xr=Dr/D， ， ， xr+1= xr+1，…，xn=xn ， 定理2 如果非齐次线性方程组（1）有解，则当 如果非齐次线性方程组（ ）有解， 定理 它的系数矩阵的秩r=n时 ， 非齐次线性方程组 它的系数矩阵的秩 时 （ 1） 有唯一解 ； 当它的系数矩阵的秩 ＜ n时 ， ） 有唯一解； 当它的系数矩阵的秩r＜ 时 非齐次线性方程组（1）有无穷多个解。 非齐次线性方程组（ ）有无穷多个解。
即得通解
x1 1 1 1 2 x 1 0 0 x = 2 = k1 + k2 + 1 x3 0 2 2 x4 0 1 0
证 设x为非齐次线性方程组（2）的任意解，则 为非齐次线性方程组（ ）的任意解， 据性质1， － 其对应齐次线性方程组Ax=0 据性质 ， x－ η* 其对应齐次线性方程组 的解， 的解 ， 故 x－ η* 可由 1 ， ξ2 ， …， ξn-r 线性表示 ， － 可由ξ ， 线性表示， 即 x－η*= k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r － x =η*+ k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r 亦即有 为是非齐次线性 又η*+ k1ξ1+k2ξ2+…+knξn-r 为是非齐次线性 方程组（ ）的解，所以非齐次线性方程组（ ） 方程组（2）的解，所以非齐次线性方程组（2） 的通解为 x=η*+ k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r ， 其中k 其中 1，k2，…，kn-r为任意实数。 ， 为任意实数。
a11 a A = 21 ⋯ am1 a12 a22 ⋯ am 2 ⋯ a1n ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ amn
x1 b1 x b x = 2 ，b = 2 ≠ 0 ⋮ ⋮ xn bm